Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cung lớn AB và cung nhỏ AB, MP ⊥ MQ và PQ là đường kính cố định của đường tròn.. Vì MQ là phân giác góc AMB nên MP là phân giác góc BMN.[r]
(1)Đề thi toán vào khối chuyên Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội năm 1998
(Thời gian làm bài: 180 phút) Hướng dẫn giải: Câu I:
1) Điều kiện: x2 ≤ Bình phương hai vế phương trình cho ta phương trình tương đương
2 – x2 + x2 + + (2−x2)(x2 +8)=16
0
16
6
4 − + = ⇔ + − =
⇔ x x x x
− = = ⇔ 2 x x
Loại nghiệm x2= -
Nghiệm phương trình x = + 2) Giải hệ
= + + = + + ) ( 21 ) ( 2 2 y y x x y xy x
(2) ⇔(x2 +y2)2 −x2y2 =21 ⇔ (x2+y2+xy)(x2+y2-xy) =21
Từ (1) ⇒ (x2 +y2 – xy)= (3)
Từ (1) (3)
= = + ⇒ 2 xy y x
Từ suy hệ cho có nghiệm: = = y x = = y x − = − = y x − = − = y x Câu II: Ta có:
= − = − ) ( 98 ) ( ) ( 19 ) ( 2 2 b a b ab a
Cộng (1) (2) ta nhận được: a6 + b6 + 3a4b2+ 3a2b4 = 192 + 982
⇔ (a2 + b2)3 = 192 + 982
(2)1
0 )
1 (
0 ) )( )( (
≤ − ≤ − − − + + ⇒
≥ − + + + − − − ⇒
≥ − − − ⇒
abc ca
bc ab c b a
abc ca bc ab c b a
c b a
Chú ý a,b,c ∈ [0,1] nên b2 < b , c3 < c
Vậy a + b2+c3 – ab – bc – ca < a+b+c –ab – bc – ca < Câu IV:
1) Vì góc ∠ AIB=900 nên M thay đổi ( cung lớn AB) I nằm
đường trịn cố định có đường kính AB IJ trung tuyến tam giác vuông MIN nên IJ =
2
MN Do tổng cung AB MN 1800, AB cố định nên MN có độ dài khơng đổi
Kéo dài JI cắt AB H ta có ∠ JIM= ∠ AIH= ∠ JMI suy ∠ IAB + ∠ AIH = 900
hay ∠ IHA=900 Đoạn JI vng góc với AB có độ dài khơng đổi
Kẻ hai đoạn AA’,BB’ vng góc với AB có độ dài JI (A’,B’, I nằm phía AB) Φ A’, B’ cố định Do tứ giác AA’JI BB’JI hình bình hành nên ∠ A’JB’= ∠ AIB = 900 Vậy J nằm đường trịn cố định đường kính
A’B’
2) Kéo dài AM đoạn MN=MB đó: AN=AM+MN=AM+MB
Chu vi ∆ AMB AB+AN Do AB cố định nên chu vi ∆ AMB lớn AN lớn
Gọi P, Q trung điểm cung lớn AB cung nhỏ AB, MP⊥ MQ PQ đường kính cố định đường trịn Vì MQ phân giác góc AMB nên MP phân giác góc BMN Do ∆ BMN tam giác cân nên MP đồng thời trung trực BM ⇒ PA=PB=PN ⇒ N nằm đường trịn cố định tâm P bán kính PA Khi AN dây cung đường trịn này, suy AN lớn AN đường kính đường tròn tâm P Vậy M trùng với trung điểm P cung lớn AB chu vi ∆ AMB lớn
Câu V: 1) Giả sử
= −
= +
) ( 11
) ( 26
3 b n
a n
với a b số nguyên dương Lấy (1) trừ (2) ta nhận được:
a3 – b3 = 37
37 . 1 37 ) )(
( − + + = = ⇔ a b a ab b
Chú ý a-b< a2 + ab + b2 ⇒
= + +
= −
37 2 ab b a
b a
Thay a= b+1 vào phương trình thứ ta được: b2+b-12= ⇒ b1=3, b2=-4 (loại)
(3)2) Trước hết, ý với ∀ a,b α∈[ ]0,1 ta ln có: (a-b)2(1-α )≥0
(*) ) (
2
2
2 b ab a b
a + ≥ + −
⇔ α
áp dụng (*) với hai số x,y α = z2 ∈[ ]0,1 ta : x2 + y2 ≥2xy+z2(x−y)2 Tương tự y2 +z2 ≥2yz+x2(y−z)2 z2 +x2 ≥2zx+ y2(z−x)2
Cộng ba bất đẳng thức chiều lại với ta nhận được:
1= [ ( ) ( ) ( ) ]
2
1 2 2 2
2
2 + y +z ≥ xy+yz+zx+ x y−z + y z−x +z x− y ⇒P≤ x
Vậy Pmax=1, đạt x = y = z =
3