Tài liệu thi hsg cap truong.doc

Đề bài: Bài 1: (2 điểm): Chứng minh rằng tích của một số chính phương với số đứng trước nó chia hết cho 12. Bài 2: (2 điểm): a) Chứng minh rằng với x > 1 ta có : 2 1 x x ≥ − b) Cho a > 1 , b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E = 2 2 1 1 a b b a + − − Bài 3 (2 điểm) : Tìm các giá trị nguyên x , y thõa mãm đẳng thức : ( y + 2 ) . x 2 + 1 = y 2 . Bài 4:(2 điểm) :Cho hình vuông ABCD , đường thẳng qua A cắt đường thẳng BC và CD lần lượt tại E và F . Chứng minh rằng : 1 1 1 2 2 2 AE AF AB + = Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh không bằng nhau xác định một điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất. ------------------------------------ ĐÁP ÁN Bài 1: (2 đ) Số chính phương là n 2 ( với n ∈ Z ) số đứng trước nó là n 2 - 1 Ta có: ( n 2 - 1)n 2 = ( n - 1 )(n+1)n 2 = (n - 1).n .n (n+ 1) (1đ) Tích này có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 , mặc khác (n-1)n là 2 số nguyên liên tiếp nên Chia hết cho 2 và n(n+1) chia hết cho 2 nên ( n-1)n.n(n+1) chia hết cho 4 Mà(3,4)=1 nên (n-1) .n.n .(n+1) chia hết cho 12 (1đ) Vậy (n 2 -1)n 2 chia hết cho 12 Bài 2 ( 2 đ) a) x > 1 nên 1 0x − > Ta có: 2 2 1 1 x x x x ≥ ⇔ ≥ − − 2 4 1( )x x⇔ ≥ − 2 4 4 0 2 2 0( ) x x x ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ Bất đẳng thức đúng nên suy ra điều phải chứng minh (1 đ) b) Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm: E = 2 2 1 1 a b b a + − − 2 2 2 2 1 1 1 1 . . a b a b b a a b ≥ = − − − − Theo câu a ta có : 2 2 1 1 , a b a b ≥ ≥ − − Nên E ≥ 8 Vậy Min E = 8 khi x=y =2 ( 1đ) Bài 3:(2đ) ( y + 2 ) . x 2 + 1 = y 2 ⇔ x 2 = 2 1 3 2 2 2 y y y y − = − + + + x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) (1đ) y + 2 = 1 ; 3;-1;-3 Nên y = -1 ;1;-3 ;5 do x 2 0 ≥ nên (y 2 -1)(y+2) 0 ≥ , y 2 ≠ ⇔ 2 1y− ≤ ≤ − hoặc y 1≥ do đó : y = -1 hoặc y = 1 suy ra x=0 Vậy nghiệm nguyên : (x,y)= { } 0 1 0 1( , );( , )− (1đ) Bài 4:(2đ)Trên tia đối của tia BC Lấy điểm M sao cho BM=DF ABM ADF∆ = ∆ Suy ra: góc MAB = góc FAD và AM=AF (1đ) Từ đó suy ra MAF∆ vuông tại A có đường cao AB Và hai cạnh góc vuông AF và AE Nên 1 1 1 2 2 2 AE AF AB + = (1đ) Bài 5:(2đ) Gọi a , b, c là các cạnh đối diện với góc A, B, C và h a , h b , h c Là các đường cao tương ứng. Giả sử ,a b c≥ ≥ khi đó : h a h h b c ≤ ≤ Ta có : S ABC = S PAC + S PBC + S PAB ( 1đ) ⇒ 2 S = a. PH + b . PK + c. PI ≤ a ( PH + PK + PI) ⇒ PH + PK + PI 2S a ≥ = h a ⇒ PH + PK + PI nhỏ nhất khi P trùng với A (1 đ) M F E D C B A I H P K C B A