Cộng các vế của các BĐT này lại rồi giản ước ta sẽ được BĐT cần chứng minh.. Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn.[r]
(1)Để chứng minh BĐT ta sử dụng số bất đẳng thức dùng phương pháp đánh giá
I.Sử dụng số BĐT bản:
Các BĐT BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì: a a1; ; (2 a nn 2)ta ln có:
1
( ) n n
n
a a a
a a a I n
; dấu xảy khi: a1 a2 an. BĐT Bunhiacơpxki: Với hai số thực ( ; ; ),( ; ; )a a1 an b b1 bn ta ln có:
2 2 2 2
1 2 2
(a b a b a bn n) (a a an)(b b bn)( )II ; dấu xảy chỉ
Khi:
1 2
n n a
a a
b b b BĐT: a2 b2 c2 ab bc ca III( )
; dấu xảy a b c .
BĐT:
2
1 2
1 1 1
( )
n n
n
IV
a a a a a a ; a a1, , 2 an số dương; dấu xảy số
Bài 1: Cho a b 0 Chứng minh:
2
1 4 1
/ 3; / 3; / 2 2.
( ) ( )( 1) ( )
a a b a c a
b a b a b b b a b
Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có:
3
1 1
( ) 3 ( ). 3
( ) ( )
b a b b a b
b a b b a b
(đpcm).
Dấu xảy b1;a 2.
Bài 2: Cho a > 1; b > Chứng minh: a b 1b a 1ab.
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
( 1) 1
1 ( 1).1 .
2 2
b ab
a b a b a
; tương tự ta có:
1 2 ab b a
Cộng vế BĐT lại ta đpcm Dấu xảy a = b =
Bài 2’: a,b,c ba số không âm có tổng Chứng minh: ab bc ca abc 8/ 27
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 (1 )(1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2
3 3
a b c
a b c
1 a b c ab bc ca abc ab bc ca abc 8/ 27
(đpcm) Dấu xảy khi
a = b = c =1/3
(2)Giải: Theo BĐT (I) ta có:
4
3 3 6 3 4a b c 6 a b c 6a bc
; tương tự ta có:
3 3 3
4b c a 6b ca c;4 a b 6c ab cộng vế BĐT lại đơn giản ta
sẽ BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c
Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z Chứng minh: (x y z ) /6 xy z2 432
Bài 4: Tìm GTNN biểu thức P (x y ) /9 x y3 6trong x,y số dương
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 9 9 9
9
3 6
( ) 9 3
3. 6. 9.
3 6 3 6 3 6 2
x y x y x y
x y P
x y
Vậy GTNN P 3 / 29 y = 2x
Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: a6 b6 c6 3 Hãy tìm GTLN biểu thức
2 2 S a b c
Giải: Theo BĐT (I) ta có: a6 1 ;a b2 1 ;b c2 1 3c2 9 3 S 3S Vậy GTLN S a = b = c =
Bài 6: x,y số thực thỏa mãn điều kiện: 0 x 3;0 y 4 Tìm GTLN biểu thức:
(3 )(4 )(2 3 )
A x y x y .
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 2(3 ).3(4 ).(2 3 ) (6 ) (12 ) (2 3 ) 6 3
x y x y
x y x y
3
6A 6 A 36
Vậy GTLN A 36 x = y = 2.
Bài 7: x,y,z số khơng âm có tổng Tìm GTLN biểu thức:
( )( )( )
P xyz x y y z z x .
Bài 8: a,b,c số dương Chứng minh:
*
( , )
m n m n m n
n n n
m m m
a b c
a b c m n N
b c a
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
( ) ( ) ( )
n
m n m n
n m n n m n
m m
a a
n mb m n b m n a
b b
Tương tự
ta có: ( ) ; ( )
m n m n
n n n n
m m
b c
n mc m n b n ma m n c
c a
Cộng BĐT lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c
Chú ý: Nếu m n 1 ta BĐT:
2 2
.
a b c
a b c b c a Bài 9: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh:
3 3
.
( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
b c a c a b a b c
(3)Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3
3 3
3
( ) 2 4 ( ) 4 2
a b c a a b c a a
b c a b c a
Tương tự ta có:
3 3 3
;
( ) 2 4 2 ( ) 2 4 2
b c a b b c a b c c
c a b a b c
Cộng vế BĐT lại đơn
giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c
Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x y z 6 Tìm GTNN biểu thức:
3 3
x y z
S
y z x z y x
.
Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a b c 6 Tìm GTNN biểu thức:
3 3
1 1 1
(1 )(1 )(1 )
P
a b c
Bài 12: Cho x,y,z ba số thực thoả mãn hệ thức: x y z 0 Chứng minh:
3 4x 3 4y 3 4z 6
S
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 4 x 1 1 4 x 4 44 x 2.2x/ Tương tự ta có:
3
/ / / / / ( ) /
3 4y 2.2 ; 4y z 2.2z S 2(2x 2y 2 ) 2.3 2z x y z 6
(đpcm)
Dấu xảy x y z 0
Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng Tìm GTNN biểu thức:
1 1
x y
S
y x
.
Giải: Dễ thấy S dương Theo BĐT (I) ta có:
2
2 x 2 y 2
S x y xy xy
y x
2
2
3
3. x xy 3. y xy 3(x y) S 2 S 2
y x Vậy MinS 2 x = y = 1/2.
Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c 3 Tìm GTNN biểu thức:
a b c
S
b c a
Bài 15: Cho số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a2 b2 c2 1. Chứng minh:
3 ab bc ca
S
c a b
(4)Bài 16: Cho số dương x,y,z có tổng Chứng minh BĐT:
3 2
xy yz zx
xy z yz x zx y .
Giải: Do xy z xy z x y z ( ) ( x z y z )( ) nên theo BĐT (I) ta có:
1 .
2
xy x y x y
xy z x z y z x z y z
Tương tự ta có:
1 2
yz y z
yz x x y x z
;
1 2
xz x z
xz y x y y z
Cộng BĐT ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy x y z 1/ 3
Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: x y 6 Tìm GTNN biểu thức:
6 8
3 2
P x y
x y
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 6 8 3 3 3 6 8 3
2. . 2. . .6
2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y
P
x y x y
6 19
Vậy MinP = 19 x = y = 4.
Bài 18: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 xy xz 1 Tìm GTNN biểu thức:
3yz 4xz 5xy S
x y z
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
2 3 2 4 6
yz xz yz xy xy xz
S z y x
x y x z z y
2(x z ) 4( x y ) 4 xz 8 xy 4 Vậy MinS = x = y = z = 1/3.
Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn điều kiện: x y 4;3x y 6 Tìm GTLN biểu thức: P 9.3 x 4 y
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3 2 2
3.3 .1.1 .2 .3 3( 2) ( 3)
3 3
P x y x y
2 3 9 3
( ) (3 ) 4 6 6 4. 6. 6 3
2 6
a x y b x y a b
9 3
(5)Bài 20: Cho số dương a,b,c Chứng minh BĐT:
1 1 1 1 1 1
2a b c a 2b c a b 2c 4 a b c
.
Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có:
1 1 1 1 1
2a b c (a b) (a c) 4 a b a c
1 1 1 1 1 1 1
4 4 a b 4 a c 16 a b c
Tương tự ta có:
1 2 a b c
1 1 16 a b c
;
1 2 a b c
1 1 2 16 a b c
.Cộng vế BĐT lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c .
Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng Chứng minh BĐT sau:
2 2
1 1 2 3
/ 6; / 14.
a b
ab a b ab a b
Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 2 2
1 1 1 1 1
2 2
ab a b ab ab a b
2 2
2 4
2 6
(a b ) 2ab a b (đpcm) Dấu xảy a b 1/ 2.
1/ 2.
a b
Bài 22: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c 3/ 2. Chứng minh:
1/ 1/ 1/ 15/ 2.
a b c a b c
Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích Chứng minh: x2 y2 z2 x y z
Giải: Áp dụng BĐT (II) (I) ứng với n = ta có:
2
2 2 ( ) ( ).
3 x y z
x y z x y z
( ).
3 x y z
x y z xyz x y z
(đpcm) Dấu xảy x y z 1
Chú ý: Từ BĐT ta suy BĐT:
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a với a,b,c số dương. Bài 24: Cho a c 0;b c 0 Chứng minh: c b c( ) c a c( ) ab
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số ( c; a c ) & ( b c c ; ) ta được:
2
( c b c( ) c a c( )) (c a c b c c )( )ab từ suy BĐT ccm Dấu xảy khi
( )
(6)Bài 25: Cho số dương x,y,a,b thỏa man điều kiện: a x a b x y ; Chứng minh:
2 ( )2
x a x a
x y a b x y a b
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số
; & ( ; )
x a x
x y a b x y
x y a b x y
ta
được:
2
2
( )
( ) ( )
x a x
x y a b x y x a x
x y a b x y
từ suy BĐT ccm Dấu
bằng xảy bx = ay
Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: a2 b2 c2 d2 1; x số thực Chứng minh:
2 2 2
(x ax b ) (x cx d ) (2x 1)
Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = ta có: (x2 ax b )2 (x2 x2 1 )(2 x2 a2 b2);
2 2 2 2
(x cx d ) (x x 1 )(x c d ) (x2 ax b )2 (x2 cx d )2
2 2 2 2 2
(2x 1)(x a b x c d ) (2 x 1) (đpcm) Dấu xảy b=d=1&x=a=c.
Bài 27: Cho số dương x,y,z,p,q Chứng minh:
3
x y z
py qz pz qx px qy p q . Giải: Theo BĐT (III) ta có: x py qz( ) y pz qx( )z px qy( ) ( p q xy yz zx )( )
2
(p q x y z )( ) / 3 (*) Áp dụng BĐT (II) cho hai số
; ;
x y z
py qz pz qx px qy
và
( x py qz( ); y pz qx( ); z px qy( )) ta được:
( ) ( ) ( ) ( )2
x y z
x py qz y pz qx z px qy x y z
py qz pz qx px qy
Kết hợp với BĐT (*) ta BĐT ccm Dấu xảy khi; py qz pz qx px qy Bằng cách giải tương tự ta chứng minh BĐT sau:
1/
3 2
a b c
b c a c b a với a,b,c số dương bất kì.
2/ 2
a b c d
(7)3/
2 2
2
a b c a b c
b c a c b a
với a,b,c số dương
4/
2 2
a b c
a b c
b c a a c b b a c với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác.
5/ 3
a b c
b c a a c b b a c với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác
Bài 28: Cho số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: x2 y2 u2 y2 1 Chứng minh:
( ) ( ) 2
u x y v x y
Giải: Theo BĐT (II) :
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2
u x y v x y u v x y x y x y Từ suy BĐT cần chứng minh Dấu xảy u x y( ) v x y( ).
Bài 29: Cho a,b,c số dương thỏa mãn điều kiện: a2 b2 c2 1. Chứng minh:
3 3 1
2
a b c
b c a c b a Giải: Theo BĐT (II) ta có:
3 3
( ) ( ) ( )
a b c
a b c b a c c b a b c a c b a
2 2 2 2
(a b c ) (a b c )ab bc ca Từ ta suy BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy a b c 3 / 3
Bài 30: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x x( 1) y y( 1)z z( 1) / 3. Chứng minh:
1 x y z 4
.
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: (x 1/ 2)2 (y 1/ 2)2 (z 1/ 2)2 25/12 Áp dụng BĐT (II) ta được:
1.(x 1/ 2) 1.(y 1/ 2) 1.(z 1/ 2)2 3 (x 1/ 2)2 (y 1/ 2)2 (z 1/ 2)2 25/ 4
3/ 2 5/ 2 5/ 2 3/ 5/ 2 1 4
x y z x y z x y z
(đpcm). Dấu xảy x y z 4/ 3
Bài 31: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: a2 b2 16 8 a6b Chứng minh:
/10 4 3 40; / 7 24 a a b b b a
Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: (a 4)2 (b 3)2 9 Áp dụng BĐT (II) ta được:
4(a 4) 3(b 3)2 (a 4)2 (b 3) (42 3 ) 9.252 4a 3b 25 15
15 4a 3b 25 15 10 4a 3b 40
(8)Bài 32: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x2 y2 z2 4x2z 0. Tìm GTNN GTLN biểu thức:
2 3 2
S x y z
Bài 33: Cho a,b,c ba số không âm thỏa mãn hệ thức: a b c 3.Tìm GTNN biểu thức:
2 2 2
S a ab b c cb b a ac c . Giải: Theo BĐT (II) ta có:
2 2
2
2 4 3 1
( ). 1 ( )
3 2 2 3 2 2
b b b b
a ab b a a a b
2 3( ) / 2
a ab b a b
Tương tự ta có: c2 cb b 3(c b ) / 2 ;
2 3( ) / 2 3( ) 3
c ca a c a S a b c Vậy MinS = a b c 3 / 3.
II.Sử dụng phương pháp đánh giá:
Bài 34: Cho số dương a,b,c Chứng minh BĐT sau:
3 3 3
2 2
1 1 1 1
/ ;
1 1 1
/ .
2 a
a b abc c b abc a c abc abc
a b c b
a bc b ac c ab abc
Giải:a/Ta có: a3 b3 abc (a b a )( ab b 2)abc(a b ab abc ab a b c ) ( ) 0
3
1 1
( ) ( )
c
a b abc ab a b c abc a b c
Tương tự ta có BĐT:
3 3
1 1
;
( ) ( )
a b
c b abc abc a b c c a abc abc a b c Cộng vế BĐT lại giản ước ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c .
b/ Theo BĐT (I) ta có:
2
2
1 1
2 0
2 4
2
bc b c
a bc a bc
a bc a bc abc abc
.
Tương tự ta có: 2
1 1
;
4 4
a c b a
b ac abc c ab abc
Cộng vế BĐT lại đơn
giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c .
(9)1 1 1 .
1 1 1
P
xy zy zx
Bài 36: Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh: 2 2 2 1.
ab cb ac
S
c a b
Bài 37: Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1/a1/b1/c3. Tìm GTLN biểu thức:
3 3 3 3.
ab cb ac
S
a b c b a c
Bài 38: Cho ba số dương x,y,z có tích Tìm GTNN biểu thức:
2 2
2 2
log 1 log 1 log 1.
S x y z
Giải: Ta có:
2 2
2 2
2 2
(log 1) (log 1) (log 1) 1
( log 1 log 1 log 1)
2 2 2 2
x x x
S x y z
2
1 6
3 log 3 2.
2 xyz 2
Vậy MinS 3 2 x y z 2.
Bài 39: Cho số thực x,y,z có tổng Tìm GTNN biểu thức: S x4 y4 z4 xyz.
Giải: Theo BĐT (II) ta có:
2 4 1( 2 2) 1 1( )2 1
3 3 3 27
x y z x y z x y z
Áp dụng
BĐT (I) ta được:
4 4
4 4
3 1 1 1/ 27 3
.4
4 4 3 4.27 4 4 3
xyz
x y z
S x y z xyz
1
0. 4.27 xyz xyz xyz
Vậy MinS 0 x y z 1/ 3.
Bài 40: Cho số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN biểuthức:
2 2
2 2 2 2 .
x y z
S
x yz y yx z yx
Bài 41: Cho số dương x,y,z Chứng minh:
4 6 4
2 2 2 1 1 1
.
x y z
S
y z z x x y x y z
III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị phương pháp đổi biến:
(10)2 2 2 2 2 2
3
b a c b a c
S
ab cb ac
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: x y z 1 BĐT trở thành:
2 2 2 2 2 2 3
S x y y z z x Theo BĐT (II) ta có:
2 2
( 2 ) / 3 ( 2 ) / 3 ( 2 ) / 3( ) / 3 3
S x y y z z x x y z (đpcm).
Dấu xảy x y z 1/ 3 hay a b c 3.
Bài 43: Cho số thực dương x,y,z có tích Chứng minh BĐT:
3 3
1 1 1 3
.
( ) ( ) ( ) 2
S
x y z y x z z y x
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: abc 1 BĐT trở thành:
2 2 3
2
a b c
S
b c a c b a
.Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có ngay:
2
( ) 3
2( ) 2 2
a b c a b c
S
a b c
Dấu xảy a b c 1 hay x y z 1.
Bài 44: Cho số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 1/x1/ y1/z 1. Chứng minh BĐT:
x yz y xz z yx xyz x y z .
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: a b c 1 BĐT trở thành:
1
a bc b ac c ab ab bc ca Ta có:
2
( ) 2 ( )
a bc a a b c bc a a bc bc a bc a bc Tương tự ta cũng
có: b ac b ac c ab c; ab Cộng BĐT lại ta BĐT ccm Dấu xảy a b c 1/ 3 hay x y z 3.
Bài 45: Cho hai số thực x,y khác thỏa mãn điều kiện: x2 y2 2x y y x2 Tìm GTNN GTLN biểu thức: S 2/x1/ y
Giải: Đặt u 1/ &x v1/ y điều kiện trở thành:
2 2 ( 1/ 2)2 ( 1)2 5/ 4
u v u v u v Theo BĐT (II) ta có:
2
2 2 2
(S 2) 2(u 1/ 2) v 1 (2 1 ) ( u 1/ 2) (v 1) 25/ 4 5/ 2 S 2 5/ 2
0,5 S 4,5
Vậy MinS = - 0,5 x = - 2; y = MaxS = 4,5 x = y = 2/3.
Bài 46: Hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: y0 &x2 x y 12. Tìm GTNN GTLN biểu thức: A xy x 2y17.
(11)đồng thời Af x( )x3 3x2 9x 7 Từ BBT hàm số ta suy ra:
MaxA Maxf x ( )f ( 3) f(3) 20 4;3
( ) (1) 12
MinA Minf x f 4;3
Bài 47: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x2 y2 1 Tìm GTNN biểu thức:
( 1)(1 1/ ) ( 1)(1 1/ )
S x y y x
Bài 48: Cho số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x2 y2 1 Tìm GTNN GTLN
của biểu thức:
2
2
4 2 1
2 2 3
x xy
T
xy y
Giải: Từ điều kiện ta suy ra:
2
2
3 2
3 2
x xy y
T
x xy y
Nếu y 0 x2 1 T 1. Nếu y 0 đặt
2
3 2 1
/ (3 3) 2( 1) 1 0(*)
3 2 1
t t
t x y T T t T t T
t t
(*) khơng có nghiệm T=1
Với T 1,(*) có ' (T 1)( 2 T 4) 0 2 T 1 Kết hợp với ta có: MinT=-2 x 10 /10;y 3 10 /10 MaxT=1 x1 y =
Bài 49: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x y 5/ 4 Tìm GTNN biểu thức:
4 / 1/
S x y
Bài 50: Cho hai số khơng âm x,y có tổng Tìm GTNN GTLN biểu thức:
2008 2008
1 1
S x y .
Giải: Ta có:
2007 2007 2008 2008
2008 2008 1004 1004(1 )
( ) 1 1 (1 ) '( )
1 1 (1 )
x x
S f x x x f x
x x
2007 2008 2007 2008 4014 2008
'( ) 0 1 (1 ) (1 ) 1 1 (1 )
f x x x x x x x
4014 2008 4014 4014 2008 2008 2006 2006 (1 x) (1x ) x (1 x) x (1 x) x (1 x) 0
2008 2008
1
(2x 1) ( )P x x (1 x) (2x 1) ( ) 0P x 2x 1 0 x 1/ 2
.
x -4 -3 f’(x) + - +
f(x)
(12)( Vì x 1 x khơng đồng thời nên P x1( ) 0; ( ) 0 P x2 )