Phương pháp tiếp cận và khai thác định lí cô sin

Trong thời gian dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp mới phù hợp với từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến thức, đặc biệt là trong việc dạy học các [r]

A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài:

Với xu đổi phương pháp giáo dục giáo dục, trình dạy học để thu hiệu cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Như luật giáo dục có viết: ”Phương pháp GD phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự gác , chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Trong thời gian dạy, tơi ln nghiên cứu tìm tịi phương pháp phù hợp với dạy đối tượng học sinh để truyền thụ kiến thức, đặc biệt việc dạy học định lý Đó tơi ln đưa kiến thức cách tự nhiên, cách dẫn dắt bước cho học sinh tự tìm lấy; phân tích hướng dẫn em thấy ý nghĩa , ứng dụng định lý; sau đưa hệ thống tập áp dụng tương thích Với phương pháp truyền thụ tơi thấy rằng: Trước hết người dạy ln ln thỗi mái, nhẹ nhàng, say sưa, qua tiết dạy thấy đạt tốt mục đích mình; học sinh tiếp thu kiến thức cách say mê, hứng thú; kiến thức em nhớ lâu vận dụng tốt trình giải khai thác tập

Với lý xin trình bày ví dụ điển hình để đồng nghiệp tham khảo góp ý:

Tên đề tài:

”PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN VÀ KHAI THÁC ĐỊNH LÝ CÔSIN TRONG TAM GIÁC”

Nội dung đề tài gồm:

1 Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý Phân tích ý nghĩa, tác dụng định lý Hệ thống tập áp dụng

II Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 10 với trình độ khơng yếu III Phương pháp nghiên cứu

Qua kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn; Tìm hiểu tài liệu tham khảo, sách giáo khoa lớp 10; Tham khảo ý kiến đồng nghiệp

IV Thời gian nghiên cứu

Thí điểm suốt năm học 2009- 2010

B NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý côsin tam giác.

Trong mặt phẳng cho tam giác ABC

Kí hiệu : AB= c, AC= b, BC= a; BAC A ABC; B ACB C;  . ( Kí hiệu dung cho viết)

+ Nếu tam giác ABC vng A, Tìm mối liên hệ cạnh? AB2  AC2 BC2  c +b2 a2 (Định lý Pitago)

Biến đổi biểu thức véc tơ?: AB2 AC2 BC2  

 

Yêu cầu chứng minh biểu thức AB2  AC2 BC2  c +b2 a2 theo véc tơ.

 2

2 2 2

2

BC  AC AB AB AC  AB ACAB AC

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

( V ì               AB AC =0)

+ Nếu tam giác ABC không vuông A liên hệ cạnh góc nào?

 

2 2 2 2 2

2 os

BC BC  AC AB   AB              AC  AB ACAB AC  AB AC C A

 a2 = b2 + c2 – 2.bc.cosA

Tương tự tìm: b2, c2

Vậy ta có định lý sau gọi định lý côsin tam giác: Với tam giác ABC ln có :

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB

c2 = a2 + b2 – 2bc.cosC

II Phân tích ý nghĩa, tác dụng định lý.

1 Trực tiếp định lý cho ta thấy xác định cạnh tam giác biết hai cạnh khác góc xen

2 Hệ quả:

2 2 os

2 b c a C A

bc   

2 os

2 a c b C B

ac   

2 os

2 a b c C C

ab   

Cho ta tìm góc tam giác biết cạnh

3 Cho phép ta xét góc tam giác nhọn, tù hay vuông thông qua yếu tố cạnh tam giác

Cụ thể: A nhọn  b2c2 a2 A tù  b2c2 a2 A vuông  b2c2 a2

Từ đưa đến cách nhận dạng tam giác ABC thông qua yếu tố cạnh

Tam giác ABC có góc nhọn 

2 2

2 2

2 2 b c a c a b a b c

  



 

 

 

Tam giác ABC có góc tù 

2 2

2 2

2 2 b c a c a b a b c

  



 



  

 .

Tam giác ABC có góc vng 

2 2

2 2

2 2 b c a c a b a b c

  



 



  

 .

4 Viết công thức dạng: a2 b2c2 2bcSinA.cotA  a2 b2c2 4SABC.cotA



2 2 t

4 b c a Co A

S   

Tương tự:

2 2 t

4 a c b Co B

S   

;

2 2 t

4 a b c Co C

S   

Đây định lý “côsin suy rộng tam giác ” cho ta mối liên hệ hệ thức lượng giác góc tam giác với cạnh diện tích Lớp tốn áp dụng rộng

5 Ngoài sử dụng định lý, hệ kết hợp kiến thức khác giải toán hệ thức lượng tam giác, nhận dạng tam giác…

Từ ý nghĩa, tác dụng định lý ta đề xuất tốn liên quan tương thích sau:

III Bài tập áp dụng.

Bài

Cho tam giác ABC thõa mãn: b = 5; c= 7; cosA= 3/5 Tính cạnh a, Cơsin góc cịn lại

Bài 2.

Cho tam giác ABC thõa mãn: a= 3, b= 4, c= Tìm cơsin góc có số đo lớn Bài

Cho tam giác ABC thõa mãn: a3= b3+ c3

a) Chứng minh ABC tam giác nhọn

b) Tổng quát: Cho tam giác ABC thõa mãn: an= bn+ cn (n>2, nN) CMR tam giác

ABC có góc nhọn Bài

Nhận dạng tam giác ABC biết cạnh a, b, c thõa mãn: a2, b2, c2 độ dài cạnh

một tam giác khác

Giả sử:

2

2

1

2

1 a x x b x c x     

 

 

 

 (với x >1) CMR a, b, c cạnh tam giác.Tìm góc A. Bài

a) Tam giác ABC tù, nhọn hay vng có : sin2A+ sin2 B= sin2C

b) Cho tam giác ABC, A B hai góc nhọn thõa mãn điều kiện: Sin2A+ Sin2B = 2010SinC

CMR tam giác ABC không tù

( Tam giác ABC vuông? Cm kết hợp công thức lượng giác.) Bài

Chứng minh với tam giác ABC ta có: a) a = c cosB+ b.cosC

b) bc cosA+ ab.cosC + ac.cosB =

2 2

2 a b c

c) 2abc.(CosA+ cosB)= (a +b) (c+ b- a) (c+ a- b) Bài

Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC CMR:

 2 2

R a b c CotA CotB CotC

abc

 

  

Bài 9

Cho tam giác ABC, M trung điểm BC CMR:CotC CotB 2.Cot BMA

Bài 10

Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam giác cho: MAB MBC MCA   

CMR: CotA+ CotB+ CotC= Cot .

Bài 11

Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác, ký hiệu: GAB ,GBC ,GCA  CMR: Cot Cot Cot3CotA CotB CotC  

Nhận dạng tam giác ABC biết:

3 3 b c a a

b c a   

 

Bài 13

Nhận dạng tam giác ABC biết:

3 3

1 os cos

4 b c a a

b c a

C A C

  

 

  



 



 .

Bài 14

CMR: a2 ab b  b2 bc c  a2ac c với a, b, c >0.

Giải tập áp dụng

Bài 1.

Ta có: a2 b2 c2 cosbc A= 25+ 49- 2.5.7.

5= 32  a 32 2 .

2 2 32 49 25 2

os

2 56 2

a c b C B

ac

   

  

2 2 32 25 49 2

os

2 40 10

a b c C C

ab

   

  

Bài 2.

Ta có: Góc số đo lớn góc C;

2 2 9 16 36 11

os

2 24 24

a b c C C

ab

    

  

Bài

a) Ta có: a3= b3+ c3 nên a cạnh lớn  A góc lớn Lại có:

a3= b3+ c3 

2 b c 2 2 0

a b c b c b c a

a a

       

suy A nhọn Vậy tam giác ABC tam giác nhọn

b) Hoàn tồn tương tự

Bài Vì a2, b2, c2 độ dài cạnh tam giác nên:

2 2

2 2

2 2 a b c b c a a c b

  



 

 

 

 từ suy tam giác ABC tam giác nhọn

Bài

Dễ dàng xét được:

a b c a c b b c a    

     

 với x> Suy a, b, c cạnh tam giác.

Ta có: a2 x42x33x22x1; b2 4x24x1, c2 x4 2x21, bc2x3x2 2x1

Lại có: a2 b2c2 2.bcC Aos . Vậy: os 120 o

C A  A

Bài 6

a) Áp dụng định lý Sin tam giác

Ta có: sin A sin B sin C2    a2b2 c2 Suy tam giác ABC vuông C. b) Dễ thấy 0<sinC 1  2010SinC Sin C2

Vậy: sin2A+ sin2 B  sin2C a2 b2 c2.Hay tam giác ABC không tù.

Bài a) Thế:

2 2 os

2 a c b C B

ac   

,

2 2 os

2 a b c C C

ab   

vào vế phải ta có: VP=

2 2 2

2

a c b a b c

c b

ac ab

   



=

2 2 2 2 2 2

2 2

a c b a b c a c b a b c

a VT

a a a

        

   

b) Để ý rằng: 2bc.cosA b 2 c2 a2,2ab.cosC a 2 b2 c2 Thế vào VT ta đccm

c) Chứng minh: 2abc CosA cosB    a b c b a c a b           

Tương tự thế: 2bc.cosA b 2 c2  a2,2ac.cosB a 2 c2 b2 vào VT ta có:

   

2 2 2 2 3

VT a(b  c  a ) b(a  c  b ) ab a b   c a b  (a  b )

 a b (ab c    2 a2 ab b ) a b [c     2 a b ] 2 VP (đccm).

Bài 8.

 Áp dụng trực tiếp công thức côsin suy rộng: 2

t

4 b c a Co A

S   

,

2 2 t

4 a c b Co B

S   

,

2 2 t

4 a b c Co C

S   

vào vế trái suy ra: VT=

2 2 2 2 2 2

4

b c a a c b a b c a b c

S S            Lại có: a b c S

R 

VT=

2 2

.a b c

R

abc

 

= VP (ĐCCM) Bài

Ta có:

2 2 2 2

,

4

a c b a b c b c

CotB CotC CotC CotB

S S S

    

    

(1)

  

2

2 2

1

1

4

2 , ,

4

a a

AM c AM b

S S S Cot BMA CotCMA Cot BMA

S S

   

    

 2 2

1

4

b c b c

Cot BMA

S S

 

  

(2) Từ (1), (2) suy đccm Bài 10.

Giả sử tồn điểm M tam giác ABC thõa mãn: MAB MBC MCA  

M

A

B C

Ta có:

2 2 t

4 b c a Co A

S   

,

2 2 t

4 a c b Co B

S   

,

2 2 t

4 a b c Co C

S   

Suy ra:

2 2

4 a b c CotA CotB CotC

S

 

  

(1)

Lại có:

 2 2 2

1

t t

4

MA c MB

Co CotMAB S Co MA c MB

S

         

Tương tự: S Co2 t MC2b2 MA2,

2 2

3

4 S Cot MB a  MC

Từ suy ra:

2 2 2

1

4( ) t t t

4 a b c

S S S Co S Co a b c Co

S

    

       

(2)

Từ (1), (2) suy đccm

Bài 11.

Ta có:

2 2

4 a b c CotA CotB CotC

S

 

  

2 2 2

4 4

3

AGB

GA c GB GA c GB

Cot

S S

      

2 2 2

4 4

3

AGB

GB a GC GB a GC

Cot

S S

      

2 2 2

4 4

3

AGB

GC b GA GC b GA

Cot

S S

     

Suy ra:

2 2

3( )

4 a b c Cot Cot Cot

S

      

Từ suy ra: Cot CotCot3CotA CotB CotC   Bài 12.

Từ gt:    

3 3

2 b c a 3 3

a a b c a b c a a b c b c

 a2 b2c2bc.

Mặt khác: a2 b2c2 bc CotA Từ suy ra:

1 CotA

Vậy tam giác ABC tam giác tù có góc A 120o.

Bài 13.

- Từ:

3 3

2 b c a 2

a a b c bc

b c a  

    

  lại có: a2 b2c2 osbc C A Suy ra:

1

os 60

2

o

C A  A

- Từ:

1 os cos

4 C A C

suy ra:

1

cos 60

2

o

C  C Vậy tam giác ABC

Bài tập 14.

Từ điểm O lấy OA= a, OB= b, OC= c cho: AOB BOC 60  o

 

Áp dụng định lý côsin cho tam giác OAB, OBC, OCA; ta có: 

2 2 2 . os 2

AB OA OB  OA OB C AOB a b  ab. 

2 2 2 . os 2

AC OA OC  OA OC C AOC a b ab. 

2 2 2 . os 2

BC OB OC  OB OC C BOC b c  bc.

Lại có: AB BC AC a2  ab b  b2 bc c  a2ac c . Dấu xảy  A, B, C thẳng hàng  a= c= 2b.

Bài tập tự giải

1 Cho tam giác ABC có a= 1, b= 2, c= Tính góc tam giác

2 Giả sử:

2

2

2

4

1

a x

b x x

c x x

  

 

  

 

  



 (với x thuộc R). CMR a, b, c cạnh tam giác tù

3 Cho tam giác ABC, A B hai góc nhọn thõa mãn điều kiện: Sin2A+ Sin2B = Sin C

(với  (0; 2) CMR tam giác ABC không tù

( Tam giác ABC vuông? Cm kết hợp công thức lượng giác.) Cho tam giác ABC thõa mãn: CotA= 2(CotB+ CotC)

a) CMR: b2c2 5a2

b) CMR:

3 SinA

5 Cho tam giác ABC thõa mãn: b2c2 2a2.

6 Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy hai điểm M, N cho: BM= MN= NC, kí hiệu:

 , ,

MAB MAN  NAC .

CMR:      

2

4

CotCot CotCot  Cot 

HD: Áp dụng định lý côsin suy rộng cơng thức tính đường trung tuyến tam giác

7 Nhận dạng tam giác ABC biết: 2

A a

Sin

bc



C KẾT LUẬN

Phương pháp dạy học thân tơi thí điểm lớp 10A1; 10A7 bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10 Kết thu khả quan:

Hầu hết em học sinh say mê, hứng khởi học; Ôn tập, kiểm tra cũ thấy em nắm vững kiến thức vận dụng làm tốt Kết cuối kì, cuối năm em đạt cao

Kết cụ thể sau:

- Đội tuyển HSG đứng thứ hạng cao tỉnh ( Đậu 6em 8em tham gia xếp thứ 6) - Lớp: 10A1

Kết quả Học kì 1 Học kì 2 Cả Năm Ghi chú

Tốt 25 34 34

Khá 15 11 10

TB

Yếu 0

Lớp: 10A7

Kết quả Học kì 1 Học kì 2 Cả Năm Ghi chú

Tốt 8

Khá 20 24 25

TB 20 14 15

Yếu

Kiểm tra học kì II : Lớp 10A1 đứng nhất, 10A7 thứ tồn khối

Trong q trình trao đổi với đồng nghiệp đồng nghiệp đánh giá cao nghiên cứu vận dụng

Tuy nhiên với phương pháp người thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp phù hợp với kiến thức cần truyền thụ cho học sinh; đánh giá đối tượng học sinh để giới thiệu khai thác kiến thức cách phù hợp

Đối tượng học sinh học sinh không yếu, ln tin tưởng thầy, có điều kiện học tập, nghiên cứu

II Đề xuất, kiến nghị,

Đối với giáo viên cần tâm huyết với nghề nghiệp, lấy tiến học sinh làm mục đích chinh; ln trao dồi kiến thức, phương pháp; ln tìm tịi, nghiên cứu chương trình, phương pháp, đối tượng học sinh cụ thể để đưa phương pháp truyền thụ kiến thức phù hợp đạt kết cao giảng dạy

Đối với cấp quản lý cần kịp thời động viên, biểu dương đề tài bậc cao, nhân rộng qua lưu hành nội để đồng nghiệp tham khảo, bổ sung góp ý vận dụng q trình dạy học

III Kết luận

Trong trình giảng dạy, nghiên cứu nổ lực thân với giúp đỡ đồng nghiệp đúc rút số kinh nghiệm; Với khả ngơn ngữ thân cịn có phần hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót; mong hội đồng khoa học đồng nghiệp giúp đỡ, góp ý để đề tài ngày hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi q trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh

Xin chân thành cảm ơn!

Hà tĩnh, ngày 15 tháng năm 2010.

Tài liệu tham khảo 1.Sách giáo khoa Đại số 10 Chuyên đề bồi dưỡng giáo viên

3 Các đề thi đại học cao đẳng, đề thi Đại học, đề thi khác Sách giáo viên lớp 10