Đang tải... (xem toàn văn)
Cộng các vế của các BĐT này lại rồi giản ước ta sẽ được BĐT cần chứng minh.. Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn.[r]
(1)Để chứng minh BĐT ta sử dụng số bất đẳng thức dùng phương pháp đánh giá
I.Sử dụng số BĐT bản:
Các BĐT BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì: a a1; ; (2 a nn 2)ta ln có:
1
( ) n n
n
a a a
a a a I n
; dấu xảy khi: a1 a2 an. BĐT Bunhiacơpxki: Với hai số thực ( ; ; ),( ; ; )a a1 an b b1 bn ta ln có:
2 2 2 2
1 2 2
(a b a b a bn n) (a a an)(b b bn)( )II ; dấu xảy chỉ
Khi:
1 2
n n a
a a
b b b BĐT: a2 b2 c2 ab bc ca III( )
; dấu xảy a b c .
BĐT:
2
1 2
1 1 1
( )
n n
n
IV
a a a a a a ; a a1, , 2 an số dương; dấu xảy số
Bài 1: Cho a b 0 Chứng minh:
2
1 4 1
/ 3; / 3; / 2 2.
( ) ( )( 1) ( )
a a b a c a
b a b a b b b a b
Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có:
3
1 1
( ) 3 ( ). 3
( ) ( )
b a b b a b
b a b b a b
(đpcm).
Dấu xảy b1;a 2.
Bài 2: Cho a > 1; b > Chứng minh: a b 1b a 1ab.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
( 1) 1
1 ( 1).1 .
2 2
b ab
a b a b a
; tương tự ta có:
1 2 ab b a
Cộng vế BĐT lại ta đpcm Dấu xảy a = b =
Bài 2’: a,b,c ba số không âm có tổng Chứng minh: ab bc ca abc 8/ 27
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 (1 )(1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2
3 3
a b c
a b c
1 a b c ab bc ca abc ab bc ca abc 8/ 27
(đpcm) Dấu xảy khi
a = b = c =1/3
(2)Giải: Theo BĐT (I) ta có:
4
3 3 6 3 4a b c 6 a b c 6a bc
; tương tự ta có:
3 3 3
4b c a 6b ca c;4 a b 6c ab cộng vế BĐT lại đơn giản ta
sẽ BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c
Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z Chứng minh: (x y z ) /6 xy z2 432
Bài 4: Tìm GTNN biểu thức P (x y ) /9 x y3 6trong x,y số dương
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 9 9 9
9
3 6
( ) 9 3
3. 6. 9.
3 6 3 6 3 6 2
x y x y x y
x y P
x y
Vậy GTNN P 3 / 29 y = 2x
Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: a6 b6 c6 3 Hãy tìm GTLN biểu thức
2 2 S a b c
Giải: Theo BĐT (I) ta có: a6 1 ;a b2 1 ;b c2 1 3c2 9 3 S 3S Vậy GTLN S a = b = c =
Bài 6: x,y số thực thỏa mãn điều kiện: 0 x 3;0 y 4 Tìm GTLN biểu thức:
(3 )(4 )(2 3 )
A x y x y .
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 2(3 ).3(4 ).(2 3 ) (6 ) (12 ) (2 3 ) 6 3
x y x y
x y x y
3
6A 6 A 36
Vậy GTLN A 36 x = y = 2.
Bài 7: x,y,z số khơng âm có tổng Tìm GTLN biểu thức:
( )( )( )
P xyz x y y z z x .
Bài 8: a,b,c số dương Chứng minh:
*
( , )
m n m n m n
n n n
m m m
a b c
a b c m n N
b c a
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
( ) ( ) ( )
n
m n m n
n m n n m n
m m
a a
n mb m n b m n a
b b
Tương tự
ta có: ( ) ; ( )
m n m n
n n n n
m m
b c
n mc m n b n ma m n c
c a
Cộng BĐT lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c
Chú ý: Nếu m n 1 ta BĐT:
2 2
.
a b c
a b c b c a Bài 9: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh:
3 3
.
( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
b c a c a b a b c
(3)Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3
3 3
3
( ) 2 4 ( ) 4 2
a b c a a b c a a
b c a b c a
Tương tự ta có:
3 3 3
;
( ) 2 4 2 ( ) 2 4 2
b c a b b c a b c c
c a b a b c
Cộng vế BĐT lại đơn
giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c
Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x y z 6 Tìm GTNN biểu thức:
3 3
x y z
S
y z x z y x
.
Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a b c 6 Tìm GTNN biểu thức:
3 3
1 1 1
(1 )(1 )(1 )
P
a b c
Bài 12: Cho x,y,z ba số thực thoả mãn hệ thức: x y z 0 Chứng minh:
3 4x 3 4y 3 4z 6
S
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 4 x 1 1 4 x 4 44 x 2.2x/ Tương tự ta có:
3
/ / / / / ( ) /
3 4y 2.2 ; 4y z 2.2z S 2(2x 2y 2 ) 2.3 2z x y z 6
(đpcm)
Dấu xảy x y z 0
Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng Tìm GTNN biểu thức:
1 1
x y
S
y x
.
Giải: Dễ thấy S dương Theo BĐT (I) ta có:
2
2 x 2 y 2
S x y xy xy
y x
2
2
3
3. x xy 3. y xy 3(x y) S 2 S 2
y x Vậy MinS 2 x = y = 1/2.
Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c 3 Tìm GTNN biểu thức:
a b c
S
b c a
Bài 15: Cho số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a2 b2 c2 1. Chứng minh:
3 ab bc ca
S
c a b
(4)Bài 16: Cho số dương x,y,z có tổng Chứng minh BĐT:
3 2
xy yz zx
xy z yz x zx y .
Giải: Do xy z xy z x y z ( ) ( x z y z )( ) nên theo BĐT (I) ta có:
1 .
2
xy x y x y
xy z x z y z x z y z
Tương tự ta có:
1 2
yz y z
yz x x y x z
;
1 2
xz x z
xz y x y y z
Cộng BĐT ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy x y z 1/ 3
Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: x y 6 Tìm GTNN biểu thức:
6 8
3 2
P x y
x y
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 6 8 3 3 3 6 8 3
2. . 2. . .6
2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y
P
x y x y
6 19
Vậy MinP = 19 x = y = 4.
Bài 18: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 xy xz 1 Tìm GTNN biểu thức:
3yz 4xz 5xy S
x y z
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
2 3 2 4 6
yz xz yz xy xy xz
S z y x
x y x z z y
2(x z ) 4( x y ) 4 xz 8 xy 4 Vậy MinS = x = y = z = 1/3.
Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn điều kiện: x y 4;3x y 6 Tìm GTLN biểu thức: P 9.3 x 4 y
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 2 2
3.3 .1.1 .2 .3 3( 2) ( 3)
3 3
P x y x y
2 3 9 3
( ) (3 ) 4 6 6 4. 6. 6 3
2 6
a x y b x y a b
9 3
(5)Bài 20: Cho số dương a,b,c Chứng minh BĐT:
1 1 1 1 1 1
2a b c a 2b c a b 2c 4 a b c
.
Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có:
1 1 1 1 1
2a b c (a b) (a c) 4 a b a c
1 1 1 1 1 1 1
4 4 a b 4 a c 16 a b c
Tương tự ta có:
1 2 a b c
1 1 16 a b c
;
1 2 a b c
1 1 2 16 a b c
.Cộng vế BĐT lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c .
Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng Chứng minh BĐT sau:
2 2
1 1 2 3
/ 6; / 14.
a b
ab a b ab a b
Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 2 2
1 1 1 1 1
2 2
ab a b ab ab a b
2 2
2 4
2 6
(a b ) 2ab a b (đpcm) Dấu xảy a b 1/ 2.
1/ 2.
a b
Bài 22: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c 3/ 2. Chứng minh:
1/ 1/ 1/ 15/ 2.
a b c a b c
Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích Chứng minh: x2 y2 z2 x y z
Giải: Áp dụng BĐT (II) (I) ứng với n = ta có:
2
2 2 ( ) ( ).
3 x y z
x y z x y z
( ).
3 x y z
x y z xyz x y z
(đpcm) Dấu xảy x y z 1
Chú ý: Từ BĐT ta suy BĐT:
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a với a,b,c số dương. Bài 24: Cho a c 0;b c 0 Chứng minh: c b c( ) c a c( ) ab
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số ( c; a c ) & ( b c c ; ) ta được:
2
( c b c( ) c a c( )) (c a c b c c )( )ab từ suy BĐT ccm Dấu xảy khi
( )
(6)Bài 25: Cho số dương x,y,a,b thỏa man điều kiện: a x a b x y ; Chứng minh:
2 ( )2
x a x a
x y a b x y a b
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số
; & ( ; )
x a x
x y a b x y
x y a b x y
ta
được:
2
2
( )
( ) ( )
x a x
x y a b x y x a x
x y a b x y
từ suy BĐT ccm Dấu
bằng xảy bx = ay
Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: a2 b2 c2 d2 1; x số thực Chứng minh:
2 2 2
(x ax b ) (x cx d ) (2x 1)
Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = ta có: (x2 ax b )2 (x2 x2 1 )(2 x2 a2 b2);
2 2 2 2
(x cx d ) (x x 1 )(x c d ) (x2 ax b )2 (x2 cx d )2
2 2 2 2 2
(2x 1)(x a b x c d ) (2 x 1) (đpcm) Dấu xảy b=d=1&x=a=c.
Bài 27: Cho số dương x,y,z,p,q Chứng minh:
3
x y z
py qz pz qx px qy p q . Giải: Theo BĐT (III) ta có: x py qz( ) y pz qx( )z px qy( ) ( p q xy yz zx )( )
2
(p q x y z )( ) / 3 (*) Áp dụng BĐT (II) cho hai số
; ;
x y z
py qz pz qx px qy
và
( x py qz( ); y pz qx( ); z px qy( )) ta được:
( ) ( ) ( ) ( )2
x y z
x py qz y pz qx z px qy x y z
py qz pz qx px qy
Kết hợp với BĐT (*) ta BĐT ccm Dấu xảy khi; py qz pz qx px qy Bằng cách giải tương tự ta chứng minh BĐT sau:
1/
3 2
a b c
b c a c b a với a,b,c số dương bất kì.
2/ 2
a b c d
(7)3/
2 2
2
a b c a b c
b c a c b a
với a,b,c số dương
4/
2 2
a b c
a b c
b c a a c b b a c với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác.
5/ 3
a b c
b c a a c b b a c với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác
Bài 28: Cho số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: x2 y2 u2 y2 1 Chứng minh:
( ) ( ) 2
u x y v x y
Giải: Theo BĐT (II) :
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2
u x y v x y u v x y x y x y Từ suy BĐT cần chứng minh Dấu xảy u x y( ) v x y( ).
Bài 29: Cho a,b,c số dương thỏa mãn điều kiện: a2 b2 c2 1. Chứng minh:
3 3 1
2
a b c
b c a c b a Giải: Theo BĐT (II) ta có:
3 3
( ) ( ) ( )
a b c
a b c b a c c b a b c a c b a
2 2 2 2
(a b c ) (a b c )ab bc ca Từ ta suy BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy a b c 3 / 3
Bài 30: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x x( 1) y y( 1)z z( 1) / 3. Chứng minh:
1 x y z 4
.
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: (x 1/ 2)2 (y 1/ 2)2 (z 1/ 2)2 25/12 Áp dụng BĐT (II) ta được:
1.(x 1/ 2) 1.(y 1/ 2) 1.(z 1/ 2)2 3 (x 1/ 2)2 (y 1/ 2)2 (z 1/ 2)2 25/ 4
3/ 2 5/ 2 5/ 2 3/ 5/ 2 1 4
x y z x y z x y z
(đpcm). Dấu xảy x y z 4/ 3
Bài 31: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: a2 b2 16 8 a6b Chứng minh:
/10 4 3 40; / 7 24 a a b b b a
Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: (a 4)2 (b 3)2 9 Áp dụng BĐT (II) ta được:
4(a 4) 3(b 3)2 (a 4)2 (b 3) (42 3 ) 9.252 4a 3b 25 15
15 4a 3b 25 15 10 4a 3b 40
(8)Bài 32: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x2 y2 z2 4x2z 0. Tìm GTNN GTLN biểu thức:
2 3 2
S x y z
Bài 33: Cho a,b,c ba số không âm thỏa mãn hệ thức: a b c 3.Tìm GTNN biểu thức:
2 2 2
S a ab b c cb b a ac c . Giải: Theo BĐT (II) ta có:
2 2
2
2 4 3 1
( ). 1 ( )
3 2 2 3 2 2
b b b b
a ab b a a a b
2 3( ) / 2
a ab b a b
Tương tự ta có: c2 cb b 3(c b ) / 2 ;
2 3( ) / 2 3( ) 3
c ca a c a S a b c Vậy MinS = a b c 3 / 3.
II.Sử dụng phương pháp đánh giá:
Bài 34: Cho số dương a,b,c Chứng minh BĐT sau:
3 3 3
2 2
1 1 1 1
/ ;
1 1 1
/ .
2 a
a b abc c b abc a c abc abc
a b c b
a bc b ac c ab abc
Giải:a/Ta có: a3 b3 abc (a b a )( ab b 2)abc(a b ab abc ab a b c ) ( ) 0
3
1 1
( ) ( )
c
a b abc ab a b c abc a b c
Tương tự ta có BĐT:
3 3
1 1
;
( ) ( )
a b
c b abc abc a b c c a abc abc a b c Cộng vế BĐT lại giản ước ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c .
b/ Theo BĐT (I) ta có:
2
2
1 1
2 0
2 4
2
bc b c
a bc a bc
a bc a bc abc abc
.
Tương tự ta có: 2
1 1
;
4 4
a c b a
b ac abc c ab abc
Cộng vế BĐT lại đơn
giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c .
(9)1 1 1 .
1 1 1
P
xy zy zx
Bài 36: Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh: 2 2 2 1.
ab cb ac
S
c a b
Bài 37: Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1/a1/b1/c3. Tìm GTLN biểu thức:
3 3 3 3.
ab cb ac
S
a b c b a c
Bài 38: Cho ba số dương x,y,z có tích Tìm GTNN biểu thức:
2 2
2 2
log 1 log 1 log 1.
S x y z
Giải: Ta có:
2 2
2 2
2 2
(log 1) (log 1) (log 1) 1
( log 1 log 1 log 1)
2 2 2 2
x x x
S x y z
2
1 6
3 log 3 2.
2 xyz 2
Vậy MinS 3 2 x y z 2.
Bài 39: Cho số thực x,y,z có tổng Tìm GTNN biểu thức: S x4 y4 z4 xyz.
Giải: Theo BĐT (II) ta có:
2 4 1( 2 2) 1 1( )2 1
3 3 3 27
x y z x y z x y z
Áp dụng
BĐT (I) ta được:
4 4
4 4
3 1 1 1/ 27 3
.4
4 4 3 4.27 4 4 3
xyz
x y z
S x y z xyz
1
0. 4.27 xyz xyz xyz
Vậy MinS 0 x y z 1/ 3.
Bài 40: Cho số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN biểuthức:
2 2
2 2 2 2 .
x y z
S
x yz y yx z yx
Bài 41: Cho số dương x,y,z Chứng minh:
4 6 4
2 2 2 1 1 1
.
x y z
S
y z z x x y x y z
III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị phương pháp đổi biến:
(10)2 2 2 2 2 2
3
b a c b a c
S
ab cb ac
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: x y z 1 BĐT trở thành:
2 2 2 2 2 2 3
S x y y z z x Theo BĐT (II) ta có:
2 2
( 2 ) / 3 ( 2 ) / 3 ( 2 ) / 3( ) / 3 3
S x y y z z x x y z (đpcm).
Dấu xảy x y z 1/ 3 hay a b c 3.
Bài 43: Cho số thực dương x,y,z có tích Chứng minh BĐT:
3 3
1 1 1 3
.
( ) ( ) ( ) 2
S
x y z y x z z y x
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: abc 1 BĐT trở thành:
2 2 3
2
a b c
S
b c a c b a
.Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có ngay:
2
( ) 3
2( ) 2 2
a b c a b c
S
a b c
Dấu xảy a b c 1 hay x y z 1.
Bài 44: Cho số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 1/x1/ y1/z 1. Chứng minh BĐT:
x yz y xz z yx xyz x y z .
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: a b c 1 BĐT trở thành:
1
a bc b ac c ab ab bc ca Ta có:
2
( ) 2 ( )
a bc a a b c bc a a bc bc a bc a bc Tương tự ta cũng
có: b ac b ac c ab c; ab Cộng BĐT lại ta BĐT ccm Dấu xảy a b c 1/ 3 hay x y z 3.
Bài 45: Cho hai số thực x,y khác thỏa mãn điều kiện: x2 y2 2x y y x2 Tìm GTNN GTLN biểu thức: S 2/x1/ y
Giải: Đặt u 1/ &x v1/ y điều kiện trở thành:
2 2 ( 1/ 2)2 ( 1)2 5/ 4
u v u v u v Theo BĐT (II) ta có:
2
2 2 2
(S 2) 2(u 1/ 2) v 1 (2 1 ) ( u 1/ 2) (v 1) 25/ 4 5/ 2 S 2 5/ 2
0,5 S 4,5
Vậy MinS = - 0,5 x = - 2; y = MaxS = 4,5 x = y = 2/3.
Bài 46: Hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: y0 &x2 x y 12. Tìm GTNN GTLN biểu thức: A xy x 2y17.
(11)đồng thời Af x( )x3 3x2 9x 7 Từ BBT hàm số ta suy ra:
MaxA Maxf x ( )f ( 3) f(3) 20 4;3
( ) (1) 12
MinA Minf x f 4;3
Bài 47: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x2 y2 1 Tìm GTNN biểu thức:
( 1)(1 1/ ) ( 1)(1 1/ )
S x y y x
Bài 48: Cho số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x2 y2 1 Tìm GTNN GTLN
của biểu thức:
2
2
4 2 1
2 2 3
x xy
T
xy y
Giải: Từ điều kiện ta suy ra:
2
2
3 2
3 2
x xy y
T
x xy y
Nếu y 0 x2 1 T 1. Nếu y 0 đặt
2
3 2 1
/ (3 3) 2( 1) 1 0(*)
3 2 1
t t
t x y T T t T t T
t t
(*) khơng có nghiệm T=1
Với T 1,(*) có ' (T 1)( 2 T 4) 0 2 T 1 Kết hợp với ta có: MinT=-2 x 10 /10;y 3 10 /10 MaxT=1 x1 y =
Bài 49: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x y 5/ 4 Tìm GTNN biểu thức:
4 / 1/
S x y
Bài 50: Cho hai số khơng âm x,y có tổng Tìm GTNN GTLN biểu thức:
2008 2008
1 1
S x y .
Giải: Ta có:
2007 2007 2008 2008
2008 2008 1004 1004(1 )
( ) 1 1 (1 ) '( )
1 1 (1 )
x x
S f x x x f x
x x
2007 2008 2007 2008 4014 2008
'( ) 0 1 (1 ) (1 ) 1 1 (1 )
f x x x x x x x
4014 2008 4014 4014 2008 2008 2006 2006 (1 x) (1x ) x (1 x) x (1 x) x (1 x) 0
2008 2008
1
(2x 1) ( )P x x (1 x) (2x 1) ( ) 0P x 2x 1 0 x 1/ 2
.
x -4 -3 f’(x) + - +
f(x)
(12)( Vì x 1 x khơng đồng thời nên P x1( ) 0; ( ) 0 P x2 )