De du tru 1 Khoi A 2007 co dap an

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận của nó là hằng số.. Câu II:1[r]

Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007 Đề I

Câu I: Cho hàm số

2

x 4x

y

x

  

  Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

2 Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số đến đường tiệm cận số

Câu II:

1 Giải phương trình:

1

sin 2x sin x 2cot g2x

2sin x sin 2x

   

2 Tìm m để phương trình:  

2

m x  2x 1  x(2 x) (2) 

có

nghiệm x 0,1 3

Câu III: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) mặt phẳng (P): 2x - y + z + =

1 Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mp (P) Tìm tọa độ điểm M  (P) cho MA + MB nhỏ

Câu IV:

1 Tính

2x

I dx

1 2x

 

 



2 Giải hệ phương trình:

¿

x+√x2−2x+2=3y−1+1

y+√y2−2y+2=3x −1+1 (x , y∈R)

¿{ ¿

Câu Va (cho chương trình THPT khơng phân ban):

1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 = Đường tròn (C')

tâm I (2,2) cắt (C) điểm A, B cho AB 2 Viết phương trình

2 Có số tự nhiên chẵn lớn 2007 mà số gồm chữ số khác nhau?

Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):

1 Giải bất phương trình: (log log x )logx  2 2x 0

2 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5

BAC❑ =120o Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh

MBMA1 tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) Bài giải

Câu I:

1 Khảo sát vẽ đồ thị (Bạn đọc tự làm)

2 Gọi (C ) đồ thị hàm số M(x,y)  ( C ) 

7

y x

x   



Phương trình tiệm cận xiên yx 2  x y 0  

khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên

1

x y

d

2 x

 

 



khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d2 x

Ta có

1 7

d d x

2 x 2

  



: số Câu II:

1 Giải phương trình :

1

sin 2x sin x 2cot g2x

2sin x sin 2x

   

(1) (1)   cos22x  cosxcos2x = 2cos2x sin2x  0

 cos2x 0v2cos x cosx 0(VN)     cos2x = 

  

     

2x k x k

2

Bpt (2) 



    



2

t

m (1 t 2),do x [0;1 3] t

Khảo sát

2

t g(t)

t

 

 với  t  2

g'(t)

2

t 2t 0 (t 1)

 

 

 Vậy g tăng [1,2]

Do đó, ycbt  bpt

2

t m

t

 

 có nghiệm t  [1,2]

  

  

t 1;2

2 m maxg(t) g(2)

3

Câu III:

1 Ta có AB ( 2,4, 16)  



phương với   



a ( 1,2, 8)

mp(P) có PVT n (2, 1,1) 



Ta có  

[ n ,a] = (6 ;15 ;3) phương với (2;5;1)

Phương trình mp chứa AB vng góc với (P) : 2(x + 1) + 5(y  3) + 1(z + 2) =

 2x + 5y + z  11 =

2 Tìm M  (P) cho MA + MB nhỏ

Vì khoảng cách đại số A B dấu nên A, B phía với Mp (P) Gọi A' điểm đối xứng với A qua (P)

Pt AA' :

x y z

2 1

  

 



AA' cắt (P) H, tọa độ H nghiệm

    



 

   

 



 

2x y z

H(1,2, 1) x y z

2 1

H A A '

H A A '

H A A '

2x x x

2y y y A'(3,1,0) 2z z z

 

 

  



  



Ta có A'B ( 6,6, 18)  



(cùng phương với (1;-1;3) ) Pt đường thẳng A'B :

 

 



x y z

1

Vậy tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình    

 

 

 



 



 

2x y z

M(2,2, 3) x y z

1

Câu IV:

1 Đặt t 2x 1  t22x 1  2tdt 2dx  dx tdt

Đổi cận t(4) = 3, t(0) =

Vậy

4 2

0 1

2x t

I dx dt t dt

1 t t

1 2x

  

      

 

   

  

=

3

1

t t ln t 1 2 ln2

 

    

 

 

 

2 Giải hệ phương trình 



     

 

     



2 y

2 x

x x 2x (I) y y 2y

Đặt u = x  1, v = y 

(I) thành

   

 

   



2 v

2 u

u u (II)

v v

f ´(x)

  

    

  

2

2 2

x x

x x x

1

x x x

Vậy f đồng biến nghiêm cách R

Nếu u > v  f(u) > f(v)  3v 3u v > u ( vô lý )

Tương tự v > u dẫn đến vơ lý

Do hệ (II)

 

       

   

 

 

 

2 u u

u u 3 ( u u) (1)

u v u v

Đặt: g(u)3 ( uu 2 1 u)

 

       

 



 

u u

2

u g'(u) ln3( u u)

u

g '(u)=3u(√u2+1−u)

(ln 3−

√u2+1)>0,∀u∈R Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách R

Ta có g(0) = Vậy u = nghiệm (1) Nên (II)  u = = v

Vậy (I)  x = y = Câu Va:

1.Đường thẳng OI nối tâm đường tròn (C), (C') đường phân giác y = x Do đó, đường AB  đường y = x  hệ số góc đường thẳng AB 

Vì AB  2  A, B phải giao điểm (C) với Ox, Oy.

Suy

A(0,1);B(1,0) A '( 1,0);B'(0, 1)

 

 



Suy phương trình AB : y =  x + y =  x 

Cách khác: phương trình AB có dạng: y =  x + m

Pt hoành độ giao điểm AB

x2 + ( x + m)2 = 1 2x2 2mx m 21 0 (2)

      

2 2

1 2

AB 2(x x ) (x x )



      

/

2

4 1 2 m 1 m 1

a

Vậy phương trình AB : y =  x 1.

2 Gọi n a a a a số cần lập

TH1 : a4 = 0, ta có cách chọn a1 (vì a1  2) cách chọn a2

cách chọn a3 (1 cách chọn a4 ) Vậy ta có 8.8.7.1 = 448 số n

TH2 : a4  a4 chẵn Ta có : cách chọn a4 cách chọn a1 cách chọn a2 cách chọn a3 Vậy ta có 4.7.8.7 = 1568 số n

Vậy trường hợp ta có : 448 + 1568 = 2016 số n Câu Vb:

1 Điều kiện x > , x  (1)

 

    

 

1 2log x 1log 2x 0

log x

 

 

 

     

 

 

2

2

1 log x log x 1 0 log x

3

   

     

 

      

2 2

2

2

2

log x log x

(log x 3) 0

log x log x

log x 1v log x 0 x v x

Chọn hệ trục Axyz cho: A  0, C 2a,0,0 , A (0,0,2a 5)1

 

  

 

a a A(0;0;0),B ; ;0

2

M( 2a,0,a 5)

                                       

BM a ; ; , MA a(2;0; 5) 2

Ta có:      

                         

  2

1

BM.MA a ( 5) BM MA

Ta tích khối tứ diện AA1BM :

                                                        

BMA1

1 a 15

V A A AB,AM

6

1

S MB,MA 3a

2

Suy khoảng cách từ A đến mp (BMA1)  

3V a

d

S

Cách khác:

+ Ta có A M1 2A C1 12C M1 9a2

BC2AB2AC2 2AB.AC.cos12007a2

BM2 BC2CM212a2

A B1 2A A1 2AB221a2A M1 2MB2

 MB vng góc với MA1

+ Hình chóp MABA1 CABA1 có chung đáy tam giác ABA1 đường cao nên thể tích

 V V MABA1 VCABA1 1AA S1 ABC 1a 153

3

 1   

MBA1

3V 6V a

d(a,(MBA ))

S MB.MA

-@ -PHẠM HỒNG DANH