tranh đi học mĩ thuật 2 lê thị thanh vy thư viện tư liệu giáo dục

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích... Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.[r]

Chuyên đề

LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1 Hệ thức LG bản

2

2

sin cos

sin tan

cos

1

tan

2 cos

k k

 

 

  





  



 

 

    

 

 

     

 

 

 

2

tan cot cos cot

sin

cot

sin

k k

 



  



  





 

  

2 Công thức LG thường gặp

Công thức cộng:

 

 

 

sin sinacosb sinbcosa cos cos a cos b sinasinb

tan tan

tan b

1 tan tan

a b a b

a b

a

a b

  

 



 





Công thức nhân:

2 2

3

3 sin 2sin cos

cos cos sin 2cos 1 2sin cos3 4cos 3cos

sin 3sin 4sin 3tan tan tan =

1 3tan

a a a

a a a a a

a a a

a a a

a a

a

a



     

 

 

 

Tích thành tổng: cosa.cosb =

1

2[cos(ab)+cos(a+b)]

sina.sinb =

1

2[cos(ab)cos(a+b)]

sina.cosb =

1

2[sin(ab)+sin(a+b)]

Tổng thành tích: sin sin 2sin cos

a b a b

a b  

sin sin 2cos sin

2

a b a b

a b  

cos cos 2cos cos

2

a b a b

a b  

cos cos 2sin sin

2

a b a b

a b  

sin( ) tan tan

cos cos

a b

a b

a b



 

Công thức hạ bậc: cos2a =

1

2(1+cos2a)

sin2a =

1

Biểu diễn hàm số LG theo tan2

a t 

2

2 2

2 1-

sin ; cos ; tan

1 1

t t t

a a a

t t t

  

  

3 Phương trìng LG bản

* sinu=sinv

2

u v k

u v k



 

  

    

 * cosu=cosvu=v+k2

* tanu=tanv  u=v+k * cotu=cotv  u=v+k k Z

4 Một số phương trình LG thường gặp

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác:

a Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải phương trình ta dùng

các cơng thức LG để đưa phương trình phương trình LG

b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các

phương trình ta đặt t hàm số LG

2 Phương trình bậc sinx cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm a2b2 c2.

C

ách 1: Chia hai vế phương trình cho a đặt tan

b

a  , ta được: sinx+tancosx= cos

c

a 

 sinxcos+sin cosx= cos

c

a   sin(x+ )= cos

c

a  sin

đặt

C

ách 2: Chia hai vế phương trình cho a2b2 , ta được:

2 sin 2 cos 2

a b c

x x

a b  a b  a b

Đặt: 2 2

cos ; sin

a b

a b   a b   Khi phương trình tương đương:

2 cos sinx sin cosx c

a b

   

 hay   2

sin x c sin

a b

 

  



đặt

Cách 3: Đặt tan2

x t 

3 Phương trình bậc hai sinx cosx:

Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).

Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x k

   

+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.

Chú ý:

2

1

tan

2

cos x x x k

 

 

     

 

Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc

4 Phương trình đối xứng sinx cosx:

Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c.

Cách giải: Đặt t= sinx cosx Điều kiện  t  2.

sin cos sin cos

4

sin cos sin cos

4

x x x x

x x x x

 

 

   

       

   

   

       

   

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng cơng thức lượng giác đưa phương trình dạng tích. Ví dụ Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).

Giải

Phương trình (1) tương đương với:

1 cos cos cos cos8

2 2

x x x x

   

  

 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x =  2cos5xcosx+2cos5xcos3x =  2cos5x(cos3x+cosx) =  4cos5x.cos2x.cosx =

5

10

cos5

cos 2 , ( , , )

2

cos

2

π kπ

π

x

x kπ

x

π π lπ

x x kπ x k l n

x π π

x kπ x nπ

 

 

  

 

  

  

        

  

   





    

 

 



Ví dụ Giải phương trình: cos6x+sin6x = ( cos8x+sin8x) (2).

Giải

Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)

 cos2x(sin6x–cos6x) = 0

 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0

 cos2x =

 2 , ( )

π π kπ

x kπ x  k 

Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 cos6x2 sin3 xsin 3x cos4 x1 0 (3). Giải

Ta có:

3 3

2

2

(3) 2 cos (4cos 3cos ) 2 sin sin 2cos 2cos cos3 2sin 2sin sin

(1 cos )(cos cos ) (1 cos )(cos cos ) 2(cos cos cos )

2 cos (1 cos )

2 cos cos

4

cos

2

x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x

π

x x

    

  

      

  

  

 

    kπ k,(  )

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác phương trình đại số: Ví dụ Giải phương trình lượng giác:

8 17

sin cos

32

x x

(4)

Giải

4

4

1 cos cos 17 17

(cos cos 1)

2 32 32

x x

x x

 

   

         

   

Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có

2

1

17 13

6

13

4

2

t

t t t t

t

  

        

  

Vì t[0;1], nên

2

1 cos 1

cos

2 2

x

t  x   

cos4x = 4 4, ( )

π π π

x kπ x k k 

Ví dụ Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = (5)

Giải

Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + – cos2x + cosx – = 0

 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] =

 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) =

cos ,( )

2sin 2cos 2sin cos (*)

x x kπ k

x x x x

   



     





Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | |t  2, phương trình (*) trở thành:

2t + t2 – + =  t2 + 2t = 0

0

sin -cos ,( )

2 (

t π

x x x nπ n

t lo

 

       

 



¹i)

Vậy nghiệm phương trình cho là:

π

x nπ

; x kπ , ( , n k  )

Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác việc giải hệ phương trình lượng giác cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.

Ví dụ Giải phương trình: π|sin x|cosx (6)

Giải

Điều kiện: x ≥ 0

Do | sin x | 0,nên π|sin x| π0 1, mà |cosx| ≤ 1.

Do

2 2 0

| sin | ,( )

(6)

0

| cos | ,( )

k n

x kπ k π n

x x kπ k

x

x nπ x nπ

x x nπ n



           

 

         



 

  

    

 

 

(Vì k, n ) Vậy phương trình có nghiệm x = 0.

Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:

2

1 cos

2

x

x

 

Giải

Đặt

2 ( )= cos

2

x

f x x 

Dễ thấy f(x) = f(x),   x , f(x) hàm số chẵn trước hết ta chỉ

xét với x ≥ 0.

Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) hàm đồng biến, f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x)

đồng biến với x≥0

Mặt khác ta thấy f(0)=0, x=0 nghiệm phương trình.

Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n số tự nhiên lớn 2, tìm x thuộc khoảng 0;

2

π

 

 

  thoả mãn

phương trình:

2

sin cos

n n x n x 

Giải

Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.

= nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)

Lập bảng biến thiên f(x) khoảng (0; )2



, ta có minf(x) = f(4



) =

2 2

n 

Vậy x = 4



nghiệm phương trình cho

BÀI TẬP

Giải phương trình sau:

1 cos3x+cos2x+2sinx–2 = (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: x k2 ;x n2



 

  

2 tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: x k ;x n2

 

 

   

3 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)

ĐS:

7

; ;

4 12 12

x  k x  n x   m

4 |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:x k  

. 5 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)

ĐS: x k2 ;x n2 ;x l2 ;



     

      

với

1 sin

4  

6 sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: x k

   

. 7.

sin sin sin

4

x  x x 

   

  

   

   ; (Học Viện BCVT) ĐS: x k

 

 

8 sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x ĐS: x k12

 

9.

1

4sin

sin

sin

x x

x

 

 

    

    

 

  ĐS:

4

8

x k

x k

x k

  

 

 



 

 



  

 

  

 10. sin3x cos3 xsin cosx x sin2 xcosx

HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = k

   

, x k

    11 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

HD: Đưa cung x đặt thừa số ĐS:

2

2 ( )

4

x k  x  k  k 

12 Giải phương trình lượng giác:

 

2 cos sin

tan cot cot

x x

x x x

 

 

Điều kiện:

 

cos sin sin tan cot cot

x x x x x

x

 

  

 



Từ (1) ta có:

 

2 cos sin

1 cos sin

2 sin

sin cos cos 1 cos

cos sin sin

x x x x

x

x x x x

x x x



  

 

2sin cosx x sinx

 

 

2

2 4

cos

2

x k

x k

x k

  

 

  

    

   



So với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình cho x k2 k 

 

   

13 Giải phương trình:  

4

sin cos

tan cot

sin 2

x x

x x

x



 

Giải

 

4

sin cos

tan cot

sin 2

x x

x x

x



 

(1)

Điều kiện: sin 2x 0

2

1 sin 1 sin cos

(1)

sin 2 cos sin

x x x

x x x



 

    

 

2

2

1 sin 1 1

2 1 sin 2 1 sin 2 0

sin sin 2

x

x x

x x



      

Vậy phương trình cho vơ nghiệm

14 Giải phương trình: sin2(x −π

4)=2sin

x − tan x . Giải

Pt sin2(x −π

4)=2sin

x − tan x (cosx 0¿ ⇔[1 −cos (2 x −π

2)]cos x=2 sin

x cos x − sin x

⇔ (1–sin2x)(cosx–sinx) = ⇔ sin2x = tanx = 1.

15 Giải phương trình:    

3

sin cosx x3  osc x 3 os2c x8 cosx sinx  3 0 . Giải

3

2

sin (cos 3) 3.cos 3.cos 8( 3.cos sin ) 3

2sin cos 6sin cos 3.cos cos 3 8( 3.cos sin ) 3

x x x x x x

x x x x x x x x

      

        

⇔− 2cos2

x (√3 cos x − sin x)−6 cos x (√3 cos x − sin x )+8(√3 cos x − sin x)=0

2

2

( cos sin )( 2cos cos 8)

tan

3 cos sin

cos

cos 3cos cos 4 ( ai)

x x x x

x

x x

x

x x x

     

 

   

    

  

 

 

 lo

,

2

x k

k x k

   

 



 

  

Z

16 Giải phương trình: cosx=8sin3

x 

 



 

 

cosx=8sin3 x



 



 

   cosx =  

3 sinxcosx

 3 sin3 x9sin2xcos 3 sin cosx  x xcos3 x cos x  0 (3)

Ta thấy cosx = không nghiêm

(3)  3 tan3x8 tan2 x 3 tan  x 

tan x x k

   

17 Giải phương trình lượng giác:

 

2 cos sin

tan cot cot

x x

x x x

 

 

Giải

Điều kiện:

 

cos sin sin tan cot cot

x x x x x

x

 

  

 



Từ (1) ta có:

 

2 cos sin

1 cos sin

2 sin

sin cos cos 1 cos

cos sin sin

x x x x

x

x x x x

x x x



  

 

2sin cosx x sinx

 

 

2

2

cos

2

x k

x k

x k

  

 

  

    

   



So với điều kiện, ta họ nghiệm phương trình cho x k2 k 

 

   

18 Giải phương trình: cos 2x 5 2(2 cos )(sin x x cos )x

Giải

Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – = 0

cos sin

cos sin ( cos sin 2)

x x

x x loai vi x x

 

  

   



    2

2 sin sin sin ( )

4 4 2

x k

x x k Z

x k

 

  

 

   

       

   

19 Giải phương trình: 2cos3x + 3sinx + cosx = 0

Giải

3 sinxcosx2cos3x 0  sin3 

sinx + cos



cosx = – cos3x.  cos

cos3

x  x

 

 

 

   cos x cos( )x





 

  

 

 



3 ( )

3

k x

k

x k

 

  

  

 

   

Z

 x = 3

k

 



(kZ)

20 Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =

2 

Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x =

2 

 cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =

2 

  

2 2

cos sin 3 cos cos sin sin

2

x x x x x x  



2

cos ,

2 16

x  x k kZ

21 Định m để phương trình sau có nghiệm

2

4sin sin 4cos cos cos

4 4

x x  x   x   x m

     

Giải

Ta có:

* 4sin sin x x  cos 2 x cos 4x; *

 

4cos cos cos cos sin cos

4

x  x   x  x x x

     

      

       

       

*

 

2 1

cos cos sin

4 2

x   x   x

   

     

    

    

Do phương trình cho tương đương:

  1

2 cos sin sin (1)

2

x x  x m  

Đặt

cos sin 2 cos

t  x x   x  

  (điều kiện:  2 t 2).

Khi sin x  2sin cos x x t2  1 Phương trình (1) trở thành:

2 4 2 2 0

t  t m  (2) với  2 t

2

(2)t 4t 2 2m

Đây phuơng trình hồnh độ giao điểm đường ( ) :D y 2 2m (là đường song song với Ox

cắt trục tung điểm có tung độ – 2m (P): y t 2 4t với  2 t 2.

x  2 2

y’ +

y 2 2

2 2

Trong đoạn  2; 2 , hàm số y t 2 4t đạt giá trị nhỏ 2 2 t  2 đạt giá trị

lớn 2 t  2.

Do yêu cầu toán thỏa mãn 2 2   m 2

2 m 2

    .

22 Giải phương trình:

 

   

1 2sin cos

3 2sin sin

x x

x x





 

.

Giải ĐK:

1 sin

2

x

     

 

1 2sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin 2sin cos sin sin2 cos

    

    

   

Pt x x x x

x x x x x

x x x x

1 3

cos sin sin2 cos2 cos cos

2 2

   

          

   

x x x x  x x 

2 2

3 6

  x x  k hay x x k 

2  x  k 

(loại)

2

18

 

x  k 

, k  Z (nhận)

23 Giải phương trình:  

3

sinxcos sin 2x x cos3x2 cos 4xsin x

.

Giải

1  

3 sinxcos sin x x  cos x  cos sinx  x

 

1 3sin - sin

sin sin sin cos3 cos

2

sin 3 cos3 2cos

1

sin cos3 cos

2

cos - cos

x x

x x x x x

x x x

x x x

x  x

 

       

 

  

  

 

   

 

 

3

6

3

6

x x k

k

x x k



 

 

  



  

   



Z

2

2 42

x k

k x

 

 



  

 

  

 .

24 Giải phương trình: cos5x 2sin cos 2x x sinx0.

Giải

 

 

3 cos5 sin 2sin

3

cos5 sin sin

2

sin sin

3

5

3

5

3 18

3

x x x

x x x

x x

x x k

k

x x k

k x

k k

x

 

 

 

 

 

  

  

 

   

 



   

  

    

 

 



  

   



Z

25.