Phương trình lượng giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Đại số HÀ NỘI – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Đại số Người hướng dẫn khoa học ThS DƯƠNG THỊ LUYẾN HÀ NỘI – 2019 Lời cảm ơn Trong thời gian học trường ĐHSP Hà Nội 2, dạy dỗ tận tình thầy cơ, em học hỏi tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tốt, bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Qua em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô khoa Tốn, thầy tổ Đại số trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ dìu dắt chúng em trưởng thành ngày hôm Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo Thạc sỹ Dương Thị Luyến, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em thời gian thực khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cơ, bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Huyền Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn giáo ThS Dương Thị Luyến với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan nghiên cứu khóa luận kết nghiên cứu riêng thân, khơng có trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Huyền Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Lời mở đầu Một số kiến thức 1.1 Các hàm số lượng giác 1.1.1 Hàm số y = sin x y = cos x 1.1.2 Hàm số tan hàm số cot 1.1.3 Bài tập 13 Các dạng phương trình lượng giác 2.1 2.2 11 15 Phương trình lượng giác 15 2.1.1 Phương trình lượng giác 15 2.1.2 Các ví dụ 2.1.3 Bài tập áp dụng 18 16 Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác 18 2.2.1 Phương pháp giải 18 2.2.2 Ví dụ 19 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.3 2.3 2.4 2.5 2.6 NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN Bài tập áp dụng 21 Phương trình bậc sin x cos x 22 2.3.1 Phương pháp giải 22 2.3.2 Các ví dụ 2.3.3 Bài tập áp dụng 25 24 Phương trình đẳng cấp sin x cosx 26 2.4.1 Phương pháp giải 26 2.4.2 Các ví dụ 2.4.3 Bài tập áp dụng 28 27 Phương trình đối xứng với sinx cosx 29 2.5.1 Phương pháp giải 29 2.5.2 Các ví dụ 2.5.3 Bài tập áp dụng 31 30 Một số phương trình lượng giác có cách giải khơng mẫu mực 32 2.6.1 Đưa tổng bình phương 33 2.6.2 Đánh giá hai vế 33 2.6.3 Đoán nghiệm chứng minh tính nghiệm 33 2.7 2.6.4 Các ví dụ 34 2.6.5 Bài tập áp dụng 34 Phương pháp lượng giác hóa để giải toán 35 2.7.1 Giải phương trình, hệ phương trình 35 2.7.2 Chứng minh bất đẳng thức 39 Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm 3.1 46 Sử dụng Casio để giải toán lượng giác 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2 NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN Câu hỏi trắc nghiệm 51 3.2.1 Câu hỏi 51 3.2.2 Đáp án 60 3.2.3 Hướng dẫn giải 60 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt R: Tập số thực Z: tập số nguyên TXD: tập xác định SGK: sách giáo khoa NXB: nhà xuất HS: học sinh TSĐH: tuyển sinh đại học THPT: trung học phổ thông GTLN: giá trị lớn 10 GTNN: giá trị nhỏ Lời mở đầu Lượng giác lĩnh vực Toán học, tồn không ngừng phát triển qua hàng ngàn năm qua Hàm số phương trình lượng giác đơn vị kiến thức trọng tâm tồn nội dung chương trình Tốn trung học phổ thông (THPT) xuất đề thi Đại học, Cao đẳng Không vậy, việc sử dụng lượng giác cịn giúp giải số tốn đại số cách dễ dàng, hiệu nhiều thường xuất kỳ thi HSG Do em định chọn đề tài “Phương trình lượng giác” Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khóa luận gồm chương Chương “Một số kiến thức bản” chương nhắc lại kiến thức hàm số lượng giác Chương “Các dạng phương trình lượng giác” Nội dung chương nhằm phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải bên cạnh nêu lên số ví dụ, tập cho phương pháp đưa số ứng dụng lượng giác giải toán Chương “Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm” Do hình thức thi đánh giá lực cho học sinh kỳ thi THPT quốc gia hết lớp 12,mơn tốn thi trắc nghiệm nên chương đưa câu hỏi trắc nghiệm theo dạng tập phân dạng Chương mục đích để em Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN làm quen dần với hình thức thi từ lớp dưới, số kỹ sử dụng máy tính cầm tay để việc giải tốn cho kết nhanh xác Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN • Phương trình f (x) = có nghiệm thuộc (4,8694; 5,105) • Phương trình f (x) = có nghiệm thuộc (5,105; 5,3407) Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng π ; 2π Đáp án A 3.2 Câu hỏi trắc nghiệm Hệ thống đề gồm 50 câu, phân chia theo mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao có đáp án lời giải chi tiết 3.2.1 Câu hỏi √ √ π π thỏa mãn sin α + sin − α = Câu (TH) Cho < α < 2 π Khi tan α + có giá trị √ √ 9−4 −9 + A C 7√ √ 9+4 9+4 B D − 7 Câu 2.(TH) Phương trình sin 2x = −1 có nghiệm thỏa mãn 0 2√ |a| = |a| > 3√ |a| = |a| > 4√ |a| = C D Câu 49 (TH) Số nghiệm thuộc π 69π ; 14 10 phương trình sin 3x − 4sin2 x = A 40 B 32 C 41 D 46 Câu 50 (VD) Phương trình 4cos5 x sin x − 4sin5 x cos x = sin2 4x có nghiệm  π x=k A  π4 π x = + k2 x = k π2 π π B x= +k  C  D 59 x = kπ 3π x= + kπ x = k2π π x = + k2π Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.2 1.D 11.B 21.A 31.D 41.C 3.2.3 NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN Đáp án 2.B 12.A 22.C 32A 42.C 3.D 13.D 23.C 33.B 43.D 4.A 14.C 24.D 34.A 44.D 5.A 15.B 25.D 35.A 45.D 6.B 16.C 26.B 36.C 46.B 7.B 17.C 27.C 37.C 47.B 8.D 18.C 28.C 38.C 48.A 9.D 19.A 29.C 39.C 49.C 10.D 20.D 30.C 40.C 50.A Hướng dẫn giải Câu HD Ta có √ π −α = 2 sin √ √ α= ⇔ sin α + √2 cos√ ⇔ sin α = − cos α 2 ⇔ sin  α = 2cos α − cos α + = cos α = (loại) √  ⇔ 2 ⇒ sin α = cos α = 3 sin α + √ Ta có tan α α + π tan α + sin α + cos α = = − tan α cos α − sin α Chọn D Câu HD Ta có y = cos x, y = ⇔ x = − π √ π π = −1; y = − =− y − Chọn A Câu HD Ta có y = 2sin2 x − cos 2x = 2sin2 x − − 2sin2 x = 4sin2 x − ⇒ −1 ≤ y ≤ Chọn B Câu 12 HD y = tan x (ax + b) (a = 0) có chu kỳ T = 60 π Chọn A |a| Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN Câu 13 HD |sin x + cos x| ≤ sin2 x + cos2 x = √ √ ⇒ sin x + cos x ≥ − ⇒ y ≤ + √ Chọn D Câu 35 HD Phương trình cho có hai nghiệm x ∈ π 3π ; 2 −1 ≤ cos x = m − < ⇔ < m < Chọn A Câu 36 HD sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x = sin 12x 16 sin 12x ⇔ sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x = 16 sin 4x cos 4x cos 8x sin 12x ⇔ = 16 sin 8x cos 8x sin 12x ⇔ = ⇔ sin 16x = sin 12x 16  kπ 16x = 12x + k2π x= ⇔ ⇔ π kπ 16x = π − 12x + k2π x= + 28 14 kπ π π ∈ − ; ⇔ k = ±1 2 π π kπ π Xét − ≤ + ≤ ⇔ −7, ≤ k ≤ 6, ⇒ k = {−7; −6; 5; 6} 28 14 π π Do phương trình có 17 nghiệm − ; Chọn C 2 Câu 37 HD Xét t = |sin x − cos x| ⇒ t2 = sin2 x−2 sin x cos x+cos2 x ⇔ t2 −1 = −2 sin 2x Do sin 2x = − t2 Khi  t + − t2 = ⇔ 4t2 − t − = ⇔  61 t= t = − loại Khóa luận tốt nghiệp Đại học NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN Chọn C Câu 39 HD Hướng dẫn giải Chọn C Ta có √ 4cos2 x + cot2 x + = (2 cos x − cot x) √ √ ⇔ 4cos2 x − cos x + + cot2 x − cot x + = √ √ ⇔ cos x − + cot x − =  π √  x = ± + k2π π cos x −√ = ⇔ ⇔ ⇔ x = + l2π π  x= +kπ cot x − = 6 π 11 Vì x ∈ (0; 2π) ⇒ < + l2π < 2π ⇔ − < l < ⇒l=0 12 12 Câu 40 HD Chọn C 2 Phương trình tương đương 2sin x + 21−sin x 2 = m ⇔ 2sin x + 2sin x =m Đặt t = 2sin x , t ∈ [1; 2] ≤ sin2 x ≤ √ Xét hàm f (t) = t + , t ∈ [1; 2] ⇒ f (t) = − t22 ; f (t) = ⇔ t = t Bảng biến thiên √ Vậy phương trình f (t) = m có nghiệm ⇔ 2 ≤ m ≤ Câu 42 HD Chọn C Vì hàm số y = cos x đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) , k ∈ √ Z, nên hàm số y = 3+2 cos x đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) , k ∈ Z 62 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vì 7π ; 2π NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN ⊂ (π; 2π) (với k = ) nên hàm số đồng biến khoảng 7π ; 2π Câu 47 HD Chọn a = −3 ∈ [−3; 3] đáp án D √ π π cos x − = + sin 2x − Ta thấy phương trình sin x + cos 2x khơng có nghiệm qua chức giải nhanh SOLVE máy tính cầm tay Chọn a = −2 ∈ [−2; 2] đáp án B √ π π Ta thấy phương trình sin x + cos x − = + sin 2x − cos 2x có nghiệm qua chức giải nhanh SOLVE máy tính cầm tay Vậy đáp án B Câu 48 HD Chọn a = 1, đáp án A, ta thấy phương trình có nghiệm qua chức giải nhanh SOLVE máy tính cầm tay Vậy đáp án A Câu 50 HD Dùng chức CACL máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, ) 3π π π đáp án B, x = đáp án C, x = 4 đáp án D khơng thỏa phương trình (chú ý lấy giá trị Kiểm tra giá trị x = họ nghiệm để thử cho đơn giản, giá trị lấy không thuộc họ nghiệm π đáp án khác); kiểm tra giá trị x = đáp án A thỏa phương trình 63 Kết luận Lượng giác phần quan trọng khơng tốn học mà cịn có nhiều ứng dụng thực tế sống thiên văn học, âm học, điện tử học, lí thuyết xác suất Khóa luận em tập trung vào việc phân tích việc dạy học hàm số phương trình lượng giác lớp 11 Từ có lựa chọn cách dạy cho phù hợp đạt hiệu Hơn nữa, em có hệ thống lại dạng tập phần với số ứng dụng lượng giác giải số toán đại số đưa đề trắc nghiệm để phần đánh giá mức độ hiểu HS phần kiến thức Do hạn chế mặt thời gian khả nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong đóng góp ý kiến thầy cơ, bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 64 Tài liệu tham khảo [1] Vũ Quốc Anh, (2000), Tuyển tập 450 bào toán lượng giác chọn lọc, NXB Quốc Gia Hà Nội [2] Võ Đại Mau, (1996), Phương trình bất phương trình lượng giác, NXB Trẻ [3] Trần Văn Hạo, (2001), Chuyên đề luyện thi vào đại học lượng giác, NXB Giáo dục [4] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, (2006), Đại số Giải tích 11,, NXB Giáo dục [5] Trần Phương, (2008), Phương trình lượng giác, NXB Hà Nội [6] Nguyễn Vũ Thanh, (2003), 225 Bài toán chọn lọc, NXB Trẻ [7] Nguyễn Văn Nho, (200), Tuyển chọn toán trắc nghiệm khách quan Đại số Lượng giác, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Trần Công Diêu – Trần Kim Anh, (2017), Luyện đề THPT Quốc gia 2018 Toán trắc nghiệm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 65 ... hàm số 14 Chương Các dạng phương trình lượng giác 2.1 Phương trình lượng giác 2.1.1 Phương trình lượng giác a, Phương trình sinx = m, với |m| ≤ • Nếu m giá trị lượng giác góc đặc biệt đặtm = sin... x= −1 π y= + k2π(k ∈ Z) Phương pháp lượng giác hóa để giải tốn 2.7.1 Giải phương trình, hệ phương trình Một số phương trình, hệ phương trình ta biết cách đưa hàm số lượng giác vào việc giải đơn... kiến thức hàm số lượng giác Chương “Các dạng phương trình lượng giác? ?? Nội dung chương nhằm phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải bên cạnh nêu lên số ví dụ, tập cho phương pháp đưa