Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007 Đề II
Câu I: Cho hàm số y= x
x −1 (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến d (C) cho d hai tiệm cận (C) cắt tạo thành tam giác cân
Câu II:
1 Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = + tgx Tìm m để hệ phương trình :
¿ 2x − y −m=0
x+√xy=1 ¿{
¿
có nghiệm
Câu III: Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = đường thẳng d1: x −1
2 = y −3
−3 = z
2 d2: x −5
6 = y 4=
z+5 −5
1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 (Q) (P)
2 Tìm điểm M d1, N d2 cho MN // (P) cách (P) khoảng
bằng Câu IV: Tính I=∫
0
π
2
x2cos xdx Giải phương trình: log22
x
−1
|x| =1+x −2
x
Câu Va (cho chương trình THPT khơng phân ban):
1 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác
2 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0, 1) B(2, –1) đường thẳng: d1: (m – 1)x + (m – 2)y + – m =
(2)Chứng minh d1 d2 cắt Gọi P = d1 d2 Tìm m cho
PA+PB lớn
Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban): Giải phương trình: 23x+1−7 22x+7 2x−2=0
2 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a M trung
điểm đoạn AA1 Chứng minh BM B1C tính d(BM, B1C) Bài giải
Câu I:
1 Khảo sát hàm số (Bạn đọc tự giải) Ta có
2
1
y ' 0, x
x
Từ đồ thị ta thấy để tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác vuông cân ta phải có hệ số góc tiếp tuyến –1 tức là:
−1
(x −1)2=−1⇔(x −1)
=1⇒x1=0, x2=2
Tại x1 = y1 = phương trình tiếp tuyến y = –x
Tại x2 = y2 = phương trình tiếp tuyến y = –x +
Câu II:
1 Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = + tgx (1) Đặt: t = tgx ⇒sin 2x= 2t
1+t2 Pt (1) thành
2t
1 t 1 t
1 t
2
1 t t (t 1)(1 t )
2
t hay t t (1 t )
t1 hay t 0
Do (1) tgx = hay tgx = –1 x = k hay x = −π
4 + k, k Cách khác
(1) (cosx – sinx)(cosx + sinx)2 = cosx + sinx
(3) cosx + sinx = hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) = tgx = -1 hay cos2x = 1 x = −π
4 + k hay x = k, k Tìm m để hệ sau có nghiệm
(I)
¿ 2x − y − m=0
x+√xy=1
⇔
¿2x − y −m=0
√xy=1− x
¿{ ¿
Với điều kiện: ¿ xy≥0
x ≤1 ¿{
¿
ta có
(I)
2
y 2x m y 2x m
1 x
xy x y x
x
2
2
1 x
2x m x m x x
() ( hiển nhiên x = không nghiệm () ) Đặt f (x) x 22 m x 1 , ( a = )
ycbt tìm m để phương trình () có nghiệm thỏa x
af(1) < hay
f (1) 0(vn,do ac 0) c 1 1(VN)hay b 1
a 2a
m < m > 2 Câu III:
1 d1 qua A(1, 3, 0), VTCP ⃗a=(2,−3,2)
Mặt phẳng (P) có PVT ⃗nP=(1,−2,2)
M/phẳng (Q) chứa d1 (P) nên (Q) có PVT
⃗
(4)Vậy (Q) qua A có PVT ⃗nQ=(−2,−2,−1) nên phương trình (Q): –2(x – 1) – 2(y – 3) – 1(z – 0) = 2x + 2y + z – =
2 P/trình tham số d1:
x 2t y 3t z 2t
1
M d M 2t,3 3t, 2t
P/trình tham số d2:
x 6t ' y 4t ' z 5t '
M d N 6t ', 4t ', 5t '
Vậy ⃗MN=(6t ' −2t+4,4t '+3t −3,−5t ' −2t −5) Mặt phẳng (P) có PVT ⃗nP=(1,−2,2)
Vì MN // (P) ⇔⃗MN.⃗nP=0
1 6t ' 2t 4t ' 3t 5t ' 2t t t '
Ta lại có khoảng cách từ MN đến (P) d(M, P) MN // (P) |1+2t −2(3−3t)+2(2t)−1|
√1+4+4 =2
6 12t 6 12t hay 12t t 1hay t
t = t' = –1 M1(3, 0, 2) N1(–1, –4, 0)
t = t' = M2(1, 3, 0) N2(5, 0, –5)
Câu IV: Tính I=∫
0
π
2
x2cos xdx
Đặt: u = x2 du = 2xdx ; dv = cosxdx , chọn v = sinx
Vậy I =
∫ ∫
2
2 2
0
0
x cosxdx x sin x xsin xdx
Ta có
2 2
0
(5)I1 =
2
0
xsin xdx
∫
; Đặt u = x du = dx dv = sinxdx, chọn v = cosx
I1 =
∫ ∫
2
2
0
xsin xdx x cosx cosxdx
= x cosx sin x02
Vậy : I =
2
2
x cosxdx
∫
2 Giải phương trình
x
x 22
log x (*) x
Điều kiện
x x
2 2 x 0 x x
(*)
x
x 22
log x
x x > 0
log (22 x1) log x 2 xx x > (2x 1) + log2(2x 1) = x + log2x (**)
Xét hàm f(t) = t + log2t đồng biến nghiêm cách t >
Do f(u) = f(v) u = v, với u > 0, v > Vậy từ (**) 2x = x 2x x 1 = (***) Lại xét hàm g(x) = 2x x x > 0
g'(x) = 2xln2 , g'(x) =
x
2
1
2 log e ln
(6)Ta có g//(x) > với x nên g'(x) hàm tăng R
/
2
g (x) 0, x log (log e)
và g (x) 0, x log (log e)/ 2 2 g
giảm nghiêm cách ;log (log e)2
g tăng nghiêm cách log (log e);2
g(x)
có tối đa nghiệm ;log (log e)2 , có tối đa
nghiệm log (log e);2 .
bằng cách thử nghiệm ta có pt g(x) 0 (***) có nghiệm x = x = Vì x > nên (*) x =
Câu Va:
1/ Gọi n = a a a a1 4 số cần tìm Vì n chẵn a
4 chẵn
* TH1 : a4 = Ta có cách chọn a4
6 cách chọn a1
5 cách chọn a2
4 cách chọn a3
Vậy ta có 1.6.5.4 = 120 số n
* TH2: a4 Ta có cách chọn a4
5 cách chọn a1
5 cách chọn a2
4 cách chọn a4
Vậy ta có 3.5.5.4 = 300 số n
Tổng cộng hai trường hợp ta có : 120 + 300 = 420 số n Tọa độ giao điểm P d1, d2 nghiệm hệ phương trình
(m 1)x (m 2)y m (2 m)x (m 1)y 3m
Ta có
2
m m
D 2m 6m m m
2 m m 2
Vì
2
3
D m m 2
(7)Ta dễ thấy A(0,1) d1 ; B(2,1) d2 d1 d2
APB vng P P nằm đường trịn đường kính AB Ta có (PA + PB)2 2(PA2 + PB2) = 2AB2 = 2(2 2)2 16
PA + PB Dấu "=" xảy PA = PB P trung điểm cung AB
Vậy Max (PA + PB) = P trung điểm cung AB
P nằm đường thẳng y = x – qua trung điểm I (1 ;0) AB IP = P (2 ; ) hay P (0 ;- 1)
Vậy ycbt m = v m = Câu Vb:
1 Giải phương trình : 23x+1 7.22x + 7.2x = 0
2.23x 7.22x + 7.2x = Đặt t = 2x > (1) thành
2t3 7t2 + 7t =0
(t 1)(2t2 5t + 2) = t = hay t = hay t = Do pt cho tương đương
x x x
2 1hay 2 hay
2 x = hay x = hay x = 1 Chọn hệ trục Oxyz cho
ta có A(0 ;0 ;0); A1(0,0,a); C ( - a ;0 ;0 ) B
a a 3, ,0 2
;
B1
a a 3, ,a 2
;M
a 0,0,
2
1
a a a a a BM , , ;CB , ,a
2 2 2
⃗ ⃗ 2
1 a 3a a
BM.CB
(8)Ta có B.B1(0,0,a) ⃗
⃗ ⃗1
1
1
[BM.B C].BB a 30 d(BM,B C)
10 [BM.B C]
-@ -HÀ VĂN CHƯƠNG - PHẠM HỒNG DANH
(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)
x