[r]
(1)Ngày soạn: 15/3/2009 Ngày giảng: 17/3/2009
Chuyên đề: Dãy phân số viết theo quy luật
I/ Nhận xét mở đầu:
Khi gii cỏc toán phân số, ta thờng gặp tốn tính tổng phân số mà tử mẫu chúng đợc viết theo quy luật VD:
+ + + + 4.7 7.10 10 13 73.76
Dễ nhận thấy phân số có tử khơng thay đổi hiệu hai thừa số dới mẫu, thừa số cuối mẫu trớc thừa số đầu mẫu sau
Phơng pháp chung để giải tốn dạng dùng cơng thức: m = _
b ( b+m) b b+m
Khi ta viết số hạng thành hiệu hai phân số , số trừ nhóm trớc số bị trừ nhóm sau khử liên tiếp Kết lại số bị trừ số trừ ci cùng, phép tính thc hin c d dng
Nếu số hạng phức tạp hơn, chẳng hạn:
2m b ( b+m ).(b+ 2m )
thì ta dùng công thức:
2m = _ b ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )
Tuy nhiên khơng phải tốn ta phát đợc quy luật mà phải qua số phép biến đổi dựa tính chất phân số nh nhân tử mẫu với số để tìm quy luật mẫu, áp dụng hợp lý tính chất phân phối phép nhân phép cộng để biến đổi tử hiệu hai thừa số dới mẫu
II/ C¸c vÝ dơ :
VD1: Tính tổng 100 số hạng cña d·y sau: a/ 1/1.2 ; 1/ 2.3 ; 1/ 3.4
b/ 1/6 ; 1/ 66 ; 1/ 176
Gi ả i
Tríc hÕt ta cã nhËn xÐt sau:
Tỉng 100 số hạng dÃy là:
a/ 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 + + 1/ 100.101
Các phân số tổng có tử hiệu hai thừa số dới mẫu nên ta dùng công thức biến đổi:
m/ b ( b+ m ) = 1/ b - 1/ b+m
VËy 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 + + 1/ 100.101 = – 1/ 101 = 100/ 101 b/ Tríc hÕt ta viÕt c¸c mÉu thµnh tÝch theo quy luËt:
= 1.6 ; 66 = 11 ; 176 = 11 16
sè h¹ng thø n cđa d·y cã d¹ng : ( 5n – ) ( 5n + )
=> sè h¹ng thø 100 cđa d·y cã d¹ng : ( 100 – ) ( 100 + ) = 496 501 l¹i cã 1- 1/6 = 5/ 1.6 ; 1/6 – 1/11 = 5/ 6.11
Từ đó: 1/6 + 1/ 66 + 1/ 176 + + 1/ 496 501 = 1/5 ( – 1/6 + 1/6 - 1/11 + 1/11 - .+ 1/ 496 - 1/ 501 ) = 1/5 ( – 1/500) = 1/5 500/ 501 = 100/ 501
VD2: TÝnh tæng
B= 1/ 1.2.3 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4.5 + + 1/ 48.49.50 NX: Mỗi số h¹ng cđa tỉng cã d¹ng
2m = _ b ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m ) Mµ ta cã : 1/ 1.2 - 1/ 2.3 = 2/ 1.2.3
1/ 2.3 - 1/3.4 = 2/ 2.3.4
Từ => B = 1/2 ( 2/ 1.2.3 + 2/ 2,3.4 + + 2/ 48 49 50 ) = 1/2 ( 1/ 1.2 – 1/ 2.3 + 1/ 2.3 - .- 1/ 49.50)
= 1/2 ( 1/ 1.2 – 1/ 49.50 ) = 1/ 1224/ 2450 = 306/ 1225
(2)C = 1/10 + 1/15 + 1/21 + + 1/ 120
Ta nhận xét thấy mẫu số hạng tổng phân tích thành tích khơng có quy luật nên khơng áp dụng đợc công thức Tuy nhiên nhân tử mẫu số hạng tổng với ( Không làm thay đổi giá trị phân số) dễ dàng viết đợc mẫu theo quy luật
Nhân tử mẫu C với 2,
C = 2/ 20 + 2/ 30 + 2/ 42 + + 2/ 240 = 2/ 4.5 + 2/ 5.6 + 2/ 6.7 + + 2/ 15.16 = ( 1/ 4.5 + 1/ 5.6 + 1/ 6.7 + + 1/ 15.16) = ( 1/4- 1/5 + 1/5 - – 1/ 16)
= ( 1/4 - 1/16) = 3/16 = 3/
VD4 Tính giá trị cđa biĨu thøc
a/ P = 1+ 1/3 + 1/5 + + 1/97 + 1/99 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
NX: Trớc hết ta ghép phân số số bị chia thành cặp để làm xuất mẫu chung giống với mẫu phân số tơng ứng số chia nh sau:
P = ( + 1/99) + ( 1/3 + 1/97) + + ( 1/ 49 + 1/ 50) 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 97.3 + 1/ 99.1 = 100/ 1.99 + 100/ 3.97 + 100/ 95 + + 100/ 49.51
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 97.3 + 1/ 99.1 = 100 ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 49 51 )
2 ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + + 1/ 49 51 ) = 100/ = 50
Vậy giá trị biểu thức P = 50
b/ Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100 99/1 + 98/2 + 97/3 + + 1/99
NX: Trong VD lại phải biến đổi số chia để làm xuát biểu thức rút gọn đợc với biểu thức tử Ta có:
Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100 100-1 + 100-2 + 100- + + 100- 99
99
= 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100 (100/1 + 100/ + 100/3 + + 100/ 99) – ( 1/1 + 2/2 + 3/3 + + 99/99) = 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/ 100
100 + 100 ( 1/2 + 1/3 + 1/4 + + 1/99) – 99 = 1/ 100
Vậy giá trị biểu thức Q = 1/ 100
VD 5: T×m tÝch cđa 98 số dÃy 11
3 ;
1
8 ; 1
15 ; 1
24 ; 1 35
NX: Ta viết lại só hạng dÃy :
4
3 ; ;
16 15 ;
25 24 ;
36 35
<=>
22 ;
32
2 ; 3.5 42
; 4.6 52
;
62 Sè thø 98 cã d¹ng : 992
98 100
Gäi tÝch cña 98 sè d·y lµ A, ta cã : A= 22
1 32
42
52
62
992
98 100 =
(2 99).(2 99) (1 98).(3 100)
TS thø nhÊt cña A TS thø cña A
= 99
1
100 =
99 50
(3)Bµi 1: TÝnh tỉng: a, A=
15 18 +
18 21 +
21 24 + + 87 90
b, B=
2
8 11 + 32
11.14 + 32
14 17 + +
32 197 200
c, C=
25 27 +
27 29 +
29 31 + + 73 75
d, D= 15
90 94 + 15
94 98 + 15
98 102 + + 15 146 150
*/Gi¶i
a, A=
15 18 +
18 21 +
21 24 + + 87 90
= (
15 18+ 18 21+
3
21 24 + + 87 90)
= (
15− 18+ 18− 21+ +
1 87 −
1
90) = ( 15 −
1
90) =2 ( 90) =
1
b, B=
2
8 11 + 32
11.14 + 32
14 17 + +
32 197 200
=3 (
8 11+ 11 14+
3
14 17+ .+ 197 200)
=3 (1
8− 11 + 11 − 14 + +
1 197 −
1
200) = ( 8−
1 200) =
9 25
c, C=
25 27 +
27 29 +
29 31 + + 73 75
=
2.( 25 27 +
2 27 29+
2
29 31+ + 73 75)
= 12.(251 −271 +
27− 29+ 29 31
+ .+
73− 75)
=
2.( 25−
1 75) =
1 75
d, D= 15
90 94 + 15
94 98 + 15
98 102 + + 15 146 150
= 15
4 ( 90 94+
4 94 98+
4
98 102+ + 146 150)
= 15
4 ( 90 − 94+ 94 − 98+ 98 −
102+ + 146 −
1 150)
= 15
4 ( 90 −
1 150) =
1 60
Bµi 2: CMR: Với n N ta có:
1 6+
1 66 +
1
176+ .+
1
(5n+1)(5n+6) =
n+1
5n+6 */Gi¶i
Biến đổi VT ta có:
1 6+
1 66 +
1
176+ .+
1
(5n+1)(5n+6) =
1 5.(
5 6+
5 11+
5
11 16 + +
5
(5n+1)(5n+6))
=
5.(1− 6+ 6− 11+ 11 − 16+ .+
1 5n+1−
1 5n+6)
=
5.(1−
5n+6) =
1 5.(
5(n+1)
5n+6 ) =
n+1
(4)Bài 3: Tìm x N biÕt: a, x - 20
11.13 − 20 13 15 −
20
15 17 − − 20
53 55 = 11
b,
21+ 28+
1 36 + +
2
x(x+1) =
2
*/Gi¶i:
a, x - 20
11.13 − 20 13 15 −
20
15 17 − − 20
53 55 = 11
<=> x =
11+ 20 11 13+
20 13 15 +
20
15 17+ + 20 53 55
<=> x =
11+10( 11.13+
2 13 15+
2
15 17+ + 53 55)
<=> x =
11+10( 11−
1 13+
1
13− + 53 −
1 55)
<=> x =
11+10( 11−
1 55) =
3 11+
8
11 =1
b, 211 +
28+ 36 + +
2
x(x+1) =
2
<=> 422 +
56 + 72+ +
2 x(x+1)=
2
<=> (1
6− 7+
1 7−
1 8+
1 8−
1 9+ +
1 x−
1 x+1)=
2
<=> (1
6− x+1)=
2
<=>
x+1=
1 6−
1 9=
1
18 <=> x+1 = 18
<=> x = 17
Bµi 4: CMR:
a, A=
1 3+ 4+
1
3 5+ .+
18 19 20 <
b, B= 36
1 5+ 36 7+
36
5 9+ .+ 36
25 27 29 <
*/Gi¶i:
a, A=
1 3+ 4+
1
3 5+ .+
18 19 20 <
Ta cã: A =
2.( 3+
2 4+
2
3 5+ .+ 18 19 20)
=
2.( 1 2−
1 3+
1 3−
1
3 4+ + 18 19 −
1 19 20)
=
2.( 1 2−
1 19 20)=
1
189
380 =
189 760
Mµ 189
760< 189 756=
1
4 => A <
b, B= 36
1 5+ 36 7+
36
5 9+ .+ 36
25 27 29 <
Ta cã: B = (
1 5+ 7+
4
5 9+ + 25 27 29)
= (
1 3− 5+
1 5−
1 7+
1 7−
1
7 9+ + 25 27 −
(5)= (1
3− 783)=9
260 783=
260 87
Mµ 260
87 < 261
87 =3 =>B <
Bµi 5: CMR: a, M =
22+ 32+
1 42+ +
1
n2<1 (n N; n 2)
b, N =
2n¿2 ¿ ¿
1 42+
1 62+
1 82+ +
1
¿
(n N; n 2)
c, P = 2!
3!+ 2! 4!+
2! 5!+ +
2!
n!<1 (n N; n 3)
*/Gi¶i:
a, M =
22+
1 32+
1 42+ +
1
n2<1 áp dụng phơng pháp làm trội
Ta có: M =
2 2+ 3+
1
4 4+ .+
n.n < 1 2+
1 3+
1
3 4+ .+
(n −1).n
<=> M < 1−1 2+
1 2−
1 3+
1 3−
1 4+ +
1 n −1−
1 n=1−
1 n
Mµ 1−1 n<1
=>M <1 b, N =
2n¿2 ¿ ¿
1 42+
1 62+
1 82+ +
1
¿
Ta cã: N =
22.( 22+
1 32+
1 42+ +
1 n2)
Mµ
22+
1 32+
1 42+ +
1
n2 <1 (theo phÇn a)
=> N <
22 1=
1
c, P = 2!
3!+ 2! 4!+
2! 5!+ +
2! n!<1
Ta cã: P=2! (
3!+ 4!+
1 5!+ +
1
n !) =2!( 1 3+
1 4+
1
3 5+ .+
1
(n −2)(n −1)n
=> P < (
2 3+ 4+
1
4 5+ +
(n −1).n)
<=> P < (1
2− n)=1−
2 n<1