[r]
(1)phòng giáo dục đào tạo Huyện Quảng xơng
đề thi học sinh giỏi lớp cấp huyện năm học 2007 - 2008 Mơn : Tốn
Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bµi 1: Cho biĨu thøc : A=( √x+2
x+2√x+1−
√x −2
x −1 ) √x+1
√x
a) Rót gän A
b) Tìm số tự nhiên x để giá trị A số nguyên c) Với giá trị x biểu thức A có giá trị âm
Bµi 2: 1) Với a số nguyên, chứng minh : a5 - 5a3 + 4a chia hÕt cho120
2) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác a + b + c = 1.
Chøng minh : a+1
a b+1
b c+1
c ≥64
Bài 3: Cho A = x2 + (x+y)(y-3) + 2007 Với giá trị x, y A có giá trị nhỏ ? Tìm giỏ tr ú
Bài 4 : 1) Giải phơng trình :
x222x+121+
x2+24x+144=20072) Tìm nghiệm nguyên phơng trình : (10 - y ) x - 3y + 37 =
Bài 5 : 1) cho ΔABC (vng A) có diện tích 11/12 m2 Gọi A' , B' , C' theo thứ tự điểm đối xứng A, B, C qua BC, AC, AB
TÝnh diÖn tÝch ΔA ' B ' C '
2) Cho ΔABC cã gãc B nhá h¬n 900 , AB =c , AC =b , BC = a ; Hình chiếu AB cạnh BC b»ng c' Chøng minh : a2 + c2 - b2 = 2ac'
Ghi chó : C¸n coi thi không giải thích thêm
Họ tên thí sinh :
Số báo danh :
Đáp án Câu 1: Câu 2:
1) P = a5 - 5a3 + 4a =(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)
P3, P5, P8 (3;5;8)=1 nên P ⋮ 3.5.8 hay P
⋮ 120
2) Tõ a + b + c = ta cã A = 2a+b+c
a
2b+a+c
b
2c+a+b
c =
(
2+ b+ca
)(
2+ a+cb
)(
2+ a+b (2)Theo BĐT Côsi ta có : b
a+ c a≥2
√
bc
a2 T¬ng tù : a b+
c b≥2
√
ac
b2 ;
a c+
b c≥2
√
ab
c2
⇒ A
(
2+2√
bca2
)(
2+2√
acb2
)(
2+2√
abc2
)
≥64Dấu = sảy đồng thời BĐT a = b = c
Vậy Min A = 64 tam giác ABC u
Câu 3: Cách 1/ A = x2 + (x+y)(y-3) + 2007 = x2 + (y-3)x + y2 - 3y + 2007 =
(
x2+(y −3)x+(y −3)2
)
+(
y2
−3y −(y −3)
2
4
)
+2007=(
x+y −3
)
2
+
(
3y2
−6y −9
4
)
+2007¿
(
x+ y −32
)
+3
4(y −1)
+2004≥2004
x+ y −3
2 =0
VËy Min A = 2004 y- = ⇒x=y=1
C¸ch / A = x2 + (x+y)(y-3) + 2007 = x2 + xy + y2 - 3x - 3y + 2007 = x2 - 2x + y2 - 2y +xy - x - y + 2007
= (x-1)2 + (y-1)2 + (x-1)(y-1) + 2004 2004
( v× a2 + b2 + ab víi ∀ a,b)
VËy Min A = 2004 x = y =
Câu 4.1
Giải phơng trình :
x222x+121+
x2+24x+144=2007⇔|x −11|+|x+12|=2007
Víi x<−12 ta cã pt : 11- x - x - 12 = 2007 ⇒ x = - 1004
Víi -12 x < 11 PTVN
Víi x 11 ta cã pt : x -11 + x +12 = 2007 ⇒ x = 1003
Đs : x = - 1004 x = 1003
C©u 4.2
(10 - y ) x - 3y + 37 = x=3−67
10− y ∈Z
=> 10 - y Ư(67) = {±1;±67} từ chọn đợc 04 cặp số t/m : (x , y ) = ( 70 ; 11) , (- 64 ; 9) , ( ; 77 ) , ( ; - 57 )
C©u 5.1 /
S ABC =
2 BC.AH
S A'B'C' =
2 B'C'.A'H' =
2 3BC.AH = 33
12 m
( Do ⋄BCB' C ' lµ h×nh thoi => BC =B'C';
AH = AH' => A'H' = AH )
B' H C' H' A' C A B
(3)Th1: Gãc C nhän
ta cã :
AH2 = c2- c' 2 = -( a - c')2 + b2 => c2- c' 2 = -a2- c' 2+ 2ac' + b2 => a2 + c2 - b2 = ac' ./. Th2 : Gãc C tï :
Ta cã : AH2= c2 - c' 2 = b2 - (c' - a)2 => c2 - c' 2 = b2 - c' 2 - a2 + 2ac'
=> a2 + c2 - b2 = 2ac' H1
c'
a
b c
H C
B
A
c' a
b c
H C
B
A