[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN ĐỀ THI MƠN TỐN CAO CẤP 1-HỆ CAO ĐẲNGThời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ SỐ 1 Số báo danh:
Câu 1: Tính (1−√3i)9
Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính
¿
x+2y+az=3 3x − y −az=2 2x+y+3z=3
¿{{
¿
a) Giải hệ a=10
b) Xác định a để hệ có vơ số nghiệm
Câu 3: Trong không gian P2 đa thức có bậc nhỏ Cho ánh xạ f:P2→ P2 xác định bởi: f(a0+a1x+a2x
2
)=a1+(−4a0+4a1)x+(−2a0+a1+2a2)x a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ma trận f sở B={1; x; x2} P2 c) Tìm trị riêng vectơ riêng tương ứng f
Câu 4: Tính giới hạn limx→ −1 √x+1
√x2+3−2
Câu 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số
¿
sin2x
x , x≠0 , x=0
¿y={
¿
, điểm x0=0
Thông qua môn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
ĐỀ THI MƠN TỐN CAO CẤP 1-HỆ CAO ĐẲNG Thời gian làm bài: 90 phút
ĐỀ SỐ 2 Số báo danh:
Câu 1: Tính (−1+√3i)9
Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính
¿
3x+3y+(a+3)z=6 5x+(− a+3)z=5
4x+y=5
¿{ {
¿
a) Giải hệ a=11
b) Xác định a để hệ có vơ số nghiệm
Câu 3: Trong khơng gian P2 đa thức có bậc nhỏ Cho ánh xạ
f:P2→ P2 xác định bởi:
f (a0+a1x+a2x2)=(a0−3a1+3a2)+(−2a0−6a1+13a2)x+(− a0−4a1+8a2)x2 a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính
b) Tìm ma trận f sở B={1; x; x2} P2 c) Tìm trị riêng vectơ riêng tương ứng f
Câu 4: Tính giới hạn limx→0
(2)Câu 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số
ex−1 ¿2 ¿ ¿x , x≠0
¿
0 , x=0
¿ ¿ ¿
, điểm x0=0 .
Thông qua môn
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MƠN TỐN - HỆ CAO ĐẲNG
NĂM HỌC 2008-2009
-ĐỀ SỐ 1
ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu 1 1,5 điểm
9
9
1 3i cos(- ) isin(- )
3
= cos (-3 ) isin(-3 )
Câu 2 2 ,5 điểm
a) Khi a = 10, ta có hệ:
x 2y 10z 3x y 10z 2x y 3z
Ta có ma trận hệ số:
1 10
A 10 det(A)
2
1
3 10
A 10 det(A )
3
2
1 10
A 10 det(A )
2 3
3
1
A det(A )
2
Vậy nghiệm hệ là: (1,1,0)
1,5 điểm
b) Để hệ có vơ số nghiệm
Det(A) =
1 a
21
3 a a
2
2
(3)
2x 4y 21z y 6z
hệ có vơ số nghiệm
KL: a = 21/2
Câu 3 3,5 điểm
a) CM: i) f(p+q) = f(p) +f(q), p,q P
ii) f(kp) = k.f(p), p P , k R2
1điểm b) Ta có
2
2
f (1) 4x 2x
f (x) 4x x
f (x ) 2x
Từ suy ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B = {1; x ; x2 } là:
0
A 4
2
1điểm
c) Phương trình đặc trưng: A I ( 2)3 0 (bội 3) Véc tơ riêng tương ứng (x1, x2, x3) thoả mãn hệ:
1
1
1
2x x
4x 2x
2x x
1,
x x
tuỳ ý x
2 = 2x1
1 3
x (x , 2x , x ) x (1, 2,0) x (0,0,1)
1,5 điểm
Câu 4 1,5 điểm
limx→ −1 √3x+1
√x2 +3−2
=
2 x
2
1
1/ x
lim /
x 1/ 2
x
Câu 5 1 điểm
Ta có
2 '
2
x x
f (x) f (0) sin x
y (0) lim lim
x x
(4)ĐỀ SỐ 2
ĐÁP ÁN ĐIỂM
Câu 1 1,5 điểm
9
9
2
1 3i cos( ) isin( )
3
= cos (6 ) isin(6 )
Câu 2 2 ,5 điểm
c) Khi a = 11, ta có hệ:
3x 3y 14Z 5x 8z 4x y
Ta có ma trận hệ số:
3 14
A det(A)
4
1
6 14
A det(A )
5
2
3 14
A det(A )
4
3
3
A 5 det(A )
4
Vậy nghiệm hệ là: (2,2,0)
1,5 điểm
d) Để hệ có vơ số nghiệm
Det(A) =
3 a
21
5 a a
2
4
Với a = 21/2 dễ kiểm tra hệ có vô số nghiệm KL: a = 21/2
1 điểm
Câu 3 3,5 điểm
c) CM: i) f(p+q) = f(p) +f(q), p,q P
ii) f(kp) = k.f(p), p P , k R2
(5)
2
2
f (1) 2x x
f (x) 6x 4x
f (x ) 13x 8x
Từ suy ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B = {1; x ; x2 } là:
1 3
A 13
1
c) Phương trình đặc trưng: A I (1 )3 0 (bội 3) Véc tơ riêng tương ứng (x1, x2, x3) thoả mãn hệ:
2
1
1
3x 3x
2x 7x 13x
x 4x 7x
3
x
tuỳ ý x
2 = x3, x1= 3x3
3 3
x (3x , x , x ) x (3,1,1)
1,5 điểm
Câu 4 1,5 điểm
3
2
x o x o
x 1 x 1
lim lim
x (x 1) x
Câu 5 1 điểm
Ta có
x 2
'
2
x x
e
f (x) f (0)
y (0) lim lim
x x