Đến buổi lao động có hai học sinh bị ốm nên không tham gia được, vì vậy mỗi học sinh phải chuyển thêm 6 bó nữa mới hết số sách cần chuyển.. Hỏi lúc đầu nhóm có bao nhiêu học sinh?[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG TRỊ Năm học 2008 - 2009
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A = √45−√20 B = m2−n2
m+n +n
C = (
√x −1+ √x+1):
x+1
x −1 (với x ; x ) b) Chứng minh C <
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) điểm A(2;8) a) Tìm a biết Parabol (P) qua A
b) Tìm điều kiện a để Parabol (P): y = ax2 cắt đường thẳng (d): y = x + điểm phân biệt
Bài 3: (2 điểm)
Giải toán cách lập phương trình
Một nhóm học sinh phân cơng chuyển 105 bó sách thư viện trường Đến buổi lao động có hai học sinh bị ốm nên khơng tham gia được, học sinh phải chuyển thêm bó hết số sách cần chuyển Hỏi lúc đầu nhóm có học sinh?
Biết số bó sách học sinh chuyển Bài 4: (0,5 điểm)
Với x , y khơng âm, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x −2√xy+3y −2√x+2009,5
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, điểm M thuộc cung AB (M A ; M B), điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ tiếp tuyến Ax; By đường tròn (O) Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax , By D E AM cắt CD P, BM cắt CE Q
a) Chứng minh : Tứ giác ADMC ; BEMC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh DAM + EBM = 900 DC CE
c) Chứng minh PQ // AB
d) Tìm vị trí điểm C để tứ giác APQC hình bình hành
HẾT
Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
(2)QUẢNG TRỊ ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2008 - 2009
MƠN TỐN
Bài 1: (2,5 điểm)
a)
A = √45−√20=√9 5−√4 5=3√5−2√5=√5 (0,5đ)
B = m2−n2
m+n +n=
(m− n)(m+n)
m+n +n=m− n+n=m (0,5đ)
C = (
√x −1+ √x+1):
x+1
x −1 (x ; x )
C = [ √x+1+√x −1
(√x −1)(√x+1)]:
x+1
x −1 (0,5đ)
= x −2√x1.x −1
x+1 (0,25đ)
= 2x√x
+1 (0,25đ)
b) Với x x ⇒ √x ; √x x + > Ta có √x −1¿2>0
¿ ⇒ x - √x + > (0,25đ) ⇒ x + > √x ⇒ 2√x
x+1 < ⇒ C < (0,25đ)
Bài 2: (1,5 điểm)
a) A(2;8) (P) ⇒ = a.22 ⇒ = 4a ⇒ a = (0,5đ)
b) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d):
ax2 = x + ⇔ ax2 - x - = (1) (0,5đ)
Để Parabol (P) cắt đường thẳng (d) điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > (0,25đ)
⇔ + 4a > ⇔ a > −1
4 (0,25đ)
Bài 3:(2 điểm)
Gọi số học sinh lúc đầu nhóm x
Điều kiện x N ;x>2 (0,25đ) Theo dự định số bó sách học cần chuyển lúc đầu: 105x (bó) (0,25đ)
Vì có hai học sinh bị ốm nên số bó sách học sinh cần chuyển: 105x −2 (bó) (0,25đ) Theo đề ta có phương trình: 105x −2 - 105x = (0,25đ)
⇔ 105x - 105(x - 2) = 6x.(x - 2) ⇔ 6x2 -12x - 210 =
(0,5đ)
Giải phương trình ta được: x1 = ; x2 = -5 (không thoả điều kiện) (0,25đ)
(3)Bài (0,5 điểm)
Đặt √x = a; √y = b với x, y ta có: P = a2 – 2ab + 3b2 - 2a + 2009,5
= a2 – 2(b+1)a + 3b2 + 2009,5
= a2 – 2(b+1)a + (b + 1)2 + 2b2 – 2b + 2008,5
= (a – b – 1)2 + 2(b2 – b) + 2008,5
= (a – b – 1)2 + 2(b2 – b +
4 ) + 2008,5 -
= (a – b – 1)2 + 2(b –
2 )2 + 2008 2008 (0,25 điểm)
P = 2008 ⇔
a=b+1
b=1
2
⇔ ¿a=3
2 b=1
2
¿{
⇔
√x=3
2 √y=1
2
⇔ ¿x=9
4 y=1
4
¿{
Vậy P đạt giá trị nhỏ 2008 ¿
x=9
4 y=1
4
¿{
¿
(0,25 điểm)
Bài 5:
a) (1,25điểm)
Ax ; By tiếp tuyến đường tròn (O)
nên: Ax AB, By AB ⇒ DAC = CBE = 900 (0,5đ)
CM DE (gt) ⇒ DMC = CME = 900 (0,25đ)
Từ ta có: DAC + DMC = 1800
Nên: Tứ giác ADMC nội tiếp
một đường trịn (0,25đ) Ta có: CBE + CME = 1800
Nên: Tứ giác BEMC nội tiếp (0,25đ)
2 2 y x Q P E D
A O B
M
(4)b) (1 điểm)
Ta có: BAx + ABy = 1800
⇒ A1 + A2 + B1 + B2 = 1800
Do tam giác AMB vuông M (AB đường kính) nên A2 + B1 = 900 (0,25đ)
⇒ A1 + B2 = 900 (1) (0,25đ)
Tứ giác CMEB nội tiếp nên ta có: B2 = C2
Tứ giác ADMC nội tiếp nên ta có: A1 = C1
C1 + C2 = A1 + B2 (2) (0,25đ)
Từ (1) (2) ta có: C1 + C2 = 900 hay DC CE (0,25đ)
c) (0,75đ)
PMQ + PCQ = 1800 ⇒ Tứ giác MPCQ nội tiếp ⇒ MPQ = C
2 (3) (0,25đ)
Ta có: C2 + C1 = 900 A2 + A1 = 900 mà A1 = C1 ⇒ A2 = C2 (4) (0,25đ)
Từ (3) (4) ⇒ MPQ = A2 ⇒ PQ // AB (0,25đ)
d) (0,5đ)
PQ // AB ⇒ QCB = PQC mà PQC = PMC (tứ giác PMQC nội tiếp)
⇒ QCB = PMC (0,25đ)
PQ // AB nên tứ giác APQC hình bình hành ⇔ AP // CQ ⇔ A2 = QCB ⇔ A2 =
PMC ⇔ Δ CAM cân C
(5)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT QUẢNG TRỊ Năm học 2008 – 2009
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài (2,5 điểm)
Cho biểu thức: P = (√a+a
√a+1+1)(1−
a−√a √a−1):
1−√a
1+√a (với a 0; a 1)
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P a = c) Tìm giá trị a để P = 16
Bài (1,5 điểm)
Cho đường thẳng (D) : y = -4x +
Lập phương trình đường thẳng (D’) qua điểm A(0;2) song song với đường thẳng (D)
Bài (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai x: x2 – 2(m-1)x + 2m – = (1).
a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dấu Khi hai nghiệm mang dấu gì?
Bài (0,5 điểm)
Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức: 8x2 + y2 +
4x2 =
Xác định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ
Bài (3,5 điểm)
Cho đường trịn (O;R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn điểm P Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO hình bình hành
(6)c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
d) Khi M di động đoạn thẳng AB P Chạy đoạn thẳng cố định
Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2008 – 2009
MÔN TOÁN
Bài (2,5 điểm)
a) Rút gọn P (1 điểm) P = (√a+a
√a+1+1)(1−
a−√a √a−1):
1−√a
1+√a (a 0; a 1)
= (√a(1+√a)
√a+1 +1)(1−
√a(√a −1)
√a −1 ): 1−√a
1+√a (0,5 điểm)
= (√a+1) (1−√a).1+√a
1−√a (0,25 điểm)
P = (√a+1)2 (0,25 điểm)
b) Tính giá trị P a = (1 điểm)
khi a = 4: P = (√a+1)2 = (√4+1)2 (0,5 điểm)
= (2 + 1)2 = 9 (0,5 điểm)
c) Tìm giá trị a để P = 16.(0,5 điểm)
P = 16 ⇔ (√a+1)2 = 16 ⇔ √a+1=4 √a+1=−4 (loại √a+1>0 )
(0,25 điểm)
⇔ √a+1=4⇔√a=3 ⇔ a = (0,25
điểm)
Bài (1,5 điểm)
Phương trình đường thẳng (D’) có dạng: y = ax + b
(D’) qua A(0;2) ⇒ = a.0 + b ⇒ b = (0,5 điểm)
(D’) // (D) ⇒ a = -4 (0,5 điểm)
Vây Phương trình đường thẳng (D’) y =-4x + (0,5 điểm) Bài (2 điểm)
a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m
Δ' = (m-1)2 – (2m-5) (0,25 điểm)
= m2 -2m +1 + 2m +5 = m2 + 6. (0,25 điểm)
Δ' = m2 + > với m (0,25 điểm)
⇒ phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m (0,25 điểm)
(7)b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dấu Khi hai nghiệm mang dấu gì?
Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) phương trình (1) có hai nghiệm
cùng dấu ⇔ x1.x2 > ⇔ 2m-5 > (0,25 điểm)
⇔ m > 2,5 (0,25 điểm)
Khi đó: x1+ x2 = 2(m-1) > (vì m > 2,5) (0,25 điểm)
Suy hai nghiệm phương trình (1) mang dấu dương (0,25 điểm) Bài (0,5 điểm)
8x2 + y2 +
4x2 = ⇔(4x
2 +
4x2−2)+(4x
+y2+4 xy)−4 xy−2=0 Do đó: xy=(2x −
2x)
2
+(2x+y)2−2≥ −2 (0,25 điểm)
Đẳng thức xảy khi:
¿
2x − 2x=0 2x+y=0
⇔ ¿x=±0,5
y=−2x
¿{
¿
⇔
¿
x=0,5
y=−1
¿{
¿
¿
x=−0,5
y=1
¿{
¿
Vậy tích xy đạt giá trị nhỏ -0,5 (0,25 điểm)
Bài (3,5 điểm)
1
1
1
F
E P
N
A B
C
O
(8)a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được.(1 điểm)
MO MP (gt) ⇒ OMP = 1v (0,25 điểm)
ON NP (NP tiếp tuyến (O)) ⇒ ONP = 1v (0,5 điểm)
Tứ giác OMNP có OMP = ONP = 1v nhìn cạnh OP suy tứ giác OMNP
nội tiếp (0,25 điểm)
b) Tứ giác CMPO hình bình hành.(1 điểm) Ta có:
MP // OC (cùng vng góc với AB) (*) ⇒ C1 = M1 (1) (0,25 điểm)
Mặt khác:
M1 = O1 (vì tứ giác OMNP nội tiếp được) (2)
C1 = N1 (vì OCN cân) (3)
Từ (1), (2) (3) suy N1= O1 ⇒ CM // OP (**) (0,5 điểm)
Từ (*) (**) suy CMPO hình bình hành (0,25 điểm)
c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M (1 điểm) Ta có:
CND = 1v (góc nội tiếp chắn đường trịn (O)) ⇒ CND vng D
Hai tam giác vng CND COM có: C1 chung ⇒ COM ∾ CND (0,25 điểm)
Suy ra: CMCD =CO
CN⇒ CM.CN = CO.CD = R.2R = 2R2 (0,25 điểm)
Như tích CM.CN = 2R2 khơng đổi ⇒ tích CM.CN khơng phụ thuộc vào vị
trí điểm M (0,5 điểm)
d) Khi M di động đoạn thẳng AB P Chạy đoạn thẳng cố định.(0,5 điểm) Xét ONP ODP
ON = OD (vì bán kính (O)) OP: Cạnh chung
O1 = N1 (OP//MN) N1 = C1 (vì OCN cân) ⇒ O1 = C1
Suy ra: ONP = ODP (c.g.c) ⇒ ODP = ONP = 1v (0,25 điểm)
Suy P chạy đường thẳng cố định Mà M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy đoạn thẳng EF (EF // AB EF = AB) (0,25 điểm)