[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT QUY NHƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NHƠN BÌNH MƠN : TOÁN (Năm học : 2014 - 2015)
(Thời gian làm 120’ –không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3 điểm)
a) Cho (a,b) =1 Chứng minh : (a + b , ab ) =
b) Chứng minh phân số A = 2n+3
n2
+3 n+2 tối giản ( n N ❑ ) Bài 2: (3 điểm)
Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình : xy2+2 xy − 243 y +x=0
Bài : (2 điểm) Giải phương trình :
Bài : (2 điểm) Cho x,y dương thỏa x + y , tìm giá trị nhỏ : P = (1x+1
y) √1+x2y2
Bài : (3 điểm) a) Vẽ đồ thị hàm số y = |x − 2|−2|x| b) Tìm giá trị lớn hàm số cho Bài 6: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, phân giác góc B cắt AC I Biết IC= √3 cm; IB=1cm
Tính BC ? Bài 7: ( điểm)
Cho (O;R) đường kính AB, điểm M (O) (M khác A, B) Kẻ MH vng góc AB H
a) Xác định vị trí M để diện tích tam giác OHM đạt GTLN Tính GTLN ? b) Gọi I tâm đường trịn nội tiếp tam giác OHM Chứng minh: AI vng góc IM ?
……… HẾT………
(2)-Bài Đáp án Biểu điểm
Bài (3 điểm)
a) Giả sử (a+b,a.b)=d ⇒a+b⋮d;ab⋮d
Ta có a.b ⋮ d ⇒a⋮d ∨b⋮d
Với a⋮d ; a+b⋮d ⇒b⋮d
⇒ (a , b) = d Trái giả thiết (a , b ) =1
Với b⋮d ; a+b⋮d ⇒a⋮d
⇒ (a , b) = d Trái giả thiết (a,b) =1
Vậy (a,b) =1 ⇒ (a+b, ab) =1
b) Ta có A = 2n+3
n2+3 n+2=
2 n+3
(n+1)(n+2) Vì (n+1) (n+2) hai số tự nhiên liên tiếp nên (n+1 , n+2 ) = Áp dụng câu a Ta ( n+1 +n+2 , (n+1)(n+2) ) = Hay (2n+3 , n2+3 n+2 ) = Vậy A = 2n+3
n2
+3 n+2 Tối giản ( n N
❑ ) 0,5 điểm 0,5điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Bài (3 điểm)
y +1x ¿2
¿ = 243y
Vì y+1 nên x =
y +1¿2 ¿
243 y
¿
(y, y+1) =1 ⇒ 243y +1⋮¿2
¿
y+ 1¿
=34 y +1¿2=32∨¿
⇒¿
(y +1)2=32⇒ y=2 , x = 54 ( y +1)2=34⇒ y= , x = 24
Vậy nghiệm nguyên dương phương trình : (x;y) = (54;2); (24;8)
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Bài (2 điểm)
Điều kiện Phương trình cho tương đương
Hai pt có nghiệm x = (thoả đk)
1 điểm điểm
Bài (2 điểm)
Côsi: 1x+1 y≥
2
√xy Dấu = x = y
P
1+¿x2y2=2❑√
xy +xy
√xy√¿
= 2❑
√15 16 xy +(
1
16 xy +xy) Từ ( x+ y )2≥ xy⇒
xy ≥ ( x+ y )2⇒
15 16 xy ≥
15 16 (x + y )2 ≥
15 Lại có
16 xy +xy ≥
2 Dấu = xy=
(3)P 2❑
√154 + =
Giá trị nhỏ P x = y = 12 1 điểm
Bài (3 điểm)
Khi x ⇒ x − 2≤ 0
⇒ y=2 − x+2 x hay y = x + Khi < x < ⇒ x − 2<0 ⇒ y=2 − x −2 x hay y=− x +2 Khi x ≥ 2⇒ x −2 ≥ 0
⇒ y=x −2 −2 x hay y=− x −2 Vẽ đồ thị hình
Căn vào đồ thị : giá trị lớn hàm số
x =
1 điểm điểm
1 điểm
Bài (3 điểm)
Kẻ Cx BC cắt tia BI D: ∠CID=∠CDI ⇒CD=CI
Kẻ CH ID suy HD = HI = x >
CD2=HD BD
3 = x(2x+1) ⇔2 x2
+x −3=0
Suy ra: x = (nhận) x = − 32 (loại)
BD = BI + HI + HD = 3cm BC2=BD2−CD2=9 −3=6
Suy BC = √6 cm
0, điểm 0.25điểm 0,25điểm 0, điểm 0, điểm 0, điểm 0, điểm Bài
(4 điểm) a) Ta có:
HM −HO¿2≥ 0
¿ ¿
⇔ HM2
+HO2≥ HM HO ⇔ HM HO ≤ HM2+HO2
2
¿
Mà HM2+HO2=OM2
=R2
0,5 điểm
B A
C
I H
D
x
O
M
A B
I
(4)⇒ HM HO ≤ R2 SOHM=1
2HM HO≤ R2
2
Dấu “=” xảy HM=HO
Suy ∠HOM=45 °
Vậy M nằm (O) cho ∠MOA=45 °(∠MOB=45 °)
Thì GTLN SOMH=R
2
2 b) ∠MIO=135° ΔMIO=Δ AIO (c g c) ∠AIO=∠ MIO=135 ° ⇒∠MIA=360 ° −(135°+135 °)=90 °
Vậy AI MI
1 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
( Mọi cách giải , lập luận xác cho điểm tối đa)