Tìm tọa độ các đỉ nh cuả tam giác ABC.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
ĐỀ DỰ BỊ Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)Cho hàm số yx3 3mx2 m1x1 (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1
2 Tìm giá trị m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hoành độ x = -1 qua điểm A(1;2)
Câu II (2 điểm) Giải phương trình tgx = cotgx + 4cos2 2x Giải phương trình 2x1 + 32x =
2 ) ( x
(x R)
Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọađộ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1:
1
3
3
y z
x
d2:
6
0 13 6
z y x
z y x
1 Chứng minh d1 d2 cắt
2 Gọi I giao điểm d1 d2 Tìm tọa độ điểm A,B thuộc d1, d2 cho
tam giác IAB cân I có diện tích 42
41
Câu IV (2 điểm) 1.Tính tích phân I =
3
2
3
2 2x
xdx
2 Giải phương trình sin( 4)
x
e =tgx
PHẦN RIÊNG Thí sinh làm câu: V.a V.b Câu V.a Theo chương trình KHƠNG phân ban (2 điểm)
1 Cho tập hợp E =0,1,2,3,4,5,7 Hỏi có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác lập từ chữ số E?
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC đường cao kẻ từ đỉnh B đường phân giác góc A có phương trình 3x + 4y + 10=0 x - y + 1=0; điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách điểm C khoảng Tìm tọa độ đỉnh cuả tam giác ABC
Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm) Giải bất phương trình log
3
1
1
log2
x
x
(2)ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008 Mơn thi: TỐN, khối A
Câu Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1,00 điểm) Với m = -1 hàm số trở thành y = x3 – 3x2 +
• Tập xác định: R
• Sự biến thiên: y’ = 3x2 – 6x; y’ =
2 x
0 x
0,25
• yCĐ = y(0) = 1, yCT = y(2) = -3 0,25
• Bảng biến thiên:
x - + y’ + - +
y +
- -3
0,25
• Đồ thị:
0,25
2 Tìm giá trị tham số m …(1,00 điểm)
Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ x = -1, suy M(-1; 2m - 1) 0,25 Ta có y’ = 3x2 + 6mx + (m+1); y’(-1) = – 5m Tiếp tuyến d đồ thị hàm số
đã cho M(-1; 2m – 1) có phương trình là: y = ( -5m)(x + 1) + 2m –
0,5
Tiếp tuyến d qua A(1, 2) = (4 – 5m)2 + 2m – m =
5 0,25
II 2,00
1 Giải phương trình lượng giác(1,00 điểm) Điều kiện: sin x cos x 0
Phương trình cho tương đương với -3
2
O x
(3)tgx – cotgx = 4cos2 2x
sin x x cos x cos sin x
= 4cos2 2x
2x sin
2x 2cos
+ 4cos2 2x =
cos 2x
2cos2x 2x
sin
= cos 2x(1 + sin 4x) =
2
2
cos x x k
2
4
sin x x k
Đối chiếu điều kiện suy nghiệm phương trình cho
8
4
k x
va k
x với kZ
0,50
2 Giải phương trình …(1,00 điểm) Điều kiện:
2 ;
x
Ta có
2x1 32x2 42 2x132x4 2x1 32x 2 (1)
0,50
Mặt khác, ( ) ( )
2
2
2 2
2
x
x x
£ - £ Þ - £ Þ £ (2) 0,25
Từ (1) (2) suy phương trình cho tương đương với
1
1
2
2
x x
x x
x
Đối chiếu điều kiện ta nghiệm phương trình
2
x
2
x
0,25
III 2,00
1 Chứng minh d1 cắt d2 (1,00 điểm)
Tọa độ giao điểm I d1 d2 thỏa mãn hệ
0 6
0 13 6
1
3
3
z y x
z y x
z y
x
0,50
Giải hệ ta I(1; 1; 2) 0,50
2 Tìm tọa độ…(1,00 điểm) Véctơ phương d1 u1
= (2; 2; 1)
Ta có
6
6 ;
5 ; 6
6
= (-72; -36; -24) Suy u2= (6; 3; 2) vectơ phương d2
0,25
Gọi α góc d1 d2 ta có cosα =
2
2
u u
u u
= 21 20
sin α = 21
41
0,25
Ta có SIAB=
IA2 sin α =
IA2 sin α = 42
41 IA2 =
42 41
(4)Vì A thuộc d1 nên tọa độ A(1 + 2t; + 2t; + t)IA = 3|t| = 1t =
A
3 , ,
A
3 , ,
0,25
Vì B thuộc d2 nên tọa độ B(1 + 6k; + 3k; + 2k)IB = 7|k| = 1t =
B
7 16 , 10 , 13
A
7 12 , ,
1 0,25
IV 2,00
1 Tính tích phân…(1,00 điểm) I =
3
2
2 2x
xdx
Đặt t =
2
2x x =
2 t3
dx =
dt t
x = -2
t = 1; x = t =
0,50
Suy I =
2
1
1
2
t t t
2 dt t
2 t
dt =
1 t t
5
=
12 0,50
2 Giải phương trình…(1,00 điểm) Điều kiện: cosx≠0
Dễ thấy sinx=0 khơng thỏa mãn phương trình
Phương trình cho tương đương với
x e x e x x e
x x
x x
cos sin
cos
sin
cos 2
sin
2 cos sin
(1) Đặt
x v
x u
cos sin
Ta có u,v1;1;u.v0
Từ (1) ta có phương trình
v e u e
v u
2 2
2
0,50
Xét hàm số
x e x f y
x
2
) (
, với x1;0 0;1
0
2 2
2
2 2
2 2
'
x e x x
e x y
x x
suy hàm số nghịch biến khoảng (-1;0) (0;1)
Ta thấy u,v dấu nên u, v thuộc khoảng (-1;0) (0;1) Từ giả thiết f(u) = f(v) u = v tgx = x k
4
Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình cho
(5)
k x
4 với kZ
V.a 2,00
1 Có số tự nhiên…(1,00 điểm)
Số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác E có dạng: abcd , 0,2,4
, d
a
Xét d=0 Khi số có chữ số abc 120
6
A
Xét d = (hoặc d = 4), a có cách chọn, ứng với cách chọn a ta có cách chọn b, ứng với cách chọn hai chữ số a, b ta có cách chọn chữ số c Vậy có tất 5.5.4 = 100 số
Vậy có 120 + 100.2 = 320 số
0,50
2 Tìm tọa độ đỉnh…(1,00 điểm)
Gọi d1 ,d2 đường cao kẻ từ đỉnh B đường phân giác góc A Gọi M’(a; b) điểm đối xứng M qua d2 I trung điểm MM’
Ta có
2 ; , ;
' a b
I b a
MM Vectơ phương d2 u 1;1
Ta có hệ:
1 2 2 ' b a b a b a d I u MM 0,25
Khi M’(1 ; 1) thuộc đường thẳng AC Mặt khác vectơ phương v4;3 đường cao d1 vectơ pháp tuyến đường thẳng AC Do phương trình đường thẳng AC 4(x - 1) – 3(y - 1) = 4x – 3y – =
AC d
A 2 xác định hệ ïìïx4x- y3+y1=10 0Û ìïïyx = 54
í - - = í =
ï ïï
ï ỵ
ỵ
.Vậy A(4; 5)
0,25
Phương trình đường thẳng AB:
3 y x y x y x AB d
B 1 xác định hệ
3
3 10
1
3
4
x
x y
x y y
= -ìï ì + + = ï ïï Û ï í - + = í = -ï ï ïỵ ïïỵ
Vậy ( 3; 1)
B -
-0,25
Đường thẳng AC: 4x – 3y – = 0, ; c
c C 25 33 ; 25 31 ; 25 31 2 2 2 C C c c c c MC
Ta nhận thấy AC1và AC2 chiều Kết luận: , 1;1
4 ; , ;
4 B C
A
Hoặc
25 33 , 25 31 , ; , ; C B A 0,25 V.b
1 Giải bất phương trình logarit …(1,00 điểm)
(6)2
3 1
3 log
0 2
x x x
x
1
0 1
0
0
3
0 1
3
x
x x x
x x x
x x x
x
Nghiệm bất phương trình x < -
0,50
Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà vẫn đúng được đủ điểm từng phần