1. Trang chủ
  2. » Mẫu Slide

TOM TAT KIEN THUC TOAN CAP 3B

25 5 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 25
Dung lượng 626,07 KB

Nội dung

[r]

(1)

2

Mu

oán

bi

eát

ca

àn

ph

aûi

ho

ïc,

Mu

ốn

h

ọc

ca

àn

ph

aûi

nh

Kh

ôn

g

ho

ïc k

ho

âng

ro

äng

ñ

ươ

ïc t

ài,

Kh

ôn

g

nh

kh

oân

g

th

àn

h

đư

ợc

h

oïc

Ñ

ức

K

ho

ång

T

99

C

A

ÙC

G

H

I

C

H

U

(2)

4

Jb

T

r

aàn

L

o

n

g

G

ia

o

X

in

c

ha

ân

t

ha

øn

h

ca

ûm

t

a

ï v

a

ø t

ri

a

ân

T

ha

ày

N

gu

ye

ãn

H

ữu

S

úy

C

ô

N

gu

ye

ãn

X

ua

ân

Ph

ươ

ïng

đ

a

õ g

oùp

y

ù c

ho

t

a

øi

li

eäu

n

eân

t

ro

ïn

v

ẹn

Đ

ịa

c

:

32

/

26

H

uøn

g

V

ươ

ng

Q

ua

än

N

in

h

K

ie

àu

T

p

C

aàn

T

Đ

ie

än

th

oa

ïi:

71

03

.8

34

81

9

07

10

3

50

01

37

90

8

83

17

37

97

4

H

ÌN

H

C

H

IE

ÁU

D

aïn

g

1:

H

ìn

h

ch

ie

áu

cu

ûa

đi

ểm

M

x

uo

áng

m

p

(P

)

PP

:

G

oïi

N

la

ø h

ìn

h

ch

ie

áu

cu

ûa

đi

ểm

M

xu

oán

g

m

p

(P

)

La

äp

pt

đ

ươ

øng

th

aún

g

(d

) q

ua

M

, n

ha

än

V

TP

T

cu

ûa

(P

) l

aøm

V

TC

P

G

ia

o

đi

ểm

N

d

P

=

(

)

, t

ño

ù s

uy

to

đo

ä c

ủa

ñ

ie

åm

N

D

aïn

g

2:

H

ìn

h

ch

ie

áu

cu

ûa

ñi

eåm

M

x

uo

áng

đ

ươ

øng

th

n

g

d

C

ho

ñ

ie

åm

M0 (x0 ,y0 ,z0

) v

à

đư

ờn

g

th

aún

g

(d

) c

ó

ph

ươ

ng

tr

ìn

h

th

am

s

m

to

ïa

ño

ä h

ìn

h

ch

ie

áu

H

c

uûa

M0

le

ân

(d

)

PP

1:

0

0

(

)

;

H

M

d

H

M

v

v

la

ø V

TC

P

cu

ûa

(d

)

t

H

?

PP

2

:

La

äp

ph

ươ

ng

t

rìn

h

m

ặt

p

ha

úng

(

P)

q

ua

M

0

v

à

vu

ôn

g

go

ùc

ùi

đư

ờn

g

th

aún

g

(d

)

H

c

nh

la

ø g

ia

o

đi

ểm

c

uûa

(d

) v

ới

(P

)

D

aïn

g

3:

H

ìn

h

ch

ie

áu

cu

ûa

đư

ờn

g

th

n

g

d

xu

ốn

g

m

ặt

p

h

n

g

(

P

)

PP

:

C

ho

ïn

2

ñi

eåm

M

, N

tr

eân

d

S

au

đ

ó,

m

to

đo

ä h

ìn

h

ch

ie

áu

M

, N

x

uo

áng

m

p(

P)

la

ø M

’ v

N

H

ìn

h

ch

ie

áu

cu

ûa

d

xu

oán

g

m

p(

P)

c

nh

la

ø M

’N

5

K

H

O

A

ÛN

G

C

A

ÙC

H

K

h

oa

ûn

g

ca

ùch

g

õa

h

ai

đ

ươ

øn

g

th

n

g

ch

eùo

n

h

au

:

(

)

1

2

1

2

a

,b

.M

M

d

,

a

,b

=

,

(

a

,

b

la

ø V

T

C

P

c

uûa

đ

th

ẳn

g

tr

eân

;

M1

2

,M

2

1

)

K

h

oa

ûn

g

ca

ùch

ø m

ột

ñ

ie

åm

I

(x

,y

)

ñe

án

m

ột

đ

ươ

øn

g

th

n

g

:

(

)

0

0

,

,

,

(

);

I

I

a

d

I

I

a

a

=

la

ø V

T

C

P

c

ủa

đ

ươ

øng

t

ha

ún

g

tr

ên

T

ín

h

kh

oa

ûng

c

ác

h

: c

ó

3

lo

ại

L

oa

ïi

:

K

ho

aûn

g

ca

ùch

ø đ

ie

åm

A

đ

ến

đ

ươ

øng

th

ẳn

g

PP

:

B

ươ

ùc

1:

L

ập

p

ơn

g

trì

nh

m

p

(P

) q

ua

A

v

à

vu

ôn

g

go

ùc

ùi

B

ươ

ùc

2:

T

ìm

g

ia

o

đi

ểm

H

c

uûa

(P

) v

(H

l

à

hc

c

ủa

A

t

re

ân

)

B

ươ

ùc

3:

T

ín

h

d(

A

,

) =

A

H

L

oa

ïi

: K

ho

aûn

g

ca

ùch

g

õa

đư

ờn

g

th

aún

g

so

ng

s

on

g

ùi m

p

(P

)

PP

:

B

ươ

ùc

1:

L

aáy

ñ

ie

åm

b

ất

k

th

uo

äc

đư

ờn

g

th

aún

g

(3)

6

P

H

Ư

Ơ

N

G

T

R

ÌN

H

H

E

Ä P

H

Ư

Ơ

N

G

T

R

ÌN

H

1

G

IA

ÛI

V

A

Ø B

IE

ÄN

L

U

A

ÄN

P

H

Ö

Ô

N

G

T

R

ÌN

H

B

A

ÄC

N

H

A

ÁT

:

C

ho

p

h

ư

ơ

n

g

t

n

h

b

aäc

n

ha

át:

a

x

=

b

, (

*)

X

eùt

a

=

,(

*)

t

û th

aøn

h

0

x

=

b

N

eáu

b

=

:

(*

) n

gh

ie

äm

c

uûa

p

ơn

g

trì

nh

đ

ún

g

ùi m

ọi

g

ia

ù tr

ò x

N

eáu

b

: (

*)

V

N

X

eùt

a

, (

*)

c

ng

hi

eäm

d

uy

n

ha

át:

b

x

a

=

C

hu

ù y

ù

:

Tr

on

g

th

ực

h

aøn

h,

k

hi

c

ho

a

=

, t

a

th

ay

g

ia

ù tr

ò c

uûa

th

am

s

øa

tìm

đ

ươ

ïc

va

øo

ph

ươ

ng

tr

ìn

h

(*

) đ

gi

aûi

tr

ực

ti

eáp

2

G

IA

ÛI

V

A

Ø B

IE

ÄN

L

U

A

ÄN

P

H

Ư

Ơ

N

G

T

R

ÌN

H

B

A

ÄC

H

A

I:

C

ho

p

h

ư

ơ

n

g

t

n

h

b

ậc

h

ai

:

2

0

+

+

=

a

x

b

x

c

, (

*)

X

eùt

a

=

,(*

) t

û th

àn

h

ph

ươ

ng

tr

ìn

h

ba

äc

nh

aát

: b

x

+

c

=

0

X

eùt

a

L

aäp

2

4

b

a

c

=

N

eáu

<

:

(*

) v

ô

ng

hi

ệm

N

eáu

=

:

(*

) c

ng

hi

ệm

k

ép

1,

2

2

b

x

a

=

N

eáu

>

:

(*

) c

ng

hi

eäm

1,

2

2

b

x

a

±

=

3

Đ

ỊN

H

L

Y

Ù V

IE

ØT

E

:

C

ho

2

0

,(

0

)

a

x

b

x

c

a

+

+

=

, c

2

ng

hi

eäm

x1 , x2

th

ì:

1

2

1

2

b

S

x

x

a

c

P

x

.x

a

=

+

=

   

=

=

 

N

h

n

x

ét

:

P

h

ư

ơ

n

g

t

n

h

b

ậc

h

ai

c

ó

n

g

h

iệ

m

t

i

d

ấu

P

0

<

P

h

ư

ơ

n

g

t

n

h

b

ậc

h

ai

c

ó

n

g

h

iệ

m

â

m

0

,P

0

,S

0

>

>

<

P

h

ư

ơ

n

g

t

n

h

b

ậc

h

ai

c

ó

n

g

h

iệ

m

d

ư

ơ

n

g

0

,P

0

,S

0

>

>

>

95

PP

2

: C

h

n

1

1

q

u

a

M

(d

)

: V

T

C

P

a

;

2

2

q

u

a

M

(d

)

: V

T

C

P

b

G

oïi

d

a

la

ø V

TC

P

cu

ûa

(d

)

D

o

1

1

1

m

p

ch

c

n

A

M

a

n

1

d

(

)

ø

a

d

v

µ

d

,

ã

V

T

P

T

l

µ

,

a

α

=

,

(1

)

D

o

2

2

2

m

p

ch

c

n

A

M

b

n

2

d

(

)

ø

a

d

v

µ

d

,

ã

V

T

P

T

l

µ

,

a

β

=

,

(2

)

T

(

1

),

(

2

)

v

à

d

1

2

d

a

n

n

,

=

α

β

= 

K

ết

lu

ận

(d

):

ã

d

qu

a

A

c

V

TC

P

a

V

ie

át

pt

nh

đ

ươ

øng

t

ha

úng

(

d)

q

ua

A

, s

on

g

so

ng

v

ới

(

P

)

va

ø

(

)

PP

:

m

V

TC

P

acu

ûa

(

)

v

V

TP

T

n

c

uûa

(P

)

G

oïi

d

a

la

ø V

TC

P

cu

ûa

(d

)

Ta

c

où:

,

=

 

d

d

d

a

a

a

a

n

a

n

K

ết

lu

ận

(d

):

ã

d

qu

a

A

c

V

TC

P

a

V

ie

át

pt

nh

đ

ươ

øng

t

ha

úng

(

d)

q

ua

A

, s

on

g

so

ng

v

ới

(

P

)

va

ø c

t

(

)

PP

:

L

ập

p

tm

p

(

Q

)

ch

a

2

ñ

ư

n

g

t

h

ẳn

g

c

ắt

n

h

au

(

d

)

v

à

(

)

G

i

d

'

(P

)

(Q

)

d

//

d

'

=

C

h

n

ñ

iể

m

M

,

N

t

n

d

K

eát

lu

aän

(d

):

ã

qu

a

A

c

V

TC

P

M

N

L

ập

p

ơn

g

tr

ìn

h

đư

ng

t

ha

úng

(

d)

q

ua

A

,

va

ø v

uo

âng

g

oùc

v

i

đư

ờn

g

th

aún

g

d1

đ

ồn

g

th

ời

c

aét

d2

(

d1

k

ho

âng

v

uo

âng

v

i

d2

)

PP

:

M

p

th

nh

aát

: q

ua

A

v

ch

ứa

đ

ươ

øng

th

aún

g

d2

M

p

th

ha

i:

qu

a

A

v

à

vu

ôn

g

go

ùc

đư

ờn

g

th

ẳn

g

d1

Đ

ươ

øng

th

ẳn

g

ca

àn

tìm

la

ø g

ia

o

tu

ye

án

cu

ûa

2

m

p

tre

ân

L

ập

p

ơn

g

tr

ìn

h

đư

ờn

g

th

aún

g

(d

)

so

ng

s

on

g

ùi

đ

ươ

øng

t

ha

úng

v

ca

ét

2

đ

ươ

øn

g

th

aún

g

d1

v

d2

c

he

ùo

nh

au

PP

:

C

h

n

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(d

)

:M

d

d

,

v

M

(x

a

t;

y

b

t;

z

c

t)

(d

)

:M

d

d

,

v

M

(x

a

t'

;y

b

t'

;z

c

t'

)

í

i íi

=

+

+

+

=

+

+

+

Ta

th

y

:

M1

M

2

/

/

V

T

C

P

c

,

a

1

2

ñ

a

c

ï

n

g

p

h

¬

n

g

M

M

1

2

M

M

k

.a

t,

t'

t

v1

2

ä

a

®

é

M

µ

M

=

K

ết

l

u

ận

:

(d

)

1

A

M

,

(l

ập

p

tr

ìn

h

ñ

ư

n

g

t

h

ẳn

g

ñ

i

q

u

a

2

ñ

iể

m

(4)

8

SA

I

L

A

ÀM

T

R

O

N

G

C

A

ÙC

B

A

ØI

T

O

A

ÙN

V

D

:

G

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

2

x

x

6

0

2

x

3

x

2

=

+

, (

*)

Sa

i l

ầm

th

ươ

øng

g

aëp

:

(*

)

2

x

x

6

0

2

x

3

x

2

=

+

2

x

2

x

x

6

0

(x

2

)(

x

3

)

0

x

3

=

=

+

=

 =

N

gu

ye

ân

nh

aân

s

ai

la

àm

: v

ới

x

=

th

ì m

ẫu

th

ức

=

, n

eân

x

=

la

ø

ng

hi

ệm

s

ng

oa

ïi l

ai

G

ia

ûi đ

ún

g

: (

*)

2

x

x

6

(x

2

)(

x

3

)

0

0

2

x

3

x

2

(x

2

)(

2

x

1)

+

=

=

+

+

x

3

0

x

3

0

2

x

1

0

x

3

2

x

1

x

2

0

x

2

0

=

=

=

+

+

V

D

:

G

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

2

2

x

x

2

x

1

x

2

x

1

=

+

Sa

i l

ầm

th

ươ

øng

g

aëp

:

2

2

x

x

2

x

1

x

2

x

1

=

+

2

2

2

2

1

x

1

x

2

1

x

1

x

x

1

x

1

x

1

x

2

x

1

(x

1)

(x

1)

(x

1)

(x

2

x

1)

=

=

+

+

+

+

+

+

2

2

1

x

0

x

1

x

2

x

1

0

x

1

0

=

 

+

=

  

+

x

1

x

1

x

1

x

1

=

 

=

=

 

N

gu

ye

ân

nh

aân

s

ai

la

àm

:

Ph

eùp

b

ie

án

ño

åi t

2

2

2

2

x

x

2

1

x

1

x

2

x

1

x

2

x

1

x

1

x

1

x

1

x

2

x

1

=

=

+

+

+

+

la

ø k

ho

âng

ơn

g

đư

ơn

g,

tu

y

ra

èng

k

eát

q

ua

û v

ẫn

đ

ún

g

G

ia

ûi ñ

uùn

g

:

2

2

2

x

x

2

x

(x

2

x

1)

(x

2

)(

x

1)

(*

)

x

1

x

2

x

1

0

x

2

x

1

0

=

=

+

=

93

PP

:

C

ho

ïn

1

2

M

d

,N

d

,u

l

1

2

µ

V

T

C

P

c

ñ

a

d

d

M

p

(P

)

qu

a

M

n

h

ận

n

u

,M

N

= 

l

àm

V

T

P

T

K

Q

C

h

o

h

ai

ñ

ư

n

g

t

h

ẳn

g

d1

v

à

d2

c

h

éo

n

h

au

L

ập

p

h

ư

ơ

n

g

t

n

h

h

ai

m

ặt

p

h

ẳn

g

(

P

)

v

à

(Q

)

sa

o

c

h

o

(

P

)

ch

a

d1

,

(Q

)

ch

a

d2

v

à

(P

)

//

(

Q

)

P

P

:

M

i

m

p

l

ập

g

iố

n

g

n

h

ư

d

ạn

g

C

h

ú

ý

b

ài

t

o

án

n

ày

c

ó

l

n

h

m

ật

t

h

iế

t

v

i

b

ài

t

o

án

l

ập

ñ

ư

n

g

v

u

ô

n

g

g

ó

c

ch

u

n

g

2

G

O

ÙC

H

Ô

ÏP

B

Ô

ÛI

2

M

P

(P

) V

A

Ø (

Q

):

PP

:

Đ

tín

h

go

ùc

nh

oïn

g

õa

2m

p

ta

s

tìm

C

os

in

go

ùc

cu

ûa

2

V

TP

T

cu

ûa

2m

p

tre

ân,

(d

ựa

v

ào

c

ô

ng

t

ùc

1

2

1

2

1

2

co

s(

,

)

n

n

n

n

n

n

=

)

3

V

Ò

T

R

Í

T

Ư

Ơ

N

G

Ñ

O

ÁI

C

U

ÛA

M

P

(P

) V

A

Ø (

Q

):

C

ó

3

vị

tr

í t

ươ

ng

đ

ối

: c

aét

-

tru

øng

s

on

g

so

ng

PP

:

C

ho

(P

)

:

A

x

B

y

C

z

D

0

,c

(A

,B

,C

)

(Q

)

:A

'x

B

'y

C

'z

D

'

0

,c

(A

',

B

',

C

')

+

+

+

=

=

+

+

+

=

=

P Q

ã

V

T

P

T

n

ã

V

T

P

T

n

X

eùt

h

ai

V

TP

T

ta

đ

ươ

ïc:

P

Q

(P

)

(Q

)

n

k

.n

P

Q

n

k

.n

(P

)

//

(Q

)

D

k

.D

'

=

P

Q

n

k

.n

(P

)

(Q

)

D

k

.D

'

=

=

P

Q

(P

)

(Q

)

n

.n

0

=

4

K

H

O

A

ÛN

G

C

A

ÙC

H

T

Ư

Ø Đ

IE

ÅM

M0

Ñ

E

ÁN

M

P

(P

):

C

ho

M0 (x0 ,y0 ,z0

) v

m

p

(P

):

A

x

+

B

y

+

C

z

+

D

=

, k

ho

aûn

g

ca

ùch

ø M

0

ñe

án

(P

) l

aø:

[

]

0

0

0

0

2

2

2

A

x

B

y

C

z

D

d

M

,(

P

)

A

B

C

+

+

+

=

+

(5)

10

4

D

A

ÁU

C

U

ÛA

N

H

Ò

T

H

Ö

ÙC

B

A

ÄC

N

H

A

ÁT

:

Tr

on

g

kh

i g

ia

ûi b

ất

p

ơn

g

trì

nh

b

aäc

n

ha

át m

oät

a

ån

so

á, c

hu

ùng

ta

c

ần

x

ét

da

áu

ch

uùn

g

V

ie

äc

xe

ùt d

ấu

b

ắt

đ

ầu

ø x

ét

d

ấu

c

ác

n

th

ức

b

aäc

n

ha

át

C

ho

n

th

ức

b

aäc

n

ha

át

:

f(

x)

=

a

x

+

b

,

(a

0

)

x

−∞

b a

(n0

c

uûa

n

th

ức

)

+∞

f(

x)

=

a

x

+

b

t

ra

ùi d

aáu

h

s

a

0

c

uøn

g

da

áu

h

s

a

C

hu

ù y

ù:

M

ột

đ

a

th

ức

b

aát

k

lu

ôn

lu

oân

p

ha

ân

tíc

h

th

àn

h

tíc

h

cu

ûa

ca

ùc

nh

ò

th

c

va

ø

ca

ùc

ta

m

t

ùc

ba

äc

ha

i

vo

â n

gh

ie

äm

D

o

ño

ù v

ie

äc

xe

ùt

da

áu

m

oät

b

ie

åu

th

ức

c

hỉ

ca

àn

bi

ết

x

ét

d

ấu

n

th

ức

v

ta

m

th

ức

b

aäc

h

ai

v

ng

hi

eäm

(

bi

ệt

s

<

)

5

D

A

ÁU

C

U

ÛA

T

A

M

T

H

Ö

ÙC

B

A

ÄC

H

A

I:

C

ho

ta

m

th

c

b

c

ha

i:

f(

x)

=

2

ax

b

x

c

a

0

,(

)

+

+

Ta

m

th

ức

b

aäc

h

ai

vo

â n

gh

ie

äm

:

0

<

x

−∞

+∞

f(

x)

c

uøn

g

da

áu

he

ä s

a

Ta

m

th

ức

b

aäc

h

ai

co

ù n

gh

ie

äm

k

eùp

:

0

=

x

−∞

b

n

g

h

i

2

a

(

Öm

k

Ðp

)

+∞

f(

x)

c

uøn

g

da

áu

he

ä s

a

0

c

uøn

g

da

áu

he

ä s

a

Ta

m

th

ức

b

aäc

h

ai

co

ù

n

gh

ie

äm

p

ha

ân

bi

eät

:

0

>

x

−∞

2

x

1

x

+∞

f(

x)

c

uøn

g

da

áu

a

0

tr

ái

d

ấu

a

0

c

uøn

g

da

áu

a

L

öu

y

ù:

Ta

c

ó

th

xe

ùt d

aáu

b

ie

åu

th

ức

b

ằn

g

ph

ươ

ng

p

ha

ùp

kh

oa

ûng

91

4

C

A

ÙC

D

A

ÏN

G

T

O

A

ÙN

T

H

Ư

Ơ

ØN

G

G

A

ËP

:

T

ìm

t

ọa

ñ

m

oät

v

ec

to

r

va

ø c

ác

y

ếu

t

lie

ân

qu

an

đ

ến

v

ec

to

r

th

oûa

m

ãn

m

ột

s

đi

ều

k

ie

än

ch

o

tr

ươ

ùc

:

PP

: S

du

ng

c

ác

đ

ịn

h

ng

a

co

ù li

eân

q

ua

n

ñe

á v

ec

to

r:

to

ïa

ño

ä v

ec

to

r,

ño

ä d

aûi

ve

ct

or

, b

ie

át

ph

aân

t

íc

h

m

ột

v

ec

to

r

th

eo

v

ec

to

r

kh

oân

g

ño

àng

p

ha

úng

, b

ie

át

tín

h

to

ång

h

ie

äu

cu

ûa

ha

i v

ec

to

r,

bi

eát

t

ín

h

ca

ùc

to

ïa

ño

ä t

ro

ng

ta

âm

c

uûa

m

oät

ta

m

g

ia

ùc,

C

ùng

m

in

h

ca

ùc

he

ä t

ùc

ve

ct

or

:

PP

: S

du

ïng

q

uy

ta

éc

3

đi

ểm

đ

ối

v

ới

p

he

ùp

co

äng

, p

he

ùp

trư

ø v

á

ca

ùc

tín

h

ch

ất

cu

ûa

ph

ép

to

án

v

ve

ct

or

ñ

bi

ến

đ

ổi

c

ác

h

th

ức

v

ec

to

r

T

íc

h

vo

â h

ươ

ùng

v

ca

ùc

ứn

g

du

ïng

c

ủa

ch

v

ô

ớn

g

PP

: S

du

ïng

Đ

ịn

h

ng

a

tíc

h

vo

â h

ươ

ùng

v

à

bi

ểu

th

ức

to

ïa

ño

ä c

ủa

ch

v

ô

ớn

g

C

ác

c

ôn

g

th

ức

t

ín

h

kh

oa

ûng

c

aùc

h

gi

ữa

h

ai

ñ

ie

åm

,

tín

h

go

ùc

gi

ữa

h

ai

ve

ct

or

L

ập

p

ơn

g

tr

ìn

h

m

ặt

c

ầu

k

hi

b

ie

át

ta

âm

v

ba

ùn

nh

c

ủa

n

ó

:

PP

: C

da

ïng

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

x

a

y

b

z

c

R

+

+

=

C

ho

b

ie

át

ph

ươ

ng

t

nh

m

aët

c

aàu

,

ha

õy

xa

ùc

đị

nh

t

âm

v

à

ba

ùn

nh

cu

ûa

m

ặt

c

ầu

đ

Jb

T

r

aàn

L

o

n

g

G

ia

(6)

12

SA

I

L

A

ÀM

T

R

O

N

G

C

A

ÙC

B

A

ØI

T

O

A

ÙN

V

D

: G

ia

ûi b

aát

p

ơn

g

trì

nh

0

2

3

2

)

3

(

2

2

x

x

x

x

Sa

i l

aàm

th

ươ

øng

g

ặp

:

0

2

3

2

)

3

(

2

2

x

x

x

x

 

   

   

2

1

3

2

1

2

0

3

0

2

3

2

0

3

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

N

gu

ye

ân

nh

aân

s

ai

la

àm

:

0

0

0

B

A

B

A

, s

ai

la

àm

b

ởi

v

ì n

eáu

B

=

, t

B

PT

đ

ún

g

ùi m

oïi

A

, m

à

kh

ôn

g

ca

àn

0

A

G

ia

ûi đ

ún

g

:

0

2

3

2

)

3

(

2

2

x

x

x

x

 

    

>

=

0

3

2

0

2

3

2

0

2

3

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

 

=

 

     

<

>

=

=

2

1

3

2

0

3

2

1

2

2

1

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

V

aäy

n

gh

ie

äm

la

ø :

1

x

2

x

3

x

2

=

C

hu

ù y

ù

:

2

n

B

0

A

B

0

B

0

A

0

=

 

>

   



N

eáu

b

aïn

q

ua

n

ta

âm

v

va

án

ñe

à “

C

A

ÙC

S

A

I L

A

ÀM

T

H

Ư

Ơ

ØN

G

G

A

ËP

K

H

I

G

IA

ÛI T

O

A

ÙN

ne

ân

th

am

k

ha

ûo

th

eâm

tr

on

g

sa

ùch

c

uøn

g

te

ân

cu

ûa

ta

ùc

gi

TR

A

ÀN

P

H

Ư

Ơ

N

G

v

N

G

U

Y

ỄN

Đ

Ư

ÙC

T

A

ÁN

N

ha

ø x

ua

át b

aûn

H

à

N

ội

89

T

ÍC

H

V

O

 H

Ư

Ơ

ÙN

G

T

ÍC

H

H

Ư

ÕU

H

Ư

Ơ

ÙN

G

1

T

O

ÏA

Ñ

O

Ä Ñ

IE

ÅM

V

A

Ø T

O

ÏA

Ñ

O

Ä V

E

C

T

O

R

:

G

oïi

i,

j

,

k

la

ø

v

ec

to

r đ

ơn

v

ò,

i

j

k

1

=

=

=

T

a

co

ù:

M

(x

, y

, z

)⇔

=

+

+

O

M

x

.i

y

.j

z

k

→ a =

(a1 , a2 , a3

)

=

+

+

=

+

+

2

2

2

1

2

3

1

2

3

a

a

a

a

a

.i

.j

a

.k

a

a

T

ọa

ñ

ve

ct

or

:

C

ho

A

(xA , yA

) v

B

(xB , yB

)

B

A

B

A

B

A

A

B

(x

x

,y

y

,z

z

)

=

(

)

(

)

2

2

2

B

A

B

A

B

A

A

B

x

x

y

y

(z

z

)

=

+

+

T

íc

h

vo

â h

ươ

ùng

:

C

ho

a

=

(a1 , a2 , a3

) v

b

=

(b1 , b2 , b3

)

(

)

1

1

2

2

3

3

1

a

b

a

.b

a

.b

a

.b

a

b

a

b

4

=

+

+

=

+

a

b

C

o

s(

a

,b

)

a

b

=

1

1

2

2

3

3

a

b

a

.b

a

.b

a

.b

0

+

+

=

2

T

ÍC

H

H

Ư

ÕU

H

Ư

Ơ

ÙN

G

V

E

C

T

O

R

T

ÍC

H

H

O

ÃN

T

A

ÏP

:

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

,

,

,

=

a

a

a

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b

b

a

a

,b

,

b

a

,b

T

ọa

đ

tru

ng

ñ

ie

åm

M

c

uûa

A

B

:

A

B

A

B

A

B

x

x

y

y

z

z

M

,

,

2

2

2

+

+

+

T

ro

ïng

ta

âm

G

c

uûa

A

B

C

:

A

B

C

A

B

C

A

B

C

x

x

x

y

y

y

z

z

z

G

,

,

3

3

3

+

+

+

+

+

+

a

c

ï

n

g

p

h

¬

n

g

b

,

0

a

b

=

,

va

ø n

ợc

la

ïi

a,

b,

cño

àng

p

ha

úng

,

0

=

a

b

c

, v

ng

ươ

ïc

la

ïi

4

ñ

ie

åm

A

, B

, C

,

D

k

ho

âng

đ

ồn

g

ph

aún

g

A

B

,A

C

.A

D

0

D

ie

än

tíc

h

ta

m

g

ia

ùc

A

B

C

: S

A

B

C

=

1

A

B

,A

C

2

Th

tíc

h

ù d

ie

än:

A

B

C

D

1

V

A

B

,A

C

.A

D

6

=

Th

tíc

h

nh

h

oäp

:

A

B

C

D

.A

'B

'C

'D

'

V

A

B

,A

C

.A

A

'

= 

(7)

14

C

ôn

g

th

ức

c

oän

g:

C

o

s(

a

b

)

co

s

a

.c

o

s

b

si

n

a

si

n

b

C

o

s(

a

b

)

co

s

a

co

s

b

si

n

a

si

n

b

si

n

(a

b

)

si

n

a

.c

o

s

b

si

n

b

.c

o

s

a

si

n

(a

b

)

si

n

a

co

s

b

si

n

b

.c

o

s

a

ta

n

a

ta

n

b

ta

n

(a

b

)

1

ta

n

a

.t

an

b

ta

n

a

ta

n

b

ta

n

(a

b

)

1

ta

n

a

.t

an

b

=

+

+

=

=

+

=

+

=

+

+

+

=

C

ôn

g

th

ức

n

ha

ân

ño

âi:

2

2

2

2

2

si

n

2

a

2

si

n

a.

co

s

a

co

s

2

a

co

s

a

si

n

a

2

co

s

a

1

1

2

si

n

a

2

ta

n

a

ta

n

2

a

1

ta

n

a

= =

=

=

=

C

oân

g

th

ức

h

ba

äc:

2 2

1

co

s

2

a

co

s

a

2

1

co

s

2

a

si

n

a

2

1

co

s

2

a

ta

n

a

1

co

s

2

a

1

si

n

a

.c

o

s

a

si

n

2

a

2

+

=

=

=

+ =

C

ôn

g

th

ức

n

ha

ân

ba

:

3

3

co

s

3

a

4

co

s

a

3

co

s

a

si

n

3

a

3

si

n

a

4

si

n

a

=

=

87

D

n

g

2

:

K

h

ảo

t

th

iế

t

d

iệ

n

so

n

g

so

n

g

v

i

tr

c

củ

a

m

ặt

n

ó

n

P

P

:

T

h

iế

t

d

iệ

n

q

u

a

ñ

ỉn

h

m

ặt

n

ó

n

l

à

m

t

ta

m

g

c

n

,

:

C

ạn

h

b

ên

l

à

m

t

ñ

ư

n

g

s

in

h

C

ạn

h

ñ

áy

m

t

d

â

y

cu

n

g

củ

a

ñ

ư

n

g

t

n

ñ

á

y

D

n

g

:

K

h

ảo

s

át

t

h

iế

t

d

iệ

n

s

o

n

g

so

n

g

v

i

tr

c

củ

a

m

ặt

t

rụ

P

P

:

T

h

iế

t

d

iệ

n

s

o

n

g

s

o

n

g

v

i

tr

c

củ

a

m

t

h

ìn

h

t

rụ

l

à

m

t

h

ìn

h

c

h

n

h

ật

,

:

2

c

ạn

h

l

à

2

ñ

ư

n

g

s

in

h

2

cạ

n

h

n

lạ

i

2

d

ây

cu

n

g

so

n

g

s

o

n

g

b

ằn

g

n

h

au

c

a

2

ñ

ư

n

g

tr

n

đ

áy

D

n

g

:

T

ín

h

d

iệ

n

t

íc

h

,

th

ch

c

a

m

ặt

n

ó

n

P

P

:

D

iệ

n

ch

x

u

n

g

q

u

an

h

m

ặt

n

ó

n

:

xq

S

R

=

π

T

h

ch

m

ặt

n

ó

n

:

2

1

V

R

h

3

=

π

M

i

q

u

an

h

g

iữ

a

ñ

ư

n

g

s

in

h

b

án

k

ín

h

v

à

ch

iề

u

ca

o

củ

a

m

ặt

n

ó

n

:

2

2

2

R

h

=

+

D

n

g

3

:

T

ín

h

d

iệ

n

ch

,

th

ch

củ

a

m

ặt

t

rụ

P

P

:

D

iệ

n

ch

x

u

n

g

q

u

an

h

m

ặt

n

ó

n

:

=

π

xq

S

2

R

h

T

h

ch

m

ặt

n

ó

n

:

=

π

2

V

R

h

ð

ư

n

g

s

in

h

v

à

ch

iề

u

c

ao

c

a

m

ặt

tr

l

à

b

ằn

g

n

h

au

M

T

C

U

D

n

g

1

:

C

h

n

g

m

in

h

n

h

iề

u

ñ

iể

m

n

ằm

t

n

m

ặt

c

ầu

P

P

:

N

ếu

O

m

t

ñ

iể

m

cố

ñ

ịn

h

v

à

k

h

o

ản

g

c

ác

h

t

O

ñ

ến

c

ác

ñ

iể

m

ñ

ó

b

ằn

g

n

h

au

T

ro

n

g

s

c

ác

ñ

iể

m

,

ñ

iể

m

m

à

c

ñ

iể

m

k

h

ác

c

ù

n

g

n

h

ìn

đ

o

ạn

t

h

ẳn

g

n

i

h

ai

ñ

iể

m

ñ

ó

d

ư

i

m

t

g

ó

c

v

u

ơ

n

g

D

n

g

2

:

T

ìm

m

m

ặt

cầ

u

n

i

-

n

g

o

ại

t

iế

p

k

h

i

ñ

a

d

iệ

n

ñ

ều

P

P

:

M

ặt

c

ầu

n

g

o

ại

t

iế

p

k

h

i

ñ

a

d

iệ

n

ñ

ều

n

ếu

t

ất

c

c

ñ

ỉn

h

c

a

k

h

i

ñ

a

d

iệ

n

ñ

ều

t

h

u

c

m

ặt

c

ầu

M

ặt

cầ

u

n

i

ti

ếp

k

h

i

ñ

a

d

iệ

n

n

ếu

tấ

t

cả

c

m

ặt

củ

a

k

h

i

ñ

a

d

iệ

n

ñ

ều

t

iế

p

x

ú

c

v

i

m

ặt

c

ầu

(8)

16 Đ ưa p h Đ ưa p h Đ ưa p h Đ ưa p h n g t rì n h v ề cu øng m ột h àm : v ề cu øng m ột h àm : v ề cu øng m ột h àm : v ề cu øng m ột h àm : V í d ụ: 2 co s si n si n si n si n si n − = ⇔ − − = ⇔ + + = x x x x x x Tr on g ph ươ ng tr ìn h ch ứa d ạn g bì nh p hư ơn g, d ùn g co âng th ức h ba äc: Tr on g ph ươ ng tr ìn h ch ứa d ạn g bì nh p hư ơn g, d ùn g co âng th ức h ba äc: Tr on g ph ươ ng tr ìn h ch ứa d ạn g bì nh p hư ơn g, d ùn g co âng th ức h ba äc: Tr on g ph ươ ng tr ìn h ch ứa d ạn g bì nh p hư ơn g, d ùn g co âng th ức h ba äc: V í d ụ: 2 co s co s si n si n − + = x x x x cos x si n x cos x 2 2( cos x ) si n x cos x si n x cos x K Q + − ⇔ − + = ⇔ + − + − = ⇔ − = ⇒ PhPhPhPh n g t rì n h

d d d d

ạ ngngngng tí ch đ ưa v ề to å tí ch đ ưa v ề to å tí ch đ ưa v ề to å tí ch đ ưa v ề to ång : s du ïng tí ch th àn h to ång ng : s du ïng tí ch th àn h to ång ng : s du ïng tí ch th àn h to ång ng : s du ïng tí ch th àn h to ång :::: V í d ụ: si n s in 11 si n s in = x x x x ( ) ( ) 1 co s x co s1 x co s x co s1 x 2 co s x co s x K Q ⇔ − = − ⇔ = ⇒ PhPhPhPh n g t rì n h

d d d d

(9)

18

D

uøn

g

co

âng

th

ức

h

ba

äc:

2

2

2

1

co

s

2

u

1

co

s

2

u

1

co

s

2

u

co

s

u

;

si

n

u

;

ta

n

u

2

2

1

co

s

2

u

+

=

=

=

+

đư

a

ve

à p

ơn

g

trì

nh

b

ậc

n

ha

át t

he

o

si

n

va

ø c

os

:

as

in

u

+

bc

os

u

=

c

Ph

ươ

ng

tr

ìn

h

đo

ái x

ứn

g

th

eo

s

in

u,

c

os

u:

Ph

ươ

ng

tr

ìn

h

đo

ái x

ứn

g

th

eo

s

in

u,

c

os

u:

Ph

ươ

ng

tr

ìn

h

đo

ái x

ứn

g

th

eo

s

in

u,

c

os

u:

Ph

ươ

ng

tr

ìn

h

đo

ái x

ứn

g

th

eo

s

in

u,

c

os

u:

Ñ

ưa

c

ác

n

ho

ùm

đ

ối

x

ứn

g

ve

à s

in

u

+

co

su

v

si

nu

.c

os

u:

Đ

ưa

c

aùc

n

ho

ùm

đ

ối

x

ứn

g

ve

à s

in

u

+

co

su

v

si

nu

.c

os

u:

Đ

ưa

c

aùc

n

ho

ùm

đ

ối

x

ứn

g

ve

à s

in

u

+

co

su

v

si

nu

.c

os

u:

Đ

ưa

c

aùc

n

ho

ùm

ñ

oái

x

ứn

g

ve

à s

in

u

+

co

su

v

si

nu

.c

os

u:

Đ

ặt

: t

=

s

in

u

+

co

su

=

í

i

π

+

2

si

n

u

,v

2

t

2

4

=

2 t

1

si

n

u

co

su

2

Ñ

ưa

c

ác

n

ho

ùm

đ

ối

x

ứn

g

ve

à s

i

Đ

ưa

c

aùc

n

ho

ùm

đ

ối

x

ứn

g

ve

à s

i

Ñ

ưa

c

ác

n

ho

ùm

đ

ối

x

ứn

g

ve

à s

i

Đ

ưa

c

aùc

n

ho

ùm

đ

ối

x

ứn

g

ve

à s

in

u nu

nu

nu

––––

c

os

u

va

ø s

in

u

co

su

:

c

os

u

va

ø s

in

u

co

su

:

c

os

u

va

ø s

in

u

co

su

:

c

os

u

va

ø s

in

u

co

su

:

Ñ

ặt

:

í

i

π

=

=

t

si

n

u

co

su

2

si

n

u

,v

2

t

2

4

=

2

1

t

si

n

u

co

su

2

C

A

ÙC

L

Ö

U

Y

Ù K

H

I

G

IA

ÛI

PH

Ư

Ơ

N

G

T

R

ÌN

H

L

Ư

Ơ

ÏN

G

G

IA

ÙC

:

N

aém

v

ữn

g

ca

ùc

co

âng

th

ức

ợn

g

gi

ác

Ta

q

uy

ö

ớc

èng

: p

ơn

g

trì

nh

ợn

g

gi

ác

kh

ôn

g

û d

un

g

đơ

n

vị

ñ

o

go

ùc

la

ø đ

th

ì m

ặc

n

hi

eân

a

ån

so

á c

ó

so

á đ

o

la

ø

di

an

c

ủa

g

óc

ợn

g

gi

ác

D

o

ño

ù,

ch

uùn

g

ta

p

ha

ûi

th

oán

g

nh

ất

v

đơ

n

vị

t

ro

ng

k

hi

g

ia

ûi

ph

ươ

ng

trì

nh

ợn

g

gi

ác

K

ý

hi

ệu

:

ar

cs

in

a

, a

rc

co

s

a,

a

rc

ta

n

a,

a

rc

co

t

a

c

gi

á

trị

la

ø n

õng

so

á th

ực

, t

ức

la

ø n

õng

cu

ng

đ

ó

co

ù s

đo

nh

b

aèn

g

ra

di

an

N

eân

v

ie

át

ar

ct

an

1

4

π

=

kh

ôn

g

đư

ợc

v

ie

át

0

ar

ct

an

1

4

5

=

K

hi

g

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

b

ằn

g

m

áy

nh

b

tu

ùi c

aàn

co

äng

t

he

âm

c

hu

k

y

ø

(

k

2

/k

π

π

) v

à

ch

ú

ý

đơ

n

vị

ha

y

ra

d)

V

ie

äc

gi

ải

m

ột

p

ơn

g

trì

nh

l

ươ

ïng

g

ia

ùc

la

ø t

ìm

h

ng

hi

eäm

, s

au

m

oät

va

øi p

he

ùp

bi

ến

đ

ổi

đ

ơn

g

ia

ûn

đ

đư

a

ph

ươ

ng

tr

ìn

h

ợn

g

gi

ác

đ

ã

ch

o

ve

à d

ạn

g

ph

ươ

ng

t

rìn

h

ợn

g

gi

aùc

c

ơ

ba

ûn

gi

úp

v

ie

äc

tìm

h

ng

hi

ệm

na

øy

th

ua

än

ïi h

ôn

83

Q

U

A

N

H

E

Ä

SO

N

G

S

O

N

G

V

U

O

ÂN

G

G

O

ÙC

H

A

I

M

A

ËT

PH

A

ÚN

G

H

aäu

q

ua

û

:

(

)

(

)

(

)/

/(

)

(

),

(

)/

/(

)

α

β

α

β

 α

β

γ

H

aäu

q

ua

û

:

C

ho

ñ

ie

åm

A

k

ho

âng

n

aèm

t

re

ân

m

aët

p

ha

úng

(

α

)

M

ọi

đ

ươ

øng

th

ẳn

g

đi

q

ua

A

//

(

α

) đ

ều

n

aèm

tro

ng

m

aët

p

ha

úng

ñ

i

qu

a

A

v

so

ng

so

ng

v

ới

(

α

)

Ñ

òn

h

ly

ù

:

(

)/

/(

)

(

)

(

)

b

(

)

(

)

a

a

//

b

α

β

γ

β

=

γ

α

=

H

aäu

q

ua

û:

H

ai

m

aët

ph

aún

g

so

ng

so

ng

ch

aén

t

re

ân

ha

i c

aùt

t

uy

eán

s

on

g

so

ng

n

õng

đ

oa

ïn

ba

èng

n

ha

u

Đ

ịn

h

ly

ù

: (

Đ

ịn

h

ly

ù T

ha

le

s)

B

a

m

aët

p

ha

úng

p

ha

ân

bi

eät

s

on

g

so

ng

c

ha

én

tre

ân

ha

i

ca

ùt

tu

ye

án

ba

át

ky

ø

nh

ữn

g

đo

ạn

th

ẳn

g

ơn

g

ứn

g

tỉ

le

ä

H

ậu

q

ua

û

:

C

ho

h

ai

m

aët

p

ha

úng

(

α

)

va

ø

(

β

)

vu

ôn

g

go

ùc

ùi

nh

au

N

eáu

t

m

ột

đ

ie

åm

t

hu

ộc

m

ặt

ph

aún

g

(

α

)

ta

ïng

m

ột

đư

ờn

g

th

ẳn

g

vu

ôn

g

go

ùc

ùi

m

ặt

ph

ẳn

g

(

β

)

th

ì

đư

ờn

g

th

aún

g

na

øy

na

èm

tro

ng

m

ặt

ph

ẳn

g

(

α

)

Ñ

òn

h

ly

ù

:

N

eáu

h

ai

m

aët

p

ha

úng

c

aét

n

ha

u

va

ø

cu

øng

v

uo

âng

g

oùc

v

ới

m

ột

m

ặt

ph

ẳn

g

th

ì g

ia

o

tu

ye

án

cu

ûa

ch

uùn

g

vu

oân

g

go

ùc

ùi m

ặt

p

ha

úng

đ

ó

3

C

A

ÙC

D

A

ÏN

G

H

ÌN

H

T

R

O

N

G

K

H

O

ÂN

G

G

IA

N

:

H

ÌN

H

C

H

O

ÙP

: L

m

ột

đ

a

di

ện

m

à

m

ột

m

aët

la

ø

đ

a

gi

ác

p

ha

úng

, g

ọi

la

ø đ

áy

c

ủa

h

ìn

h

ch

óp

, c

òn

c

ác

m

ặt

c

oøn

la

ïi l

nh

ữn

g

ta

m

g

ia

ùc

co

ù đ

ỉn

h

ch

un

g

kh

oân

g

na

èm

tr

on

g

m

aët

p

ha

úng

đ

áy

, g

ọi

la

ø đ

ỉn

h

cu

ûa

nh

c

ho

ùp

To

ång

d

ie

än

tíc

h

cu

ûa

ta

át c

ca

ùc

m

ặt

h

ìn

h

ch

oùp

la

ø d

ie

än

tíc

h

to

aøn

p

ha

àn

C

oøn

to

ång

d

ie

än

tíc

h

ca

ùc

m

aët

b

eân

la

ø d

ie

än

tíc

h

xu

ng

q

ua

nh

K

ho

ái đ

a

di

ện

g

ùi h

aïn

b

ởi

h

ìn

h

ch

óp

g

oïi

la

ø k

ho

ái c

ho

ùp

T

he

å t

íc

h

cu

ûa

kh

oái

c

ho

ùp

(

co

øn

đư

ợc

g

ọi

l

à

th

ch

h

ìn

h

ch

óp

):

ch

1

V

S

.h

3

ó

p

đ

áy

=

T

ro

n

g

S

l

đ

áy

đ

ã

:

µ

d

n

t

Ýc

h

m

ặt

đ

áy

,

h

l

µ

ch

u

c

ao

c

đ

a

h

×n

h

c

h

ã

(10)

20

Ta

s

du

ïng

c

nh

h

ợp

k

hi

g

ặp

nh

h

uo

áng

:

Ph

ải

c

ho

ïn

k

ph

aàn

û tö

ø n

p

ha

àn

û

Sa

ép

th

ï k

p

ha

àn

û đ

ó

C

hu

ù y

ù

: N

ha

än

di

eän

b

aûn

c

ha

át c

ủa

v

ấn

đ

la

ø c

hỉ

nh

h

ợp

n

eáu

y

eáu

to

á th

ï la

ø

co

át l

oõi

T

ïp:

C

oân

g

th

ức

:

k n

n

!

C

k

!(

n

k

)!

=

C

ho

ta

äp

X

g

oàm

n

p

ha

àn

û M

ột

to

å h

ợp

n

ch

aäp

k

c

uûa

X

la

ø m

oät

ta

äp

co

n

cu

ûa

X

g

oàm

k

p

ha

àn

û:Y

={

}

1

2

k

x

,x

,.

,x

D

o

ùi m

ỗi

to

å h

ợp

n

c

ha

äp

k

ta

ta

ïo

ra

đ

ươ

ïc

k!

c

nh

h

ợp

n

c

ha

äp

k,

n

eân

ta

co

ù: k

!

k

k

n

n

C

A

=

ho

aëc

k

k

n

n

A

C

k

!

=

Ta

s

du

ïng

to

å h

ợp

k

hi

g

ặp

nh

h

uo

áng

:

C

aàn

c

ho

ïn

ra

ø ta

äp

X

c

n

ph

ần

û m

ột

ta

äp

co

n

co

ù k

p

ha

àn

û

Tr

on

g

ta

äp

co

n

k

ph

ần

û đ

ó,

ta

k

ho

âng

q

ua

n

ta

âm

ñ

ến

th

ï c

ủa

c

ác

ph

ần

û

C

hu

ù y

ù

:

N

ha

än

di

eän

b

aûn

c

ha

át

cu

ûa

va

án

ñe

à l

to

å h

ợp

n

eáu

y

ếu

t

th

ï l

à

kh

oân

g

qu

an

h

(tư

ùc

kh

oân

g

ca

àn

qu

an

ta

âm

ñ

ến

th

ï)

3

N

H

Ò

T

H

Ö

ÙC

N

E

W

T

O

N

C

oân

g

th

ức

: (

)

n

n

k

n

k

k

n

k

0

a

b

C

a

b

=

+

=∑

T

ín

h

ch

ất

:

k

k

1

k

n

n

1

n

1

C

C

C

− −

=

+

n

ch

aün

: s

ha

ïng

c

nh

g

õa

th

n

1

2

+

n

le

û:

s

ha

ïng

c

nh

g

õa

th

n

1

n

1

1

2

2

+

+

+

So

á c

ác

s

ha

ïng

tr

on

g

kh

ai

tr

ie

ån

nh

ị t

ùc

n

(a

b

)

+

la

ø n

+1

81

2

B

A

ÛN

G

T

O

ÙM

T

A

ÉT

Q

U

A

N

H

E

Ä S

O

N

G

S

O

N

G

V

A

Ø V

U

O

ÂN

G

G

O

ÙC

:

Q

U

A

N

H

E

Ä

SO

N

G

S

O

N

G

V

U

O

ÂN

G

G

O

ÙC

H

ai

đ

ươ

øng

t

ha

úng

c

uøn

g

na

èm

tro

ng

m

ột

m

ặt

ph

aún

g

va

ø

kh

oân

g

co

ù ñ

ie

åm

c

hu

ng

G

oùc

c

hu

ùng

b

aèn

g

90

0

H

A

I

Đ

Ư

Ơ

ØN

G

T

H

A

ÚN

G

Đ

ịn

h

ly

ù

:

Q

ua

ñ

ie

åm

k

ho

âng

n

aèm

t

re

ân

đư

ờn

g

th

ẳn

g

ch

o

trö

ớc

, c

ó

m

ột

va

ø c

hỉ

m

ột

đ

ươ

øng

t

ha

úng

s

on

g

so

ng

v

ới

đ

ươ

øng

th

ẳn

g

đa

õ c

ho

Đ

ịn

h

ly

ù

:

(

)

(

)

a

a

//

b

//

c

(

)

(

)

b

a,

b,

c

(

)

(

)

c

α

β

=

 β

γ

=

 

 γ

α

=

đồ

ng

q

uy

H

aäu

q

ua

û

:

N

eáu

h

ai

m

p

ph

aân

b

ie

ät

cu

øng

ch

ứa

đ

ươ

øng

th

aún

g

so

ng

s

on

g

th

ì g

ia

o

tu

ye

án

cu

ûa

ch

uùn

g

(n

eáu

co

ù)

cu

õng

s

on

g

so

ng

v

ới

h

ai

đư

ờn

g

th

ẳn

g

đo

ù h

oa

ëc

tru

øng

v

ới

1

tro

ng

h

ai

đ

ươ

øng

th

aún

g

đo

ù

Đ

ịn

h

ly

ù

:

a

b

a

//

b

a

,b

//

c

 

G

óc

gi

ữa

2

ve

ct

or

tro

ng

kh

oân

g

gi

an

:

(

)

0

0

0

u

,v

1

8

0

ch

vo

â

ớn

g

cu

ûa

ha

i

ve

ct

or

tr

on

g

kh

oân

g

gi

an

:

=

u

.v

u

v

co

s(

u

.v

)

V

ec

to

r

a

k

ha

ùc

ve

ct

or

kh

oân

g

đư

ợc

g

ọi

l

à

V

TC

P

cu

ûa

đư

ờn

g

th

aún

g

d

ne

áu

gi

cu

ûa

ve

ct

or

a

so

ng

so

ng

ho

ặc

tr

ùn

g

ùi đ

ươ

øng

th

aún

g

d

Đ

ươ

øng

t

ha

úng

v

m

aët

p

ha

úng

kh

ôn

g

co

ù đ

ie

åm

c

hu

ng

Đ

ươ

øng

t

ha

úng

v

uo

âng

g

oùc

v

ới

m

ọi

đ

ươ

øng

th

ẳn

g

tro

ng

m

t

Đ

Ư

Ơ

ØN

G

V

A

Ø M

A

ËT

PH

A

ÚN

G

Đ

ịn

h

ly

ù

:

d

(

)

d

//

(

)

d

//

d

,(

d

(

))

α

α

′⊂

α

 Địn

h

ly

ù

:

a

//

(

);

a

(

)

b

//

a

(

)

(

)=

b

α

β

 α

β

Đ

ịn

h

ly

ù

:

a

,b

(

);

a

b

(

)

a

;

b

α

α

 ∆

 Haäu

q

ua

û

:

N

eáu

m

ột

đ

ươ

øng

t

ha

úng

v

uo

âng

go

ùc

ùi h

ai

c

aïn

h

cu

ûa

m

oät

ta

m

gi

aùc

th

ì

no

ù

vu

ôn

g

go

ùc

(11)

22

K

hi

eäu

:

1

2

n

i

j

A

A

A

A

A

,i

j

=

  

=

 

T

ín

h

ch

ất

: N

ho

ùm

c

aùc

b

ie

án

co

á ta

ïo

th

aøn

h

kh

oân

g

gi

an

m

aãu

B

ie

án

co

á đ

ối

la

äp:

La

ø n

ho

ùm

b

ie

án

co

á đ

ầy

đ

va

ø x

un

g

kh

aéc

,

A

=

bi

ến

c

kh

ôn

g

xa

ûy

ra

b

ie

án

co

á

A

la

ø b

ie

án

co

á đ

ối

la

äp

ùi b

ie

án

co

á A

T

ro

ng

p

he

ùp

th

x

ác

đ

ịn

h

co

ù m

oät

v

à

ch

ỉ m

ột

A

h

oa

ëc

A

xa

ûy

ra

K

ý

hi

ệu

:

A

A

A

A

=

 

=

 

T

ín

h

ch

ất

: C

ó

th

no

ùi h

ai

b

ie

án

co

á đ

ối

la

äp

th

ì x

un

g

kh

aéc

n

ha

u

nh

ön

g

ha

i

bi

eán

c

xu

ng

k

ha

éc

th

ì c

a

ch

ắc

đ

oái

la

äp

nh

au

B

ie

án

co

á đ

ộc

la

äp:

N

ếu

ï x

aûy

cu

ûa

bi

eán

co

á n

aøy

k

ho

âng

a

ûnh

h

ươ

ûng

đ

ến

x

ác

su

ất

x

aûy

b

ie

án

co

á k

ha

ùc

T

ín

h

ch

aát

: A

, B

la

ø

b

ie

án

co

á đ

ộc

la

äp

=

P

(A

.B

)

P

(A

)

P

(B

)

B

ie

án

co

á t

oån

g:

X

aûy

kh

i v

ch

ỉ k

hi

c

ó

ít

nh

ất

tr

on

g

2

bi

ến

c

xa

ûy

ra

K

hi

eäu

:

A

B

T

ín

h

ch

aát

: B

ie

án

co

á h

ợp

B

ie

án

co

á t

íc

h:

X

aûy

kh

i v

ch

æ k

hi

h

ai

b

ie

án

co

á c

uøn

g

xa

ûy

ra

K

hi

eäu

:

A

B

h

ay

A

.B

T

ín

h

ch

ất

: B

ie

án

co

á g

ia

o

5

X

A

ÙC

S

U

A

ÁT

:

C

oân

g

th

ức

:

n

(A

)

P

(A

)

n

(

)

=

T

ín

h

ch

ất

:

(

)

P

A

B

P

(A

)

P

(B

)

=

+

P

(A

)

1

P

(A

)

=

(

)

P

A

.B

P

(A

)

P

(B

)

=

Q

ua

n

he

ä

: C

lie

ân

qu

an

đ

ến

ta

àn

su

aát

79

Q

ua

n

he

ä:

La

ø p

he

ùp

ño

àng

d

ạn

g

tỉ

so

á

k

k

=

1:

p

he

ùp

ño

àng

n

ha

át

k

=

-1

: p

he

ùp

ño

ái x

ứn

g

ta

âm

O

T

ín

h

ch

aát

:

B

ie

án

3

đi

ểm

th

aún

g

ha

øng

th

àn

h

3

đi

ểm

th

ẳn

g

ha

øng

v

ba

ûo

to

aøn

th

ï g

õa

ca

ùc

đi

ểm

a

áy

B

ie

án

đư

ờn

g

th

aún

g

th

àn

h

đư

ờn

g

th

aún

g

so

ng

s

on

g

h

oa

ëc

tru

øng

v

ới

n

B

ie

án

tia

th

aøn

h

tia

B

ie

án

đo

ạn

th

ẳn

g

th

àn

h

đo

ạn

th

aún

g

B

ie

án

ta

m

g

ia

ùc

th

aøn

h

ta

m

g

ia

ùc

ño

àng

d

aïn

g

v

ới

n

th

eo

tỉ

s

k

B

ie

án

go

ùc

th

aøn

h

go

ùc

ba

èng

v

ới

n

ó

(b

ảo

g

ia

ùc)

B

ie

án

đư

ờn

g

tro

øn

ba

ùn

nh

R

th

àn

h

đư

ờn

g

tro

øn

ba

ùn

nh

k

R

, (

k

>

0)

8

P

H

E

ÙP

Ñ

O

ÀN

G

D

A

ÏN

G

:

Đ

ịn

h

ng

a:

Ph

ép

b

ie

án

nh

F

ñ

gl

p

he

ùp

ño

àng

d

ạn

g

tỉ

so

á k

,

(k

>

),

ne

áu

ùi

ñ

ie

åm

M

, N

b

aát

k

va

ø a

ûnh

M

’,

N

ơn

g

ứn

g

cu

ûa

ch

uùn

g

ta

lu

oân

c

M

’N

’ =

k

M

N

N

ha

än

xe

ùt:

k

=

1:

p

he

ùp

øi h

ìn

h

k

>

0:

p

he

ùp

vị

ï

T

ín

h

ch

aát

:

B

ie

án

3

đi

ểm

th

aún

g

ha

øng

th

àn

h

3

đi

ểm

th

ẳn

g

ha

øng

v

ba

ûo

to

aøn

th

ï g

õa

ca

ùc

đi

ểm

a

áy

B

ie

án

đư

ờn

g

th

aún

g

th

àn

h

đư

ờn

g

th

aún

g

B

ie

án

tia

th

aøn

h

tia

B

ie

án

đo

ạn

th

ẳn

g

th

àn

h

đo

ạn

th

ẳn

g

B

ie

án

ta

m

g

ia

ùc

th

aøn

h

ta

m

g

ia

ùc

ño

àng

d

aïn

g

v

ới

n

th

eo

tỉ

s

k

B

ie

án

go

ùc

th

aøn

h

go

ùc

ba

èng

v

ới

n

ó

(b

ảo

g

ia

ùc)

B

ie

án

đư

ờn

g

tro

øn

ba

ùn

nh

R

th

aøn

h

đư

ờn

g

tro

øn

ba

ùn

nh

k

.R

, (

k

>

(12)

24

D

A

ÕY

S

O

Á –

C

A

ÁP

S

O

Á C

O

ÄN

G

C

A

ÁP

S

O

Á N

H

A

ÂN

1

P

H

Ư

Ơ

N

G

P

H

A

ÙP

Q

U

Y

N

A

ÏP

T

O

A

ÙN

H

O

ÏC

:

M

uo

án

ch

ứn

g

m

in

h

m

ện

h

đe

à c

ùa

bi

ến

A

(n

) l

m

ột

m

ện

h

đe

à đ

ún

g

ùi

m

ọi

s

ng

uy

ên

d

ươ

ng

c

ủa

n

, t

a

th

ực

h

ie

än:

B

ươ

ùc

1

: C

ùng

m

in

h

A

(n

) l

à

m

ột

m

ện

h

đe

à đ

ún

g,

k

hi

n

=

B

ươ

ùc

2

:

V

ới

k

l

so

á n

gu

ye

ân

ơn

g

tu

øy

yù,

t

a

co

ù g

ia

û t

hi

eát

q

uy

n

aïp

A

(k

)

la

ø m

oät

m

ện

h

đe

à đ

uùn

g

(n

=

k

)

Ta

s

ch

ứn

g

m

in

h

A

(n

)

la

ø m

ột

m

ện

h

đe

à đ

ún

g

ùi n

=

k

+

1

B

ươ

ùc

3:

K

ết

lu

ận

m

ện

h

ñe

à A

(n

) l

à

m

ột

m

ện

h

đe

à h

oa

øn

to

aøn

ñ

uùn

g

2

D

A

ÕY

S

O

Á:

D

ãy

s

đư

ợc

c

ho

b

aèn

g

co

âng

t

ùc

cu

ûa

m

ột

s

ha

ïng

t

oån

g

qu

aùt

,

ba

èng

ph

ươ

ng

p

ha

ùp

m

ta

û, b

aèn

g

ph

ươ

ng

p

ha

ùp

tru

y

ho

ài

D

ãy

s

ta

êng

d

aõy

s

gi

ảm

:

D

ãy

s

(un

) đ

ươ

ïc

go

ïi l

a

ø

D

aõy

ta

êng

n

ếu

ta

c

ó:

n

1

n

u

u

,

n

N

*

+

>

D

ãy

gi

ảm

n

ếu

ta

c

ó:

n

1

n

u

u

,

n

N

*

+

<

C

hu

ù y

ù: Daõy

ta

êng

n

1

n

1

n

n

u

u

u

0

,

n

N

*

h

ay

1,

n

N

*

u

+

+

>

>

D

ãy

gi

ảm

n

1

n

1

n

n

u

u

u

0

,

n

N

*

h

ay

1,

n

N

*

u

+

+

<

<

D

aõy

s

bị

c

ha

ën:

D

aõy

s

(un

)

đư

ợc

g

oïi

l

à

bị

c

ha

ën

t

re

ân

n

ếu

t

ồn

t

ại

s

M

s

ao

c

ho

:

n

u

M

,

n

N

*

D

aõy

s

(un

)

đư

ợc

g

oïi

l

à

bị

c

ha

ën

ới

n

ếu

t

ồn

t

ại

s

m

s

ao

c

ho

:

n

u

m

,

n

N

*

D

ãy

s

(un

)

đư

ợc

g

ọi

l

à

bị

c

ha

ën

n

ếu

t

ồn

t

ại

s

m

,

M

s

ao

c

ho

:

n

m

u

M

,

n

N

*

77

T

ín

h

ch

ất

:

B

ảo

to

àn

k

ho

ản

g

ca

ùch

g

õa

2

đi

ểm

b

ất

k

B

ie

án

3

ñi

ểm

th

ẳn

g

ha

øng

th

aøn

h

3

đi

ểm

th

ẳn

g

ha

øng

v

ba

ûo

to

aøn

th

ï g

õa

ca

ùc

đi

ểm

a

áy

B

ie

án

đư

ờn

g

th

ẳn

g

th

àn

h

đư

ờn

g

th

ẳn

g

so

ng

s

on

g

h

oa

ëc

tru

øng

v

ới

n

B

ie

án

tia

th

aøn

h

tia

B

ie

án

ño

ạn

th

ẳn

g

th

àn

h

đo

ạn

th

aún

g

ba

èng

n

B

ie

án

ta

m

g

ia

ùc

th

aøn

h

ta

m

g

ia

ùc

ba

èng

v

ới

n

B

ie

án

đư

ờn

g

tro

øn

th

àn

h

đư

ờn

g

tro

øn

co

ù c

ùn

g

b

án

k

ín

h

R

4

P

H

E

ÙP

Ñ

O

ÁI

X

Ö

ÙN

G

T

R

U

ÏC

:

Đ

ịn

h

ng

a:

Ph

eùp

b

ie

án

nh

b

ie

án

m

ỗi

đ

ie

åm

M

th

uo

äc

d

th

aøn

h

ch

ín

h

no

ù, b

ie

án

m

ỗi

đ

ie

åm

M

k

ho

âng

t

hu

oäc

d

t

ha

ønh

M

sa

o

ch

o

d

la

ø đ

ươ

øng

tru

ng

tr

ực

c

ủa

đ

oa

ïn

th

aún

g

M

M

ñg

l p

he

ùp

ño

ái x

ứn

g

qu

a

đư

ờn

g

th

aún

g

d

ha

y

ph

ép

đ

oái

x

ứn

g

tru

ïc

K

ý

hi

ệu

:

=

d

§

(M

)

M

'

N

ha

än

xe

ùt:

=

=

d

0

0

§

(M

)

M

'

M

M

'

M

M

Q

ua

n

he

ä: L

ph

eùp

d

ời

h

ìn

h

M

d

l

à

đi

ểm

b

ất

đ

ộn

g

T

ín

h

ch

ất

:

B

ảo

to

àn

k

ho

ản

g

ca

ùch

g

õa

2

đi

ểm

b

ất

k

B

ie

án

3

ñi

ểm

th

ẳn

g

ha

øng

th

aøn

h

3

đi

ểm

th

ẳn

g

ha

øng

v

ba

ûo

to

aøn

th

ï g

õa

ca

ùc

đi

ểm

a

áy

B

ie

án

đư

ờn

g

th

ẳn

g

th

àn

h

đư

ờn

g

th

ẳn

g

B

ie

án

tia

th

aøn

h

tia

B

ie

án

đo

ạn

th

aún

g

th

àn

h

đo

ạn

th

aún

g

ba

èng

n

B

ie

án

ta

m

g

ia

ùc

th

aøn

h

ta

m

g

ia

ùc

ba

èng

v

ới

n

ó

B

ie

án

đư

ờn

g

tro

øn

th

àn

h

đư

ờn

g

tro

øn

co

ù c

uøn

g

b

aùn

k

ín

h

R

5

P

H

E

ÙP

Đ

O

ÁI

X

Ư

ÙN

G

T

A

ÂM

:

Đ

ịn

h

ng

a:

Ph

ép

b

ie

án

nh

b

ie

án

đi

ểm

I

th

àn

h

ch

ín

h

no

ù, b

ie

án

ñi

eåm

M

k

ha

ùc

I t

ha

ønh

M

’ s

ao

c

ho

I

la

ø tr

un

g

đi

ểm

c

ủa

đ

oa

ïn

th

aún

g

M

M

’ đ

gl

ph

ép

ñ

oái

x

ứn

g

ta

âm

I

K

ý

hi

ệu

:

=

I

§

(M

)

M

(13)

26

C

aáp

s

co

äng

:

X

ác

đ

òn

h

so

á h

aïn

g

to

ång

q

ua

ùt,

so

á h

ạn

g

đa

àu

tie

ân

va

ø c

oân

g

sa

i c

uûa

c

ấp

so

á c

ộn

g

nh

t

n

g

c

ác

s

h

ạn

g

c

a

C

S

C

h

o

ặc

x

ác

ñ

ịn

h

C

S

C

b

iế

t

tổ

n

g

c

ác

s

h

ạn

g

C

aùc

b

ài

to

án

v

to

ång

n

s

ha

ïng

đ

ầu

ti

ên

c

ủa

c

ấp

s

co

äng

X

ác

đ

ịn

h

ca

ùc

so

á h

ạn

g

li

ên

t

ie

áp

cu

ûa

m

ột

c

ấp

s

co

än

g

bi

ết

t

ổn

g

va

ø t

oån

g

nh

p

ôn

g

cu

ûa

ch

ún

g

C

ấp

s

nh

ân

:

X

ác

đ

ịn

h

so

á h

ạn

g

ña

àu,

c

oân

g

bo

äi,

so

á h

aïn

g

th

n

cu

ûa

ca

áp

so

á n

ha

ân

nh

to

ång

c

ác

s

ha

ïng

c

uûa

C

SN

h

oa

ëc

xa

ùc

đị

nh

C

SN

b

ie

át t

oån

g

ca

ùc

so

á

ha

ïng

C

ác

b

ài

to

án

v

to

ång

n

s

ha

ïng

đ

ầu

ti

ên

c

ủa

c

ấp

s

nh

aân

Jb

T

r

aàn

L

o

n

g

G

ia

o

75

5

C

A

ÙC

D

A

ÏN

G

T

O

A

ÙN

T

H

Ư

Ơ

ØN

G

G

A

ËP

:

L

aäp

p

ơn

g

tr

ìn

h

ch

ín

h

ta

éc

cu

ûa

m

oät

E

lip

k

hi

b

ie

át

ca

ùc

th

àn

h

ph

ần

đ

đe

å x

ác

đ

ịn

h

m

oät

E

lip

ñ

o

ù:

PP

: L

ập

p

ơn

g

trì

nh

c

nh

ta

éc

cu

ûa

El

ip

th

eo

c

oân

g

th

ức

2

2

2

2

1

x

y

a

b

+

=

X

ác

đ

ịn

h

th

àn

h

ph

ần

c

ủa

m

ột

E

lip

k

hi

b

ie

át

ph

ươ

ng

t

nh

c

nh

ta

éc

cu

ûa

E

lip

ñ

ó

Đ

ie

åm

M

d

i đ

ộn

g

tr

ên

E

lip

:

PP

: Ñ

ch

ứn

g

to

û ñ

ie

åm

M

d

i đ

ộn

g

tre

ân

m

oät

E

lip

ta

c

ó

ha

i c

ác

h

sa

u

C

ùng

m

in

h

to

ång

k

ho

ản

g

ca

ùch

ø M

đ

ến

h

ai

ñ

ie

åm

c

đị

nh

F1 , F2

la

ø

m

ột

h

ằn

g

so

á

a

K

hi

đ

ó

đi

ểm

M

d

i đ

oän

g

tre

ân

El

ip

(

E)

c

ha

i

tie

âu

đi

ểm

F1 ,F2

v

à

tru

ïc

ùn

la

ø

a

C

ùng

m

in

h

tro

ng

m

aët

p

ha

úng

to

ïa

ño

ä O

xy

ñ

ie

åm

M

(x

, y

)

co

ù t

ọa

đ

th

ỏa

m

ãn

p

trì

nh

2

2

2

2

1

x

y

a

b

+

=

; v

ới

a

, b

=

c

on

st

th

ỏa

m

ãn

<

b

<

a

Jb

T

r

aàn

L

o

n

g

G

ia

(14)

28

3

Đ

ỊN

H

N

G

H

ĨA

G

ÙI

H

A

ÏN

H

A

ØM

S

O

Á:

C

ho

k

ho

ản

g

K

c

ùa

đi

ểm

x0

v

ha

øm

s

y

=

f(

x)

x

ác

đ

òn

h

tre

ân

K

ho

ặc

tr

ên

{

}0

K

\

x

Ta

n

oùi

h

àm

s

y

=

f(

x)

co

ù g

ùi h

ạn

la

ø s

L

kh

i x

d

aàn

ùi x0

n

ếu

v

ới

da

õy

so

á (

)

n

x

ba

át k

yø,

{

}

n

0

x

K

\

x

va

ø n

0

x

x

, t

a

co

ù

n

f

(x

)

L

K

ý

hi

ệu

:

0

x

x

li

m

f

(x

)

L

=

h

ay

f

(x

)

L

kh

i

0

x

x

C

ho

h

aøm

s

y

=

f(

x)

x

aùc

ñ

òn

h

tre

ân

kh

oa

ûng

(x0

, b

)

So

á L

đ

ươ

ïc

go

ïi l

gi

ới

h

ạn

b

ên

p

ha

ûi

c

uûa

h

àm

s

y

=

f(

x)

k

hi

0

x

x

ne

áu

ùi d

ãy

s

(

)

n

x

ba

át k

yø,

0

n

x

x

b

<

<

va

ø n

0

x

x

, t

a

co

ù

n

f

(x

)

L

K

ý

hi

ệu

:

0

x

x

li

m

f

(x

)

L

+

=

C

ho

h

àm

s

y

=

f(

x)

x

ác

đ

ịn

h

tre

ân

kh

oa

ûng

(

a,

x0

)

So

á L

đ

ươ

ïc

go

ïi l

gi

ới

h

aïn

b

eân

t

ra

ùi

c

ủa

h

àm

s

y

=

f(

x)

k

hi

0

x

x

ne

áu

ùi d

ãy

s

(

)

n

x

ba

át k

yø,

n

0

a

x

x

<

<

va

ø n

0

x

x

, t

a

co

ù

n

f

(x

)

L

K

ý

hi

ệu

:

0

x

x

li

m

f

(x

)

L

=

C

ho

h

àm

s

y

=

f(

x)

x

ác

đ

ịn

h

tre

ân

kh

oa

ûng

(a

,

+∞

)

Ta

n

ói

h

àm

s

y

=

f(

x)

c

gi

ới

h

aïn

la

ø s

L

kh

i

x

+∞

ne

áu

ùi d

ãy

s

oá (

)

n

x

ba

át k

yø,

n

x

a

>

va

ø n

x

+∞

, t

a

co

ù

n

f

(x

)

L

K

ý

hi

ệu

: x

li

m

f

(x

)

L

+

=

h

ay

f

(x

)

L

kh

i

x

+∞

C

ho

h

aøm

s

y

=

f(

x)

x

ác

đ

ịn

h

tre

ân

kh

oa

ûng

(

−∞

, a

)

Ta

n

oùi

h

àm

s

y

=

f(

x)

c

ó

gi

ới

h

ạn

la

ø s

L

kh

i

x

−∞

ne

áu

ùi d

ãy

s

ố (

)

n

x

ba

át k

yø,

n

x

a

<

va

ø n

x

−∞

, t

a

co

ù

n

f

(x

)

L

K

hi

eäu

: x

li

m

f

(x

)

L

=

h

ay

f

(x

)

L

kh

i

x

−∞

C

ho

h

aøm

s

y

=

f(

x)

x

aùc

ñ

òn

h

tre

ân

kh

oa

ûng

(a

,

+∞

)

Ta

n

ói

h

àm

s

y

=

f(

x)

c

gi

ới

h

aïn

la

ø

−∞

k

hi

x

+∞

ne

áu

ùi

da

õy

so

á (

)

n

x

ba

át

ky

ø,

n

x

a

>

va

ø n

x

+∞

, t

a

co

ù

n

f

(x

)

−∞

73

2.

T

O

ÙM

T

A

ÉT

H

Y

PE

B

O

L

V

A

Ø C

A

ÙC

Y

E

ÁU

T

O

Á:

H

yp

eb

ol

(H

)

H

yp

eb

ol

(H

)

ta

âm

, t

ie

âu

đi

ểm

tr

ên

x

H

yp

eb

ol

(H

) t

aâm

, t

ie

âu

đi

ểm

tr

ên

y

Ph

ươ

ng

tr

ìn

h

ch

ín

h

ta

éc

2

2

2

2

1

x

y

a

b

=

,

ùi

2

2

2

c

a

b

=

+

2

2

2

2

1

x

y

a

b

=

,

ùi

2

2

2

c

a

b

=

+

Ti

êu

đ

ie

åm

F1

c

,

),

F2

(c

,

)

F1

(0

,

c

),

F2

(0

, c

)

Ti

eâu

c

2c

2c

Tr

uïc

th

ực

,

ño

ä

da

øi

0x

,

a

0y

,

b

Ñ

æn

h

A1

a

,

),

A2

(a

,

)

B1

(0

,

b

),

B2

(0

, b

)

Ta

âm

s

ai

c

e

a

=

>

c

e

b

=

>

1

Ti

ện

c

ận

b

y

x

a

=

±

b

y

x

a

=

±

H

ai

n

ha

ùnh

N

ha

ùnh

p

ha

ûi:

M

(x

, y

):

1

2

,

2

x

a

F

M

F

M

a

=

N

ha

ùnh

tr

aùi

: M

(x

, y

):

2

1

,

2

x

a

F

M

F

M

a

=

N

ha

ùnh

tr

eân

: M

(x

, y

):

1

2

,

2

y

b

F

M

F

M

b

=

N

ha

ùnh

d

ươ

ùi:

M

(x

, y

):

2

1

,

2

y

b

F

M

F

M

b

=

Ph

ươ

ng

tr

ìn

h

H

C

N

c

ô

û

,

x

a

y

b

=

±

=

±

,

y

b

x

a

=

±

=

±

B

án

k

ín

h

qu

a

tie

âu

đi

ểm

c

ủa

M

(x

, y

)

(H

)

M

th

uo

äc

nh

aùn

h

ph

aûi

(x

a)

1

1

2

2

r

F

M

ex

a

r

F

M

ex

a

=

=

+

 

=

=

M

th

uo

äc

nh

aùn

h

tra

ùi (

x

a

)

1

1

2

2

r

F

M

ex

a

r

F

M

ex

a

=

=

 

=

=

+

2

2

2

2

1

2

,

=

+

=

=

r

ex

a

r

ex

a

r

r

e

x

a

M

th

uo

äc

nh

aùn

h

tr

eân

(y

b)

1

1

2

2

r

F

M

ey

b

r

F

M

ey

b

=

=

+

 

=

=

M

th

uo

äc

nh

án

h

ới

(y

b

)

1

1

2

2

r

F

M

ey

b

r

F

M

ey

b

=

=

 

=

=

+

1

2

2

2

2

1

2

,

r

ey

b

r

ey

b

r

r

e

y

b

=

+

=

=

Đ

ươ

øng

c

hu

aån

1

2

:

;

:

a

a

x

x

e

e

=

=

1

2

:

;

:

=

=

b

b

y

y

e

(15)

30

Đ

ịn

h

l

L

ar

an

ge

:

G

ia

û s

ha

øm

s

f

l

ie

ân

tu

ïc

tr

ên

đ

oa

ïn

[a

,b

]

N

eáu

f

(a

)

f

(b

)

th

ì

ùi

m

oãi

s

th

ực

M

n

m

g

õa

f(

a)

v

à

f(

b)

, t

ồn

t

ại

í

t

nh

ất

m

ột

ñ

ie

åm

c

(a

,b

)

sa

o

ch

o

f(

c)

=

M

6

C

A

ÙC

D

A

ÏN

G

T

O

A

ÙN

T

H

Ö

Ô

ØN

G

G

A

ËP

:

D

aõy

s

co

ù g

ùi h

ạn

la

ø

:

D

aïn

g

to

án

: T

ìm

g

ùi h

ạn

c

uûa

d

ãy

s

D

ùn

g

đị

nh

n

gh

óa

D

ùn

g

đị

nh

ly

ù, t

ín

h

ch

aát

D

ãy

s

co

ù g

ùi h

ạn

h

ữu

h

aïn

:

D

aïn

g

to

án

: T

ìm

g

ùi h

ạn

b

ằn

g

đị

nh

n

gh

óa

D

ạn

g

to

án

: T

ìm

g

ùi h

ạn

c

uûa

P

(n

)

Q

(n

)

, t

ro

ng

đ

ó

P(

n)

v

Q

(n

)

la

ø

ñ

a

th

ức

th

eo

n

D

ạn

g

to

án

: D

ạn

g

û d

uïn

g

co

âng

th

ức

li

m

q

n =

, n

eáu

q

1

<

D

ạn

g

to

án

: T

ìm

g

ùi h

ạn

b

ằn

g

ca

ùch

th

ie

át l

ập

c

ôn

g

th

ức

Un

th

eo

n

D

ãy

s

da

àn

ñe

án

vo

â c

ực

:

D

aïn

g

∞ : c ∞

hi

a

û v

à

m

aãu

c

ho

lu

th

ừa

b

ậc

c

ao

n

ha

át c

ủa

û v

à

m

ẫu

D

aïn

g

: T

ìm

g

ùi h

ạn

c

uûa

P

(n

)

Q

(n

)

, t

ro

ng

đ

ó

P(

n)

v

Q

(n

) l

à

2

đa

th

ức

th

eo

n

(n

ha

ân

ợn

g

lie

ân

hi

ệp

đ

đư

a

ve

à d

aïn

g

tre

ân)

m

g

ùi h

ạn

h

àm

s

ố:

D

ạn

g

1

: T

ìm

0

x

x

li

m

f

(x

)

, b

ie

át h

àm

s

f(

x)

la

ø h

aøm

s

la

äp

ûi c

aùc

p

he

ùp

to

án

nh

ư

co

äng

, t

ø, n

ha

ân,

c

hi

a,

c

aùc

h

àm

s

đa

th

ức

v

xa

ùc

đị

nh

ta

ïi x0

K

hi

ñ

où:

0

0

x

x

li

m

f

(x

)

f

(x

)

=

D

aïn

g

2

:

m

x

f

(x

)

li

m

g

(x

)

±∞

, t

ro

ng

đ

ó

f(

x)

v

g(

x)

l

ca

ùc

đa

t

ùc

ha

y

bi

eåu

th

ức

ti

ến

ùi v

ô

ïc

kh

i x

ti

eán

ùi v

ô

ïc

(c

hi

a

û v

à

m

ẫu

c

ho

đ

ơn

th

ức

b

aäc

ca

o

nh

aát

, r

ồi

d

ùn

g

k

x

1

li

m

0

x

±∞

=

)

D

aïn

g

3

: T

ìm

g

ùi h

ạn

û v

ô

ïc

71

Đ

Ư

Ơ

ØN

G

T

R

O

ØN

1

P

H

Ư

Ơ

N

G

T

R

ÌN

H

Đ

Ư

Ơ

ØN

G

T

R

O

ØN

T

O

ÅN

G

Q

U

A

ÙT

:

C

ho

đ

ươ

øng

tr

oøn

ta

âm

I(

a,

b

),

ba

ùn

nh

R

, c

da

ïng

:

x

2 +

y

2 –

ax

by

+

c

=

,

(v

ới

a

2 +

b

2 –

c

0,

R

2 =

a

2 +

b

2 –

c

)

2

P

H

Ư

Ơ

N

G

T

R

ÌN

H

C

H

ÍN

H

T

A

ÉC

:

(

th

ươ

øng

d

uøn

g

tr

on

g

nh

t

oa

ùn)

C

ho

ñ

tro

øn

ta

âm

I(

a,

b

),

ba

ùn

nh

R

, c

da

ïng

:

(x

-

a)

2 +

(y

-

b)

2 =

R

2

3

P

H

Ư

Ơ

N

G

T

R

ÌN

H

T

IE

ÁP

T

U

Y

E

ÁN

:

N

ếu

p

ơn

g

trì

nh

ti

eáp

tu

ye

án

đư

ờn

g

tro

øn

(C

) t

ại

đ

ie

åm

Mo (xo , yo

) t

hu

oäc

(C

) t

, c

ó

da

ïng

:

(x

-

a)

(xo

-

a)

+

(y

-

b)

(yo

-

b)

=

R

2

4

C

A

ÙC

D

A

ÏN

G

T

O

A

ÙN

T

H

Ö

Ô

ØN

G

G

A

ËP

:

N

ha

än

da

ïng

m

ột

p

ơn

g

tr

ìn

h

ba

äc

2

la

ø p

ơn

g

tr

ìn

h

đư

ờn

g

tr

òn

T

ìm

ta

âm

v

ba

ùn

nh

:

PP

: Đ

ưa

p

ơn

g

trì

nh

b

ậc

v

da

ïng

(x

-

a)

2 +

(y

-

b)

2 =

R

2

L

ập

p

ơn

g

tr

ìn

h

cu

ûa

đư

ờn

g

tr

oøn

:

PP

: T

ìm

to

ïa

đo

ä ta

âm

v

ba

ùn

nh

c

ủa

đ

ươ

øng

tr

oøn

, s

au

đ

ó

vi

ết

p

ơn

g

trì

nh

th

eo

d

aïn

g

sa

u:

(x

-

a)

2 +

(y

-

b)

2 =

R

2 , (

C

)

C

hu

ù y

ù:

(C

) ñ

i q

ua

A

, B

2

2

2

IA

IB

R

=

=

(C

) đ

i q

ua

A

v

tie

áp

xu

ùc

ùi đ

ươ

øng

th

aún

g

ta

ïi A

IA

d

(I

,

)

=

(C

) t

ie

áp

xu

ùc

ùi h

ai

đ

ươ

øng

th

aún

g

2

1

2

1

2

;

d

(I

,

)

d

(I

,

)

R

=

=

L

aäp

p

ơn

g

tr

ìn

h

ti

ếp

tu

ye

án

cu

ûa

đư

ờn

g

tr

oøn

:

PP

: •L

oa

ïi

: N

ếu

p

ơn

g

trì

nh

ti

eáp

tu

ye

án

đư

ờn

g

tro

øn

(C

) t

ại

đ

ie

åm

Mo (xo

,

yo

) t

hu

oäc

(C

) t

, c

da

ïng

:

(x

-

a)

(xo

-

a)

+

(y

-

b)

(yo

-

b)

=

R

2

L

oa

ïi

2

(k

hi

c

a

bi

eát

t

ie

áp

đi

ểm

)

:

D

ùn

g

đi

ều

k

ie

än

tie

áp

xu

ùc

đe

å x

ác

đị

nh

ti

ếp

x

úc

đ

ươ

øng

tr

òn

(C

) t

âm

I,

b

aùn

k

ín

h

R

d

(I

,

)

R

(16)

32

H

àm

s

lie

ân

tu

ïc

:

D

n

g

:

X

ét

t

ín

h

l

n

t

c

củ

a

h

àm

s

t

ại

ñ

iể

m

x0

N

ếu

0

0

0

x

x

0

x

x

x

x

li

m

f

(x

)

f

(x

)

li

m

f

(x

)

li

m

f

(x

)

f

(x

)

+

→ →

=

  

=

=

 

th

ì

h

àm

s

l

n

t

c

tạ

i

x0

N

ếu

0

0

x

x

0

x

x

0

li

m

f

(x

)

f

(x

)

li

m

f

(x

)

f

(x

)

f

(x

)

k

h

x

+ −

→ →

  

   

«

n

g

x

ác

đ

ịn

h

t

¹i

th

ì

h

àm

s

g

n

ñ

o

ạn

t

ại

x0

D

n

g

:

C

h

n

g

m

in

h

h

àm

s

l

n

t

c

tr

ên

m

t

k

h

o

ản

g

,

m

t

ñ

o

ạn

S

d

n

g

ñ

ịn

h

n

g

h

ĩa

v

à

u

ý

r

ằn

g

m

i

h

àm

ñ

a

th

c,

h

u

t

,

n

g

g

c

(h

à

m

s

ơ

c

p

)

ñ

ều

l

n

t

c

tạ

i

m

i

ñ

iể

m

m

à

n

ó

x

ác

ñ

ịn

h

D

n

g

:

C

h

n

g

m

in

h

p

h

ư

ơ

n

g

t

n

h

f

(x

)

=

c

ó

n

g

h

iệ

m

t

h

u

c

(a

,

b

)

G

m

b

ư

c:

C

h

n

g

m

in

h

h

àm

s

f

(x

)

li

ên

t

c

tr

ên

ñ

o

ạn

(

a,

b

)

C

h

n

g

m

in

h

f

(a

)

f(

b

)

<

Jb

T

r

aàn

L

o

n

g

G

ia

o

69

Đ

Ư

Ơ

ØN

G

T

H

A

ÚN

G

1

P

H

Ö

Ô

N

G

T

R

ÌN

H

T

O

ÅN

G

Q

U

A

ÙT

:

C

da

ïng

:

A

x

+

B

y

+

C

=

,

(

A

2 +

B

2

0

)

v

n

=

(A

, B

) l

à

ph

áp

v

ec

to

r

ha

y

ve

ct

or

p

ha

ùp

tu

ye

án

(V

TP

T)

Đ

c

bi

ệt

:

N

ếu

đ

ươ

øng

th

ẳn

g

qu

a

đi

ểm

M

(xo , yo

)

co

ù V

TP

T

n

=

(A

,B

)

(v

ới

A

2 +

B

2 ≠

0

)

, c

da

ïng

: A

(x

-

xo

) +

B

(y

-

yo

) =

2

P

H

Ư

Ơ

N

G

T

R

ÌN

H

T

H

A

M

S

O

Á:

N

ếu

đ

ươ

øng

th

aún

g

qu

a

M

(xo , yo

)

co

ù V

TC

P

u

=

(a

, b

),

(v

ới

a

2 +

b

2 ≠

0)

,

th

ì p

ơn

g

trì

nh

th

am

s

co

ù d

aïn

g: 

+

=

+

=

bt

y

y

at

x

x

o

o

K

û t

c

ủa

h

ph

ươ

ng

t

nh

t

re

ân:

0

0

x

x

y

y

a

b

=

đ

ươ

ïc

go

ïi

la

ø p

ơn

g

tr

ìn

h

ch

ín

h

ta

éc

cu

ûa

đư

ờn

g

th

aún

g

3

G

O

ÙC

G

ÕA

Đ

Ư

Ơ

ØN

G

T

H

A

ÚN

G

:

ϕ

=

=

1

2

1

2

1

2

n

.n

n

n

C

os

co

s(

,

)

, v

ới

ϕ

la

ø g

óc

g

õa

2

đư

ờn

g

th

aún

g

co

ù

p

ha

ùp

v

ec

to

r:

1

1

1

n

(A

,B

)

=

va

ø

2

2

2

n

(A

,B

)

=

4

K

H

O

A

ÛN

G

C

A

ÙC

H

:

K

ho

aûn

g

ca

ùch

t

đi

ểm

M

(xo , yo

)

đe

án

đư

ờn

g

th

aún

g

A

x

+

B

y

+

C

=

ch

o

ûi c

ôn

g

th

ức

: d

=

+

+

+

o

o

2

2

A

x

B

y

C

A

B

C

ác

g

hi

c

hu

ù:

Ph

ươ

ng

tr

ìn

h

đư

ờn

g

th

ẳn

g

đi

q

ua

ñ

ie

åm

: C

ho

M

(x1 , y1

)

va

ø N

(x2 , y2

),

ph

ươ

ng

tr

ìn

h

co

ù d

aïn

g:

1

2

1

1

2

1

y

y

y

y

x

x

x

x

=

N

eáu

d

//

d

’:

co

ù c

uøn

g

V

TP

T

(h

ay

V

T

C

P

)

N

eáu

d

d

'

: V

TP

T

cu

ûa

(d

) l

V

TC

P

cu

ûa

(d

')

va

ø n

ợc

la

ïi

5

C

A

ÙC

D

A

ÏN

G

T

O

A

ÙN

T

H

Ư

Ơ

ØN

G

G

A

ËP

:

V

ie

át

ph

ươ

ng

tr

ìn

h

th

am

s

cu

ûa

đư

ờn

g

th

ẳn

g:

PP

:

Đ

vi

ết

p

ơn

g

trì

nh

t

ha

m

s

cu

ûa

đư

ờn

g

th

aún

g

d

ta

t

ïc

hi

ện

c

ác

ớc

(17)

34

Đ

ịn

h

ng

a

: C

ho

h

aøm

so

á y

=

f(

x)

x

ác

đ

òn

h

tre

ân

D

G

ia

û s

1

2

1

2

x

x

f

(x

)

f

(x

)

<

<

: h

àm

s

ño

àng

b

ie

án

tre

ân

D

G

ia

û s

1

2

1

2

x

x

f

(x

)

f

(x

)

<

<

: h

àm

s

ng

ch

b

ie

án

tre

ân

D

Đ

ie

àu

ki

ện

đ

cu

ûa

nh

đ

ơn

ñ

ie

äu:

C

ho

h

àm

s

y

=

f(

x)

c

ó

đa

ïo

ha

øm

tr

on

g

kh

oa

ûng

(a

,b

)

Đ

ha

øm

s

đo

àng

b

ie

án

tro

ng

(a

,b

) t

f’

(x

)

0

>

,

)

,

(

b

a

x

Đ

ha

øm

s

ng

hị

ch

b

ie

án

tro

ng

(a

,b

) t

f’

(x

)

0

<

,

)

,

(

b

a

x

Đ

ha

øm

so

á la

áy

gi

á

trị

k

ho

âng

đ

ổi

tr

on

g

(a

,b

) t

f

’(

x)

=

,

)

,

(

b

a

x

Đ

ịn

h

l

m

ro

än

g:

C

ho

h

aøm

s

y

=

f

(x

)

co

ù đ

ạo

h

aøm

t

ro

ng

(

a,

b)

v

à

ph

ươ

ng

tr

ìn

h

f

’(

x)

=

c

hỉ

c

ó

õu

ha

ïn

ng

hi

ệm

H

àm

s

đo

àng

b

ie

án

tr

on

g

(a

,b

)

f

’(

x)

0

,

)

,

(

b

a

x

H

àm

s

ng

ch

b

ie

án

tr

on

g

(a

,b

)

f

’(

x)

0

,

)

,

(

b

a

x

Đ

ịn

h

m

đ

ha

øm

s

lu

ôn

đ

ồn

g

bi

ến

-n

gh

ịc

h

bi

ến

tr

ên

T

X

Ñ

D

:

Đ

ạo

h

àm

c

da

ïng

:

2

f'

(x

)

=

a

x

+

b

x

+

c

Đ

ha

øm

s

f(

x)

đ

ồn

g

bi

ến

tr

eân

D

th

ì

2

ax

+

b

x

+

c

0

,

x

D

a

0

a

0

ha

y

b

0

0

c

0

=

>

=

 ≥

Đ

ha

øm

s

f(

x)

n

gh

òc

h

bi

eán

tr

ên

D

th

ì

2

ax

+

b

x

+

c

0

,

x

D

a

0

a,

b

0

ha

y

0

c

0

<

=

⇔

SA

I

L

A

ÀM

T

R

O

N

G

C

A

ÙC

B

A

ØI

T

O

A

ÙN

V

D

: T

ìm

m

đ

ha

øm

s

3

x

5

y

2

x

m

+

=

đ

ồn

g

bi

ến

tr

eân

(2

,

)

+∞

Sa

i l

ầm

th

ươ

øng

g

aëp

:

Y

C

B

T

2

3

m

1

0

1

0

y

'

0

,

x

(2

,

)

3

m

1

0

0

m

(2

x

m

)

3

=

>

+∞

>

>

N

gu

ye

ân

nh

aân

s

ai

la

àm

:

K

ho

âng

g

ia

ûi

m

x

,

x

(2

,

)

2

+∞

67

H

E

Ä T

H

Ư

ÙC

L

Ư

Ơ

ÏN

G

T

R

O

N

G

T

A

M

G

IA

ÙC

1

T

ÍN

H

D

IE

ÄN

T

ÍC

H

T

A

M

G

IA

ÙC

:

A

B

C

a

b

c

1

1

1

S

a

h

b

h

c

h

2

2

2

=

=

=

A

B

C

1

1

1

S

a

b

si

n

C

b

c

si

n

A

c

a

si

n

B

2

2

2

=

=

=

A

B

C

S

pr

=

, r

la

ø b

aùn

k

ín

h

đư

ờn

g

tro

øn

no

äi t

ie

áp

A

B

C

A

B

C

ab

c

S

R

l

4

R

S

p

p

a

p

b

p

c

p

l

∆ ∆

= =

,

à

n

nh

®

−ê

ng

t

n

ng

i

ti

Õp

(

)(

)(

),

µ

a

ch

u

vi

2

2

B

A

B

A

2

A

B

C

C

A

C

A

x

x

y

y

1

1

S

A

B

.A

C

(A

B

.A

C

)

x

x

y

y

2

2

=

=

2

Đ

ỊN

H

L

Y

Ù H

A

ØM

S

O

Á C

O

SI

N

:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b

c

a

a

b

c

2

b

c

co

s

A

co

s

A

2

b

c

a

c

b

b

a

c

2

ac

co

s

B

co

s

B

2

ac

a

b

c

c

a

b

2

ab

co

s

C

co

s

C

2

ab

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

3

Đ

ỊN

H

L

Y

Ù H

A

ØM

S

O

Á S

IN

:

a

b

c

2

R

si

n

A

si

n

B

si

n

C

=

=

=

4

C

O

ÂN

G

T

H

Ö

ÙC

T

R

U

N

G

T

U

Y

E

ÁN

:

2

2

2

2

2

2

2

2

a

a

2

2

2

2

2

2

2

2

b

b

2

2

2

2

2

2

2

2

c

c

a

b

c

a

b

c

2

m

m

2

2

4

b

a

c

b

a

c

2

m

m

2

2

4

c

a

b

c

a

b

2

m

m

2

2

4

+

+

=

+

=

+

+

=

+

=

+

+

=

+

=

(18)

36

(

C

m

)

ca

ét

tr

c

h

oa

øn

h

ta

ïi

ba

ñ

ie

åm

p

h

n

b

ie

ät:

>

 

<

 

y

'

C

§

C

T

0

y

.y

0

(

C

m

)

ca

ét

tr

c

h

oa

øn

h

ta

ïi

ba

ñ

ie

åm

c

á

ch

đ

ều

n

h

au

:

(c

ó

ho

àn

h

x1

, x2 , x3

la

äp

th

àn

h

m

ột

c

ấp

s

co

äng

)

<

>

+

=

C

§

C

T

y

'

1

3

2

y

.y

0

h

ay

0

x

x

2

x

(

C

m

)

ca

ét

tr

c

h

oa

øn

h

ta

ïi

m

oät

ñ

ie

åm

d

uy

n

h

t:

L

öu

y

ù:

Đ

ối

v

ới

h

àm

b

ậc

,

ño

à t

l

uo

ân

c

ó

m

ột

g

ia

o

đi

ểm

v

ới

t

ru

ïc

ho

àn

h,

ùc

la

ø c

ó

ít

n

ha

át

m

ột

g

ia

o

đi

ểm

đ

ối

v

ới

t

ru

ïc

ho

aøn

h

>

 

<

>

 

'

'

§

0

0

0

y

y

C

C

T

h

a

y

y

y

(

ha

øm

s

kh

ôn

g

co

ù c

ực

t

)

(

C

m

)

ti

eáp

x

ú

c

ùi

tr

c

h

oa

øn

h

>

 

=

 

' §

0

0

y C

C

T

y

y

(

ho

aëc

f

(x

,m

)

=

, c

ng

hi

ệm

k

ép

)

H

a

øm

t

ru

øn

g

p

ơn

g:

y

=

f(

x)

=

a

x

4 +

bx

2 +

c,

(

0

a

),(

C

m

)

C

ó

2

trư

ờn

g

ïp

ch

o

ïc

trị

c

ủa

h

àm

s

oá:

Ta

c

où:

y’

=

f’

(x

) =

x(

2a

x

2 +

b)

Đ

ha

øm

s

co

ù

c

ực

tr

ò t

2a

x

2 +

b

=

0,

c

2

ng

hi

eäm

p

ha

ân

bi

eät

, k

ha

ùc

0

a

.b

<

Đ

ha

øm

s

co

ù

c

ực

tr

ị t

2

a

0

2

ax

b

0

,v

«

n

g

h

m

a

0

b

0

b

0

2

ax

b

0

,n

h

Ën

x

=

0

l

µm

n

g

h

m

a

b

0

=

+

=



 

=

+

=

>

C

c

ba

øi

to

n

li

eân

q

ua

n

đ

ến

đ

th

ị (

C

m

)

va

ø t

ru

ïc

h

oa

øn

h

:

P

ơn

g

tr

ìn

h

H

Đ

G

Đ

c

ủa

(

C

m

)

ùi

tr

ục

h

oa

ønh

x:

a

x

4 +

b

x

2 +

c

=

Ñ

aët

:

t

=

x

2 ,

0

t

P

ơn

g

tr

ìn

h

tr

th

aøn

h:

a

t

2 +

b

t

+

c

=

, (

*)

65

C

ùng

m

in

h

ña

úng

th

ức

v

ec

to

r:

PP

: M

oãi

v

cu

ûa

m

ột

đ

ẳn

g

th

ức

v

ec

to

r

go

àm

c

aùc

v

ec

to

r

đư

ợc

n

ối

v

ới

n

ha

u

ûi c

ác

p

he

ùp

to

aùn

v

ec

to

r

Ta

d

uøn

g

qu

y

ta

éc

to

ång

, h

ie

äu

cu

ûa

ca

ùc

ve

ct

or

, t

ìm

ve

ct

or

đ

ối

đ

bi

ến

đ

ổi

v

na

øy

th

aøn

h

ve

á k

ia

c

ủa

đ

aún

g

th

ức

h

oa

ëc

bi

eán

đ

ổi

ca

û h

ai

v

cu

ûa

ña

úng

th

ức

đ

đư

ợc

h

ai

v

ba

èng

n

ha

u

T

a

cu

õng

c

ó

th

bi

ến

đo

åi đ

ẳn

g

th

ức

v

ec

to

r

ca

àn

ch

ứn

g

m

in

h

đo

ù tư

ơn

g

đư

ôn

g

ùi m

ột

đ

ẳn

g

th

ức

ve

ct

or

đ

ươ

ïc

co

âng

n

ha

än

la

ø ñ

uùn

g

X

ác

đ

ịn

h

ve

ct

or

k

.a

:

PP

: D

ựa

v

ào

đ

ịn

h

ng

a

ve

ct

or

k

.a

k

.a

v

a

k

.a

k

a

k

.a

v

a

=

=

µ

c

ï

n

g

h

í

n

g

,

n

Õu

k

>

µ

n

g

c

h

í

n

g

,

n

Õu

k

<

k

.0

0

;

0

.a

0

;

0

.0

0

=

=

=

1

.a

a

;

(

1)

.a

a

=

=

Ph

ân

ch

m

oät

v

ec

to

r

th

eo

h

ai

v

ec

to

r

kh

oân

g

cu

øng

p

ơn

g:

PP

: C

ó

th

û d

uïn

g

lin

h

ho

ạt

c

ác

c

oân

g

th

ức

A

C

A

B

A

D

=

+

n

eáu

ù g

ia

ùc

A

B

C

D

la

ø h

ìn

h

nh

h

aøn

h

va

ø

O

B

O

A

A

B

=

n

ếu

đ

ie

åm

O

, A

, B

b

aát

k

C

ùng

m

in

h

3

đi

ểm

th

ẳn

g

ha

øng

v

ha

i đ

ươ

øng

th

aún

g

so

ng

s

on

g:

PP

: D

ựa

v

aøo

c

aùc

k

ha

úng

đ

ịn

h

sa

u

3

đi

ểm

A

, B

, C

th

aún

g

ha

øng

A

B

c

A

B

k

=

ï

n

g

p

h

¬

n

g

A

C

A

C

N

ếu

A

B

k

=

C

D

va

ø

ñ

ươ

øng

th

ẳn

g

A

B

v

C

D

p

ha

ân

bi

ệt

th

ì A

B

//

C

D

C

ùng

m

in

h

ca

ùc

ña

úng

t

ùc

ve

ct

or

c

ch

ứa

t

íc

h

cu

ûa

ve

ct

or

v

ới

m

ột

s

ố:

PP

: S

du

ïng

nh

c

ha

át c

uûa

v

ec

to

r v

ới

m

ột

s

nh

c

ha

át:

ba

ñ

ie

åm

th

aún

g

ha

øng

, t

ru

ng

ñ

ie

åm

c

uûa

m

ột

đ

oa

ïn

th

aún

g,

tro

ïng

ta

âm

ta

m

g

ia

ùc

X

ác

đ

ịn

h

vị

tr

í c

ủa

m

ột

đ

ie

åm

n

ø v

ào

đ

ẳn

g

th

ức

v

ec

to

r:

PP

: S

du

ng

c

aùc

k

ha

úng

ñ

òn

h

va

ø c

ác

c

ôn

g

th

ức

s

au

A

B

0

A

B

=

C

ho

đ

ie

åm

A

v

ve

ct

or

a

C

du

y

nh

ất

đ

ie

åm

M

s

ao

c

ho

A

M

a

=

1

1

A

B

A

C

B

C

;

A

B

A

B

A

A

=

=

(19)

38

4

G

IA

Ù T

R

Ò

L

Ô

ÙN

N

H

A

ÁT

-

G

IA

Ù T

R

Ò

N

H

O

Û N

H

A

ÁT

:

C

ho

h

àm

s

y

=

f(

x)

li

eân

tu

ïc

tre

ân

K

, K

c

ó

th

la

ø

[

]

(a

,b

)

/

a

,b

/[

a

,b

)

/(

a

,b

]

C

ch

:

nh

y

’=

f

’(

x)

G

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

f

’(

x)

=

ôi

k

hi

c

aàn

b

ie

át

ch

ie

àu

bi

eán

t

hi

eân

)

Ta

c

ó

ho

àn

h

đo

ä c

ác

đ

ie

åm

c

ực

tr

ị l

à:

x1 , x2

,…

……

,xn

K

nh

f(

a)

, f

(x1

),

f(

x2

),

……

…,

f(

xn

),

f(

b)

G

TL

N

c

uûa

f(

x)

la

ø:

K

M

ax

y

={

}

1

2

n

f(

a)

,

f(

x

),

f

(x

),

,f

(x

),

f(

b)

=

?

G

TN

N

c

uûa

f(

x)

la

ø:

K

M

in

y

=

{

}

1

2

n

f(

a)

,

f(

x

),

f

(x

),

,f

(x

),

f(

b)

=

?

C

ch

:

m

m

ie

àn

gi

á

trị

y

c

uûa

p

t:

f(

x)

=

y

, c

ng

hi

eäm

x

K

D

ựa

v

aøo

m

ie

àn

gi

á

trị

tr

ên

, t

a

su

y

ra

G

TL

N

-

G

TN

N

c

uûa

h

àm

s

y

=

f(

x)

tr

eân

K

SA

I

L

A

ÀM

T

R

O

N

G

C

A

ÙC

B

A

ØI

T

O

A

ÙN

T

ÌM

M

A

X

, M

IN

V

D

:

T

ìm

M

ax

, M

in

c

uûa

2

0

0

6

2

0

0

6

y

si

n

x

co

s

x

=

+

Sa

i l

aàm

th

ươ

øng

g

ặp

:

Ta

c

:

2

0

0

6

2

0

0

6

M

in

y

si

n

x

co

s

x

0

y

0

=

+

=

2

0

0

6

2

0

0

6

Ma

x

y

si

n

x

co

s

x

1

1

2

y

2

=

+

+

=

=

N

gu

ye

ân

nh

aân

s

ai

la

àm

:

2

0

0

6

Ma

x

2

0

0

6

si

n

x

1

y

0

co

s

x

1

=

=

=

 

, v

ô

s

in

2 x

+

co

s

2 x

=

1

Mi

n

si

n

x

0

y

0

co

sx

0

=

=

=

, v

ô

s

in

2 x

+

co

s

2 x

=

1:

d

aáu

=”

k

ho

âng

x

ảy

ra

đ

ie

àu

ki

eän

(2

) k

ho

âng

th

oûa

G

ia

ûi đ

ún

g:

2

1

0

0

3

2

1

0

0

3

y

(s

in

x

)

(c

o

s

x

)

=

+

2

1

0

0

3

2

1

0

0

3

y

(1

co

s

x

)

(c

o

s

x

)

=

+

1

0

0

3

1

0

0

3

2

y

(1

t)

t

0

t

C

o

s

x

1

=

+

=

, v

ới

1

0

0

2

1

0

0

2

y

'

1

0

0

3

(1

t)

1

0

0

3

t

0

=

+

=

1

0

0

2

1

0

0

2

1

t

t

1

(1

t)

t

t

1

t

t

2

=

=

=

 −

=

63

V

E

C

T

O

R

1

T

O

ÏA

Ñ

O

Ä C

U

ÛA

M

O

ÄT

Ñ

IE

ÅM

V

A

Ø V

E

C

T

O

R

:

G

oïi

i,

j

la

ø

v

ec

to

r đ

ơn

v

ò,

i

j

1

=

=

T

a

co

ù:

M

(x

, y

)⇔

=

+

O

M

x

.i

y

.j

a

=

(a1 , a2

)

=

+

=

+

2

2

1

2

1

2

a

a

a

a

a

.i

.j

a

T

oa

ï đ

ve

ct

or

:

C

ho

A

(xA , yA

) v

B

(xB , yB

)

A

B

=

(xB

xA , yB

yA

)

(

)

(

)

2

2

B

A

B

A

A

B

A

B

x

x

y

y

=

=

+

To

ïa

ño

ä tr

un

g

đi

ểm

c

uûa

A

B

,

A

B

A

B

x

x

2

I

:

y

y

2

+

   

+

  

To

đo

ä tr

ọn

g

ta

âm

A

B

C

,

A

B

C

A

B

C

x

x

x

3

G

:

y

y

y

3

+

+

   

+

+

  

H

ai

v

ec

to

r

cu

øng

p

ơn

g:

C

ho

→ a=

(a1 , a2

),

→ b=

(b1 , b2

)

m

a

n

b

±

=

(m

a1

± n

b1

, m

a2

± n

b2

)

N

eáu

→ a c

ùn

g

ph

ươ

ng

b

1

2

1

2

1

2

a

a

,

(b

,b

0

)

b

b

=

=

a

:b

a

:b

1

1

2

2

N

eáu

v

ec

to

r b

aèn

g

nh

au

:

→ a=

→ b

=

=

2

2

1

1

b

a

b

a

2

T

ÍC

H

V

O

 H

Ư

Ơ

ÙN

G

V

E

C

T

O

R

:

=

=

+

1

1

2

2

a

b

a

b

co

s(

a

b

)

a

b

a

b

=

a

b

C

o

s(

a

b

)

a

b

1

1

2

2

a

b

a

b

0

a

b

a

b

0

=

+

=

(20)

40

N

eáu

f

’(

x)

đ

ổi

d

ấu

t

ại

x0

D

I

(x0,

f(

x0

)

)

la

ø ñ

ie

åm

u

ốn

c

ủa

(

C

)

G

h

i

ch

:

T

ie

áp

tu

ye

án

ta

ïi

đi

ểm

u

oán

I

c

ủa

đ

ươ

øng

c

on

g

(C

)

la

ø đ

ươ

øng

t

ha

ún

g

xu

ye

ân

qu

a

đư

ờn

g

co

ng

đ

ó

T

ín

h

lo

ài

lo

õm

c

a

đư

ờn

g

co

n

g

(C

)

X

ét

d

ấu

đ

o

ha

øm

y

’’

=

f

’(

x)

t

ro

ng

k

ho

aûn

g

(a

,b

)

D

N

eáu

f

’(

x)

<

,

)

,

(

b

a

x

ñ

ươ

øng

c

on

g

lo

ài

t

ro

ng

(

a,

bl

a

N

eáu

f

’(

x)

>

,

)

,

(

b

a

x

đư

ờn

g

co

ng

lo

õm

t

ro

ng

(

a,

b)

G

h

i c

h

:

H

àm

s

ba

äc

3

lu

ôn

c

ó

đ

ie

åm

u

oán

(

ng

hi

eäm

c

ủa

đ

ạo

h

àm

c

ấp

l

ho

aøn

h

ño

ä ñ

ie

åm

u

ốn

)

H

àm

s

tr

ùn

g

ph

ươ

ng

:

y

=

a

x

4 +

b

x

2 +

c

C

a,

b

t

ra

ùi

da

áu:

c

ó

2

đi

ểm

u

ốn

đ

ối

x

ứn

g

nh

au

q

ua

O

y

C

a,

b

c

uøn

g

da

áu

:

kh

oân

g

co

ù ñ

ie

åm

u

oán

6

T

IE

ÄM

C

A

ÄN

C

U

ÛA

Ñ

O

À T

H

Ò

H

A

ØM

S

O

Á:

Đ

tìm

c

ác

ti

ệm

c

ận

c

ủa

đ

th

ị (

C

):

y

=

f(

x)

, t

a

th

ực

h

ie

än:

m

ta

äp

xa

ùc

đị

nh

c

ủa

f(

x)

m

c

aùc

g

ùi h

ạn

c

uûa

f(

x)

k

hi

x

ti

eán

ùùi b

ie

ân

cu

ûa

ta

äp

xa

ùc

đị

nh

N

ha

än

da

ïng

c

ác

ti

ệm

c

aän

d

ựa

v

ào

b

ản

g

sa

u:

D

aáu

H

ie

äu

K

eát

L

ua

än

V

T

ie

äm

C

aän

lim

(

)

o

x

x

f

x

=

±∞

Ti

eäm

c

ận

đ

ứn

g

x

=

xo

o

x

lim

f(

x)

y

±∞

=

Ti

eäm

c

aän

n

ga

ng

y

=

yo

li

m

(

)

x

f

x

±∞

=

±∞

(x

eùt

g

ùi

ha

ïn)

C

ó

th

co

ù ti

ệm

c

ận

x

ie

ân:

Ta

m

x

f(

x)

a

lim

x

±∞

=

,

xe

ùt

2

gi

ới

h

aïn

-N

eáu

a

0,

a

ta

m

x

b

li

m

[f

(x

)

a

x

]

±

=

-N

eáu

b

±∞

th

ì (

C

) c

ó

tie

äm

c

ận

x

ie

ân:

y

=

ax

+

b

-N

eáu

b

=

±∞

th

ì (

C

) c

ó

ph

ươ

ng

ti

eäm

c

aän

: y

=

a

x

61

8

S

O

Á P

H

Ö

ÙC

L

IE

ÂN

H

Ô

ÏP

:

C

ho

s

ph

ức

z

=

a

+

b

i

T

a

go

ïi a

b

i l

so

á p

ùc

lie

ân

ïp

cu

ûa

z

K

hi

eäu

:

z

a

b

i

=

v

2

2

z

z

z

a

b

=

=

+

9

S

O

Á N

G

H

ÒC

H

Ñ

A

ÛO

:

So

á n

gh

òc

h

ña

ûo

cu

ûa

so

á p

ùc

z

0

la

ø:

1

2

1

z

.z

z

=

v

1

z

z

1

=

8

C

O

ÄN

G

T

R

Ö

Ø –

N

H

A

ÂN

C

H

IA

S

O

Á P

H

Ö

ÙC

:

C

ho

z

=

a

+

b

i v

w

=

x

+

y

i

z

w

(a

x

)

(b

y

)i

+

=

+

+

+

z

w

(a

x

)

(b

y

)i

=

+

z

w

(a

x

b

y

)

(a

y

b

x

)i

=

+

+

1

2

2

2

2

2

z

z

w

z

w

z

w

1

z

w

z

w

;

v

w

x

y

i

w

w

.w

x

y

x

y

w

=

=

=

=

=

=

+

+

í

i

C

ho

z

r(

co

s

i

si

n

)

=

ϕ

+

ϕ

va

ø

w

r

'(

co

s

'

i

si

n

')

,(

r

0

,r

'

0

)

=

ϕ

+

ϕ

[

]

z

w

r

r

'

co

s(

')

is

in

(

')

=

ϕ

+

ϕ

+

ϕ

+

ϕ

[

]

z

r

co

s(

')

is

in

(

')

,r

0

w

r

'

=

ϕ

ϕ

+

ϕ

ϕ

>

C

hu

ù y

ù: M

oïi

p

t đ

ại

so

á,

ba

äc

n

>

, v

ới

h

so

á p

ùc

ñe

àu

co

ù n

n

gh

ie

äm

p

ùc

10

C

A

ÙC

D

A

ÏN

G

T

O

A

ÙN

T

H

Ư

Ơ

ØN

G

G

A

ËP

:

C

aùc

p

he

ùp

to

aùn

tr

ên

s

ph

ức

T

ìm

c

ăn

b

aäc

h

ai

c

ủa

s

ph

ức

:

V

D

:

T

ìm

s

ph

ức

z

s

ao

c

ho

2 z

3

4i

=

+

G

ia

ûi:

Đ

ặt

z

=

a

+

b

i,

v

ới

a,

b

R

T

a

co

ù:

(

)

2

2

2

2

z

3

4i

a

bi

3

4i

a

b

2a

bi

3

4i

=

+

+

=

+

+

=

+

2

2

a

1

b

2

a

b

3

a

1

b

2

ab

2

=

=

=

=

=

=

K

L

:

co

ù

s

ph

c

z

1

2i

;

z

1

2i

=

+

=

G

ia

ûi p

ơn

g

tr

ìn

(21)

42

L

öu

y

ù:

N

eáu

(

d)

/

/

(d

’)

:

y

=

k1

x

+

d

, t

(

d)

v

(d

’)

c

hu

ng

h

so

á g

oùc

, t

ức

l

k

=

k1

N

eáu

(

d)

(d

')

:

y

=

k1

x

+

d

, t

íc

h

2

he

ä s

go

ùc

ba

èng

-1,

t

ức

k

k1

=

-1

C

ác

b

ài

to

án

v

kh

oa

ûng

c

ác

h:

Đ

ịn

h

ng

a:

K

ho

aûn

g

ca

ùch

g

õa

đư

ờn

g

th

aún

g

(

)

va

ø đ

ươ

øng

c

on

g

(C

)

la

ø

đo

ạn

th

aún

g

ng

aén

n

ha

át n

ối

g

õa

2

đi

ểm

c

ủa

(

)

va

ø (C

)

D

aïn

g

1:

K

ho

aûn

g

ca

ùch

g

õa

2

đi

ểm

A

(

,

)

A

A

x

y

va

ø B

(

,

)

B

B

x

y

2

2

(

)

(

)

B

A

B

A

A

B

x

x

y

y

=

+

Đ

A

B

m

in

, d

ùn

g

ba

át

đa

úng

t

ùc

C

au

ch

y:

a,

b

>

0

2

+

a

b

a

b

,

ha

y

ab

2

2

a

b

+

≤

, d

aáu

"

="

x

aûy

k

hi

v

ch

æ k

hi

a

=

b

2

so

á a

, b

th

ay

đ

ổi

v

à

co

ù tí

ch

a

.b

=

c

on

st

th

ì a

+

b

ñ

aït

G

TN

N

k

hi

a

=

b

2

so

á a

, b

th

ay

đ

ổi

v

à

co

ù to

ång

a

+b

=

c

on

st

th

ì a

.b

ñ

aït

G

TL

N

k

hi

a

=

b

D

aïn

g

2:

K

ho

aûn

g

ca

ùch

g

õa

đư

ờn

g

th

aún

g

(

)

va

ø đ

th

ị (

C

)

La

äp

ph

ươ

ng

tr

ìn

h

tie

áp

tu

ye

án

(d

) c

ủa

đ

th

ò (

C

)//

(

)

:A

x+

B

y+

C

=

0

m

ti

ếp

đ

ie

åm

0

0

0

(

,

)

M

x

y

g

õa

(d

) v

(C

)

d[

]

0

0

0

2

2

,(

)

(

,

)

C

d

A

x

B

y

C

M

A

B

=

=

+

+

+

Đ

ặc

b

ie

ät:

0

(

)

:

(

,

)

x

a

d

M

x

a

=

=

(

)

0

:

(

,

)

y

b

d

M

y

b

=

=

Đ

ươ

øn

g

th

n

g

qu

a

2

ñi

eåm

c

c

tr

ị c

a

h

à

m

b

c

ba

(

C

):

y

=

f

(x

)

B

ươ

ùc

1

: T

ín

h

đa

ïo

ha

øm

'

f

(x

)

B

ươ

ùc

2

: C

hi

a

ña

th

ức

:

f(

x)

f'

(x

)

f

(x

) =

'

f

(x

)

q(

x)

+

r(

x)

, v

ới

r(

x)

=

a

x+

b

B

ươ

ùc

3

: G

oïi

M

(x0 ,y0

) l

à

đi

ểm

c

ực

tr

ò (

ne

áu

co

ù) c

uûa

f

(x

),

Ta

c

où:

0

0

0

0

0

0

f

'(

x

)

0

y

f

(x

)

f

'(

x

).

q

(x

)

r(

x

)

  

=

=

=

+

0

0

0

(

)

=

=

+

y

r

x

a

x

b

V

aäy

y

a

x

b

=

+

la

ø p

t q

ua

ñ

ie

åm

c

ực

tr

ị c

ủa

h

àm

b

aäc

(C

):y

=

f(

x)

Đ

th

ị h

m

c

h

a

gi

tr

tu

ye

ät

đo

ái

59

C

hu

ù y

ù:

K

hi

g

ặp

h

àm

c

ùa

da

áu

trị

tu

ye

ät đ

ối

la

ø k

û tr

ị t

uy

ệt

ñ

oái

SA

I

L

A

ÀM

T

R

O

N

G

C

A

ÙC

B

A

ØI

T

O

A

ÙN

V

D

: T

ín

h

tíc

h

ph

ân

2

2

2

d

x

I

(x

1)

=

+

Sa

i l

aàm

th

ươ

øng

g

aëp

:

2

2

2

2

2

2

2

2

d

x

d

(x

1)

1

4

I

(x

1)

(x

1)

x

1

3

+

=

=

=

=

+

+

+

N

gu

ye

ân

nh

aân

s

ai

l

aàm

:

D

o

ha

øm

s

2

1

(x

1)

+

gi

án

đ

oa

ïn

tre

ân

,

2]

ne

ân

kh

ôn

g

û d

ụn

g

đị

nh

ly

ù N

ew

to

n

Le

ib

ni

tz

đ

tín

h

tíc

h

ph

aân

G

ia

ûi

ñu

ùng

:

H

àm

s

2

1

y

(x

1)

=

+

kh

oân

g

xa

ùc

đị

nh

t

aïi

x

1

[

2

,2

]

=

,

ne

ân

gi

án

đ

oa

ïn

tre

ân

,

]

D

o

ño

ù tí

ch

p

ha

ân

tre

ân

kh

oân

g

to

àn

ta

ïi

V

D

: T

ín

h

tíc

h

ph

ân

4

2

0

I

x

6

x

9

.d

x

=

+

Sa

i l

ầm

th

ươ

øng

g

aëp

:

4

4

4

4

2

2

2

0

0

0

0

(x

3

)

I

x

6

x

9

.d

x

(x

3

)

.d

x

(x

3

)

d

(x

3

)

4

2

=

+

=

=

=

=

N

gu

ye

ân

nh

aân

s

ai

l

ầm

:

Ph

ép

b

ie

án

ño

åi

2

(x

3

)

x

3,

x

[0

,4

]

=

la

ø

kh

ôn

g

ơn

g

đư

ơn

g

G

ia

ûi đ

ún

g:

4

4

4

2

2

0

0

0

I

x

6

x

9

.d

x

(x

3

)

.d

x

x

3

.d

(x

3

)

=

+

=

=

[

]

3

4

3

4

2

2

0

3

0

3

(x

3

)

(x

3

)

(x

3

)

.d

(x

3

)

(x

3

)

d

(x

3

)

5

2

2

+

=

+

=

∫ Jb Tr

aàn

L

o

n

g

G

ia

(22)

44

8

C

O

ÂN

G

T

H

Ö

ÙC

Ñ

O

ÅI

T

R

U

ÏC

T

O

ÏA

Đ

O

Ä:

Tị

nh

ti

eán

h

to

đo

ä O

xy

th

eo

O

I

th

ì g

õa

ca

ùc

he

ä to

đo

ä O

xy

v

he

ä to

ïa

ño

ä IX

Y

, ñ

ie

åm

M

(x

,y

) c

uûa

h

tru

ïc

O

xy

tr

th

aøn

h

M

(x0

+

X

, y0

+

Y

) c

uûa

h

tru

ïc

IX

Y

, đ

ươ

ïc

xa

ùc

đị

nh

n

s

au

:

0

x

x

X

y

y

Y

=

+

 

=

+

, v

ới

(x0 ,y0

) t

oïa

đ

cu

ûa

đi

eåm

I

tro

ng

h

tru

ïc

to

ïa

ño

ä O

xy

C

hu

ù y

ù:

Đ

th

ị h

àm

s

le

û n

ha

än

go

ác

to

ïa

ño

ä la

ø ta

âm

đ

ối

x

ứn

g

Ñ

th

ị h

àm

s

ch

ẵn

n

ha

än

tru

ïc

tu

ng

la

ø tr

uïc

đ

ối

x

ứn

g

9

T

ÍN

H

D

IE

ÄN

T

ÍC

H

V

A

Ø T

H

E

Å T

ÍC

H

:

D

ie

än

ch

h

ìn

h

th

an

g

co

ng

:

Ñ

ươ

ïc

g

ùi h

aïn

b

ởi

đ

ươ

øng

c

on

g

(C

):

y

=

f(

x)

, t

ru

ïc

0x

v

ha

i đ

ươ

øng

th

aún

g

x

=

a,

x

=

b

T

a

co

ù:

(

)

= ∫

b a

S

f

x

d

x

D

ie

än

ch

h

ìn

h

ph

ẳn

g

:

Đ

ươ

ïc

g

ùi

ha

ïn

ûi

đư

ờn

g

co

ng

(

C1

):

y

=

f(

x)

v

(C2

):

y

=

g(

x)

v

ha

i

đư

ờn

g

th

aún

g

x

=

a,

x

=

b

T

a

co

ù:

(

)

(

)

b a

S

f

x

g

x

d

x

=

T

ín

h

th

ch

c

ác

v

ật

th

nh

h

oïc

:

Ta

c

ho

ïn

tru

ïc

0x

th

na

øo

ch

o

S(

x)

c

ó

bi

ểu

th

ức

ơn

g

đo

ái đ

ơn

g

ia

ûn

T

a

co

ù:

(

)

b a

V

S

x

d

x

= ∫

T

ín

h

th

ch

c

ác

v

ật

th

tr

òn

x

oa

y

:

-X

oa

y

qu

an

h

0x

:

Ta

p

ha

ân

ch

ia

đ

ươ

øng

c

on

g

n

ra

l

àm

h

ai

p

ha

àn

(C1

):

y

=

y1

=

f(

x)

v

(C2

):

y

=

y2

=

g(

x)

v

ới

b

x

a

v

f(

x)

, g

(x

)

cu

øng

da

áu

th

ì:

b

2

2

1

2

a

V

y

y

.d

x

=

π

-X

oa

y

qu

an

h

0y

:

T

a

ph

aân

c

hi

a

đư

ờn

g

co

ng

k

ín

ra

la

øm

p

ha

àn

(C1

):

x

=

x1

=

f(

y)

v

(C2

):

x

=

x2

=

g(

y)

ùi

c

y

d

va

ø f(

y)

, g

(y

) c

uøn

g

da

áu

th

ì:

d

2

2

1

2

c

V

x

x

.d

y

=

π

57

C

ó

vo

â s

ng

uy

ên

h

àm

s

ai

k

ha

ùc

nh

au

m

ột

h

ằn

g

so

á C

c

uûa

h

àm

s

f(

x)

xa

ùc

đị

nh

tr

eân

K

, n

ng

c

hỉ

c

du

y

nh

ất

m

ột

g

ia

ù t

rị

ch

p

ha

ân

cu

ûa

f(

x)

ø a

đ

ến

b

,

tro

ng

ñ

[a

,b

]

K

⊂⊂⊂⊂

G

hi

c

hu

ù

:

b l ∫∫∫∫ a

µ

d

Êu

t

Ýc

h

p

h

ân

(

x

ác

đ

ịn

h

)

, c

ác

s

a,

b

ñ

gl

c

ận

c

ủa

ch

p

ha

ân

(a

la

ø c

aän

d

ươ

ùi

b

l

c

aän

t

re

ân)

, f

(x

).d

x

la

ø b

ie

åu

th

ức

d

ươ

ùi d

ấu

ch

p

ha

ân,

f

(x

)

la

ø h

aøm

s

ới

d

ấu

ch

p

ha

ân

va

ø x

la

ø b

ie

án

so

á tí

ch

p

ha

ân

Ph

ươ

ng

p

ha

ùp

ño

åi

bi

ến

s

ố:

h

oa

øn

to

aøn

g

io

áng

n

v

ie

äc

xa

ùc

đị

nh

ng

uy

ên

h

àm

,

nh

ön

g

ïa

va

øo

co

âng

t

ùc

N

ew

to

n

Le

ib

ni

z

ta

c

ha

éc

ch

aén

c

ó

m

ột

g

ia

ù tr

ò d

uy

n

ha

át c

uûa

ch

p

ha

ân

(x

ác

đ

ịn

h)

n

ày

Đ

ie

àu

ca

àn

ch

ú

ý

đa

ây

la

ø tr

on

g

kh

i đ

ổi

b

ie

án

ta

kh

oân

g

ne

ân

qu

eân

đ

ổi

ca

än

cu

ûa

tíc

h

ph

ân

(9

0%

h

oïc

s

in

h

qu

eân

)

SA

I

L

A

ÀM

T

R

O

N

G

C

A

ÙC

B

A

ØI

T

O

A

ÙN

V

D

:

nh

ch

p

ha

ân

1

3

1

I

x

.d

x

= ∫

(H

aøm

le

û +

c

ận

đ

ối

x

ứn

g:

ch

p

ha

ân

=

0)

Sa

i l

aàm

th

ươ

øng

g

ặp

:

(

)

1

4

1

1

1

4

4

3

3

3

3

3

1

1

1

3

x

3

I

x

.d

x

x

.d

x

1

1

0

4

4

=

=

=

=

=

N

gu

ye

ân

nh

aân

s

ai

la

àm

:

H

àm

s

3

f

(x

)

x

=

xa

ùc

đị

nh

tr

ên

R

, h

àm

s

1

g

(x

)

x

=

xa

ùc

đị

nh

tr

eân

kh

oa

ûng

(0

,

+∞

)

G

ia

ûi đ

ún

g:

Đ

ặt

3

2

3

t

x

t

x

d

x

3

t

d

t

=

=

=

Đ

ổi

c

ận

:

x

1

t

1

=

=

;

x

1

t

1

=

=

1

1

1

2

3

4

1

1

1

3

I

t

3

t

.d

t

3

t

.d

t

t

0

4

=

=

=

=

Ph

ươ

ng

p

ha

ùp

ño

åi

bi

ến

s

đa

ët

bi

eät

: d

ựa

v

aøo

v

ie

äc

ña

ùnh

g

ia

ù c

ận

ch

ph

ân

v

à

tín

h

ch

ất

c

ủa

h

àm

s

ới

d

ấu

ch

p

ha

ân

ta

c

th

ïa

ch

oïn

p

he

ùp

ña

ët a

ån

so

á p

hu

ï, t

ho

âng

th

ươ

øng

(23)

46

a

b

a

a

b

a

x

x

lo

g

x

lo

g

x

lo

g

x

lo

g

b

.l

o

g

x

lo

g

b

lo

g

a

lo

g

a

β

α

=

=

α

= β

3

P

H

Ư

Ơ

N

G

T

R

ÌN

H

, B

A

ÁT

P

H

Ư

Ơ

N

G

T

R

ÌN

H

M

U

Õ:

G

ia

ûi p

ơn

g

tr

ìn

h

m

u

õ: G

hi

n

h

k

h

c

ơ

s

(

)

(

)

(

)

(

)

f

x

g

x

a

a

f

x

g

x

=

=

(

)

(

)

1

0

f

x

a

f

x

=

=

;

(

)

(

)

lo

g

f

x

a

a

c

f

x

c

=

=

G

ia

ûi b

aát

p

ơn

g

tr

ìn

h

m

ũ:

đ

ưa

v

da

ïng

to

ång

q

ua

ùt

C

ác

h

g

iả

i:

(

)

(

)

f

x

g

x

a

a

, (

)

0

1

<

a

N

ếu

1

<

<

a

t

a

(

)

(

)

f

x

g

x

,

i

ch

iề

u

B

P

T

)

N

ếu

1

a

>

t

a

(

)

(

)

f

x

g

x

V

i

B

P

T

(

)

f

x

a

c

-

N

ếu

1

<

<

a

,

ta

c

ó

(

)

lo

g

a

f

x

c

,

i

ch

iề

u

B

P

T

)

-

N

ếu

1

a

>

,

ta

c

ó

(

)

lo

g

a

f

x

c

C

hu

ù y

ù

: n

go

aøi

ta

c

th

du

øng

a

ån

ph

đe

å g

ia

ûi b

aøi

to

án

, n

ng

c

hu

ù y

ù ñ

ie

àu

ki

eän

c

uûa

c

hu

ùng

SA

I

L

A

ÀM

T

R

O

N

G

C

A

ÙC

B

A

ØI

T

O

A

ÙN

V

D

: G

ia

ûi b

aát

p

ơn

g

trì

nh

0

4

2

1

2

x

x

Sa

i l

ầm

th

ươ

øng

g

aëp

:

3

3

1

0

4

2

0

1

0

4

2

1

1

2

>

>

>

x

x

x

x

x

x

x

N

gu

ye

ân

nh

aân

s

ai

la

àm

:

>

0

0

0

B

A

B

A

, s

ai

la

àm

b

ởi

v

ì n

ếu

A

=

,

th

ì B

PT

đ

ún

g

ùi m

ọi

B

, m

à

kh

oân

g

ca

àn

0

>

B

55

H

A

ØM

L

Ư

Ơ

ÏN

G

G

IA

ÙC

D

aïn

g

1:

R

(s

in

x,

c

os

x)

la

ø m

ột

h

àm

h

ữu

t

yû,

d

ùn

g

ph

ép

t

he

á v

aïn

n

aên

g

x

t

ta

n

=

L

úc

đ

ó:

2

2

2

2

2

t

1

t

2

t

si

n

x

;

co

s

x

;

ta

n

x

1

t

1

t

1

t

=

=

=

+

+

v

2

2

d

t

d

x

1

t

=

+

B

ằn

g

ph

ép

th

va

ïn

na

êng

b

ao

g

ø c

ũn

g

tín

h

đư

ợc

n

gu

ye

ân

ha

øm

tr

eân

D

aïn

g

2:

m

n

si

n

x

.c

o

s

x

.d

x

∫∫∫∫

, t

ro

ng

ñ

ó

m

v

à

n

la

ø n

õng

s

ng

uy

ên

N

ếu

n

ha

át

tr

on

g

2

so

á m

, n

le

û:

m

le

û th

ì đ

ặt

t

=

co

sx

n

le

û th

ì đ

ặt

t

=

si

nx

N

eáu

m

, n

c

ha

ün

th

ì đ

aët

t

=

ta

n

x

N

ếu

m

, n

c

uøn

g

ch

ẵn

v

à

ơn

g

th

ì d

uøn

g

co

âng

th

ức

h

ba

äc

D

aïn

g

3:

N

go

aøi

p

ơn

g

ph

áp

đ

ổi

bi

ến

th

ôn

g

th

ươ

øng

, m

ột

s

ba

øi t

oa

ùn

ta

tín

h

de

å d

aøn

g

n

ne

áu

ta

b

ắt

g

ặp

c

ác

d

ạn

g

sa

u:

N

eáu

R

(–

si

nx

, c

os

x)

=

R

(s

in

x,

c

os

x)

, t

ức

la

ø R

(s

in

x,

c

os

x)

la

ø h

àm

le

û đ

ối

v

ới

s

in

x

K

hi

đ

ó

ta

đ

ặt

t

=

co

sx

N

eáu

R

(s

in

x,

c

os

x)

=

R

(s

in

x,

c

os

x)

,

ùc

la

ø R

(s

in

x,

c

os

x)

la

ø h

aøm

le

û đ

ối

v

ới

c

os

x

K

hi

đ

ó

ta

đ

ặt

t

=

si

nx

N

eáu

R

(–

s

in

x,

c

os

x)

=

R

(s

in

x,

c

os

x)

,

ùc

la

ø R

(s

in

x,

c

os

x)

la

ø h

àm

ch

ẳn

đ

ối

v

ới

s

in

x

va

ø c

os

x

K

hi

đ

ó

ta

đ

aët

t

=

ta

nx

N

ếu

R

(s

in

x,

c

os

x)

=

m

n

si

n

x

.c

o

s

x

d

uøn

g

co

âng

th

ức

h

ba

äc

N

ếu

R

(s

in

x,

c

os

x)

=

s

in

ax

.c

os

bx

ha

y

c

os

ax

.c

os

bx

ha

y

s

in

ax

.c

os

bx

th

ì t

a

du

øng

c

oân

g

th

ức

ch

th

aøn

h

to

ång

C

hu

ù y

ù

: v

ie

äc

ch

oïn

a

ån

ph

m

ột

v

aøi

b

aøi

to

án

c

ần

đ

ươ

ïc

đị

nh

h

ươ

ùng

s

au

m

oät

va

øi p

he

ùp

bi

eán

đ

ổi

Ph

ươ

ng

p

ha

ùp

ng

uy

eân

h

àm

øng

p

ha

àn:

C

oân

g

th

ức

n

gu

ye

ân

ha

øm

øng

p

ha

àn

:

u

.d

v

(u

.v

)

v

.d

u

=

(

L

nx

>

P

(x

)

>

e

x >

s

in

x

)

K

hi

s

du

ïng

p

ơn

g

ph

áp

n

gu

ye

ân

ha

øm

øng

p

ha

àn,

c

aàn

tu

aân

th

eo

c

ác

ng

uy

ên

ta

éc

sa

u:

C

ho

ïn

ph

eùp

đ

ặt

d

v

sa

o

ch

o

v

đư

ợc

x

ác

đ

ịn

h

m

ột

c

aùc

h

de

ã d

àn

g

N

gu

ye

ân

ha

øm

v

.d

u

đ

ươ

ïc

xa

ùc

đị

nh

d

so

v

ới

n

gu

ye

ân

ha

øm

b

an

đ

ầu

(24)

48

Đ

ặt

ñ

ie

àu

ki

eän

k

ho

âng

ñ

uùn

g

S

du

ïng

c

oân

g

th

ức

k

ho

âng

đ

ún

g

C

hu

ù y

ù:

2

n

2

n

A

0

A

0

A

0

A

0

>

=

n

k

a

a

k

A

0

A

0

lo

g

(f

(x

))

lo

g

f

(x

)

n

>

=

G

ia

ûi đ

ún

g:

Đ

ie

àu

ki

eän

:

   

>

   

>

+

 

 

>

>

>

+

1

2

3

0

3

1

0

6

5

0

3

0

2

1

0

)

6

5

(

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

(*

)

3

2

1

log

6

5

3

2

3

=

+

x

x

x

x

Log

2

x

1

x

1

x

5

x

6

x

3

x

2

x

3

x

3

2

2

+

=

=

x

1

x

2

2

=

x

1

x

3

x

2

2

5

x

1

x

x

2

3

2

=

=

=

 −

=

 

V

aäy

n

gh

ie

äm

c

uûa

p

ơn

g

trì

nh

la

ø:

3

5

=

x

V

D

:

G

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

3

4

1

3

4

1

2

4

1

)

6

(

log

)

4(

log

3

)

2

(

log

2

3

+

+

=

+

x

x

x

, (

*)

Sa

i l

ầm

th

ươ

øng

g

aëp

:

Đ

ie

àu

ki

ện

<

<

   

>

+

>

>

+

4

6

2

0

)

6

(

0

)

4(

0

)

2

(

3

3

2

x

x

x

x

x

(*

)

3

4

1

3

4

1

3

4

1

)

6

(

log

)

4(

log

3

)

2

(

log

+

+

=

+

x

x

x

3

3

3

3

1

1

4

4

1

lo

g

(x

2

)

:

lo

g

(4

x

)

(x

6

)

4

+

=

+

53

D

aïn

g

2:

N

eáu

la

ø c

ác

d

ạn

g

sa

u

2 +

d

x

x

b

;

2 +

d

x

x

b

th

ì t

a

ña

ët

t

an

=

b

x

t

,

ùi

,

2

2

t

π

π

− 

D

aïn

g

3

:

N

eáu

la

ø d

aïn

g

sa

u

2

2 −

d

x

x

a

th

ì t

a

ña

ët

{

}

,

,

\

0

si

n

2

2

a

x

t

t

π

π

=

− 

û d

ụn

g

ph

ươ

ng

p

ha

ùp

ph

ân

ch

:

Ph

ươ

ng

p

ha

ùp

na

øy

đư

ợc

a

ùp

du

ïng

đ

tín

h

ca

ùc

ng

uy

eân

h

aøm

m

ha

øm

s

da

ïng

h

aøm

h

ữu

ty

û (h

aøm

ợn

g

gi

ác

v

vo

â ty

û đ

ươ

ïc

áp

d

ụn

g

th

ôn

g

qu

a

ph

eùp

đo

åi

bi

ến

)

B

ằn

g

vi

ệc

s

du

ïng

ño

àng

n

ha

át

th

ức

đ

bi

ến

đ

ổi

h

aøm

h

ữu

t

th

àn

h

ca

ùc

ha

øm

s

đơ

n

gi

ản

m

à

ng

uy

ên

h

àm

c

ủa

m

ỗi

h

àm

s

na

øy

nh

ận

đ

ươ

ïc

ø b

ản

g

ca

ùc

ng

uy

eân

h

àm

c

ơ

ba

ûn HÀM

H

Ư

ÕU

T

Y

Û

N

ếu

b

ậc

c

ủa

û lơ

ùn

n

(h

oa

ëc

ba

èn

g)

b

ậc

c

ủa

m

aãu

: c

hi

a

ña

th

ức

N

ếu

b

ậc

c

ủa

û n

ho

û h

ôn

b

ậc

c

ủa

m

ẫu

:

x

ét

tr

ươ

øng

h

ợp

M

u

so

á l

m

ột

đ

a

th

c

vo

â n

gh

ie

äm

, d

uøn

g

ph

ươ

ng

p

ha

ùp

ño

åi

bi

ến

s

,

ña

ët

t =

m

u

s

, s

au

đ

ó

đư

a

ve

à p

he

ùp

ợn

g

gi

ác

h

óa

D

aïn

g

1

: (

)

2

n

d

x

x

p

x

q

+

+

PP

: B

ie

án

ño

åi t

am

th

ức

2

x

p

x

q

+

+

v

da

ïng

(

)

2

x

k

α

+

+

Đ

ặt

: t

=

x

+

α

, r

oài

s

du

ïng

p

ơn

g

ph

áp

đ

ổi

b

ie

án

+

ợn

g

gi

ác

h

óa

D

aïn

g

2:

(

)

2

(

)

n

a

x

b

d

x

x

p

x

q

+

+

+

PP

: T

ín

h

d(

2

x

p

x

q

+

+

) =

(2

x

+

p)

.d

x

B

ie

án

ño

åi

ax

+

b

th

eo

x

+

p,

ro

ài s

du

ïng

p

ơn

g

ph

áp

đ

ổi

b

ie

án

+

ợn

g

gi

ác

h

óa

M

u

so

á l

à

m

ột

ñ

a

th

c

co

ù n

gh

ie

äm

, t

a

ph

aân

ch

đ

a

th

ức

th

aøn

h

nh

ân

û S

au

đ

ó

û d

ụn

g

đo

àn

g

n

h

t

th

c

đ

ta

ùch

c

aùc

p

ha

ân

th

ức

th

aøn

h

ca

ùc

ph

aân

th

ức

đ

ơn

g

ia

ûn

Ph

ươ

ng

p

ha

ùp

ng

uy

ên

h

àm

øng

p

ha

àn:

C

oân

g

th

ức

n

gu

ye

ân

ha

øm

øng

p

ha

àn

:

u

.d

v

(u

.v

)

v

.d

u

=

(25)

50

(*

)

x

x

x

3

x

2

x

8

9

2

lo

g

(9

2

)

3

x

9

2

2

2

x

3

3

x

0

x

3

=

=

=

,(*

*)

Đ

ặt

x

t

2

,t

0

=

>

(*

*)

2

x

t

1

8

9

t

t

9

t

8

0

t

2

1

x

0

t

8

t

t

8

t

8

t

8

=

=

+

=

 

=

=

=

=



4

C

A

ÙC

D

A

ÏN

G

T

O

A

ÙN

T

H

Ư

Ơ

ØN

G

G

A

ËP

:

C

ác

b

ài

to

án

v

lu

õy

th

ừa

: r

út

g

ọn

, t

ín

h

gi

á

tr

ò b

ie

åu

th

ức

,

So

s

aùn

h

ha

i s

co

ù d

aïn

g

lu

õy

th

ừa

Ñ

th

ị h

àm

s

m

ũ

C

ác

b

ài

to

án

v

L

og

ar

it

: t

ín

h

gi

á

tr

ò b

ie

åu

th

ức

, c

ùng

m

in

h

ña

úng

th

ức

, s

o

sa

ùnh

c

aùc

lo

ga

ri

t,

Ph

ân

ch

m

oät

lo

ga

ri

t v

ca

ùc

lo

ga

ri

t c

ho

s

aün

C

aùc

b

ài

to

án

v

ph

ươ

ng

tr

ìn

h

m

ũ:

G

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

m

ba

èng

c

ác

h

đư

a

ve

à c

ùn

g

s

G

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

m

ũ

ba

èng

c

aùc

h

la

áy

lo

ga

rit

h

ai

v

G

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

m

ba

èng

c

ác

h

đa

ët a

ån

so

á p

hu

ï

G

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

m

ba

èng

c

ác

h

gi

ải

đ

ặt

b

ie

ät

C

aùc

b

ài

to

án

v

ph

ươ

ng

tr

ìn

h

lo

ga

ri

t:

G

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

lo

ga

rit

b

aèn

g

ca

ùch

đ

ưa

v

cu

øng

c

ô

so

á

G

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

lo

ga

rit

b

aèn

g

ca

ùch

đ

ặt

a

ån

so

á p

hu

ï

G

ia

ûi p

ơn

g

trì

nh

lo

ga

rit

b

aèn

g

ca

ùch

g

ia

ûi đ

ặt

b

ie

ät

G

ia

ûi b

ất

p

ơn

g

m

ũ

G

ia

ûi b

aát

p

ơn

g

tr

ìn

h

lo

ga

ri

t

J

b

T

r

aàn

L

o

n

g

G

ia

o

51

N

G

U

Y

E

ÂN

H

A

ØM

V

A

Ø T

ÍC

H

P

H

A

ÂN

1

N

G

U

Y

E

ÂN

H

A

ØM

V

A

Ø T

ÍN

H

C

H

A

ÁT

:

Đ

ịn

h

ng

a:

C

ho

h

àm

s

f(

x)

x

ác

đ

ịn

h

tre

ân

K

H

àm

s

F(

x)

ñ

gl

n

gu

ye

ân

ha

øm

(t

íc

h

ph

ân

b

t

đị

nh

)

c

uûa

f(

x)

tr

eân

K

n

eáu

F

’(

x)

=

f(

x)

v

ới

m

oïi

x

K

K

ý

hi

ệu

:

f

(x

)

d

x

F

(x

)

C

F

'(

x

)

f

(x

)

=

+

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

∫∫∫∫

Ñ

ịn

h

ly

ù:

G

ia

û s

F(

x)

la

ø n

gu

ye

ân

ha

øm

c

ủa

h

àm

s

f(

x)

tr

eân

K

K

hi

đ

ó:

*

V

ới

m

oãi

h

aèn

g

so

á C

, h

àm

s

y

=

F(

x)

+

C

c

uõn

g

la

ø m

oät

n

gu

ye

ân

ha

øm

c

uûa

f(

x)

tr

eân

K

*

N

ợc

la

ïi,

ùi m

ỗi

n

gu

ye

ân

ha

øm

G

(x

)

cu

ûa

f(

x)

tr

eân

K

th

ì t

ồn

ta

ïi

m

ột

h

ằn

g

so

á C

=

C

’ s

ao

c

ho

G

(x

) =

F

(x

) +

C

’ v

ới

m

oïi

x

K

*

M

oïi

n

gu

ye

ân

ha

øm

c

ủa

h

àm

s

f(

x)

tr

ên

K

đ

ều

c

da

ïng

F

(x

) +

C

,

ùi C

la

ø m

ột

h

ằn

g

so

á

G

hi

c

hu

ù

:

l ∫∫∫∫

µ

d

Êu

n

g

u

y

ªn

h

µm

(

ch

p

h

©n

b

ất

đ

ịn

h

)

,

f(

x)

.d

x

la

ø b

ie

åu

th

ức

ới

d

aáu

n

gu

ye

ân

ha

øm

(v

i

ph

aân

c

uûa

n

gu

ye

ân

ha

øm

F

(x

)

cu

ûa

f(

x)

)

, f

(x

) l

ha

øm

so

á d

ươ

ùi d

ấu

n

gu

ye

ân

ha

øm

v

x

la

ø b

ie

án

so

á c

uûa

n

gu

ye

ân

ha

øm

M

ọi

h

àm

s

f(

x)

l

ie

ân

tu

ïc

tre

ân

K

đ

ều

c

ng

uy

ên

h

àm

t

re

ân

K

(T

ña

ây,

t

ro

ng

c

aùc

b

aøi

t

oa

ùn

ve

à n

gu

ye

ân

ha

øm

c

uûa

m

ột

h

àm

s

ố,

n

ếu

k

ho

ân

g

no

ùi

t

he

âm

,

ta

l

uo

ân

gi

th

ie

át

ra

èng

h

àm

s

đo

ù l

à

li

ên

t

ục

v

à

ng

uy

eân

ha

øm

c

ủa

n

ó

đư

ợc

x

eùt

t

re

ân

m

oãi

k

ho

aûn

g

(n

ửa

k

ho

ng

,

đo

ạn

)

xa

ùc

đị

nh

cu

ûa

ha

øm

s

đo

ù)

T

ín

h

ch

aát

:

N

eáu

f(

x)

, g

(x

) l

ha

i h

àm

s

lie

ân

tu

ïc

tre

ân

K

th

ì:

f

'(

x

)

d

x

f

(x

)

C

=

+

[

]

f

(x

)

g

(x

)

d

x

f

(x

)

d

x

g

(x

)

d

x

±

=

±

k

.f

(x

)

d

x

k

f

(x

)

d

x

,

k

0

=

2

M

O

ÄT

S

O

Á P

H

Ư

Ơ

N

G

P

H

A

ÙP

T

ÌM

N

G

U

Y

E

ÂN

H

A

ØM

:

û d

uïn

g

ba

ûng

n

gu

ye

ân

ha

øm

c

ô

ba

Ngày đăng: 09/04/2021, 21:05

w