CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI VIOLYMPIC TOÁN LỚP 7

[r]

CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI VIOLYMPIC TOÁN LỚP 7 Dạng 1: Dãy số mà số hạng cách đều.

Bµi 1: TÝnh B = + + + + 98 + 99

NhËn xÐt: NÕu häc sinh nµo cã sù sáng tạo thấy tổng: + + + +

98 + 99 cã thÓ tính hoàn toàn tơng tự nh 1, cặp số 51 50, (vì tổng chØ thiÕu sè 100) vËy ta viÕt tæng B nh sau:

B = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thấy tổng ngoặc gồm 98 số hạng, chia thành cặp ta có 49 cặp nên tổng là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, B = + 4949 = 4950

Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, ta chia số hạng thành cặp (mỗi

cặp có số hạng đợc 49 cặp d số hạng, cặp thứ 49 gồm số hạng nào? Số hạng d bao nhiêu?), đến học sinh bị vớng mắc

Ta cã thĨ tÝnh tỉng B theo c¸ch kh¸c nh sau:

C¸ch 2:

B = + + + + 97 + 98 + 99 +

B = 99 + 98 + + + +

2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2B = 100.99  B = 50.99 = 4950

Bµi 2: TÝnh C = + + + + 997 + 999 Lêi gi¶i:

Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn 500 số lẻ nên tổng cú 500 s l.

áp dụng ta cã C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng có 250 cặp số)

Cách 2: Ta thÊy:

1 = 2.1 - = 2.2 - = 2.3 -

999 = 2.500 - 1

Quan sát vế phải, thừa số thứ theo thứ tự từ xuống dới ta xác định đợc số số hạng dãy số C 500 số hng

áp dụng cách ta cã:

C = + + + 997 + 999 +

C = 999 + 997 + + +

2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2C = 1000.500  C = 1000.250 = 250.000

Bµi TÝnh D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998

Nhận xét: Các số hạng tổng D số chẵn, áp dụng cách làm của

bài tập để tìm số số hạng tổng D nh sau: Ta thấy:

12 = 2.5 + 14 = 2.6 +

998 = 2.498 +2

Tơng tự trên: từ đến 498 có 495 số nên ta có số số hạng D 495, mặt

khác ta lại thấy:

998 10

495

2 

 

hay

số số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách cộng thêm 1

Khi ta có:

D = 10 + 12 + + 996 + 998 +

D = 998 + 996 + + 12 + 10

2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 2D = 1008.495  D = 504.495 = 249480

Thùc chÊt

(998 10)495

D 

Qua ví dụ , ta rút cách tổng quát nh sau: Cho dãy số cách u1, u2, u3, un (*), khoảng cách hai số hạng liên tiếp dãy d,

Khi số số hạng dãy (*) là:

1 1 n

u u n

d



 

(1)

Tỉng c¸c số hạng dÃy (*)

1

( )

2 n n

n u u

S  

(2)

Đặc biệt từ cơng thức (1) ta tính đợc số hạng thứ n dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)d

Hc u1 = d = th× S1 = + + + + n

( 1)

n n 

 Bµi TÝnh E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10

Lêi gi¶i

Ta đa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta có:

100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + +

9899) + 9910

(1011 9899).98

9910



 

= 485495 + 9910 = 495405  E = 4954,05

(Ghi chú: Vì số số hạng dÃy lµ

(9899 1011)

1 98 101



)

Bài Phân tích số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Lời giải

S = a + (a + 2) + + (a + 4006) =

( 4006)

.2004 ( 2003).2004

a a

a

 

 

 

 

  Khi đó

ta cã: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004

VËy ta cã: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010

NhËn xÐt:

Dạng 2: Dãy số mà số hạng khơng cách đều. Bài Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Lêi gi¶i

Ta thấy số hạng tổng tích hai số tự nhên liên tiếp, đó: Gọi a1 = 1.2  3a1 = 1.2.3  3a1= 1.2.3 - 0.1.2

a2 = 2.3  3a2 = 2.3.3  3a2= 2.3.4 - 1.2.3

a3 = 3.4  3a3 = 3.3.4  3a3 = 3.4.5 - 2.3.4

………

an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n  3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n

an = n(n + 1)  3an = 3n(n + 1)  3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng vế đẳng thức ta có: 3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)

31.2 2.3   n n( 1) = n(n + 1)(n + 2)  A =

( 1)( 2)

n n n C¸ch 2: Ta cã

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) -

- (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)  A =

( 1)( 2)

n n n

* Tỉng qu¸t ho¸ ta cã:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong k = 1; 2; 3; … Ta dễ dàng chứng minh công thức nh sau:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)

Bµi TÝnh B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)

Lời giải

áp dơng tÝnh kÕ thõa cđa bµi ta cã:

4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4

= 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)

 B =

( 1) ( 1)( 2)

n n n n

Bµi TÝnh C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)

Lêi gi¶i

Ta thÊy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) ……

n(n + 3) = n(n + 1) + 2n

= [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + + + … + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + + + … + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + + + … + 2n) = = n(n + 1)(n + 2) +

3(2 2)

n n

 C=

( 1)( 2) 3(2 2)

3

n n n n n



=

( 1)( 5)

n n n Bµi TÝnh D = 12 + 22 + 32 + … + n2

Nhận xét: Các số hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, bài

ny l tớch ca hai s tự nhiên giống Do ta chuyển dạng tập 1: Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … +

+ n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 )

+ (1 + + + + n) Mặt khác theo tËp ta cã: A =

( 1)( 2)

n n n

vµ + + + … + n =

( 1)

n n 

 12 + 22 + 32 + … + n2 = = ( 1)( 2)

3

n n n

-

( 1)

n n  =

( 1)(2 1)

n n n Bµi TÝnh E = 13 + 23 + 33 + + n3

Lời giải

Tơng tự toán trên, xuất phát từ toán 2, ta đa tỉng B vỊ tỉng E: Ta cã: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1)

+ … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) =

= (23 + 33 + … + n3) - (2 + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) -

- (1 + + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) -

( 1)

n n 



(13 + 23 + 33 + … + n3) = B +

( 1)

n n 

Mà ta biết B =

( 1) ( 1)( 2)

n n n n

 E = 13 + 23 + 33 + … + n3 =

=

( 1) ( 1)( 2)

n n n n

+

( 1)

n n  =

2

( 1)

n n 

 

 

 

C¸ch 2: Ta cã:

A1 = 13 = 12

A2 = 13 + 23 = = (1 + 2)2

A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + + 3)2

Gi¶ sư cã: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + + + … + k)2 (1) Ta chøng minh:

Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 (2)

Thật vậy, ta biết: + + + … + k =

( 1)

k k 



Ak = [

( 1)

k k 

Ak + (k + 1)3 = [

( 1)

k k 

]2 + (k + 1)3  A k+1 = [

( 1)

k k 

]2 + (k + 1)3

=

2

( 1)( 2)

k k

 

 

  Vậy tổng với Ak+1, tức ta ln có:

Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 =

=

2

( 1)( 2)

k k

 

 

  Vậy ta có:

E = 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + + + … + n)2 =

2

( 1)

n n 

 

 

 

Lời bình: - Với tập ta áp dụng kiến thức quy nạp Toán học.

- Bài tập dạng tập tổng số hạng cấp số nhân (lớp 11) nhng giải đợc phạm vi cấp THCS

Bµi (Trang 23 SGK To¸n tËp 1)

Biết 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh đợc tổng

S = 22 + 42 + 62 + … + 202

Lêi gi¶i

Ta cã: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2 =

= 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = (12 + 22 + 32

+ … + 102) = 4.385 = 1540.

Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 ta có: S = 4.P Do đó, cho S thì

ta tính đợc P ngợc lại Tổng quát hóa ta có:

P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 =

( 1)(2 1)

n n n

(theo kÕt qu¶ ë trªn)

Khi S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 đợc tính tơng tự nh trên, ta có:

S = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) =

=

4 ( 1)(2 1)

n n n

=

2 ( 1)(2 1)

n n n

Cßn: P = 13 + 23 + 33 + … + n3 =

2

( 1)

n n 

 

 

  Ta tÝnh S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 nh

sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + … + n3) lóc nµy S = 8P,

VËy ta cã: S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 =

2 2 2

2

( 1) ( 1)

8 ( 1)

2

n n n n

n n

 

 

    

áp dụng kết trên, ta có tập sau:

Bài a) TÝnh A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2

b) TÝnh B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3

Lêi gi¶i

=

2 (2 1)(4 1) (2 1)(4 1)

6

n n n n n n 

Mµ ta thÊy:

12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)2 =

=

(2 1)(4 1)

n n n

-

2 ( 1)(2 1)

n n n

=

2 (2 1)

n n 

b) Ta cã: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3

- 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 ¸p dơng kết tập ta có:

13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2.

VËy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3= n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 =

= 2n4 - n2

Ngày dạy: 20/9/2009

Một số tập dạng khác Bài Tính S1 = + + 22 + 23 + + 263

Lời giải Cách 1:

Ta thÊy: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 (1)

 2S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 (2)

Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã:

2S1 - S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + + 22 + 23 + … + 263)

= 264 - Hay S

1 = 264 - C¸ch 2:

Ta cã: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 = + 2(1 + + 22 + 23 + … + 262) (1)

= + 2(S1 - 263) = + 2S1 - 264  S1 = 264 -

Bài Tính giá trÞ cđa biĨu thøc S = +3 + 32 + 33 + … + 32000 (1) Lêi gi¶i:

Cách 1: áp dụng cách làm 1:

Ta có: 3S = + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta đợc:

3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000)

Hay: 2S = 32001 -  S =

2001

3

2

Cách 2: Tơng tự nh cách trên:

Ta có: S = + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001

 2S = 32001 -  S =

2001

3

2 

*) Tæng qu¸t ho¸ ta cã:

Sn = + q + q2 + q3 + … + qn (1)

Khi ta có:

C¸ch 1: qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1 (2)

Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: (q - 1)S = qn+1 -  S =

1 1

1 n q

q 

  C¸ch 2: Sn = + q(1 + q + q2 + q3 + … + qn-1) = + q(S

n - qn)

= + qSn - qn+1  qSn - Sn = qn+1 - hay: Sn(q - 1) = qn+1 -

 S =

1 1

1 n q

q 

 

Bµi Cho A = + + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28 H·y so sánh A B Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + + + + + + + 1).26

= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26

= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25

(V× 26 = 2.25) VËy râ rµng ta thÊy B > A

A = + + 22 + 23 + … + 29 (1)

2A = + 22 + 23 + … + 29 + 210 (2)

Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã:

2A - A = (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + + 22 + 23 + … + 29)

= 210 - hay A = 210 - 1

Cßn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28

VËy B > A

* Ta tìm đợc giá trị biểu thức A, từ học sinh so sánh đợc A với B mà khơng gặp khó khăn

Bài Tính giá trị biểu thức S = + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 (1)

Ta cã: 6S = + 2.62 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 (2)

Trừ vế (2) cho (1) ta đợc:

5S = - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 - 100.699) +

+ 100.6100 - = 100.6100 - - (6 + 62 + 63 + … + 699) (*)

Đặt S' = + 62 + 63 + … + 699  6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100   S' =

100

6

5 

thay vµo (*) ta cã: 5S = 100.6100 - -

100

6

5 

=

100

499.6



 S =

100

499.6 25



Bµi Ngêi ta viÕt d·y sè: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 chữ số nào? Lời giải

Ta thy: T đến 99 có: + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu ta thiếu số chữ số dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, nh chữ số thứ 673 phải nằm dãy số có chữ số Vậy ta xét tiếp:

Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số

Nh từ đến 260 có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu chữ số thứ 673 chữ số số 261

Mét sè bµi tËp tù gi¶i:

TÝnh: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + (n - 2) … (n + 1) TÝnh: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n(n + 1)(n + 3) TÝnh: C = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2

TÝnh: D = 14 + 24 + 34 + + n4

TÝnh: E = + 74 + 77 + 710 + … + 73001

TÝnh: F = + 83 + 85 + … + 8801

TÝnh: G = + 99 + 999 + … + 99 … (ch÷ sè cuèi gåm 190 ch÷ sè 9) TÝnh: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n!

Cho d·y sè: 1; 2; 3; … Hái chữ số thứ 2007 chữ số nào?

thể loại toán phân số:

Bài Tính giá trị biểu thức A =

1 1

1.2 2.3 3.4   (n1).n

Lêi gi¶i

Ta cã: A =

1 1 1

1 2 n n

     

     

     



     sau bá dÊu ngc ta cã:

A =

1

1 n

n n



 

Nhận xét: Ta thấy giá trị tử không thay đổi chúng hiệu

hai thừa số mẫu Mỗi số hạng có dạng:

1

( )

m

b b m  b b m (HiÖu hai thõa sè ë

mẫu ln giá trị tử phân số viết đợc dới dạng hiệu hai phân số khác với mẫu tơng ứng) Nên ta có tổng với đặc điểm: số hạng liên tiếp ln đối (số trừ nhóm trớc số bị trừ nhóm sau liên tiếp), nh số hạng tổng đợc khử liên tiếp, đến tổng số hạng đầu số hạng cuối, lúc ta thực phép tính s n gin hn

Bài Tính giá trị cđa biĨu thøc B =

4 4

3.7 7.11 11.15   95.99

B =

4 4

3.7 7.11 11.15 95.99

 

   

vận dụng cách làm phÇn nhËn xÐt, ta

có: - = (đúng tử) nên ta có:

B =

1 1 1 1

3 7 11 11 15 95 99

 

       

 

 =

1 32 99 99

Bài Tính giá trị biểu thức C =

2 2

7 7

2.9 9.16 16.23   65.72

NhËn xÐt: Ta thÊy: - = 72 tử nên ta áp dụng cách làm của

cỏc bi trờn ( t chứa 72), giữ nguyên phân số ta khơng thể tách

đ-ợc thành hiệu phân số khác để rút gọn tổng đđ-ợc Mặt khác ta thấy:

7 1

2.9 2 9,

vì để giải đợc vấn đề ta phải đặt làm thừa số chung ngồi dấu ngoặc, thực bên ngoặc đơn giản

Vậy ta biến đổi:

C =

7 7

7

2.9 9.16 16.23 65.72

 

   

 

  =

1 1 1 1

7

2 9 16 16 23 65 72

 

       

 

=

1 35 29

7

2 72 72 72

 

  

Bài Tính giá trÞ cđa biĨu thøc D =

3 3

1.3 3.5 5.7   49.51 Lêi gi¶i

Ta lại thấy: - = ≠ tử phân số tổng nên cách ta đa đa vào thay

Ta cã: D =

2 3 3

2 1.3 3.5 5.7 49.51

 

   

 

 =

3 2 2

2 1.3 3.5 5.7 49.51

 

   

 

 

=

3 1 1 1 1

2 3 5 49 51

 

       

 

 =

3 1 50 25 51 51 17

 

  

 

  

Bài Tính giá trị biểu thức E =

1 1 1

7 91 247 475 775 1147     Lêi gi¶i

Ta thÊy: = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37

Tơng tự tập ta cã:

E =

1 6 6 6

6 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37

 

    

 

 =

=

1 1 1 1 1 1 1

6 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37

 

          

 

 =

1 1 36

1

6 37 37 37

 

  

Bài (Đề thi chọn HSG Toán - TX Hà Đông - Hà Tây - Năm học 2002 - 2003)

So sánh: A =

2 2

60.63 63.66  117.120 2003 vµ

B =

5 5

40.44 44.48  76.80 2003 Lêi gi¶i

Lại áp dụng cách làm ta cã: A=

2 3

3 60.63 63.66 117.120 2003

 

   

 

  =

=

2 1 1 1

3 60 63 63 66 117 200 2003

 

      

 

  =

2 1 2

3 60 120 2003 120 2003

           = =

180 2003

Tơng tự cách làm trªn ta cã:

B =

5 1 5 5

4 40 80 2003 80 2003 64 2003

 

      

 

Ta l¹i cã: 2A =

1 2 4

2

180 2003 180 2003 90 2003

 

    

 

 Từ ta thấy

B > 2A hiển nhiên B > A

Bài (Đề thi chọn HSG Toán năm học 1985 - 1986)

So s¸nh hai biĨu thøc A vµ B:

A =

1 1

124

1.1985 2.1986 3.1987 16.2000

 

   

 

 

B =

1 1

1.17 2.18 3.19   1984.2000 Lêi gi¶i

Ta cã: A =

124 1 1 1

1984 1985 1986 1987 16 2000

 

       

 

 =

=

1 1 1

16 16 1985 1986 2000

   

      

   

 

   

 

Cßn B =

1 1 1

16 17 18 1984 2000

 

     

 

 

 

  =

1 1 1

16 1984 17 18 2000

   

      

   

 

   

  =

=

1 1 1 1 1 1

16 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000

     

             

     

 

     

 

=

1 1 1

1

16 16 1985 1986 2000

   

      

   

 

   

 

VËy A = B

thể loại toán phân số (tiếp)

Bài Chứng tỏ rằng:  

2

1 1 1

5 13 25   n  n1 2

víi mäi n  N

Lời giải

Ta áp dụng cách làm tập trên, mà ta thÊy:

1 2

; ;

52.4 134.6 256.8 ta ph¶i so s¸nh: 2 ( 1)

n  n víi: 2 (2n n 1)

ThËt vËy: 2

1 ( 1)

n  n = 2

1

( 1) 2

n  n  n  n cßn

2 1

2 (2n n2) n n(2 2) 2n 2n

nªn hiĨn nhiªn 2

1 ( 1)

n  n <

2 (2n n 1)  n N.

VËy ta cã:  

2

1 1 2 2

5 13 25   n  n1 2.4 4.6 6.8   2 (2n n2)

Mµ:

2 1 1 1 1

; ;

2.4 2 4.6 4 6.8 6 (2n n2)2n 2n2 nªn:

2 2 1 1 1 1

2.4 4.6 6.8   2 (2n n2)  2 4 6 8    2n 2n2=

1 1

2 2 n22

hiển nhiên với số tự nhiªn n

VËy: 2

1 1 1 1 1 1

5 13 25   n (n1)  4 6 8     2n 2n2 hay

2

1 1 1

5 13 25   n (n1) 2

Bài Tính giá trị biểu thức M =  

2

2

3

(1.2) (2.3) ( 1)

n n n      Lêi gi¶i

Ta cã ngay: M = 2 2 2 2

1 1 1 1

1  2   (n1)  n n  (n1)

=

2

2

1 ( 1)

1

( 1) ( 1)

n n n       = 2

2 2

( 1)( 1) 1 ( 2)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

n n n n n n n n

n n n n

       

  

Bài 10 Tính giá trị cđa biĨu thøc N =

1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5   n n( 1)(n2) Lêi gi¶i

Ta cã: N =

1 2 2

2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n.( 1)(n 2)

            =

1 1 1 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n n.( 1) (n 1)(n 2)

                 =

1 1

2 (n 1)(n 2)

 



 



Bài 11 Tính giá trị cđa biĨu thøc: H =

1 1

1.2.3.4 2.3.4.5  (n1) (n n1)(n2) Lêi gi¶i

Ta cã: H =

1 3

3 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 1) .(n n 1).(n 2)

 

    

  

 

=

1 1 1 1

3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 (n 1) .(n n 1) n n.( 1).(n 2)

                =

1 1

3 n n( 1)(n 2)

 



 

 

 

Bµi 12 Chøng minh r»ng P =

12 12 12 12

1.4.7 4.7.10 7.10.12   54.57.602 Lêi gi¶i

Ta cã: P =

6 6

2

1.4.7 4.7.10 7.10.13 54.57.60

 

   

 

 

=

1 1 1 1

2

1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 54.57 57.60

 

       

 

 =

=

1 854 427 427

2

4 57.60 3420 855 854

 

     

 

  VËy P <

1 Bµi 13 Chøng minh r»ng S = 2 2

1 1

1

2 100

     

Lêi gi¶i

Ta thÊy: 2 2

1 1 1 1

; ;

2 1.2 2.3 3.4 100 99.100 áp dụng cách làm tập trªn

ta cã:

S <

1 1 1

1 1

1.2 2.3 3.4 99.100 100

        

hay S <

Bài 14 Đặt

1 1

1.2 3.4  2005.2006 A =

1 1

1004.2006 1005.2006  2006.1004 B =

Chøng minh r»ng A B Z

Lời giải

áp dụng trên, ta có:

1 1

1.2 3.4  2005.2006 A =

=

1 1 1

1

2 2005 2006

     

=

=

1 1 1 1

1

3 2005 2006

   

        

   

   =

=

1 1

1

2 2006

 

    

 

 -

1 1

2

2 2006

 

    

 =

=

1 1

1

2 2006

 

    

 

 -

1 1

1

2 1003

 

    

 

  =

1 1

Cßn B=

2 1

3010 1004 1005 2006

 

  

 

 

3010

1505

A

Z B

   

Nh vậy, phần ta giải đợc lợng lớn tập dãy số dạng phân số Tuy nhiên tập nhìn chung khơng đơn giản Vì để áp dụng có hiệu cần linh hoạt việc biến đổi theo hớng sau: - Nếu mẫu tích cách biến đổi thành hiệu phân số, từ ta rút gọn đợc biểu thức tính đợc giá trị

Một số toán khác

Bài Với n N*, kÝ hiÖu

2 1 ( 1) ! n n n n a n      H·y tÝnh tæng a1 + a2 + a3 + … + a2007

Lêi gi¶i

Ta thÊy:  n N* th×:

2 1 ( 1) ! n n n n a n      =

2 1 1

( 1) ( 1)

! ! ( 1) !

n n n n n n

n n n n

     

       



 

 

Do đó: a1 + a2 + a3 + … + a2007 = a1 +

2 3 2006 2007

1! 2! 2! 3! 2005! 2006!

     

     

     

     

2006 2007 2007 2007

3

2005! 2006! 1! 2006! 2006!

 

     

 

 

Bµi XÐt biĨu thøc: S = 1991

1 1992

2 2 2  2 Chøng minh r»ng S < 4 Lêi gi¶i

Ta cã: 2S = 1 1990 2 990 1990

2 4 1992 1991

2 2 2 2 2 2

     

             

     =

= 1990 1991 1991 1990

1 1991 1992 1992 1

3

2 2 2 2 2

               = = 1989 1990

1991 1991

1

1 1992 1992 1

3

1

2 2 1 2 2

2 S S                        

S = -

1990 1991 1992 2      

  hay S < 4 Bµi Ta viÕt lần lợt phân số sau:

1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1 2 3 Sè

1990

1930đứng vị trí phân số trên? Lời giải

Sè thø nhÊt cđa d·y sè cã tỉng cđa tư sè vµ mÉu sè b»ng 2, hai sè tiÕp theo cã tæng cđa tư sè vµ mÉu sè b»ng 3, ba sè tiÕp theo cã tỉng cđa tư vµ mÉu sè b»ng 4…

Lại quan sát tiếp ta thấy: Kể từ phân số đầu, cách phân số đến mẫu số 2, cách

phân số đến mẫu số 3, … phân số

1990

1930 đứng vị trí thứ 1930 nhóm số

có tổng tử mẫu số 1990 + 1930 = 3920 Số số đứng trớc nhóm + + + … + 3918 = 1959.3919 Vì nhóm có tổng tử mẫu số 3920 gồm 3919 số nên nhóm đứng trớc nhóm gồm 3918 số

VËy sè

1990

1930 đứng vị trí n = 1959.3919 + 1930 = 7679251 Bài tập tự giải

TÝnh: A =

1 1

TÝnh: B =

2 2

5 5

1.6 6.11 11.16   26.31

Chøng minh r»ng:

1 1 1

1

2 1990 996 1990

      

TÝnh: C =

1

2! 3! 4! !

n n



   

Chøng tá r»ng: D =

2! 2! 2! 2!

3! 4! 5!   n!< 1

Cho biÓu thøc P =

1 1 1

1

2 199 200

     

a) Chøng minh r»ng: P =

1 1

101 102 200

b) G¶i toán trờng hợp tổng quát

Chøng minh r»ng:  n Z n( 0,n1) th× Q =

1 1

1.2 2.3 3.4   n n( 1) không

phải số nguyên

Chøng minh r»ng: S = 2 2

1 1 1

2 4 6  200 2