Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của AD với BC.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.[r]
(1)KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2008-2009
MƠN THI: TỐN - LỚP 8
Thời gian: 150 phút (khơng tính thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm)
a) Cho x > y > so sánh A = x − yx
+y B =
x2− y2 x2
+y2
b) Cho a + b =
Tính giá trị biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 ) Giải :
a) Vì x > 0; y > suy x+y A = x − yx
+y =
x+y¿2 ¿
(x − y)(x+y)
¿
x2 +y2 +2xy > x2 +y2 ; x2 – y2 >
A = x
2
− y2
2 xy+x2+y2 <
x2− y2
x2+y2 x
Vậy A < B
b) C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) = 2( a+b)(a2 – ab + b2) - 3(a2 + b2 ) = (a2 – ab + b2) - 3(a2 + b2 )
= (a2 + b2) – 2ab - 3(a2 + b2 ) = - (a2 + b2) – 2ab = - ( a+b)2 = -1
Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b) 2008x+1 + x+2
2007+
x+3
2006=
x+4
2005+
x+5
2004+
x+6
2003
Giải :
a) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y -12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = 0
⇔ (y + 6)(y -2) = ⇔ y = - 6; y =
* x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x +6 > với x
* x2 + x = ⇔ x2 + x -2 = ⇔ x2 +2x -x -2 = 0
⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = -2; x = Vậy nghiệm phương trình x = -2 ; x =1
b) 2008x+1 + x+2
2007+
x+3
2006=
x+4
2005+
x+5
2004+
x+6
2003 ⇔
( x+1
2008+1)+(
x+2
2007 +1)+(
x+3
2006+1)=(
x+4
2005+1)+(
x+5
2004 +1)+(
x+6
(2)⇔ x+2009
2008 +
x+2009
2007 +
x+2009
2006 =
x+2009
2005 +
x+2009
2004 +
x+2009
2003
⇔ x+2009
2008 +
x+22009
2007 +
x+2009
2006 −
x+2009
2005 −
x+2009
2004 −
x+2009
2003 =0
⇔ (x+2009)(
2008+ 2007+
1 2006 −
1 2005 −
1 2004−
1 2003)=0
Vì 20081 <
2005 ; 2007<
1 2004 ;
1 2006<
1 2003
Do : 20081 +
2007+ 2006 −
1 2005 −
1 2004 −
1 2003<0
Vậy x + 2009 = ⇔ x = -2009
Bài 3:(1,5 điểm)
Cho biểu thức : D = y2− y −y −2 2:x3−10x2+25x
x2−25
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tính giá trị biểu thức D với giá trị x y thỏa mãn đẳng thức x2 + |x −2| + 4y2 – 4xy = 0.
Giải :
a) Rút gọn D = y2− y −y −2 2:x
3−10x2
+25x
x2−25 (y 2; x 0, x ±5 )
= y2+y −2y −2
y −2 :
x(x2−10x+25) (x −5)(x+5) =
x −5¿2 ¿
x¿
y(y+1)−2(y+1)
y −2 :¿
=
x −5¿2
x¿
(y+1)(y −2) y −2
(x+5)(x −5)
¿
=
x −5¿2 x(y −2)¿
(y+1)(y −2)(x+5)(x −5)
¿
= (yx+1)(x+5)
(x −5)
b) Vì x2 + |x −2| + 4y2 – 4xy = 0
⇔ x2 – 4xy +4y2 + |x −2| = ⇔ (x -2y)2 + |x −2| = 0
⇔ (x -2y)2 = |x −2| =
(x -2y)2 0 với x; y |x −2| 0 với x
⇔ x -2y = |x −2| = ⇔ x = 2y x -2 = ⇔ x = y =
D = (yx+1)(x+5)
(x −5) =¿
(1+1)(2+5)
2(2−5) =
7
−3=−
Bài 4: (2,0 điểm)
(3)N = a+ab+c+ b b+c+d+
c c+d+a+
d
d+a+b số nguyên
Giải :
a)M = ( x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x2 + 5x + 6)( x2 + 5x - 6) = (x2 + 5x)( x2 + 5x) – 36
= (x2 + 5x)2 – 36 - 36 (x2 + 5x)2 0 với x M - 36 với x
Vậy GTNN M -36
b)Ta có a+ab+c> a
a+b+c+d ; b b+c+d>
b
a+b+c+d ;
c c
+d+a> c
a+b+c+d ; d d+a+b>
d a+b+c+d
Suy N = a+ab+c+ b b+c+d+
c c+d+a+
d
d+a+b > a
a+b+c+d+ b a+b+c+d+
c a+b+c+d+
d a+b+c+d=
a+b+c+d a+b+c+d=1
Ta có: a+ab+c< a a+c;
c c+d+a<
c a+c ;
b b+c+d<
b b+d;
d d+a+b<
d
b+d
N = a a
+b+c+ b b+c+d+
c c+d+a+
d d+a+b <
a a+c+
c a+c+
b b+d+
d
b+d
= aa+c
+c+ b+d
b+d=1+1=2
Do < N < Suy giá trị N số nguyên
Bài 5:(3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB //CD) Gọi O giao điểm AC với BD I giao điểm AD với BC.Gọi M N trung điểm AB CD a) Chứng minh : OAOC++ODOB=IA+IB
IC+ID
b) Chứng tỏ : I; M; O; N thẳng hàng
c) Giả sử 3AB = CD diện tích hình thang ABCD a Hãy tính diện tích tứ giác IAOB theo a
Giải :
a) Δ OAB ∾ Δ OCD
OA OC=
OB OD=
AB CD=
OA+OB
OC+OD
Δ IAB ∾ Δ IDC
IAID=IB
IC= AB CD=
IA+IB
IC+ID
Suy : OAOC+OB
+OD=¿
IA+IB
IC+ID
b) OAOC =AB
CD ⇒ OA OC=
(4)Δ OAM ∾ Δ OCN(c-g-c)
=
M;O;N thẳng hàng
IA ID=
AB CD ⇒
IA IC =
AM
DN
Δ IAM ∾ Δ IDN ( c-g-c)
I;M;N thẳng hàng
Vậy I;M;O;N thẳng hàng
c)
OB OD=
AB CD=
1
3 AOD AOB
S S
= 13 ⇒ AOD AOB AOB
S S
S
¿3+11
SAOB
SABD =
1
4 SAOB=
1 4SABD
3
CD AB S
S BDC ABD
SABD SBDC+SABD
=
3+1
SABD SABCD
=1
4 SABD =
1
4 SABCD
S
AOB=161 SABD SIAB
SICD =1
9
SIAB SICD− SIAB
= 9−1
SIAB SABCD
=1
8 SIAB ¿
1
8 SABCD
SIAOC = SIAB + SAOB = 18 SABCD + 161 SABCD= 163 SABCD = 163 a
AOM CON
AMI = DNI
O
C N
M I
A B