Tiet 9 10 11 12 Chu de Phuong trinhdoc

quaû khoâng chöùa aån döôùi daáu caên hoaëc coù theå giaûi baèng nhieàu phöông phaùp khaùc nhö PT ñaët aån phuï. - Ñoái vôùi Phöông trình chöùa aån ôû maãu thöùc.[r]

Chủ đề tự chọn bám sát Ngày soạn: 08 / 10 / 2006

Tuaàn : + 10 + 11 + 12 Tieát : + 10 + 11 + 12

CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PT BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI

I. MỤC TIÊU CẦN ĐẠT :  Kiến thức :

Cách giải biện luận PT ax + b = 0; ax2 + bx + c = 0; phương trình chứa giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn số mẫu, phương trình chứa

 Kỹ :

Thành thạo bước giải biện luận PT bậc nhất, bậc hai, PT quy PT bậc nhất, bậc hai

II. PHƯƠNG PHÁP :

Phương pháp mở vấn đáp thông qua hoạt động điều khiển tư xen kẻ hoạt động nhóm

Tiết : : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A. Phương Pháp Giải:

- Phương trình chứa giá trị tuyệt đối dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối bình

phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối đưa PT bậc bậc hai

- Phương trình chứa ẩn căn, ta thường bình phương hai vế để đưa PT hệ

quả không chứa ẩn dấu giải nhiều phương pháp khác PT đặt ẩn phụ

- Đối với Phương trình chứa ẩn mẫu thức Đặt điều kiện cho ẩn số để mẫu

thức khác không quy đồng mẫu thức đưa dạng biết cách giải (chú ý kiểm tra so sánh giá trị nghiệm với điều kiện )

* Ngồi cịn sử dụng đến phép biến đổi sau :

Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải : Để giải phương trình chứa dấu giái trị tuyệt đối ta cần ý tính chất sau:



A A A

A neáu A

  

 

  ; A A2



B

A B A B

A B

   

 

 



  

  ;

A B A B

A B

 

  

  

BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình sau :

a) x 5x x 6x 52   2  b) x 8x 2x 92     c) 3x 4  x d) x x 1 02    

2

2 2

2

2

x x

x x

x 6x

1

11x

x 5x x 6x x 5x x 6x x x

11 11

2x x

x 5x x 6x vo ângh1eäm

a)

     

  



               

       



  

  

 

  

 

  

  

2

2

2

9

2x x x

2 x

b) x 8x 2x x 8x 2x x 10x 16 0 x x 2

x 11

x 8x 2x x 6x 0 x 3 11

                                                             x 3x x 2x

c) 3x x 3

3x x 4x x

2                          

d) * Neáu x  (1)  x2 – 5x + =  x = v x =

* Neáu x < (1)  x2 + 5x – =  x = – v x =

Vậy nghiệm phương trình : S = {– ; ; } Baøi 2: Giải phương trình sau :

2

a) x x (1)   b) 2x 8x 15 4x 12    c)

2

x x x

 

 d) 3x x2   GIẢI

a) * Nếu x  (1)  x2 – 5x + =  x = v x =

* Nếu x < (1)  x2 + 5x + =  x = –2 v x = –

Vaäy nghiệm phương trình : S = {– ; – ; ; } Cách 2. Đặt t x 0  ,

2 t x

(1) t 5t

t x

                2 2 1

4x x 4 x

4 x

b) 2x 8x 15 4x 2x 8x 15 4x 2x 4x 16 0 x x 4

x

2x 8x 15 4x 2x 12x 14 0 x x 7

                                                               c) * Khi x > ta coù :

2

2

x x x (x 2)x x



    



2

x (x 2)x 2x x (loại)

        

* Khi x < ta coù :

2

x x x 1 (x 2)x 2x 2x 0 x

x 2

 

          

 ( thoả)

Vậy nghiệm phương trình:

1 x   d)

2 2

2

2 2

3x x 4x

3x x x

3x x 2x

     

        

   

 

Bài tập tương tự.

Giải phương trình sau:

1 x2 5x x  26x 5 2x x  0 x2  7x x 6   x x2  2 x 8 x x 2   x2  5x 6 x24x 4 x2 5x 4 x2 2x 5 x2 5x x  2 5x 4 x2  8x 2x   10 x2 7x 10  x 11

2

x x x

 

Phương pháp giải: 

2

f(x) a 0   f(x) a ( với a số )  2

g(x) f(x) g(x) f(x) g(x)           f(x) f(x) g(x) f(x) g(x)      

 a.f(x) b f(x) c 0  

+ Đặt f(x) t

  f(x) = t2

+ Thế vào phương trình ta có : at2 + bt + c =  xn b a ax bn 

+ Đặt unax b ta coù : un ax b  un  b ax (1) vaø xn  b au (2)

+ Từ (1) (2) ta có hệ:

n

n

u b ax x b au

   



  

 hệ phương trình đối xứng loại II BÀI TẬP

Bài 1: Giải phương trình sau :

a) 2x x 3   b) 5x 10 x   c) x2 6x x  2 6x 6 d) x 2x 4  GIAÛI

a)

x 2x x

2x x 6x

 



    

   



x x

x x x

x 8x 12

                 

b)

8 x 5x 10 x

5x 10 64 16x x

 



    

   



x x

x x 18 x

x 21x 54

                  c) Đặt t x2 6x 0  ta coù :

2

2

t x 6x

t 4t

t x 6x 3

                    2 2

x 6x x 6x x 6x x 6x

       

   

     

 

x x

x 3

  

  

  

c)

x

x 2x 2x x

2x x 8x 16

                

x x

x x x

x 10x 21

                 

Bài 2: Giải phương trình sau :

a) x2 7x 1  b) x2 5x x 3   c) x2 5x 4 x22x 1

GIAÛI a)

2 2 x

x 7x 11 x 7x 11 x 7x 10

x                  b) 2

x x

x 5x x x

x x 5x (x 3)

                     

c) Vì x22x 1 (x 1) 0 nên để phương trình có nghiệm :

(x 1)  0 x 1 Thế vào phương trình thoả mãn nên x = nghiệm Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}

a) 2x 2   x 3 (1) b) 3x 4  x 3  (2)

c) x2 4x 7  x 1 d)

2

x  5x x  5x 0   (3)

GIẢI a) Điều kiện : x 

(1)  2x +1 = (2 + x 3 )2  x = 4 x 3  x2 = (4 x 3 )2  x2 – 16x + 48 =  x =  x = 12 Vậy nghiệm phương trình : x = ; x = 12

b) Điều kiện : x 

(2)   

2 3x 4  x 3   3x 4  x 3 

 x – = x 3  (x – 1)2 = 9(x – 3)  x2 –11x +28 =  x = v x = Vaäy nghiệm phương trình: x = ; x =

c)

2

2 x 4x x x 5x

x 4x x

x x

        

       

  

 

x

x x

x

x

 

  

        



Vậy nghiệm phương trình : x = , x =

d) x 5x x 5x 02  2     (x 5x 7) x 5x 02   2    Đặt x2 – 5x + = t

 0, ta coù :

2 t

t 3t

t  

    

  Với t = ta có :

2 x

x 5x x 5x

x  

        

 

Với t = ta có :

2

5 13 x

2 x 5x x 5x

5 13 x

2

 

  

       

 

   Vaäy nghiệm phương trình : x = , x = ,

5 13 x

2   Bài 4:Giải phương trình sau :

2

a) x  3x 3  x  3x (1)  b) x 1 x (2) (2) GIAÛI

a) Ñaët t = x2 – 3x + (t  )

(1) t t 3   t(t 3) 2t 9     t(t 3) t    t23t (3 t)  2, (0  t  )

 t = ( thoả  t  )  x2 – 3x + =  x = v x = Nghiệm phương trình : x = ; x =

b) (2)  1 x x  Điều kiện  x 

Ta coù

1 x 1 x x 0

1 x 1 x



  

   

  

 

 

   

  Vậy nghiệm phương trình : x = 0. Bài 5:Giải phương trình sau :

GIẢI a) (1)⇔√x+3+√2x+7=√2x+2+√x+8

Điều kiện : x –1 Bình phương hai vế ta có :

x+3+2x+7+2√(x+3)(2x+7)=2x+2+x+8+2√(2x+2)(x+8) ⇔√2x2

+13x+21=√2x2+18x+16

⇔2x2

+13x+21=2x2+18x+16⇔x=1 (thoả điều kiện)

b) Điều kiện : x

(2)⇔√2x+3+√3x+2=√2x+5+√3x

⇔2x+3+3x+2+2√(2x+3)(3x+2)=2x+5+3x+2√3x(2x+5) ⇔√6x2

+13x+6=√6x2+15x

⇔6x2

+13x+6=6x2+15x⇔x=3 (thoả điều kiện)

c) Điều kiện : x 10.

(3)⇔x −2+x −7+2√(x −2)(x −7)=x+5+x −10+2√(x+5)(x −10)

⇔√x2−9x

+14=2+√x2−5x −50 ⇔x2−9x+14=4+4√x2−5x −50+x2−5x −50

⇔√x2−5x −50=15− x

⇔

15− x ≥0

x2−5x −50=225−30x+x2 ¿{

⇔

x ≤15

x=11

⇔x=11 ¿{

d) Điều kiện :

¿ x+11≥0 x+√x+11≥0 x −√x+11≥0

¿{ { ¿

(*)

Bình phương hai vế ta có : x+√x+11+x −√x+11+2√x2− x −11=16

⇔√x2− x −11

=8− x⇔ 8− x ≥0

x2− x −11=64−16x+x2 ¿{

⇔

x ≤8

x=5

⇔x=5 ¿{

(thoả điều kiện (*)) Vậy x = nghiệm

Bài 6:Giải phương trình sau :

a) 1+√1+x√x2−24=x b) √x+8+2√x+7+√x+1−√x+7=4 c) √x+2√x −1−√x −2√x −1=x −1 d) x+√x+1

2+√x+ 4=

1 e) √x+2√x −1−√x −2√x −1=2 (HVCN BCVT-2000)

GIẢI a) Điều kiện :

¿ x2−24≥0 1+x√x2−24≥0

¿{ ¿

(*) Ta coù 1+√1+x√x2−24=x⇔√1+x√x2−24=x −1

⇔

x −1≥0

1+x√x2−24=x2−2x+1

⇔

¿x ≥1 √x2−24

⇔

x ≥1

x −2≥0

x2−24=x2−4x+4

⇔

¿x ≥12 x=7

⇔x=7 ¿{ {

thoả điều kiện (*) Vậy x = nghiệm.

b) Điều kiện :

¿ √x+7≥0 x+8+2√x+7≥0

x+1−√x+7≥0 ¿{ {

¿

(*)

√x+8+2√x+7+√x+1−√x+7=4 ⇔√(√x+7+1)2+√x+1−√x+7=4

⇔√x+7+1+√x+1−√x+7=4 ⇔√x+1−√x+7=3−√x+7

⇔

3−√x+7≥0

x+1−√x+7=x+16−6√x+7 ¿{

⇔

√x+7≤3 √x+7=3

⇔√x+7=3⇔x=2 ¿{

thoả điều kiện (*) Vậy x = nghiệm.

c) √x+2√x −1−√x −2√x −1=x −1 ⇔√(√x −1+1)2−√(√x −1−1)2=x −1

⇔√x −1+1−|√x −1−1|=x −1 (1) Điều kiện : x 1.  Nếu x < 2, (1)⇔√x −1+1+√x −1−1=x −1

⇔2√x −1=x −1⇔4(x −1)=x2−2x+1⇔x=1(nhận)∨x=5(loại)

 Nếu x 2, (1)⇔√x −1+1−√x −1+1=x −1 ⇔x=3 (nhận)

Vậy nghiệm phương trình : x= 1, x = 3. d) x+√x+1

2+√x+ 4=

1

4⇔x+√(√x+ 4+

1 2)

2 =1

4

⇔x+√x+1 4+

1 2=

1

4⇔(√x+ 4+

1 2)

2 =1

4 ⇔√x+ 4+

1 2=

1

2 ⇔√x+

4=0⇔x=− e) √x+2√x −1−√x −2√x −1=2⇔|√x −1+1|−|√x −1−1|=2

⇔|√x −1−1|=√x −1−1⇔√x −1−1≥0⇔x ≥2 .

CHUÙ YÙ: A B C   A3B33AB A B(  )C3 A3 B3 3ABC C3

   

Bài 7:Giải phương trình sau : a)

√1− x+√32− x=√33−2x (1) b)

√1+√x+√31−√x=2 (2)

c)

√x+1+√3 x −1=√3 5x (3) d) √3 x+49=√3x −49+2 (4) GIAÛI

a) (1)⇔(√31− x+√32− x)3=(√33−2x)3 ⇔1− x+2− x+3√31− x.3

√2− x(√31− x+√32− x)=3−2x

⇔3

(2)⇔1+√x+1−√x+3√31+√x√31−√x(√31+√x+√31−√x)=8

⇔3√31+√x√31−√x.2=6⇔√31− x=1⇔1− x=1⇔x=0

c) (3)⇔x+1+x −1+3√3 x+1√3 x −1(√3x+1+√3 x −1)=5x

⇔3

√x+1√3 x −1.√3 5x=x⇔√3(x+1)(x −1).5x=x ⇔5x(x2−1)=x3⇔4x2−5x=0⇔x=0∨x=±√5 d) (4)⇔√3x+49−√3x −49=2 ⇔x+49− x+49−3√3x2−2041(√3 x −49−3

√x+49)=8

3 x2 2041 15 x2 5776 x 76

       

Bài 8:Giải phương trình sau : a)

x+1¿2 ¿ x −1¿2

¿ ¿ ¿

√¿

(1) b)

2− x¿2 ¿ x+1¿2

¿ ¿ ¿

√¿

(2) GIAÛI

a) Vì x =1 khơng thoả (1) nên chia hai vế cho x −1 ¿2 ¿ ¿

√¿

ta coù

√(x+1 x −1)

2

+2=3√3 x+1

x −1 Đặt t= √x+1

x −1≠1 ta coù t

2– 3t + = 0

⇔ t = (loại) v t = ⇔3 √ x+1

x −1=2⇔

x+1

x −1=8⇔x=

b) Vì x = – 1, x = không thoả (2) nên chia hai vế cho 3(x x )(  )  0

Ta coù √2− x

x+1+ √x+1

2− x=2 Đặt t=

3 √2− x

x+1 ta coù t

2– 3t + = ⇔ t = (loại) v t =

t+1

t=2⇔t

2−2t

+1=0⇔t=1⇔√3 2− x

x+1=1⇔x=

1

Bài 9:Giải phương trình sau :

a) x2 3x 3  x2 3x 3  b) √x3+x2−1+√x3+x2+2=3 GIAÛI

a) Ñaët t = x2 – 3x + (t

 )

Ta coù : t t 3   t(t 3) 2t 9     t(t 3) t    t23t (3 t)  2, (0  t  )

 t = ( thoả  t  )  x2 – 3x + =  x = v x = Nghiệm phương trình : x = ; x =

b) √x3

+x2−1+√x3+x2+2=3

Đặt t=x3+x2−1 Phương trình trở thành √t+√t+3=3⇔t+t+3+2√t(t+3)=9

⇔√t(t+3)=3− t⇔ 3−t ≥0

t2

+3t=9−6t+t2

⇔

¿t ≤3 t=1

⇔t=1 ¿{

⇔ x3 + x2 – = ⇔ x3 + x2 – = ⇔ (x – 1)(x2 + 2x + 2) = ⇔ x = 1.

Tiết : 11 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN CHÚ Ý: Phương trình dạng: a f x ( )b f x( ) c 0

 Đặt t f x( ), t 0  f x( )t2

 Theá vào phương trình ta có : at2 + bt + c =

Bài 10:Giải phương trình sau :

a) x2  6x x  2 6x 6 b) x2 5x x 2 5x 0  

c) x2+3x+4√x2+3x −6=18 d) x2− x+√x2− x+24=18

e) (x −3)(x −4)+√x2−7x+7=7 f) x2+√x2+11=31 (ĐH cảnh sát ND – 1999)

Giải

a) Đặt t x2 6x 0  ta coù :

2

2

t x 6x

t 4t

t x 6x 3



   





     

 

    

2

2

x 6x x 6x x 6x x 6x

       

   

     

 

⇔

x=1∨x=5 ¿ x=3±2√3

¿ ¿ ¿ ¿ ¿ b) Đặt t=√x

2−5x +7≥0

ta coù :

2 t

t 3t

t  

    

  Với t = ta có :

2 x

x 5x x 5x

x  

        

 

Với t = ta có :

2

5 13 x

2 x 5x x 5x

5 13 x

2

 

  

       

 

   Vậy nghiệm phương trình : x = , x = ,

5 13 x

2  

c) Đặt t=√x2+3x −6≥0 Ta có t2 + 4t – 12 = ⇔ t = – (loại) t =

⇔ x2 + 3x – = ⇔ x = – v x = 2

d) Đặt t=√x2− x −24≥0 Ta có t2 + t – 32 = ⇔ t = – (loại) t = 6

⇔ x2 – x – 24 = 36 ⇔ x2 – x – 60 = ⇔ x=1±√241

e) (x −3)(x −4)+√x2−7x+7=7⇔x2−7x+7+√x2−7x+7−2=0

Đặt t=√x2−7x+7≥0 Ta có t2 + t – = ⇔ t = –2 (loại) t = 1

Đặt t=√x2+11≥√11 ta có t2  t 42 0  t7(loại)  t 6 ⇔√x2

+11=6⇔x=±5 Bài 11:Giải phương trình sau :

a)

√x+5√6x −18=0 b) x√3 x −4√3x2+3=0

c) √x −x 1−2√x −1

x =1 d)

3 √2− x

x −1+ √x −1

2− x=2

GIẢI

a) Đặt t=√6 x ≥0⇒t2=√3x

Vậy ta có 2t2 + 5x – 18 =

⇔

t=2 ¿ t=−9

2(loại) ¿

⇔6

√x=2⇔x=26=64 ¿

¿ ¿

b) Đặt t=√3 x2≥0⇒t2=√3x4=x√3 x Ta coù t2 – 4t + =

⇔

t=1 ¿ t=3

¿ x2=1

¿ x2

=27 ¿ x=±1

¿ x=±3√3

¿ ¿ ¿

⇔¿ ¿

⇔¿ ¿ ¿ ¿

c) Điều kiện : x > Đặt t= x √x −1>0

ta coù t −2 t =1⇔t

2

−t −2=0

⇔

t=−1(loại) ¿ t=2

¿

⇔ x

√x −1=2⇔2√x −1=x>1⇔x=2 ¿

¿ ¿

(thoả đk)

d) Đặt t=√3 2− x

x −1 ta coù : t+

t=2⇔t=1⇔

2− x

x −1=1⇔x=

Tiết : 12 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN CHÚ Ý: Đặt

2 2 2

t A B

t A B AB

2

 

   

Ñaët

2

B

t A AB t

A

Bài 12:Giải phương trình sau :

a) (x −3)(x+1)−3(x −3)√ x+1

x −3=−2 (1) b) (x+2)(x+4)+2(x+4)√

x+2

x+4=3 (2)

GIẢI

a) Điều kiện : x –1 v x > 3. Đặt t=(x −3)√x+1

x −3⇒t

=(x −3)(x+1) Ta coù (1) ⇔ t2 – 3t + = ⇔ t=1

¿ t=2

¿ ¿ ¿ ¿

 Với t = ta có

(x −3)√ x+1 x −3=1⇔

x>3 (x −3)(x+1)=1

¿{

⇔

x>3 x2−2x −4=0

⇔

¿x>3 x=1±√5

⇔x=1+√5 ¿{

 Với t = ta có

(x −3)√x+1 x −3=2⇔

x>3 (x −3)(x+1)=4

¿{

⇔

x>3 x2−2x −7

=0

⇔

¿x>3 x=1±2√2

⇔x=1+2√2 ¿{

b) Điều kiện : x < –4 v x – 2. Đặt t=(x+4)√x+2

x+4⇒t

=(x+4)(x+2) . Ta coù (2) ⇔ t2 + 2t – = ⇔ t=1

¿ t=−3

¿ ¿ ¿ ¿

 Với t = ta có

(x+4)√x+2 x+4=1⇔ x>−4 (x+4)(x+2)=1

¿{

⇔

x>−4 x2

+6x+7=0

⇔

¿x>−4 x=−3±√2

⇔x=−3+√2 ¿{

(nhaän)

(x+4)√x+2

x+4=−3⇔ x<−4

(x+4)(x+2)=9 ¿{

⇔

x<−4 x2

+6x −1=0

⇔

¿x<−4 x=−3±√10

⇔x=−3−√10 ¿{

(nhận)

Bài 13:Giải phương trình sau :

a) √x −1+√x+3+2√(x −1)(x+3)=4−2x b) √x −1+√x −3+2√(x −1)(x −3)=4−2x

c) √x+4+√3x+1+2√3x2+13x+4=51−4x d) √2x+3+√x+1=3x+2√2x2+5x+3−16 e) √3x −2+√x −1=4x −9+2√3x2−5x+2 (HVKTQS-1999)

GIẢI a) Đặt t=√x −1+√x+3,t ≥0

√x −1+√x+3¿2=2x+2+2√(x −1)(x+3)

⇒t2=¿ ⇒2√(x −1)(x+3)=t

−2x −2 (*) Phương trình (1) trở thành: t + t2 – 2x – = – 2x ⇔ t2 + t – =

t = – 3(loại) t = (nhận)

(∗)⇔2√(x −1)(x+3)=4−2x −2⇔√(x −1)(x+3)=1− x

⇔

1− x ≥0

x2

+2x −3=1−2x+x2

⇔

¿x ≤1 x=1

⇔x=1 ¿{

Vậy x = nghiệm

b) Ñaët t=√x −1+√x −3,t ≥0 √x −1+√x −3¿

=2x −4+2√(x −1)(x −3)

⇒t2=¿

⇒2√(x −1)(x −3)=t2−2x+4 (*)

Phương trình (1) trở thành: t + t2 – 2x + = – 2x ⇔ t2 + t =

⇔ t = – (loại) t = (nhận)

(∗)⇔2√(x −1)(x −3)=−2x+4⇔√(x −1)(x −3)=2− x

⇔

2− x ≥0

x2−4x+3=4−4x+x2

⇔

¿{

vô nghiệm

c) Đặt t=√x+4+√3x+1, t ≥0 √x+4+√3x+1¿

=4x+5+2√(x+4)(3x+1)

⇒t2=¿

⇒2√3x2

+13x+4=t2−4x −5 (*)

PT (1) trở thành: t + t2 – 4x – = 51 – 4x ⇔ t2 + t – 56 = ⇔ t = – 8(loại) t = (nhận)

⇔

22−2x ≥0

x2−101x

+480=0

⇔

¿x ≤11 x=5∨x=96

⇔x=5 ¿{

Vậy x = nghiệm

d) Ñaët t=√2x+3+√x+1, t ≥0 √2x+3+√x+1¿

=3x+4+2√(2x+3)(x+1)

⇒t2=¿

⇒3x+2√2x2+5x+3=t2−4 (*)

Phương trình (1) trở thành: t = t2 – – 16 ⇔ t2 – t – 20 = ⇔ t = – (loại) t = (nhận)

(∗)⇔3x+2√2x2+5x+3=25−4⇔2√2x2+5x+3=21−3x

⇔

21−3x ≥0 21−3x¿2

¿

⇔

¿ ¿ ¿x ≤11 4(2x2+5x+3)=¿

⇔

x ≤11

x=3∨x=143

⇔x=3 ¿{ Vaäy x = nghiệm

e) Đặt t=√3x −2+√x −1, t ≥0 √3x −2+√x −1¿

=4x −3+2√(3x −2)(x −1)

⇒t2=¿

⇒4x+2√3x2−5x+2=t2+3 (*)

Ta có : t = t2 – ⇔ t2 – t – = ⇔ t = – (loại) t = (nhận) (∗)⇔4x+2√3x2−5x+2=12⇔√3x2−5x+2=6−2x

⇔

6−2x ≥0

3x2−5x+2=36−24x+4x2 ¿{

⇔

x ≤3

x2−19x+34=0

⇔

¿x ≤3 x=2∨x=17

⇔x=2 ¿{

Bài 14: Giải phương trình sau :

a) 2x2−2x√x2−2=3 b) (4x −1)√x2+1=2x2+2x+1 c) 2(1− x)√x2+2x −1=x2−2x −1 (ĐH DƯỢC HN –1997)

GIẢI a) 2x2−2x√x2−2=3⇔x2−2−2x√x2−2+x2−1=0 Đặt t=√x2−2≥0 Ta có t2 – 2xt + x2 – = (*) Phương trình (*) coù Δ❑t =x

2

(∗)⇔ t=x −1

¿ t=x+1

¿ √x2−2=x −1

¿ √x2−2=x+1

¿ ¿ ¿

⇔¿ ¿ ¿ ¿

⇔

¿x −1≥0 x2−2=x2−2x+1

¿ ¿ ¿ x+1≥0

¿ ¿ x2−2

=x2+2x+1 ¿

¿ ¿

⇔

x ≥1

x=3 ¿ x ≥ −1

x=−3

⇔x=3 ¿{

Cách 2.Chuyển vế, bình phương hai vế.

b) Đặt t=√x2+1≥1⇒t2=x2+1⇒x2=t2−1

Ta có (4x −1)t=2(t2−1)+2x+1 ⇔2t2−(4x −1)t+2x −1=0

⇔

2x −1≥0

x2+1=4x2−4x+1 t=1

2(loại) ¿ t=2x −1

¿ ¿

⇔√x2+1=2x −1⇔{ ¿

¿ ¿

⇔

x ≥1

2

x=0∨x=4

⇔x=4 ¿{

c) Đặt t=√x2+2x −1⇒t2=x2+2x −1⇒x2=t2−2x+1

Ta có 2(1− x)t=(t2−2x+1)−2x −1 ⇔t2−2(1− x)t −4x=0(∗) Phương trình (*) có x+1¿

2

1− x¿2+4x=¿

Δ❑t

=¿

⇔x −√x2−1

+x+√x2−1+2√x2− x2+1=2(x3+1)

⇔

¿x ≤0 x2+2x −1=4x2

¿ √x2+2x −1=2

¿

√x2+2x −1=−2x ¿

x2

+2x −1=4 ¿ ¿{

¿ ¿

⇔¿ ¿ ¿ ¿

¿

2

x 1 6

x 1 6

x 0

3x 2x 0

   

     

 

  

CHÚ Ý Phương trình dạng: xn b a ax bn 

 Đặt tnax b  tn ax b

 Ta có hệ :

n

n

x b at

t b ax

    

 

  trừ vế theo vế, rút thừa số x – t. Bài 15: Giải phương trình sau :

a) x2−2√2x+3=3 b) x2+√x+5=5

c) x3+1=2√32x −1 d) x3−4√34x −3+3=0

GIẢI

a) Đặt t=√2x+3≥√3⇒t2=2x+3⇔t2−2x=3

Vậy ta coù

¿ x2−2t=3 t2−2x

=3 ¿{

¿

(1)

(2) Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta có (x – t)(x + t + 2) = ⇔ x = t t = – x – 2.



t=x⇔ x ≥0 2x+3=x2

⇔

¿x ≥0 x=−1∨x=3

⇔x=3 ¿{



2

x 2 0 x 2

t x 2

x 1

2x x 4x 4

  

   

     

 

    

 vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x = b) Đặt t=√x+5≥√5⇒t2=x+5

Vậy ta coù ¿ t2− x

=5 x2+t=5

¿{ ¿

(1)

(2) Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta có (t + x)(t – x – 1) = ⇔ t = – x t = x +



t=− x⇔ − x ≥0

x+5=x2

⇔

¿x ≤0 x=−1±√21

2



t=x+1⇔ x+1≥0 x+5=x2+2x+1

¿{

⇔

x ≥−1

x=−1±√17

⇔x=−1+√17 ¿{

c) Đặt t=√32x −1⇒t3=2x −1⇔t3−1=2x Vậy ta có hệ

¿ x3+1=2t t3

+1=2x ¿{

¿

((12)) Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta có :

x3 – t3 = 2t – 2x ⇔ (x – t)(x2 + tx + t2 + 2) =

⇔ x – t = x2 + tx + t2 + = (vơ nghiệm Δ=−3t2−8<0 )

⇔x=t⇔x=√32x −1⇔x3−2x+1=0 ⇔(x −1)(x2+x −1)=0⇔x=1∨x=−1±√5 d) Đặt t=√34x −3⇒t3

=4x −3⇔t3−4x+3=0 Vậy ta có hệ

¿ x3−4t

+3=0 t3−4x

+3=0 ¿{

¿

((12)) Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta có :

x3 – t3 + 4(x – t) = ⇔ (x – t)(x2 + tx + t2 + 4) =

 x – t = x2 + tx + t2 + = (vơ nghiệm Δ=−3t2−16<0 )

 x t  x34x 3  x3 4x 0  ⇔(x −1)(x2+x −3)=0⇔x=1∨x=−1±√13

Bài tập tương tự

Bài 16: Giải phương trình sau :

1 x 10 x 2   2 x 2x 4  3 2x2 3x x 1  

4 x22 x2  3x 11 3x 4   5 x25x 6  x 6 5x 5x x x26

7. x2   x 2x29 0 8 x 1  x 4  5x 9 x2 x 5 

Baøi 17: Giải phương trình sau :

a) |x −1|−2|x −2|+3|x −3|=4 b) √x2

+6x+9=|2x −1| c)

x(x+1)+x(x+2)=x(x+4) d) (11− x+x −1− x

1+x):( 1+x 1− x−1)=

3

14− x e) √x+1=8−√3x+1 f) x2−6x+9=4√x2−6x+6 Bài 18: Giải biện luận PT sau theo tham số m :

a) (2m −x −12)x+2=m+1 b) (m

+m −2)x

2x+1 =m+2 c)

x+2m x − m =

x+1 x −2 d) 2x+m

√x −1−4√x −1=

x −2m+3

√x −1 e) |mx+1|=|2x − m−3| f) |2x+m|=|2m−1−2x| Bài 19: Định m để pt sau vô nghiệm :

a) m2(x −1)=4x −3m+2 với x >0b) (2m+1)x+3 √4− x2 =