Điều đó tương đương với khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng AB (hay đường thẳng d: x+my-2m+3) là h thỏa mãn:.[r]
(1)Tuyển sinh đại học khối A (Môn Tốn) năm 2009 Phần chung cho tất thí sinh
Câu I:
TXD: R\{-3/2} Sự biến thiên:
1 lim
2 lim
2 x
x y y
Do đồ thị hàm số y nhận đường thẳng y=1/2 tiệm cận ngang
2
3 lim
lim x x
Do đồ thị hàm số nhận dường thẳng x= -3/2 tiệm cận đứng Ta có:
2
1.(2 3) 2( 2) '
(2 3) (2 3)
x x
y
x x
Vì y’<0 với x khác -3/2 nên hàm số đồng biến nghịch biến khoảng
3
( ; ) ( ; )
2
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm (0;2/3); cắt trục hoành điểm (-2;0)
Đồ thị
(2)1
3
0 x
y
2
2
2 Vì tiếp tuyến cần tìm cắt trục hồnh trục tung điểm phân biệt A B cho tam giác OAB cân nên
Tam giác AOB vng cân O đó, hệ số góc đường thẳng
y’<0 với x thuộc TXD
Vậy nên ta có phương trình hồnh độ tiếp điểm là:
2
1 1 2 3
(2x 3) 2 x 2
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn đề bài:
4
4
4
4
4
2
1 2 2
( ) y=
2
2 2
2
2
2
1 2 2
y= ( ) y=
2
2 2
2
2
y x hay x
v
x hay x
(3)sinx 1 sinx
2
Với điều kiện ta có: (1 2sin ) cos
3 (1 2sin )(1 sinx )
(1 2sin ) cos (1 2sin )(1 sinx ) cos sin (1 sinx 2sin 2sin ) cos sin (sinx os2 )
3 sinx cos (sin cos )
2sin( ) 2sin(2 )
6
2
6
2
6
x x
x
x x x
x x x x
x x c x
x x x
x x
x x
x x k
2
18
2
k
k x
x k
Kết hợp với điều kiện xác định,ta có nghiệm phương trình là:
2 ĐK:
(4)3 (v 0) có:
2 8
3
5 8 2
5 (*)
2
3
(*) 5(8 ) 24 64
3 2
5(8 3.8 3.8.(3 ) 27 ) 24 64
3
135 1104 2880 2496
3( 4)(45
u x
v x
Ta
u v u v
u v v
v
v v
v v v v
v v v
v v
188 208)
2
4 ( 45 188 208 0)
v
v v v
Với v=4 ( thỏa mãn điều kiện u khơng âm), ta có:
6 5 4
2 x x
Thử lạ i ta thấy, x= -2 nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x= -2 Câu III:
Ta có:
2 2
2 2 2
0 0
2 2
2
0
0
1
( os 1) cos sin cos sin 2
4
1 1 1 os4 1 sin 4
sin 2
4 4 2 4 2 8
1 0
4 4 16
I c x xdx x xdx xdx
c x x x
xdx dx
Câu IV:
(5)Ta có:
BF=AB-CD=2a-a=a Áp dụng định lí Pitago:
2 2
2 2
2 2
(2 ) (2 )
2
BC CF FB a a a
BI AI AB a a a
IC DI DC a a a
Vì BC=BI nên BK trung tuyến tam giác IBC
2 2 3
5
2 2
. . ( 2 )
3
. 2
. 2 3
5 5
IBC
a a
BK BI IC a
BK IC IH BC S
a a
BK IC a
IH
BC a
Vì (SIC) (SIB) vng góc với (ABCD) nên ( ) ( SI=(SIB) (SIC))
SI ABCD
Lại có: IHBC
Suy góc (ABCD) (SBC) góc SHI
60o
SHI
3 3 3
.tan SHI= .tan 60
5 5
a a
SIIH
Vậy:
3
1 1 3 3 3
. . .3
3 3 5 5
S ABCD ABCD
a a
V SI S a
2 ( )
3
2
ABCD
AB CD AD a a
(6)Câu V: Đặt:
2
2
2
Suy ra:
( )
3 ( ) ( ) ( )( )
4
2
( ) (1)
a x y
b x z c y z
x x y z yz x xy xz yz x xy xz yz yz x x y z x y yz
x z x y yz
a c b b c a ab
ab c a b
Ta cần chứng minh:
3 3
2
2
3
( )[( ) ] ( ) (*)
a b abc c
a b a b ab abc c
a b c abc c
Thật vậy:
2
2 2
2 2
2
2
(1) 3 3 (2)
(1)
3( ) 0 4( ) ( )
4 ( )
2
( ) 2 (3)
ab c abc c
c a ab b
a b a ab b a b
c a b
c a b
a b c c
(7)Phần riêng:
Theo chương trình Chuẩn
Câu VI a
1 Vì điểm E thuộc đường thẳng x+y-5=0 nên E có tọa độ (t;5-t);
Gọi F điểm đối xứng với E qua tâm I(6;2) Dễ thấy: F trung điểm AB Do đó, F có tọa độ (12-t ; t-1)
(11 ; 6) ( 6;3 ) MF t t
IE t t
Vì ABCD hình chữ nhật mà M(1;5) thuộc AB nên
6
. 0
(11 ).( 6) ( 6)(3 ) 0
( 6)(14 2 ) 0 t
t
MF IE
t t t t
t t
Vậy có điểm F thỏa mãn:
2 (6;5)
(5;6) F F
Suy có phương trình đường thẳng AB thỏa mãn đề là:
1
2 :
1 19
: y=
5 4 d y
x y x
d hay
2 Ta có:
2 2
2 2
( ) : 2 4 6 11 0
(x-1) ( 2) ( 3) 25
S x y z x y z
hay y z
Do đó, bán kính mặt cầu (S) R=5
Khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là:
2 2
2.1 2.2 2
R
Suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (O;r)
Tâm I(1;2;3) mặt cầu (S) thuộc đường thẳng d (d trục (O;r)) d có véc tơ phương vécto pháp tuyến mặt phẳng (P)
d có phương trình chứa tham số là:
1 2
2 2
3
x t
y t
z t
(8)Vậy tâm O giao d mặt phẳng (P) nên tọa độ O thỏa mãn phương trình:
2(1 2 ) 2(2 2 ) (3 ) 4 0
1
t t t
t
O(3;0;2)
Bán kính đường trịn (O) là:
2 2 2
25 [(1 3) (2 0) (3 2) ]
r R OI
Câu VII a
1
2
2 10 0
2 3
2
2 3
2
z z
i z
i z
Suy ra:
2
2
2 2 2
1
3 3 13
( 1) ( 1)
2 2 2
A z z
(Theo chương trình nâng cao)_Tham khảo thí sinh chọn phần. Câu VIb
1
Phương trình đường trịn (C) có tâm O là:
2
(x2) (y2) 2
Suy ra: (C) có bán kính R= 2
2
1
.sin
2 2
OAB
OA OB R
S OA OB AOB
(9)2
2
2
2 2 1
1 (1 ) 15
0 15 R h
m m
m
m m
m m
m m
Vậy giá trị m đề đường thẳng d cắt đường tròn (C) điểm phân biệt để diện tích tam giác OAB có diện tích lớn là:
m=0 m=8/15 Vì điểm M thuộc đường thẳng
1
1
:
1
x y z
Nên M(-1+t; t ;-9+6t)
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:
1 2 2 2
( 1) 2(6 9) 11 20 2
t t t t
h
Gọi K hình chiếu M đường thẳng 2 K có tọa độ (1+2m;3+m;-1-2m) Vì 2 vng góc với KM nên:
KM
vng góc với vecto phương 2
Hay ( 2 2).2 ( 3).1 (6 2 8).( 2) 0
1
t m t m t m
m t
Khoảng cách từ M đến 2 là:
2 2
2
2 2
2
( 2) ( 3) (6 8) (3 4) (2 4) (4 6)
29 88 68
h t m t m t m
t t t
t t
Vì
11 20 2 1
29 88 68 53
35
t t
t t
t
(10)Vậy có điểm M thỏa mãn đề bài:
2
(0;1; 3) 18 53 ( ; ; )
35 35 35 M
M
Câu VIIb ĐK: xy>0
2
2
2
2
2
log ( ) log ( ) log ( ) log (2 )
2
x y xy
x y xy
x y xy
x y
Thế vào phương trình cịn lạ i:
2
2
2
3 81
4 4
2 2 x xy y
x xy y
y y x
Thử lạ i ta thấy, nghiệm (x;y)=(2;2) (-2;-2) thỏa mãn điều kiện xác định Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm là:
(x;y)=(2;2);(-2;-2)
(11)