Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích... Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.[r]
(1)Chuyên đề
LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1 Hệ thức LG bản
2
2
sin cos
sin tan
cos
1
tan
2 cos
k k
2
tan cot cos cot
sin
cot
sin
k k
2 Công thức LG thường gặp
Công thức cộng:
sin sinacosb sinbcosa cos cos a cos b sinasinb
tan tan
tan b
1 tan tan
a b a b
a b
a
a b
Công thức nhân:
2 2
3
3 sin 2sin cos
cos cos sin 2cos 1 2sin cos3 4cos 3cos
sin 3sin 4sin 3tan tan tan =
1 3tan
a a a
a a a a a
a a a
a a a
a a
a
a
Tích thành tổng: cosa.cosb =
1
2[cos(ab)+cos(a+b)]
sina.sinb =
1
2[cos(ab)cos(a+b)]
sina.cosb =
1
2[sin(ab)+sin(a+b)]
Tổng thành tích: sin sin 2sin cos
a b a b
a b
sin sin 2cos sin
2
a b a b
a b
cos cos 2cos cos
2
a b a b
a b
cos cos 2sin sin
2
a b a b
a b
sin( ) tan tan
cos cos
a b
a b
a b
Công thức hạ bậc: cos2a =
1
2(1+cos2a)
sin2a =
1
(2)Biểu diễn hàm số LG theo tan2
a t
2
2 2
2 1-
sin ; cos ; tan
1 1
t t t
a a a
t t t
3 Phương trìng LG bản
* sinu=sinv
2
u v k
u v k
* cosu=cosvu=v+k2
* tanu=tanv u=v+k * cotu=cotv u=v+k k Z
4 Một số phương trình LG thường gặp
1 Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác:
a Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải phương trình ta dùng
các cơng thức LG để đưa phương trình phương trình LG
b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các
phương trình ta đặt t hàm số LG
2 Phương trình bậc sinx cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm a2b2 c2.
C
ách 1: Chia hai vế phương trình cho a đặt tan
b
a , ta được: sinx+tancosx= cos
c
a
sinxcos+sin cosx= cos
c
a sin(x+ )= cos
c
a sin
đặt
C
ách 2: Chia hai vế phương trình cho a2b2 , ta được:
2 sin 2 cos 2
a b c
x x
a b a b a b
Đặt: 2 2
cos ; sin
a b
a b a b Khi phương trình tương đương:
2 cos sinx sin cosx c
a b
hay 2
sin x c sin
a b
đặt
Cách 3: Đặt tan2
x t
3 Phương trình bậc hai sinx cosx:
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).
Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x k
+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.
Chú ý:
2
1
tan
2
cos x x x k
Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc
4 Phương trình đối xứng sinx cosx:
Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c.
Cách giải: Đặt t= sinx cosx Điều kiện t 2.
sin cos sin cos
4
sin cos sin cos
4
x x x x
x x x x
(3)Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng cơng thức lượng giác đưa phương trình dạng tích. Ví dụ Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Giải
Phương trình (1) tương đương với:
1 cos cos cos cos8
2 2
x x x x
cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 2cos5x(cos3x+cosx) = 4cos5x.cos2x.cosx =
5
10
cos5
cos 2 , ( , , )
2
cos
2
π kπ
π
x
x kπ
x
π π lπ
x x kπ x k l n
x π π
x kπ x nπ
Ví dụ Giải phương trình: cos6x+sin6x = ( cos8x+sin8x) (2).
Giải
Ta có (2) cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)
cos2x(sin6x–cos6x) = 0
cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
cos2x =
2 , ( )
π π kπ
x kπ x k
Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 cos6x2 sin3 xsin 3x cos4 x1 0 (3). Giải
Ta có:
3 3
2
2
(3) 2 cos (4cos 3cos ) 2 sin sin 2cos 2cos cos3 2sin 2sin sin
(1 cos )(cos cos ) (1 cos )(cos cos ) 2(cos cos cos )
2 cos (1 cos )
2 cos cos
4
cos
2
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x
π
x x
kπ k,( )
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác phương trình đại số: Ví dụ Giải phương trình lượng giác:
8 17
sin cos
32
x x
(4)
Giải
(4)4
4
1 cos cos 17 17
(cos cos 1)
2 32 32
x x
x x
Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có
2
1
17 13
6
13
4
2
t
t t t t
t
Vì t[0;1], nên
2
1 cos 1
cos
2 2
x
t x
cos4x = 4 4, ( )
π π π
x kπ x k k
Ví dụ Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = (5)
Giải
Ta có (5) 2(1 cos2x)sinx + – cos2x + cosx – = 0
(1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) 1] =
(1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) =
cos ,( )
2sin 2cos 2sin cos (*)
x x kπ k
x x x x
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | |t 2, phương trình (*) trở thành:
2t + t2 – + = t2 + 2t = 0
0
sin -cos ,( )
2 (
t π
x x x nπ n
t lo
¹i)
Vậy nghiệm phương trình cho là:
π
x nπ
; x kπ , ( , n k )
Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác việc giải hệ phương trình lượng giác cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.
Ví dụ Giải phương trình: π|sin x|cosx (6)
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do | sin x | 0,nên π|sin x| π0 1, mà |cosx| ≤ 1.
Do
2 2 0
| sin | ,( )
(6)
0
| cos | ,( )
k n
x kπ k π n
x x kπ k
x
x nπ x nπ
x x nπ n
(Vì k, n ) Vậy phương trình có nghiệm x = 0.
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:
2
1 cos
2
x
x
Giải
Đặt
2 ( )= cos
2
x
f x x
Dễ thấy f(x) = f(x), x , f(x) hàm số chẵn trước hết ta chỉ
xét với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0 f’(x) hàm đồng biến, f’(x)≥f’(0), với x≥0 f(x)
đồng biến với x≥0
Mặt khác ta thấy f(0)=0, x=0 nghiệm phương trình.
Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n số tự nhiên lớn 2, tìm x thuộc khoảng 0;
2
π
thoả mãn
phương trình:
2
sin cos
n n x n x
(5)Giải
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.
= nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)
Lập bảng biến thiên f(x) khoảng (0; )2
, ta có minf(x) = f(4
) =
2 2
n
Vậy x = 4
nghiệm phương trình cho
BÀI TẬP
Giải phương trình sau:
1 cos3x+cos2x+2sinx–2 = (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: x k2 ;x n2
2 tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: x k ;x n2
3 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
ĐS:
7
; ;
4 12 12
x k x n x m
4 |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:x k
. 5 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)
ĐS: x k2 ;x n2 ;x l2 ;
với
1 sin
4
6 sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: x k
. 7.
sin sin sin
4
x x x
; (Học Viện BCVT) ĐS: x k
8 sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x ĐS: x k12
9.
1
4sin
sin
sin
x x
x
ĐS:
4
8
x k
x k
x k
10. sin3x cos3 xsin cosx x sin2 xcosx
HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = k
, x k
11 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa cung x đặt thừa số ĐS:
2
2 ( )
4
x k x k k
12 Giải phương trình lượng giác:
2 cos sin
tan cot cot
x x
x x x
(6)Điều kiện:
cos sin sin tan cot cot
x x x x x
x
Từ (1) ta có:
2 cos sin
1 cos sin
2 sin
sin cos cos 1 cos
cos sin sin
x x x x
x
x x x x
x x x
2sin cosx x sinx
2
2 4
cos
2
x k
x k
x k
So với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình cho x k2 k
13 Giải phương trình:
4
sin cos
tan cot
sin 2
x x
x x
x
Giải
4
sin cos
tan cot
sin 2
x x
x x
x
(1)
Điều kiện: sin 2x 0
2
1 sin 1 sin cos
(1)
sin 2 cos sin
x x x
x x x
2
2
1 sin 1 1
2 1 sin 2 1 sin 2 0
sin sin 2
x
x x
x x
Vậy phương trình cho vơ nghiệm
14 Giải phương trình: sin2(x −π
4)=2sin
x − tan x . Giải
Pt sin2(x −π
4)=2sin
x − tan x (cosx 0¿ ⇔[1 −cos (2 x −π
2)]cos x=2 sin
x cos x − sin x
⇔ (1–sin2x)(cosx–sinx) = ⇔ sin2x = tanx = 1.
15 Giải phương trình:
3
sin cosx x3 osc x 3 os2c x8 cosx sinx 3 0 . Giải
3
2
sin (cos 3) 3.cos 3.cos 8( 3.cos sin ) 3
2sin cos 6sin cos 3.cos cos 3 8( 3.cos sin ) 3
x x x x x x
x x x x x x x x
⇔− 2cos2
x (√3 cos x − sin x)−6 cos x (√3 cos x − sin x )+8(√3 cos x − sin x)=0
2
2
( cos sin )( 2cos cos 8)
tan
3 cos sin
cos
cos 3cos cos 4 ( ai)
x x x x
x
x x
x
x x x
lo
,
2
x k
k x k
Z
16 Giải phương trình: cosx=8sin3
x
(7)cosx=8sin3 x
cosx =
3 sinxcosx
3 sin3 x9sin2xcos 3 sin cosx x xcos3 x cos x 0 (3)
Ta thấy cosx = không nghiêm
(3) 3 tan3x8 tan2 x 3 tan x
tan x x k
17 Giải phương trình lượng giác:
2 cos sin
tan cot cot
x x
x x x
Giải
Điều kiện:
cos sin sin tan cot cot
x x x x x
x
Từ (1) ta có:
2 cos sin
1 cos sin
2 sin
sin cos cos 1 cos
cos sin sin
x x x x
x
x x x x
x x x
2sin cosx x sinx
2
2
cos
2
x k
x k
x k
So với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình cho x k2 k
18 Giải phương trình: cos 2x 5 2(2 cos )(sin x x cos )x
Giải
Phương trình (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – = 0
cos sin
cos sin ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x
2
2 sin sin sin ( )
4 4 2
x k
x x k Z
x k
19 Giải phương trình: 2cos3x + 3sinx + cosx = 0
Giải
3 sinxcosx2cos3x 0 sin3
sinx + cos
cosx = – cos3x. cos
cos3
x x
cos x cos( )x
3 ( )
3
k x
k
x k
Z
x = 3
k
(kZ)
20 Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =
2
(8)Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x =
2
cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
2
2 2
cos sin 3 cos cos sin sin
2
x x x x x x
2
cos ,
2 16
x x k kZ
21 Định m để phương trình sau có nghiệm
2
4sin sin 4cos cos cos
4 4
x x x x x m
Giải
Ta có:
* 4sin sin x x cos 2 x cos 4x; *
4cos cos cos cos sin cos
4
x x x x x x
*
2 1
cos cos sin
4 2
x x x
Do phương trình cho tương đương:
1
2 cos sin sin (1)
2
x x x m
Đặt
cos sin 2 cos
t x x x
(điều kiện: 2 t 2).
Khi sin x 2sin cos x x t2 1 Phương trình (1) trở thành:
2 4 2 2 0
t t m (2) với 2 t
2
(2)t 4t 2 2m
Đây phuơng trình hồnh độ giao điểm đường ( ) :D y 2 2m (là đường song song với Ox
cắt trục tung điểm có tung độ – 2m (P): y t 2 4t với 2 t 2.
x 2 2
y’ +
y 2 2
2 2
Trong đoạn 2; 2 , hàm số y t 2 4t đạt giá trị nhỏ 2 2 t 2 đạt giá trị
lớn 2 t 2.
Do yêu cầu toán thỏa mãn 2 2 m 2
2 m 2
.
22 Giải phương trình:
1 2sin cos
3 2sin sin
x x
x x
.
Giải ĐK:
1 sin
2
x
(9)
1 2sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin 2sin cos sin sin2 cos
Pt x x x x
x x x x x
x x x x
1 3
cos sin sin2 cos2 cos cos
2 2
x x x x x x
2 2
3 6
x x k hay x x k
2 x k
(loại)
2
18
x k
, k Z (nhận)
23 Giải phương trình:
3
sinxcos sin 2x x cos3x2 cos 4xsin x
.
Giải
1
3 sinxcos sin x x cos x cos sinx x
1 3sin - sin
sin sin sin cos3 cos
2
sin 3 cos3 2cos
1
sin cos3 cos
2
cos - cos
x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
3
6
3
6
x x k
k
x x k
Z
2
2 42
x k
k x
.
24 Giải phương trình: cos5x 2sin cos 2x x sinx0.
Giải
(10)
3 cos5 sin 2sin
3
cos5 sin sin
2
sin sin
3
5
3
5
3 18
3
x x x
x x x
x x
x x k
k
x x k
k x
k k
x
Z
25.