Nguyễn Thanh Lam.[r]
(1)KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2009 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI THI MÔN TOÁN KHỐI A
Câu Hướng dẫn Bài giải
I.1 Thực bước khảo sát Tính đạo hàm :
'
2
ax b ad bc
cx d cx d
Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1)
2
x y
x
TXĐ:
3 \
2
D R
2
1
'
2
y x D
x
Hàm số nghịch biến khoảng
3
; ; ;
2
Tìm đường tiệm cận :
3
lim x
y
;
3
lim x
y
Tiệm cận đứng :
3
x
1 lim
2
x y ;
1 lim
2
x y Tiệm cận ngang :
1
y
Bảng biến thiên :
Đồ thị :
Tìm giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ
Khi
2
3
x y
Khi y 0 x2
Đồ thị nhận giao điểm I hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
I.2 Cách 1.
+ Viết phương trình tiếp tuyến dạng :
d : yf x'( )0 x x 0y0
+ Tìm hai giao điểm A B ;
A d Ox B d Oy
+ OABcân O
OA OB OA OB
Phương trình tiếp tuyến d có dạng : d : yf x'( )0 x x 0y0
0
0
2
2
2
x
y x x
x x
2
0
2
0
2
2 3
x x
x y
x x
0
2 6;0
A d Ox A x x
2
0
2
2
0;
2
x x
B d Oy B
x
OAB
cân O OA OB
3
x
'
y
y
2
2
y
2/3 1/2 I
x O
(2)I.2
2
2 0
0
0
2
2
2
x x
x x
x
x
2
0 0
2x 8x (2x 3)
0
2
0
0
0
0
0
1
2 2 8 6 0 3
( )
2
2
2
x
x x x x
x loai
x x
x
Với
'( 1)
1 :
( 1)
f
x d y x
f
(cắt đồ thị (1),loại)
Với
'( 2)
2 :
( 2)
f
x d y x
f
Cách 2. Phương trình tiếp tuyến d có dạng :
d : yf x'( )0 x x 0y0
Vì tiếp tuyến d cắt hai trục tọa độ hai điểm A,B tam giác OAB vuông cân O nên tiếp tuyến d có khả song song với hai đường thẳng yx
+ Nếu d // 1:y x kd 1 f x' 0 1
2
1
1 2x
(loại)
+ Nếu d // 2:yx kd 1 f x' 0 1
0
2
0
0
2 1
1
1
2
2
x x
x x
x
Với
'( 1)
1 :
( 1)
f
x d y x
f
(cắt đồ thị (1),loại)
Với
'( 2)
2 :
( 2)
f
x d y x
f
II.1 Điều kiện :
1 2sin sin
2 sin
sin
x x
x
x
2
2
2
cos sin cos 2 cos
1 2sin
x x
x x
x
Hai vế phương trình có dạng : asinx b cosx
Vận dụng công thức cộng : cos(a b ) cos cos a bsin sina b
sin(a b ) sin cos a bcos sina b
Phương trình : cos cos
2
u v
u v k
u v k
Giải phương trình :
1 2sin cos
3 2sin sin
x x
x x
(1)
Điều kiện : sinx 1
1 sin
2
x
(1) cosx sin 2x sin x 2sin2x sinx 2sin 2x cosx sinxsin 2x cos 2x
1 3
cos sin sin cos
2 x x x x
cos 2x cos x
2 2 (
6
2
( )
2
18
6
x x k x k
x k Z
x x k
loai)
yx
y
y x
x O
(3)II.2 Cách 1.
Đặt
33 2
6
u x
v x
Biến đổi phương trình hệ theo u v với v 0
2
15u 26u20 0
Giải phương trình : 33 x 6 x 8 (1) Đặt
3 3 2
6
u x
v x
điều kiện :
6
5
v x
(1)
2
3
3
8
2
8
5
5 (*)
3
u v
u v
u
u v
u
(*) 15u34u2 32u40 0
u 15 u2 26u 20 u
Với u2 33x 22 3x 28 x2
Cách 2.
Đặt t33x
Giải phương trình theo t
2
0
B A B
A B
điều kiện :
6
5
x x
Đặt
3
3
33 2 3 2 6 5
3
t t
t x t x x x
Phương trình thành :
3
8
2 8
3
t t
t t
3
4
2 15 26 20
15 32 40
t t
t t t
t t t
3
2 2
t x x x
III Tách thành hai tích phân :
2 2
5
1
0
cos sin cos
I xdx x xdx
2 2
0
cos
I xdx
Tính I1 (dùng phương pháp đổi
biến, đặt tsinx )
Tính I2 :Áp dụng cơng thức hạ bậc
Tính tích phân :
2
3
0
cos cos
I x xdx
2
5
1
0
cos cos
I xdx xdx I I
2 2
5
1
0
cos sin cos
I xdx x xdx
Đặt tsinx dtcosxdx
1
1 2
2
1
0 0
2
1
5 15
t t
I t dt t t dt t
2 2
2
0 0
1 1
cos cos sin
2 2
I xdx x dx x x
Vậy :
2
3
0
8 cos cos
15
I x xdx
IV Chú ý dựng hình
Dựng SI vng góc với (ABCD)
với I trung điểm AD Tính thể tích khối chóp S.ABCD
x 0
2
(4)
( )
( )
( )
SBI ABCD
SI ABCD
SCI ABCD
Khi :
1
S ABCD ABCD
V SI S
IV Gọi E,F trung điểm AB IC , ta có :
IB BC a ; IC a
Gọi H hình chiếu vng góc S BC
SH BC IH BC
Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) góc SHI 600
Trong tam giác BIC, ta có :
2
2
a
BF BC FC
BF IC
IH BC BF IC IH
BC
3
3
5
a a
a a
Trong tam giác vuông SIH, ta có :
0 3
.tan 60
5
a
SI IH
Diện tích hình thang vng ABCD :
1
2
2 ABCD
S a a a a
Vậy :
3
1 3 15
.3
3 5
S ABCD ABCD
a a
V SI S a
(đvtt V Chú ý bất đẳng thức :
2
a b ab
2 2 2
2
a b a b
a b2 2a2 b2
2
2( )
a b a b
Đặt : a x y ; b x z
a b y z
2 2
0 y z 4yz y z
y z2 4yz 2 y z2
2 2
2 y z 4yz y z
2
2
y z yz y z yz
2
12yz y z
Chứng minh với số thực dương x y z; ; thỏa mãn
( )
x x y z yz, ta có :
x y3 x z3 3(x y x z y z)( )( ) 5(y z)3
Giải :
2
( )
x x y z yz x xy xz yz yz
(x y x z )( ) 4 yz Đặt : a x y ; b x z ab4yz Ta có :
3 ( )( 2 ) ( ) ( )2
a b a b a b ab a b a b ab
2
2
2(a b ) a b ab
2
2 ( a b) 2ab (a b) ab
2
2 y z 8yz y z 4yz
2
2 y z 4yz y z
2
4 y z y z y z
(1) Mặt khác :
3 x y x z y z 12yz y z
60o
F
E
H I
D C
B A
(5)
2
3 y z y z y z
(2) Cộng (1) (2) vế theo vế, ta :
x y3 x z3 3(x y x z y z)( )( ) 5(y z)3
VIa.1 Chú ý dựng hình
6;2 ; 1;5
I M
Phương trình tham số :
x t
y t
Trung điểm E CD E t ;5 t
Gọi N trung điểm AB I trung điểm NE Ta có :
2 12
2
N I E
N I E
x x x t
y y y t
N(12 t; 1 t)
11 ; 6
MN t t
; IE t 6;3 t
11 6
MN IE MN IE t t t t
6 14
7
t
t t
t
AB qua điểm M nhận MN làm vectơ phương
6 5;0 :
t MN AB y
7 4;1 : 19
t MN AB x y
VIa.2
(S):
2 2 2 4 6 11 0 â (1; 2;3)
5
T mI
x y z x y z
R
4
( ,( ))
4
d I P R
( ) ( ) ( )P S C Gọi H r tâm bán kính đường trịn giao tuyến Phương trình đường thẳng d ( d qua tâm I vng góc với (P))
1
: 2
3
x t
d y t
z t
H hình chiếu vng góc I (P) ( )
H d P
Tọa độ điểm H nghiệm hệ :
1
2
(3;0;2)
3
2
x t t
y t x
H
z t y
x y z z
Bán kính r : r R2 IH2 25 4 VIIa Tìm nghiệm phức phương
trình : z22z10 0 Tính : A
2
1
z z
Giải phương trình : z22z10 0 z C Ta có : ' 9 9i
Nghiệm phương trình :
1
1 3
z i
z i
2
1 10 10
z z
;
2
2 10 10
z z
A B
C D
I
E N M●
R I
H IH=d(I,(P))
(6)Vậy : A
2
1 20
z z
VI.b1
(C):
2 4 4 6 0 â ( 2; 2)
2
T mI
x y x y
R
Giả sử ( )C A B; Gọi H hình chiếu vng góc
của I AB
IH AB
AB HA HB
1
.sin sin
IAB
S IA IA AIB AIB
IAB
S lớn sinAIB 1 IAIB Khi tam giác AIB vng cân I.ta có :
0
sin 45 sin 45
2
IH R
IH IA
IA
2
2 2
( , ) 1
1
m m
d I
m
2 2
0
1 16 15 8
15
m
m m m m m
m
VI.b2 Vận dụng công thức :
- Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 2
2
, ( , ) MA a
d M
a
- Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
0 0
2 2
( ,( )) Ax By Cz D
d M P
A B C
Phương trình tham số 1
1 :
9
x t
y t
z t
M 1 M( ; ; ) t t t
2
(1;3; 1)
1
:
2 (2;1; 2)
A
x y z
VTCP a
(2 ;3 ;8 )
MA t t t
; MA a, (8 14; 20 14 ;t t t 4)
2
, 261 729 612 29 88 68
MA a t t t t
2
,
( , ) MA a 29 88 68
d M t t
a
11 20 ( ,( ))
3
t
d M P
2
11 20 ( , ) ( ,( )) 29 88 68
3
t
d M d M P t t
2
1
35 88 53 53
35
t
t t
t
Với t 1 M0;1; 3
Với
53 18 53
; ;
35 35 35 35
t M
VIIb Giải hệ phương trình :
2
2
2
log log
3x xy y 81
x y xy
Điều kiện : xy 0
Hệ phương trình thành :
2
2
2
x y xy
x xy y
I
(7)2 2 2
( )
4 2
4
x y x x
x y
xy y y
xy
Ngày tháng năm 2009