Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)sở giáo dục đào tạo
tuyên quang Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp thcsNăm học 2008 - 2009
chớnh thc
Môn thi: Toán
Thi gian làm : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang
C©u (3 điểm) Cho số a, b, c khác tho¶ m·n:
1 1
a b c vµ a b c abc
Chøng minh r»ng: 2
1 1
2
a b c .
Câu (3 điểm) Cho sè x, y, z tho¶ m·n: 2 3
1 1 x y z
x y z
x y z
.
Tính giá trị biểu thức P = x2008 + y2009 + z2010.
C©u (3 ®iĨm) Cho biĨu thøc P n 5 5n34n.
a) Ph©n tÝch biĨu thøc P thõa sè
b) Chøng minh r»ng P chia hÕt cho 120 víi số nguyên n
Câu (3 điểm) Tìm tt c cỏc nghiệm nguyên phơng trình (x, y ẩn số) 6 5 4 8 0
x xy y y
Câu (6 điểm) Cho tam giỏc ABC vuông C, đờng cao CH O trung điểm AB, đờng thẳng d qua C vng góc với OC Gọi D, E lần lợt chân đờng vuông góc kẻ từ A, B tới đờng thẳng d
a) Chøng minh r»ng: AH = AD; BH = BE b) Chøng minh r»ng: AD.BE = CH2
c) Chøng minh r»ng: DH // BC
d) Cho góc ABC 600và BC = a Tính diện tích hình thang vuông ABED theo a
Câu (2 điểm) Cho hai số a, b thỏa mãn a3 + b3 = Chứng minh rằng: < a + b ≤
……….HẾT………
sở giáo dục đào to
(2)Môn thi: Toán
Câu Hớng dẫn giải Điểm
1(3)
Cho số a, b, c khác thoả mÃn:
1 1
a b c (1) vµ a+b+c=abc (2)
Chøng minh r»ng: 2
1 1
2
a b c .
Từ giả thiết (1), bình phơng vế ta đợc: 2
1 1 1
2
a b c ab bc ca
2
1 1 1
4
a b c ab bc ca
(*)
Từ giả thiết (2), abc≠0, nên chia vế cho abc ta đợc:
1 1
1
ab bc ca Thay vào (*) ta đợc:
1 1 a b c .
1,5 1,5
2(3đ)
Cho sè x, y, z tho¶ m·n:
(1) 2 (2) 3 (3)
1 1 x y z
x y z
x y z
Tính giá trị biĨu thøc
P=x2008+y2009+z2010.
V× x2, y2, z2 > 0, nªn tõ (2) x2, y2, z2 < -1 < x, y, z <
3 3 x x y y z z
x3+y3+z3 < x2+y2+z2 = Nhng (3)
3 3 x x y y z z
x, y, z
là
x2008=x, y2009=y, z2010=z P=x2008+y2009+z2010=x+y+z=1 (theo (1))
1
1
3(3đ)
Cho biÓu thøc P n 5 5n34n
a) Ph©n tÝch biĨu thøc P thõa sè
b) Chøng minh r»ng P chia hÕt cho 120 víi mäi sè nguyªn n a) Ta cã:
4 2
( 4) 4( 1)
P n n n n n n n (n 2)(n 1) (n n 1)(n 2)
= - - + +
b) Ta cã 120 = 3.5.8
- Vì P tích số nguyên liªn tiÕp nªn P chia hÕt cho - Nếu n chẵn n - n + chẵn nên P chia hết cho - Nếu n lẻ: n = 2p + (n - 1)(n +1) = 4p(p + 1) chia hÕt cho
(3)VËy P chia hÕt cho 120 (do 3, đôi nguyên tố nhau)
4(3đ)
T×m tất nghiệm nguyên phơng trình (x, y l cỏc n số) 6 5 4 8 0
x xy y y
Ta cã :
2 6 5 4 8 0 ( ) (5 5 5 ) ( 1) 7
x xy y y x xy x xy y y x y
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)
x x y y x y x y x y x y
1®
1 1
5
1
5
1 10
5 1
1 7
5 1
x y x
x y y
x y x
x y y
x y x
x y y
x y x
x y y
2®
5(6đ)
D
E C
H O
A B
1®
a) Xét tam giác vuông : AHC ADC cã : AC chung
HAC OCA ( OAC cân đỉnh O)
OCA CAD (so le trong, OC // AD ) HAC DAC
Suy AHC = ADC AH = AD CM t¬ng tù BHC = BEC BH = BE
1®
b) Trong tam giác vuông ABC ta có : CH2 = HA.HB = AD.BE 1đ
c) Vì AC phân giác góc HAD tam giác cân AHD nên
AC DH, mặt khác AC BC suy DH // BC 1® d) Ta cã :
1
( ) ( )
2
ABED AD BE DE OC DE OC CE
S
OBC có OB = OC OBC 600 nên OBCđều OC = BC = a Tam giác vuông BCE có BC = a CBE 600 nên
0
.sin 60 a
CE BC
Do S(ABED)a2
2®
6(2đ) Cho hai số a, b thỏa mãn a3 + b3 = Chứng minh rằng: < a + b ≤
Ta có:
(4)a3 + b3 > a3 > –b3 a > – b a + b > (1)
(a – b)2(a + b) ≥ (a2 – b2)(a – b) ≥ a3 + b3 – ab(a + b) ≥ 0
a3 + b3 ≥ ab(a + b) 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b)
4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 ≥ (a + b)3 a + b ≤ (2)
Từ (1) (2) < a + b ≤
Ghi chú: học sinh làm theo cách khác với đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa