các đường thẳng AM; AN theo thứ tự tại K và E. Gọi F là giao điểm của BC với AN.[r]
(1)Đề thi chuyên tin lam sơn - Thanh Hóa (20-6-2010)
Thời gian 150’
Câu 1: (2.5)
Cho m3 2 2 1 ; n 3 17 12 2 17 12 2 2 Tính giá trị biểu thức: T = 2(20m+6n)2- 38
2 GPT:
2
1
2 x x
x x
Câu 2: (2.5)
2 2
x y 2a x y 2a 4a
1 GPT với a =
2 Tìm a để hệ có nghiệm với tích xy nhỏ
Câu 3: (1.0)
x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = a, b, c ba cạnh .
C/m phương trình vơ nghiệm
Câu 4: (3.0)
Cho ABC cân A có BAC = 150o Dựng AMB ANC cho
các tia AM, AN nằm góc BAC ABM = CAN = 90o; NAC = 60o MAB = 30o Trên đoạn MN lấy điểm D cho ND = 3MD Đường thẳng BD cắt
các đường thẳng AM; AN theo thứ tự K E Gọi F giao điểm BC với AN Cmr:
1 NEC cân
2 KF // CD
Câu 5: (1.0)
Giải pt tâp số nguyên (2x - y - 2)2 = 7(x - 2y - y2 - 1)
(2)Hướng dẫn giải Câu 1: (2.5)
1,
m 2 2 1
2
23 2 1
3
n 17 12 2 17 12 2 2
2
23
n 2 2 2 82
T = 2(20m+6n)2- 38= 2(20.1 + 6.2)2 - 38 = 2010
2, GPT:
2
1
2 x x
x x
Đặt
2
2
1
x t t x t
x x
⇒pt: 2(t2 - 2) - 7t + = 0⇔ 2t2 - 7t +5 = ⇔ x
1= (loại) ; x2 = 5/2 (t/m)
x2 = 5/2 ⇒
2
1
1
x 2x 5x x 2; x
x 2
Câu 2: (2.5)
2 2
x y 2a x y 2a 4a
1, Thay a =1 ta có hệ:
2
x y x y 2'
Bình phương (1) ⇒ x2 + y2 + 2xy = kết hợp với (2’) ⇒ xy = 2
Vậy x ; y nghiệm pt : X2 - 3X + = ⇒ X
1 = ; X2 =
(x ;y) = (1 ;2) (2 ;1)
2, Tìm a để hệ có nghiệm với x.y nhỏ Tương tự ta có :
2
x y 2a 1 xy a +1 2'
Vậy x ; y nghiệm pt : X2 - (2a + 1)X + a2 + = 0
= (2a + 1)2 - 4(a2 + 1) = … = 4a - ⇔ a ¾
⇒ xy = a2 + 9/16 + = 25/16
Dấu ⇔ x = y = 5/4
KL : với a = ¾ hệ pt có nghiệm t/m x.y đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3: (1.0)
x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = a, b, c ba cạnh .
= (a + b + c)2 - 4ab - 4bc - 4ca = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca
Ta có a, b, c ba cạnh ⇒
2
2 2
2 2
a b c a a b c
b c a b b c a a b c 2ab 2bc 2ca c a b c c a b
a b c 2ab 2bc 2ca 0
Vậy pt vô nghiệm
(3)30 a
1
a
a
1
1
K
A' O
E D
M
F
N A
B C
gt:
kl: a, CNE cân
b, KF// DC C/M a,
Đặt AB = AC = a
CAN vuông C⇒ NC a 3
(1)
AE ABAE / /BA ' BA ' AB
a
NE 3.BM a
Từ (1) (2) ⇒ NC = NE ⇒
CNE cân đỉnh N
b,
* Tứ giác ABA’C nt, tg BACE nt (vì B1 = 15o = E1) Gọi tâm
đ.tròn qua điểm B,A,C,E,A’ O
* BOC cân có B=60o⇒ BOC
O tđ BE, BD = ¼ BE ⇒ D tđ BO ⇒ CD đương cao BOC ⇒ CD BO (3)
* A’BE = A’CE = 15o ⇒ABK cân A ⇒ AK = AB = AC
… ⇒AFK = AFC (cgc) ⇒K1= C1 = 15o Mà B1= C1⇒ tg ABKF nt
⇒ … ⇒BKF = 1v ⇒ KF BO (4)
Kết hợp (3), (4)⇒ KF // CD (hq)
Câu 5: (1.0)
Giải pt tâp số nguyên
C1 (2x - y - 2)2 = 7(x - 2y - y2 - 1) ⇔ [2x - - (y + 1)]2 = 7[x - (y + 1)2]
⇔ [2x - - m]2 = 7[x - m2] ⇔4x2 + +m2 - 4x + 2m - 4mx = 7x - 7m2
⇔4x2 - (11+4m)x + 8m2 + 2m + = 0
Tính m ⇒ … ≤ m ≤ … = … ⇒ -7/4 ≤ y ≤ ¼ ⇒ y = - 1;0
⇒ y = - ⇒x = … (loại); y = ⇒ x = (t/m)
KL : căp số nguyên (x ;y) = (1 ; 0)
C2 (2x - y - 2)2 = 7(x - 2y - y2 - 1)
⇔ 4x2 - (15+4y)x + 8y2 + 18y + 11 = 0
x = (15+4y)2 - 4.4(8y2 + 18y + 11) = -112y2 - 168y + 49
x ⇔ -112y2 - 168y + 49 ⇔ 16y2 + 24y - ≤
’y = … = 256 ⇒ y1= -7/4 ; y2 = ¼