Gäi O lµ trung ®iÓm cña BC.[r]
(1)Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10
trờng thpt chuyên phan bội châu Năm học 2008-2009
Môn thi: toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên có chữ số xy, biết r»ng
2
xxyy xx yy Bµi 2: (2 điểm)
Giải phơng trình:
3
10 x 1 x Bài 3: (1điểm)
Cho ®a thøc f(x) = ax2 + bx + c (a 0) Biết phơng trình: f(x) = x vô nghiệm Chứng minh phơng trình: a[f(x)]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm. Bài 4: (1điểm)
Cho x, y, z > tháa m·n: xy + yz + zx = xyz Chøng minh r»ng:
2 2 2
1 1
3
y z x
x y z x y z
Bµi 5: (3 điểm)
Cho tam giác ABC cân A Gọi O trung điểm BC Đờng trßn (O; R) tiÕp xóc víi AB ë E, tiếp xúc với AC F Điểm H chạy cung nhá EF
(H khác E, F) Tiếp tuyến đờng tròn H cắt AB, AC lần lợt M, N a) Chứng minh: MOB ONC
b) Xác định vị trí điểm H cho diện tích tam giác AMN lớn Bài 6: (1 điểm)
Cho 33 điểm nằm hình vng có độ dài cạnh 4, khơng có ba điểm thẳng hàng Ngời ta vẽ đờng trịn có bán kính tâm điểm cho Hỏi có hay khơng ba điểm điểm cho cho chúng thuộc phần chung ba hình trịn có tâm ba điểm đó? Vỡ sao?
-Hết -Họ tên thÝ sinh: Sè b¸o danh:
Së Gi¸o dục Đào tạo
Nghệ An
Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trờng THPT chuyên phan bội châu
Năm học 2008-2009 h
ớng dẫn chấm biểu điểm môn toán Đề thức
§Ị chÝnh thøc
(2)(Híng dẫn biểu điểm chấm gồm có 04 trang)
Bài 1 (2,0 điểm) Điểm
Điều kiện: x, y x, y nguyên 0.25
Ta cã:
2
xxyy xx yy (1)
x.100.11+y.11= x2.112+y2.112
100x+y=11(x2+y2)
0.5
=> x y 11
=> x+y=11( v× x, y 9; x, y ) 0.5
=> (x,y) cặp (2, 9); (3, 8); (4, 7); (5, 6); (6, 5); (7, 4); (8; 3) (9, 2) 0.5 Thay lân lợt cặp vào (1) ta thÊy chØ ã x=8 vµ y=3 tháa m·n
Vậy số cần tìm 83 0.25
Bài (2,0 điểm)
Điều kiện: x -1 0,25
Ta cã:
3
10 x 1 3(x 2)
2
10 1 3( 2)
x x x x
0,25
Đặt
2
1
u x
v x x
, (điều kiện u 0, v > 0) phng trình (2) trở thành 10u.v = 3(u2+v2)
0,5
(3u v u )( ) 0v
3
u v
u v
0,25
Trêng hỵp 1: u = 3v ta cã: x 1 x2 x1 9x2-10x+8 = v« nghiƯm
0,25
Trêng hỵp 2: 3u = v ta cã: x 1 x2 x1 9x + 9= x2 – x+1
0,25
x2 – 10x – = 0
5 33
5 33
x x
(thỏa mãn điều kiện x -1) Vậy phơng trình cho có nghiệm là:
x 5 33 vµ x 5 33
0,25
Bài (1,0 điểm)
Vì phơng trình f(x) = x vô nghiệm nên f(x) > x, x R hc f(x) < x, x R
0,5 NÕu f(x)> x, x R th×
a[f(x)]2 + b.f(x) + c = f(f(x)) > f(x) > x, x R suy phơng trình a[f(x)]2 + b.f(x) + c = x v« nghiƯm
0,25 NÕu f(x)< x, x R th×
a[f(x)]2 + b.f(x) + c = f(f(x)) < f(x) < x, x R suy phơng trình a[f(x)]2 + b.f(x) + c = x v« nghiƯm VËy ta có điều phải chứng minh
(3)Bài (1,0®iĨm)
Ta cã xy+yz+zx= xyz
1 1
x y z
Đặt
1 1
, ,
a b c
x y z ta đợc a, b, c >0 a+b+c=1 (1)
Khi bất đẳng thức cho trở thành:
2 2
2 2
3( )
a b c
a b c
b c a (2)
0,25
Ta chứng minh (2) với a, b, c thỏa mãn (1) Thật vậy, điều kiện a+b+c=1 nên ta có: (2)
2 2
2
2
2 2 2 3(
) ( )
a b c
a b b c c a a b
b c a
c a b c
0,25
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b b c c a
a b b c c a
b c a
2 2
1 1
( 1)(a b ) ( 1)(b c ) ( 1)(c a ) 0
b c a
0,25
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a c b a c b
a b b c c a
b c a
Bất đẳng thức vì: a, b, c >
Dấu đẳng thức xẩy a = b = c =1/3 hay x = y = z =
0,25
Bµi (3,0 ®iÓm) a (1,5 ®iÓm)
Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta có OM, ON lần lợt phân giác c¸c gãc EOH, FOH
0,25
Tø gi¸c AEOF néi tiÕp nªn BAC + EOF = 180o 0,25
A
B C
N M
O
F H
(4)Từ MON= 180
2
o BAC
ABC ACB
Suy MOB = ONC VËy ΔMOB ΔONC b, 1,25 (®iĨm)
Tõ ΔMOB ΔONC =>
MB OB
OC NC BM.CN=OB.OC=
4 BC
= const
Vì SAMN = SABC – SBMNC nên SAMN lớn SBMNC nhỏ nhất(do SABC không đổi)
Ta cã SBMNC = SBOM +SMON + SNOC =
1
( )
2 R BM MN CN
=
1 ( )( )
2R BM CN MENF doMN ME NF
=
1
( )
2R BM CN BM BECN CF
= R(BM+CN-BE) BE=CF
R(2 BM CN BE) = R(BC-BE) không đổi Dấu = xảy BM = CN MN //BC
H trung điểm cung nhỏ EF
Vậy SAMN lớn H trung điểm cung nhỏ EF Câu ( 1,0 điểm)
Chia hìh vung cho thành 16 hình vung đơn vị(các cạnh song song với cạnh hình vng cho có độ dài 1)
Do 33>16.2 nên theo nguyên lý Dirichlê, tồn điểm nằm cạnh hình vng đơn vị Giả sử ba điểm A, B, C nằm cạnh hình vng đơn vị MNPQ
Ta có MP = với điểm E thuộc hình vng MNPQ MP AE, tức AE Từ hình trịn (A; ) phủ tồn hình vng MNPQ Tơng tự hình trịn (B; ), (C; ) phủ tồn hình vng MNPQ
Suy ba hình tròn (A; ), (B; ), (C; ) chữa hình vuông MNPQ ba điểm A, B, C nằm phần chung ba hình tròn nói Vậy câu trả lời toán có,
S