De thi va DA toan chuyen Hung Yen 0910

1) Híng dÉn chÊm thi nµy chØ tr×nh bµy c¸c bíc chÝnh cña lêi gi¶i hoÆc nªu kÕt qu¶.[r]

Sở giáo dục đào tạo Hng n

đề thức

kú thi tun sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010

Môn thi: Toán

(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (1,5 điểm)

Cho

1

a :

7 1 1

 

   

 

   

HÃy lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Bài 2: (2,5 điểm)

a) Giải hệ phơng trình:

x 16

xy

y

y

xy

x



 

  

  

 

b) Tìm m để phơng trình  

2

x  2x  3x 6xm0

cã nghiƯm ph©n biệt Bài 3: (2,0 điểm)

a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mÃn k24 k216 số nguyên tố k chia hÕt cho

b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a p b p c  3p

Bµi 4: (3,0 ®iĨm)

Cho đờng trịn tâm O dây AB khơng qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB C Chứng minh rằng:

a) MB.BDMD.BC

b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD

c) Tổng bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác BCD ACD khơng đổi Bài 5: (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình - giác EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình 8-giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ

- HÕt

-Họ tên thí sinh: .

Chữ ký giám thị …….

…

Sè b¸o danh: … … ………. . Phßng thi sè: … …

Híng dÉn chÊm thi

I Híng dÉn chung

1)Hớng dẫn chấm thi trình bày bớc lời giải nêu kết Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.

2) Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.

3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm đợc thống thực Hội đồng chấm thi.

4) Các điểm thành phần điểm cộng tồn phải giữ ngun khơng đợc làm trịn

II Đáp án thang điểm Bài 1: (1,5 ®iÓm)

1 1 1

a : :

7

7 1 1

      

   

     

 

0,5 ®

a =

2

2 :

7 0,25 đ

Đặt x a x 1  x 1  7 x22x 1 7 0,5 ®

x 2x

Vậy phơng trình x22x 60 nhận làm nghiệm

0,25 đ Bài 2: (2,5 ®iĨm)

a)

x 16

x 16

xy (1)

xy

y

y

y x

y

(2) xy

x y

x



  

  



 



 

     

 

 ĐK: x, y0

0,25 đ

Gi¶i (2)

2

6y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y)

       0,25 ®

* NÕu

3y

2x 3y x

2



   

Thay vào (1) ta đợc

3y 16

y

2



 

0,25 ®



2

3y 23

2



(phơng trình vô nghiệm)

0,25 ®

* NÕu

2y

3x 2y x

3

   

Thay vào (1) ta đợc

2

y  9 y3

0,25 ®

- Víi y 3 x2 (thoả mÃn điều kiện) - Với y x2 (thoả mÃn điều kiện)

Vậy hệ phơng trình có hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

0,25 đ

b) Đặt

2

x  2x 1  y x 1  y x 1 y (y0)

(*)

Phơng trình cho trở thành:    

y 1  y 1 m0

2

y 5y m

     (1)

Từ (*) ta thấy, để phơng trình cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có nghiệm dơng phân biệt

0,25 ®

0 4m

S

P m

   

 

 

     

    

 

0,25 ®

9

m

4 m

4

4

m

  

     

  

 VËy víi

9

4 m

4

  

phơng trình có nghiệm phân biệt

0,25 đ

Bài 3: (2,0 điểm)

a) Vì k > suy k245; k2165

- XÐt k5n (víi n ) k2 25n210n 1  k24 5

k

  kh«ng số nguyên tố

0,25 đ

- XÐt k5n2 (víi n) k2 25n2 20n 4 k2 16 5

k 16

  kh«ng số nguyên tố 0,25 đ

- Xét k5n3 (víi n) k2 25n2 30n 9 k216 5

k 16

không số nguyên tố 0,25 đ

- Xét k5n4 (với n) k2 25n240n 16  k24 5

k

không số nguyên tố Do vËy k 5

0,25 ®

b) Ta chøng minh: Víi a, b, c th×    

2 2 2 2

a b c 3 a b c

(*) ThËt vËy (*) a2b2c22ab2bc 2ca 3a2 3b23c2

2 2

(a b) (b c) (c a)

       (luôn đúng)

0,5 ®

¸p dơng (*) ta cã:

 p a p b p c2 3 3p  a b c 3p

Suy p a p b p c  3p (®pcm)

0,5 ®

J I

C N

M O

A B

D

a) XÐt MBC vµ MDB cã:

BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) BMC BMD

0,5 ®

Do MBCvà MDB đồng dạng Suy

MB MD

MB.BD MD.BC

BC BD  

0,5 ®

b) Gọi (J) đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC 2BDC 2MBC

hay

 BJC

MBC

1800 BJC

BCJ cân J CBJ

2



  

0,5 ®

Suy

  BJC 180O BJC O

MBC CBJ 90 MB BJ

2



     

Suy MB tiếp tuyến đờng trịn (J), suy J thuộc NB

0,5 ®

c) Kẻ đờng kính MN (O)  NB  MB

Mà MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng trịn ngoại tiếp ADC

Chøng minh t¬ng tù I thuéc AN

Ta cã ANB ADB 2BDM BJC  CJ // IN Chøng minh t¬ng tù: CI // JN

0,5 ®

Do tứ giác CINJ hình bình hành  CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng trịn (I) (J) là: IC + JB = BN (không đổi)

g

f e d

h c

b a

G F

I

H

J M

C

A B

D

E

K

Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi a, b, c, d, e, f, g, h lµ số hữu tỉ dơng)

Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có số đo là:

O

O

8 180

135

(  )



0,25 ®

Suy góc ngồi hình cạnh là: 180O - 135O = 45O

Do tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân

 MA = AE =

h

2 ; BF = BG = b

2 ; CH = CI = d

2 ; DK = DJ = f

2

Ta cã AB = CD nªn:

h b f d

a e

2     

 (e - a) = h + b - f - d

0,5 ®

NÕu e - a ≠ th×

h b f d

e a

  

 

(điều vô lý 2 số vô tỉ)

Vậy e - a =  e = a hay EF = IJ (®pcm)

0,25 ®