Tài liệu TCT8 CD4

Trường TH & THCS C«n L«n. Tự chọn toán 8 CHỦ ĐỀ I : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Loại chủ đề: Bám sát A. MỤC TIÊU : Sau khi học xong chủ đề này, HS có khả năng : − Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử − Hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng. − Vận dụng được các phương pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức B. THỜI LƯNG : 6 tiết C. THỰC HIỆN : Câu hỏi 1 : Thế nào là phân tích một đa thức thành nhân tử ? Trả lời : Phân tích một đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Câu hỏi 2: Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử ? Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử ? 2x 2 + 5x − 3 = x(2x + 5) − 3 (1) 2x 2 + 5x − 3 = x       −+ x x 3 52 (2) 2x 2 + 5x − 3 = 2       −+ 2 3 2 5 2 xx (3) 2x 2 + 5x − 3 = (2x − 1)(x + 3) (4) 2x 2 + 5x − 3 = 2       − 2 1 x (x + 3) (5) Lời giải : Ba cách biến đổi (3), (4), (5) là phân tích đa thức thành nhân tử. Cách biến đổi (1) không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức chưa được biến đổi thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Cách biến đổi (2) cũng không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức đượ biến đổi thành một tích của một đơn thức và một biểu thức không phải là đa thức. Câu hỏi : Những phương pháp nào thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử ? 1 Trường TH & THCS C«n L«n. Tự chọn toán 8 Trả lời : Ba phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử là : Phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức và phương pháp nhóm nhiều hạng tử. 1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Câu hỏi : Nội dung cơ bản của phương pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phương pháp này dựa trên tính chất nào của phép toán về đa thức ? Có thể nêu ra một công thức đơn giản cho phương pháp này hay không ? Trả lời : Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó biểu diễn được thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác. Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức. Một công thức đơn giản cho phương pháp này là : AB + AC = A(B + C) Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3x 2 + 12xy ; b) 5x(y + 1) − 2(y + 1) ; c) 14x 2 (3y − 2) + 35x(3y − 2) +28y(2 − 3y) Trả lời : a) 3x 2 + 12xy = 3x.x + 3x . 4y = 3x(x + 4y) b) 5x(y + 1) − 2(y + 1) = (y + 1) (5x − 2) c) 14x 2 (3y − 2) + 35x(3y − 2) +28y(2 − 3y) = 14x 2 (3y−2) + 35x(3y−2) − 28y(3y −2) = (3y − 2) (14x 2 + 35x − 28y). Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, 5x – 20y ; b, 5x( x – 1 ) – 3x( x – 1 ) ; c, x( x + y ) – 5x – 5y. Trả lời : a, 5x – 20y = 5 ( x – 4y ) ; b, 5x ( x – 1 ) – 3x ( x – 1 ) = x ( x – 1 ) ( 5 – 2 ) = 3x ( x – 1 ) c, x ( x + y ) – 5x – 5y = x( x+ y ) – ( 5x + 5y ) = x( x + y ) – 5 ( x + y ). 2 Trường TH & THCS C«n L«n. Tự chọn toán 8 = ( x + y ) ( x – 5 ) Bài3 Tình giá trò của các biểu thức sau: a, x 2 + xy + x tại x = 77 và y = 22 ; b, x( x – y ) +y( y – x ) tại x = 53 và x = 3; Trả lời: a, x 2 + xy + x = x ( x + y + 1 ) = 77 ( 77 + 22 + 1 ) = 77 . 100 = 7700. b,x( x – y ) +y ( y – x ) = x ( x – y ) - y( x – y ) = ( x – y ) ( x – y ) = ( x – y ) 2 Thay x = 53 , y = 3 ta có ( x – y ) 2 = ( 53 – 3 ) 2 = 2500 Bài 4 Chứng minh rằng: n 2 ( n + 1 ) + 2n( n + 1 ) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n Bài giải. Ta có n 2 ( n + 1 ) + 2n( n + 1 ) = n ( n + 1 )( n + 2 ) M 6 vớ mọi n ∈ Z. ( Vì đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp ) Bài tập tự giải : Bài 1.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung a, 3x ( x – a ) + 4a ( a – x ) . b, 2x ( x + 1 ) – x – 1 c, x 2 ( y 2 + z ) + y 3 + yz d, 3x 2 ( x + 1 ) – 5x ( x + 1 ) 2 + 4 ( x + 1 ) Bài 1.2 . Đánh dấu x vào câu trả lời đúng nhất Khi rút gọn biểu thức : ( x – 1 ) ( x 2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 ) Các bạn Tuấn, Bình, Hương thực hiện như sau : Tuấn : ( x – 1 ) ( x 2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 ) = x 3 – 1 - x ( x 2 – 1 ) = x 3 – 1 - x 3 + x = x – 1 . Bình : ( x – 1 ) ( x 2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 ) 3 Trường TH & THCS C«n L«n. Tự chọn toán 8 = x 3 + x 2 + x – x 2 – x – 1 – ( x 2 – x ) ( x + 1 ) = x 3 – 1 – ( x 3 + x 2 –x 2 – x ) = x 3 – 1 – x 3 + x = x – 1 Hương : ( x – 1 ) ( x 2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 ) = ( x – 1 ) ( ) 2 x x 1 – x x 1   + + +   = ( x – 1 ) ( x 2 + x + 1 – x 2 – x ) = ( x – 1 ) . 1 = x – 1 Bạn nào thực hiện đúng: A. Tuấn C. Hương B. Bình D. Cả ba bạn 2 . PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Câu hỏi : Nội dung cơ bản của phương pháp dùng hằng đẳng thức là gì ? Trả lời : Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 − 4x + 4 ; b) 8x 3 + 27y 3 ; c) 9x 2 − (x − y) 2 Trả lời : a) x 2 − 4x + 4 = (x − 2) 2 b) 8x 3 + 27y 3 = (2x) 3 + (3y) 3 = (2x + 3y) [(2x) 2 − (2x)(3y) + (3y) 2 ] = (2x + 3y) (4x 2 − 6xy + 9y 2 ) c) 9x 2 − (x − y) 2 = (3x) 2 − (x − y) 2 = [ 3x − (x − y)] [3x + (x − y)] = (3x − x + y) (3x + x − y) = (2x + y) (4x − y) Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, 9x 2 + 6xy + y 2 ; b, 4x 2 – 25 ; c, x 6 – y 6 ; d, ( 3x + 1 ) 2 – (x +1 ) 2 trả lời: a, 9x 2 + 6xy + y 2 = ( 3x ) 2 + 2 . 3x. y + y 2 = ( 3x + y ) 2 b, 4x 2 – 25 = (2x ) 2 – 5 2 = ( 2x – 5 )( 2x + 5 ). c, x 6 – y 6 = ( x 2 ) 3 – ( y 2 ) 3 = ( x 2 – y 2 ) ( x 4 + x 2 y 2 + y 4 ) 4 Trường TH & THCS C«n L«n. Tự chọn toán 8 = ( x + y) ( x – y ) ( x 4 + x 2 y 2 + y 4 ) Bài 3 Tìm x, biết : a, x 3 – 0,25x = 0 ; b, x 2 – 10x = - 25. Trả lời: a, x 3 – 0,25x = 0 ⇔ x ( x 2 – 0,25 ) = 0 ⇔ x ( x – 0,5)( x + 0,5 ) = 0 ⇔ x = 0 Hoặc x – 0,5 = 0 ⇔ x = 0,5. Hoặc x + 0,5 = 0 ⇔ x = - 0,5. b, x 2 – 10x = - 25 ⇔ x 2 – 10 x + 25 = 0 ⇔ ( x – 5 ) 2 = 0. ⇔ x = 5 . Bài tập tự giải : Bài 1.2: Phân tích thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức: a, x 2 + x + y 2 + y + 2xy b, - x 2 + 5x + 2xy – 5y – y 2 c, x 2 – y 2 + 2x + 1 d, x 2 + 2xz – y 2 + 2ty + z 2 – t 2 3. PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ. Câu hỏi : Nội dung của phương pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ? Trả lời : Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng được hằng đẳng thức đáng nhớ . Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 − 2xy + 5x − 10y ; b) x (2x − 3y) − 6y 2 + 4xy ; c) 8x 3 + 4x 2 − y 3 − y 2 Trả lời : a) x 2 − 2xy + 5x − 10y = (x 2 − 2xy) + (5x − 10y) = x(x − 2y) + 5(x − 2y) = (x − 2y) (x + 5) b) x (2x − 3y) − 6y 2 + 4xy = x(2x − 3y) + (4xy − 6y 2 ) = x(2x − 3y) + 2y(2x − 3y) = 5 Trường TH & THCS C«n L«n. Tự chọn toán 8 = (2x − 3y) (x + 2y) c) 8x 3 + 4x 2 − y 3 − y 2 = (8x 3 − y 3 ) + (4x 2 − y 2 ) = (2x) 3 − y 3 + (2x) 2 − y 2 = (2x − y) [(2x) 2 + (2x)y + y 2 ] + (2x − y) (2x + y) = (2x − y)(4x 2 + 2xy + y 2 ) + (2x − y) (2x +y) = (2x − y (4x 2 + 2xy + y 2 + 2x + y) Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a,5x – 5y + ax – ay ; b, a 3 – a 2 x – ay + xy ; c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz; Trả lời: a,5x – 5y + ax – ay = (5x – 5y ) + ( ax – ay) = 5( x – y ) + a ( x – y ). = ( x – y ) ( 5 + a ); b, a 3 – a 2 x – ay + xy = (a 3 – a 2 x ) – ( ay - xy ) = a 2 ( a – x ) – y ( a – x ) = ( a – x )(a 2 – 1 ) = ( a – x )( a + 1 ) ( a – 1 ) c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz = xy ( x + y ) + xyz + yz ( y + z ) + xyz + xz ( x + z ) + xyz = ( ) ( ) ( ) xy x y xyz yz y z xyz xz x z xyz       + + + + + + + +       = xy ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + xz ). Bài tập tự giải: Bài 1. 3 . Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử: a, x 4 – x 3 – x + 1. b, x 2 y + xy 2 – x – y c, ax 2 + ay – bx 2 – by d, 8xy 3 – 5xyz – 24y 2 + 15z 4. PHÂN TÍCH BẰNG CÁCH PHỐI HP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP 6 Trường TH & THCS C«n L«n. Tự chọn toán 8 Câu hỏi : Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ được dùng riêng rẽ từng phương pháp hay có thể dùng phối hợp các phương pháp đó ? Trả lời : Có thể và nên dùng phối hợp các phương pháp đã biết Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử : a) a 3 − a 2 b − ab 2 + b 3 ; b) ab 2 c 3 + 64ab 2 ; c) 27x 3 y − a 3 b 3 y Trả lời : : a) a 3 − a 2 b − ab 2 + b 3 = a 2 (a − b) − b 2 (a − b) = (a − b) (a 2 − b 2 ) = (a − b)(a − b)(a + b) = (a − b) 2 (a + b) b) ab 2 c 3 + 64ab 2 = ab 2 (c 3 − 64) = ab 2 (c 3 + 4 3 ) = ab 2 (c + 4)(c 2 − 4c + 16) c) 27x 3 y − a 3 b 3 y = y(27 − a 3 b 3 ) = y([3 3 − (ab) 3 ] = y(3 − ab) [3 2 + 3(ab) + (ab) 2 ] = y(3 − ab) (9 + 3ab + a 2 b 2 )’ Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, x 3 – x + 3x 2 y + 3x y 2 +y 3 – y ; b, 5 x 2 – 10 xy + 5y 2 – 20 z 2 Trả lời : a, x 3 – x + 3x 2 y + 3x y 2 +y 3 – y = ( x 3 + 3x 2 y + 3x y 2 +y 3 ) – ( x + y ) = ( x + y ) 3 – ( x + y ) = ( x + y ) ( ) 2 x y 1   + −   = ( x + y ) ( x + y – 1 ) ( x + y + 1 ) b, 5 x 2 – 10 xy + 5y 2 – 20 z 2 = 5 ( x 2 – 2xy + y 2 – 4z 2 ) = 5 ( ) 2 2 2 x – 2xy y – 4z   +   = 5 ( ) 2 2 x – y – 4z     = 5 ( x – y – 2z ) ( x – y + 2z ) 5. PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ, THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ Câu hỏi : Ngoài 3 phương pháp thường dùng nêu trên, có phương pháp nào khác cũng được dùng để phân tích đa thức thành nhân tử không ? Trả lời : Còn có các phương pháp khác như : phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. Bài 1 : Phân tích thành nhân tử 7 Trường TH & THCS C«n L«n. Tự chọn toán 8 a) 2x 2 − 3x + 1 ; b) y 4 + 64 Lời giải : a) 2x 2 − 3x + 1 = 2x 2 − 2x − x + 1 = 2x(x − 1) − (x − 1) = (x − 1) (2x − 1) b) y 4 + 64 = y 4 + 16y 2 + 64 − 16y 2 = (y 2 + 8) 2 − (4y) 2 = (y 2 + 8 − 4y) (y 2 + 8 + 4y) Bài 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a, x 2 + 5x – 6 ; b, 2x 2 + 3x – 5 Trả lời : a, x 2 + 5x – 6 = x 2 – x + 6x – 6 = ( x 2 – x ) + ( 6x – 6 ) = x ( x – 1 ) + 6 ( x – 1 ) = ( x – 1 ) ( x + 6 ) b, 2x 2 + 3x – 5 = 2x 2 – 2x + 5x – 5 = ( 2x 2 – 2x ) + ( 5x – 5 ) = 2x ( x – 1 ) + 5 ( x – 1 ) = ( x – 1 ) ( 2x + 5 ) Bài 3 Tìm x, biết : a, 5x ( x – 1 ) = x – 1 ; b, 2 ( x + 5 ) – x 2 – 5x = 0 Trả lời : a, 5x ( x – 1 ) = x – 1 ⇔ 5x ( x – 1 ) – ( x – 1 ) = 0 ⇔ ( x – 1 ) ( 5x – 1 ) = 0 ⇔ ( x – 1 ) = 0 ⇔ x = 1 Hoặc ( 5x – 1 ) = 0 ⇔ x = 1/5. Bài tập tự giải: Bài 5.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử a, x 8 + x 4 + 1 b, x 8 + 3x 4 + 4 6. VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ĐỂ LÀM CÁC DẠNG TOÁN 8 Trường TH & THCS C«n L«n. Tự chọn toán 8 Câu hỏi : Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải một số loại toán nào ? Trả lời : Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức Bài 1 : Giải các phương trình a) 2(x + 3) − x(x + 3) = 0; b) x 3 + 27 + (x + 3) (x − 9) = 0 ; c) x 2 + 5x = 6 Trả lời : a) Vì 2(x + 3) − x(x + 3) = (x + 3) (2 − x) nên phương trình đã cho trở thành (x + 3)(2 − x) = 0. Do đó x + 3 = 0 ; 2 − x = 0, tức là x = −3 ; x = 2 phương trình có 2 nghiệm x 1 = 2 ; x 2 = −3 b) Ta có x 3 + 27 + (x + 3)(x − 9) = (x + 3)(x 2 − 3x + 9) + (x + 3)(x − 9) = (x + 3)(x 2 − 3x + 9 + x − 9) = (x + 3)(x 2 − 2x) = x(x + 3)(x − 2) Do đó phương trình đã trở thành x(x + 3)(x − 2) = 0. Vì vậy x = 0 ; x + 3 = 0 ; x − 2 = 0 tức là phương trình có 3 nghiệm : x = 0 ; x = −3 ; x = 2 c) Phương trình đã cho chuyển được thành x 2 + 5x − 6 = 0. Vì x 2 + 5x − 6 = x 2 − x + 6x − 6 = x(x − 1) + 6(x − 1) = (x − 1)(X + 6) nên phương trình đã cho trở thành (x − 1)(x + 6) = 0. Do đó x − 1 = 0 ; x + 6 = 0 tức là x = 1 ; x = −6 Bài 2 : Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bò chia thành nhân tử : a) (x 5 + x 3 + x 2 + 1) : (x 3 + 1) ; b) (x 2 − 5x + 6) : (x − 3) ; c) (x 3 + x 2 + 4):(x +2) Trả lời : a) Vì x 5 + x 3 + x 2 + 1 = x 3 (x 2 + 1) + x 2 + 1 = (x 2 + 1)(x 3 + 1) nên (x 5 + x 3 + x 2 + 1) : (x 3 + 1) = (x 2 + 1)(x 3 + 1) : (x 3 + 1) = x 2 + 1 b) Vì x 2 − 5x + 6 = x 2 − 3x − 2x + 6 = x(x − 3) − 2(x − 3) = (x − 3)(x −2) nên (x 2 − 5x + 6) : (x − 3) = (x − 3)(x − 2) : (x − 3) = x − 2 c) Ta có x 3 + x 2 + 4 = x 3 + 2x 2 − x 2 + 4 = x 2 (x + 2) − (x 2 − 4) = x 2 (x + 2) − (x − 2) (x + 2) = (x + 2)(x 2 − x + 2) Do đó (x 3 + x 2 + 4) : (x +2) = (x + 2)(x 2 − x + 2) : (x + 2) = x 2 − x + 2 9 Trường TH & THCS C«n L«n. Tự chọn toán 8 Bài 3 : Rút gọn các phân thức xyy xyx a − −− 2 )32(( ) ; b) 22 22 32 2 yxyx yxyx +− −+ ; c) 2 132 2 2 −+ +− xx xx Trả lời : a) y x y x yxy xyx xyy xyx xyy xyx 2332 )( )32)(( )( )32)(()32(( 2 − = − − = −− −− = − −− = − −− b) 22 22 32 2 yxyx yxyx +− −+ = )( )( )2)(( )2)(( )()(2 )()(2 2 2 2 2 2 2 2 2 yx yx yxyx yxyx yxyyxx yxyyxx yxyxyx yxyxyx − + = −− −+ = −−− +−+ = +−− −−+ c) 2 132 2 2 −+ +− xx xx = 2 12 )2)(1( )12)(1( )1(2)1( )1()1(2 22 122 2 2 + − = +− −− = −+− −−− = −+− +−− x x xx xx xxx xxx xxx xxx . BÀI TẬP NÂNG CAO. Bài 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: x 3 + 6x 2 + 11x + 6 b, Hướng dẫn giải: x 3 + 6x 2 + 11x + 6 = x 3 + x 2 + 5x 2 + 5x + 6x + 6 = ( x 3 + x 2 ) + ( 5x 2 + 5x ) + ( 6x + 6 ) = x 2 ( x + 1 ) 5x ( x + 1 ) + 6 ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ( x 2 + 5x + 6 ) = ( x + 1 ) ( x 2 + 2x + 3x + 6 ) = ( x + 1 ) ( ) ( ) 2 x 2x 3x 6   + + +   = ( x + 1 ) ( ) ( ) x 2 3 x 2 x   + + +   = ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) Bài tập học sinh tự giải Bài 2 : Tìm x biết : a, x 3 - 5x 2 + 8x – 4 = 0; b, (x 2 + x ) ( x 2 + x + 1 ) = 6 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 3 + 6x 2 + 13x – 42. 10 [...]...Trường TH & THCS C«n L«n Tự chọn toán 8 D TÀI LIỆU THAM KHẢO : − SGK Toán 8, tập I tr 19 − 27 − 2002 − Vũ Hữu Bình, Ôn tập đại số 8 tr 22 − 23 NXB Giáo dục Hà Nội 1999 − Tôn Thân (Chủ biên), Hướng dẫn làm bài tập đại số 8 tr 37 − 54NXB Giáo dục... theo cách hai ít hơn số em được chia ở cách một ( một em không có phần ), nên ta có phương trình: x −5 5 - x 6 = 1 Giải phương trình ta được x = 60 ( TMĐK ) Vậy số bồng là 60 quả, số em bé là 11 em D TÀI LIỆU THAM KHẢO : − SGK Toán 8, tập II , SBT Toán 8 tập 2 − Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 tập 2 – Vũ Thế Hựu − toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8- Vũ Dương Th ( chủ biên ) – Nguyễn Ngọc Đạm ( Nhà . 3 + 6x 2 + 13x – 42. 10 Trường TH & THCS C«n L«n. Tự chọn toán 8 D. TÀI LIỆU THAM KHẢO : − SGK Toán 8, tập I tr 19 − 27 − 2002 − Vũ Hữu Bình, Ôn tập