TRẮC NGHIỆM NÂNG CAO KHỐI ĐA DIỆN - Công thức nguyên hàm

Câu 14: Một viên đá có dạng khối chóp tứ diện đều và tất cả các cạnh đều bằng a , người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy của khối chóp để chia viên đá thành hai phầ[r]

(1)

(2)

THỂ TÍCH KHỐI CHĨP A- LÝ THUYẾT CHUNG

Trước vào phần tập bạn đọc cần trang bị cho kiến thức tối thiểu:

1 Thể tích khối chóp

Cơng thức tính:

3

V  B h với B diện tích đáy, h chiều cao khối chóp

2 Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện khối chóp tam giác

Cho khối tứ diện SABC A B C điểm tùy ý thuộc ', ', ' SA SB SC ta có: , , ' ' ' ' ' '

SABC

SA B C

V SA SB SC

V SA SB SC

Chúng ta vào ví dụ minh họa để thấy có liên quan đến thể tích khối đa diện khó, địi hỏi khả vận dụng cao

h

B

B A

S

C A'

(3)

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng A qua D Mặt phẳng qua CE vng góc với mặt phẳng ABD cắt cạnh AB điểm F Tính thể tích V khối tứ diện A CFE

A

3 30

a

V  B

3 60

a

V  C

3 40

a

V  D

3 15

a V 

Câu 2: Cho tứ diện ABCDcó thể tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V

của khối chóp A GBC

A V 3 B V 4 C V 6 D V 5

Câu 3: Cho tứ diện cạnh a điểm I nằm tứ diện Tính tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện

A a

B

3 a

C

2 a

D 34

2 a

Câu 4: Cho khối tứ diện ABCD có BC3,CD4,ABCBCDADC900 Góc hai đường thẳng AD BC 60 Tính cosin góc hai mặt phẳng ABC ACD? A 2 43

43 B

43

86 C

4 43

43 D

43 43

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SAABCD, ABCD hình thang vng A B

biết AB2a,AD3BC3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD bằng)

4 a

A 6 6a 3 B 2 6a 3 C 2 3a 3 D 6 3a 3

Câu 6: Cho hình chóp S ABC có SAa BC, a tất cạnh lại x Tìm x biết thể tích khối chóp cho tích

3 11 a

A

2

a

x  B

2

a

x  C

2

a

x  D

2

a x 

Câu 7: Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a , góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC 60 Gọi A, B, C tương ứng điểm đối xứng A, B, C qua S Thể tích khối bát diện có mặt ABC, A B C  , A BC , B CA , C AB , AB C , BA C ,

CA B  A

3

3 a

B 2 3a 3 C

3

2 a

D

3

3 a

Câu 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân, AB ACa, SCABC

(4)

A

3 36 SCEF

a

V  B

3

18 SCEF

a

V  C

3

36 SCEF

a

V  D

3 12 SCEF

a

V 

Câu 9: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi  P mặt phẳng qua A song song BC vng góc với SBC, góc  P với mặt phẳng đáy

30 Thể tích khối chóp S ABC là:

A

3 24 a

B

3 a

C

3

8 a

D

3

8 a

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh 4, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M N P trung điểm , , cạnh SD CD BC Thể tích khối chóp , , S ABPN x, thể tích khối tứ diện CMNP y Giá trị x y, thỏa mãn bất đẳng thức đây:

A x22xyy2 160 B x22xy2y2 109 C x2xyy4 145 D x2xyy4 125

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều,

SC SDa Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

3 2 a

V  B

3 a

V  C

3 a

V  D

3

6 a V 

Câu 12: Cho hình chóp S ABCD đáy , ABCD hình thang vng A D AB, ;  AD2 ,a CDa Góc hai mặt phẳng SBC ABCD 60 Gọi I trung điểm AD biết , hai mặt phẳng SBI , SCI vng góc với mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp S ABCD

A 3 15

5 a B

3 17

5 a C

3 19

5 a D

3 23

5 a

Câu 13: Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC mặt phẳng ; SAB ; SAC ; SBC tạo với mặt phẳng ABC góc Biết

25, 17, 26,

AB BC AC  đường thẳng SB tạo với đáy góc 45 Tính thể tích V khối chóp SABC

A V 680 B V 408 C V 578 D V 600

Câu 14: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB 8, BC 6 Biết SA 6

và vng góc với mặt phẳng đáy ABC Một điểm M thuộc phần khơng gian bên hình chóp cách tất mặt hình chóp Tính thể tích khối tứ diện

M ABC

A V 24 B 64

3

V  C 32

3

V  D V 12

(5)

A nV

S B

V

nS C

3

V

S D 3

V S

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác với cạnh a (a> 0) Cạnh SA vng góc với đáy SA = a M điểm khác B SB cho AM  MD Tính tỉ số SM

SB

A 3

4 B

1

4 C

3

5 D

5

Câu 17: Cho hình chóp S ABC có SASBSC1 Tìm thể tích lớn khối chóp S ABC A 1

3 B

1

6 C

1

4 D

1 12

Câu 18: Cho hình chóp S ABC có SAx BC, y,ABACSBSC1 Thể tích khối chóp

S ABClớn tổng xy bằng:

A B

3 C

4

3 D 4

Câu 19: Nếu tứ diện có cạnh có độ dài lớn thể tích tứ diện lớn bao nhiêu?

A 1

4 B

3

4 C

1

8 D

5

Câu 20: Khối tứ diện ABCD có AB 1 tất cạnh cịn lại có độ dài khơng vượt q Hỏi thể tích lớn khối tứ diện là?

A 3

8 B

1

8 C

1

24 D 3

Câu 21: Khối tứ diện ABCD có ABx x 1 có tất cạnh cịn lại có độ dài khơng vượt q Tính x thể tích khối tứ diện lớn

A 3

x  B

2

x  C

2

x  D

3

x 

Câu 22: Chotứ diện ABCD có AB4 , a CD tất cạnh lại x a Tìm x để khối tứ diện ABCD tích lớn

A x2 10 a B x 10 a C x6a D 3a

Câu 23: Cho khối tứ diện ABCD có ABx, tất cạnh lại 2x Hỏi có giá trị x để khối tứ diện cho tích

12

A 1 B 6 C 4 D 2

Câu 24: Xét khối tứ diện ABCD có ABx cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn

(6)

Câu 25: Cho khối chóp S ABC có SAa, SBa 2, SCa Thể tích lớn khối chóp

A a3 B

3 a

C

3 a

D

3 6 a

A a3 B

3 a

C

3 a

D

3 6 a

3 B

1

6 C

1

4 D

1 12

Câu 28: Cho hình chóp S ABC có SASBSC 2, đáy ABC tam giác vng A, AB 1 Tìm thể tích lớn khối chóp S ABC

A 5

8 B

5

4 C

2

3 D

4

Câu 29: Cho hình chóp S ABC có SASBSC BABC1 Tìm thể tích lớn khối chóp

S ABC? A 1

6 B

2

12 C

1

8 D

3 12

Câu 30: Trong khối tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh 2a tam giác ABD vuông

D,

2

a

AD  Khoảng cách lớn từ B đến mặt phẳng ACD là? A 2

3 a

B a C

3 a

D 2a

Câu 31: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân C, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ABC Biết SC 1, tìm thể tích lớn khối chóp S ABC

A

12 B

2

12 C

2

27 D

3 27

Câu 32: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C, AB 2 Cạnh bên SA 1và vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích lớn khối chóp S ABC là?

A 1

3 B

1

4 C

1

12 D

1

Câu 33: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C, SA AB2a Cạnh bên SA

vng góc với mặt phẳng đáy ABC Gọi H K hình chiếu vng góc , A

lên SB SC Tìm thể tích lớn Vmax khối chóp S AHK

A

3 max

2 a

V  B

3 max

3 a

V  C

3 max

3 a

V  D

3 max

2 a

(7)

Câu 34: Cho tam giác ABC vuông cân B, AC 2 Trên đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng ABC lấy điểm M N khác phía với mặt phẳng , ABC cho AM AN  Tìm thể tích nhỏ khối tứ diện MNBC.?

A 1

3 B

1

6 C

1

12 D

2

Câu 35: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA 1 Thể tích lớn khối chóp S ABC là? A 1

6 B

2

12 C

3

12 D

1 12

Câu 36: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C SA vng góc với mặt phẳng ABC,SC a SCA, 



  Xác định góc  để thể tích khối chóp SABC

lớn A arcsin

3

  B arcsin

7  

C arcsin

  D 3arcsin

3  

Câu 37: Cho hình chóp S ABCD có SAx, cạnh cịn lại Tìm giá trị x để thể tích khối chóp lớn

A B C D 2

Câu 38: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng,AB 1, cạnh bên SA 1và vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Kí hiệu  M điểm di động đoạn CD Nlà điểm di động đoạn CB cho MAN  45 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN là? A

9 

B

3 

C

6 

D

9 

Câu 39: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, AB 1, cạnh bên SA 1 vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Ký hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm di động đoạn CB cho MAN  60 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN A 2

3 

B 2

9 

C 2 3

3 

D 2 3

9 

Câu 40: Cho hình chóp S ABC có SA,SB,SC đơi vng góc, I tâm nội tiếp tam giác ABC

Mặt phẳng  P thay đổi qua I, cắt tia SA,SB,SC A B C, ,  Biết

SASB , SC  Hỏi thể tích khối chóp S A B C    có giá trị nhỏ là? A 243

256 B

7

3 C

81

256 D

27 256

(8)

A 130

3 B

128

3 C

125

3 D

250

Câu 42: Cho hình chóp S ABCD có SBx 0 x 3 Tất cạnh lại Với giá trị x thể tích khối chóp S ABCD lớn nhất?

A

3

x  B

2

x  C

2

x  D

2 x 

Câu 43: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 4 Cạnh bên SAvng góc với mặt phẳng đáy ABCD  SC 6 Thể tích lớn khối chóp S ABCD là? A 40

3 B

80

3 C

20

3 D 24

Câu 44: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh 1, SOABCDvà

1

SC  Thể tích lớn khối chóp S ABCD là? A 2

9 B

2

3 C

2

27 D

4 27

Câu 45: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng,AB 1, cạnh bên SA 1và vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Kí hiệu  M điểm di động đoạn CD N điểm di động đoạn CB cho MAN  45 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN là? A

9 

B

3 

C

6 

D

9 

Câu 46: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, AB 1, cạnh bên SA 1 vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Ký hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm di động đoạn CB cho MAN  30 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN là? A 1

9 B

1

3 C

2

27 D

4 27

3 

B 2

9 

C 2 3

3 

D 2 3

9 

Câu 48: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AD4a Các cạnh bên hình chóp a Tìm thể tích Vmax khối chóp S ABCD

A

3 max

8 a

V  B

3 max

4 a

(9)

Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành thể tích V Gọi M N , điểm di động cạnh AB AD cho AB AD

AM  AN  Gọi V'

thể tích khối chóp S MBCDN Tìm giá trị nhỏ V' A 1

4V B

2

3V C

3

4V D

1 3V

Câu 50: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A C thỏa mãn ', '

1 '

3

SA  SA

 

, '

SC  SC

 

Mặt phẳng  P chứa đường thẳng A C' ' cắt cạnh SB SD lần , lượt B', 'D đặt ' ' ' '

S A B C D

S ABCD V k

V

 Giá trị nhỏ k là? A

60 B

1

30 C

3

4V D

15 16

Câu 51: Cho hình chóp SABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng , đáy góc SC với mặt phẳng SAB 30 Gọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp SABH đạt giá trị lớn bằng:

A

3 a

B

3 2 a

C

3 a

D

3 12 a

Câu 52: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SASBSC2a Tìm thể tích lớn khối chóp

S ABCD A

3

3 a

B

3 32

9 a

C

3

9 a

D

3 32

27 a

Câu 53: Khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SASBSCa, Cạnh SD thay đổi Thể tích lớn khối chóp S ABCD là:

A

3

8 a

B

3

4 a

C

3

8 a

D

3

2 a

Câu 54: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng , đáy góc SC với mặt phẳng SAB 30 Gọi M điểm di động cạnh CD

và H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp S ABH đạt giá trị lớn bằng:

A

3 a

B

3 a

C

3 2 a

D

3 12 a

(10)

C – HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng A qua D Mặt phẳng qua CE vng góc với mặt phẳng ABD cắt cạnh AB điểm F Tính thể tích V khối tứ diện A CFE

A

3 30

a

V  B

3 60

a

V  C

3 40

a

V  D

3 15

a V  Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Menelaus: A A

HB F EM

HM FB E 

A A

2

4 F F FB FB     AF AB

  A E 2AD Ta có: E D E D A F AB

S A AF

S A AB

 

 

3

E D

4 2

5 12 15

A CF ABC

a a

V V

   

Câu 2: Cho tứ diện ABCDcó thể tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích - khối chóp A GBC

A V 3 B V 4 C V 6 D V 5 Chọn B

 Cách 1:

Phân tích: tứ diện ABCD khối chóp A GBC có đường cao khoảng cách từ A

đến mặt phẳng BCD Do G trọng tâm tam giác BCD nên ta có SBGC SBGD SCGD

BCD BGC

S S

  (xem phần chứng minh) Áp dụng cơng thức thể tích hình chóp ta có:

1 1

.

3 3

1 3

ABCD BCD BCD

ABCD BCD

A GBC GBC

GBC A GBC GBC

V h S h S

V S

V h S S

V h S

                   1 12 3

A GBC ABCD

V V

   

Chứng minh: Đặt DN h BC;  a

Từ hình vẽ có: +)

1

//

2 2

MF CM h

MF ND MF DN MF

DN CD

      

+)

2 2

//

3 3

GE BG h h

GE MF GE MF

(11)

+)

1

2 3 3

1

2

BCD

BCD GBC GBC

DN BC ha

S

S S

h

S GE BC a



 



    

+) Chứng minh tương tự có SBCD 3SGBD 3SGCD BGC BGD CGD

S S S

  

Cách 2: 

 

       

; 1 1

; ;

3

;

d G ABC GI

d G ABC d D ABC

DI

d D ABC    

Nên .  ; 

3

G ABC ABC DABC

V  d G ABC S  V 

Câu 3: Cho tứ diện cạnh a điểm I nằm tứ diện Tính tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện

A a

B

3 a

C

2 a

D 34

2 a

Hướng dẫn giải:

Chọn B

2 3

3 3

a a

AH  AM  

2

2 2

3

a a

SH  SA AH  a  

Ta có

2

1

3 12

SABC ABC

a a a

V  S SH  

Mặt khác, VSABC VISABVIABC VISACVISBC

 

          

1

; ; ; ;

3SABC d I SAB d I ABC d I SAC d I SBC 

     

 

 ;   ;   ;   ;  SABC

ABC V

d I SAB d I ABC d I SAC d I SBC

S

    

3

2

6 12

3

4 a

a a

 

Câu 4: Cho khối tứ diện ABCD có BC3,CD4,ABCBCDADC900 Góc hai đường thẳng AD BC 60 Tính cosin góc hai mặt phẳng ABC ACD? A 2 43

43 B

43

86 C

4 43

43 D

43 43

H1

G

I D

C

B A

H

M

C

B A

S

(12)

Ta dựng AEBCD dễ dàng chứng minh

BCDE hình chữ nhật Khi

 

, 60

AD BC  ADE

  ta suy

3 ABCD

AE V 

Mặt khác ta ý cơng thức tính nhanh:

   

 

2 sin ,

3 ABC ACD ABCD

S S ABC ACD

V

AC 

Do đặt ABC , ACD theo định lý Pythagoras ta suy AB 43;AD6;AC2 13 Khi đó: 13 43  12 sin

2

6 13 

 

  

 

2 43 cos

43 

 

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SAABCD, ABCD hình thang vng A B

biết AB2a,AD3BC3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD bằng)

4 a A

6 6a B

2 6a C

2 3a D

6 3a Hướng dẫn giải:

Dựng AM CD M Dựng AH SM H Ta có:

4

AH  a

2

ABCD

AD BC

S   AB a

 2

2

CD ADBC AB  a

2

1

ABC

S  AB BCa

2

3

ACD ABCD ABC

S S S  a

2

1

2

ACD ACD

S

S AM CD AM a

CD

   

Ta có: 2 2 2

2

1 1

2

AH AM

AS a

AH  AM  AS   AM AH 

3

1

3

S ABCD ABCD

V  SA S  a

M

A D

B C

S

(13)

Câu 6: Cho hình chóp S ABC có SAa BC, a tất cạnh lại x Tìm x biết thể tích khối chóp cho tích

3 11 a

A

2

a

x  B

2

a

x  C

2

a

x  D

2

a x  Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi E F trung điểm cạnh , BC SA ,

Khi ta có FESA FE, BC BCSAE nên BCSA Và FE2 AE2 FA2  AB2BE2FA2

2 2

2

4 4

a a x a

x 

   

Áp dụng công thức:

   

1

; sin ;

6

S ABC

V  SA BC d SA BC SA BC

Suy ra:

2

1

.sin 90

6

x a

V  a a  

3

2 11

6 12

a

a a x a

  

2

a x

 

Câu 7: Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a , góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC 60 Gọi A, B, C tương ứng điểm đối xứng A, B, C qua S Thể tích khối bát diện có mặt ABC, A B C  , A BC , B CA , C AB , AB C , BA C ,

CA B  A

3

3 a

B 2 3a 3 C

3

2 a

D

3

3 a

Chọn A

Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S ABC :

Gọi H tâm tam giác ABC cạnh a 3 a CH

  Góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC)

60



1 3

60 S

3 12

o

S ABC ABC

a a

SCH SH a V H S a

       

a

a x

x x

x

E F

A C

(14)

3 ' ' ACS

2

2 2.4

3 B ACA C B S ABC

a

V  V  V  V 

Cách 2: Ta tích khối chóp S ABC là:

3

3 12 S ABC

a

V 

Diện tích tam giác SBC là:

2 39 12 SBC

a

S 

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là:

 

 , 

13 a

d A SBC 

Tứ giác BCB C' ' hình chữ nhật có hai đường chéo cắt trung điểm đường

Có ' ' 39

3 3

a a a

SB BB  B C

Diện tích BCB C' 'là:

2 ' '

39 BCB C

a

S 

Thể tích khối mặt cần tìm là:

 

3 ' '

1

2 ,

3 BCB C

a

V  d A SBC S 

Cách

Thể tích khối bát diện cho ' ' ' 2.4 '. . 8.1

A B C BC A SBC S ABC ABC

V  V  V  V  SG S

Ta có: SA ABC; SAG 60 Xét SGA vng G:

 

tanSAG SG SG AG tanSAG a

AG

   

Vậy

2

1 3

8

3 ABC

a a

V  SG S  a 

Câu 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân, ABACa, SCABC

SC a Mặt phẳng qua C, vng góc với SB cắt SA SB , E F Tính thể tích khối chóp S CEF

A

3 36 SCEF

a

V  B

3

18 SCEF

a

V  C

3

36 SCEF

a

V  D

3 12 SCEF

a

V 

Từ C hạ CF SB F, SB, CESA E, SA

H B'

A'

C'

C

A

(15)

a a

a E

F

B C

A

S

Ta có  

 

AB AC

AB SAC AB CE

AB SC

CE SAB CE SB

 

   

  

   

Vậy mặt phẳng qua C vng góc SB mặt CEF

Ta có SCEF SCAB

V SE SF

V  SA SB

Tam giác vng SAC vng Cta có: 2

2

SA SC AC a

và

2 2

1

2

SE SC a SE

SA  SA  a  SA

Tam giác vuông SBC vuông Cta có: 2

3

SB SC BC a

và

2 2

1

3

SF SC a SF

SB  SB  a  SC 

Do 1 1 1

2 6 36

SCEF

SCEF SABC ABC

SCAB V

V V SA S a

V      

Chọn C

Câu 9: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi  P mặt phẳng qua A song song BC vng góc với SBC, góc  P với mặt phẳng đáy 30 Thể tích khối chóp S ABC là:

A

3 24 a

B

3 a

C

3

8 a

D

3

8 a

Tổng quát: Cho hình chóp tam giác

S ABC

có cạnh đáy a Gọi  P mặt phẳng qua A song song BC vng góc với

SBC,

góc  P với mặt phẳng đáy  Thể tích khối chóp S ABC là:

3

cot 24 S ABC

a

V  

S

H F

G

M A

B

C E

(16)

Áp dụng này:

3

cot 30

24 24

S ABC

a a

V  

+ ABC

2 ABC

a S

 

+ Gọi G trọng tâm

+ Gọi   P  SBC=EFEF//BC  P  SBC=Ax với Ax/ /EF/ /BC

+ Gọi M trung điểm BC SM, EF N

Ta có: AM BC SG, BCBCSAMAN BCAN Ax

Mà AM BC BC, / /AxAM Ax  P , ABCNAM 300 Ta có: GSM NAM (cùng phụ với SMA ) 

Xét SGM vuông G có: cot cot 300 3

3 2

a a

SGGM GSM  AM  

Vậy:

2

1 3

3 24

S ABC ABC

a a a

V  S SG 

Chọn A

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 4, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M N P trung điểm , , cạnh SD CD BC Thể tích khối chóp , , S ABPN x, thể tích khối tứ diện CMNP y Giá trị x y, thỏa mãn bất đẳng thức đây:

A 2

2 160

x  xyy  B 2

2 109

x  xy y 

C

145

x xyy  D

125 x xyy  Hướng dẫn giải:

+ Gọi H trung điểm AB

Do ABC SAB  ABCDSH ABCD

Xét ABC đều: 3

AB

SH  

+ Ta có: SABPN SABCDSADN SCND 4.2 2.2

4 10

2 2

AD DN CN CP

AB

      

1 20 20

.10.2

3 3

S ABPN ABPN

V S SH x

     

+ Gọi ANHD K ta có MK đường trung bình DHS

K

P

N M

H

C B

A D

(17)

1 1 1 2.2 3

2 CMNP CNP 2 2 3

HK SH V S MK CN CP SH y

        

Thay vào đáp án Chọn C

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều,

SCSDa Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

3 2 a

V  B

3 a

V  C

3 a

V  D

3

6 a V  Hướng dẫn giải:

Gọi I trung điểm AB;J trung điểm CD từ giả thiết ta có:

;

3 a

IJ a SI

2

2 2 11

3

4

a a

SJ  SC JC  a  

Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có: 

 

2 2

2

3 11

IJ +IS 4 4

cos IJ

2.IJ.IS

2

0 3

a a

a SJ S

a a a

a

 



 

    

Suy ra, tam giác SIJ tam giác có SIJ tù Từ giả thiết tam giác SAB tam giác SCD cân đỉnh S Gọi H hình chiếu S

ABCD, ta có H thuộc IJ I nằm HJ tức tam giác vng SHI có H  90 Góc I nhọn cos os os IJ 3IJ   sin

3

I c SIH  c S  S va SIH ke bu  SIH  

Xét tam giác SHI ta có sin

2

a a

SH SI SIH  

Vậy

3

1 2

3

S ABCD ABCD

a a

V  S SH  a 

Chọn C

Câu 12: Cho hình chóp S ABCD đáy , ABCD hình thang vng A D AB, ; AD2 ,a CDa Góc hai mặt phẳng SBC ABCD 60 Gọi I trung điểm AD biết , hai mặt phẳng SBI , SCI vng góc với mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp S ABCD

I

A

B

J C

D M

N S

(18)

A 3 15

5 a B

3 17

5 a C

3 19

5 a D

3 23

5 a Hướng dẫn giải:

Gọi H trung điểm BC I hình chiếu , H

lên BC J trung điểm , AB

Ta có SI mp ABCD IC ,  ID2DC2 a 2

5

IB IA AB a 2

5

BCIB CJ JB a

  2

1

3 ;

2

ABCD IAB

S  AD AB CD  a S  IA ABa

2

CID

S  DC DI  a

2

IBC ABCD IAB DIC

a

S S S S

    

Mặt khác ,

2

IBC

S  IH BC nên 3

5 IBC S

IH a

BC

 

09 tan 60

5

SI IH a

Do . 15

3

S ABCD ABCD

V  SI S  a

Chọn A

Câu 13: Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC mặt phẳng ; SAB ; SAC ; SBC tạo với mặt phẳng ABC góc Biết

25, 17, 26,

AB BC AC  đường thẳng SB tạo với đáy góc 45 Tính thể tích V khối chóp SABC

A V 680 B V 408 C V 578 D V 600

Gọi J chân đường cao hình chóp

; ,

S ABC H K L hình chiếu J cạnh AB, BC CA Suy SHJ SLJ , SKJ góc  tạo mặt phẳng ABC với mặt

z=17

x=8

x=8 y=9 y=9 z=17

K

B A

L C J

S

H

H I

B J

A

D C

(19)

A C

B S

M phẳng SAB , SAC , SBC

Theo giả thiết ta có: SHJ SLJ SKJ,

suy tam giác vuông SJH SJL SJK , ,

Từ đó, JH JLJK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Áp dụng cơng thức Hê- rơng, ta tính diện tích tam giác ABC S 204 Kí hiệu P nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính

đường tròn

nội tiếp ABC Ta có 204 34

S r

P

  

Đặt

, ,

xBH BL yCLCK z AH  AK

Ta có hệ phương trình:

7 25 26

x y x z y z

 

 

      

Giải hệ phương trình ta x y z ; ;  8;9;17

2 2

6 10

JB JH BH   

Ta có SBJ SB ABC, 45 ,0 suy SJB tam giác vuông cân J SJ JB10

Thể tích V khối chópS ABC 680

3 ABC

V  SJ S 

Chọn A

Câu 14: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB 8, BC 6 Biết SA 6

và vng góc với mặt phẳng đáy ABC Một điểm M thuộc phần khơng gian bên hình chóp cách tất mặt hình chóp Tính thể tích khối tứ diện

M ABC

A V 24 B 64

3

V  C 32

3

V  D V 12

Hướng dẫn giải: Chọn C

Vì BC BA BC SB

BC SA

 

 

  

Khi 24

2

SAB

S  SA AB ,

2

1

.6 30

2

SAC

S  SA AC    ,

2

1

6 30

2

SBC

S  SB BC    , 1.6.8 24

2

ABC

S  

z

z y

y

x x

L H

K

J

A C

(20)

Thể tích khối chóp cho là: 48

3

V  SA AB BC

Theo điểm M thuộc phần không gian bên hình chóp cách tất mặt hình chóp nên ta gọi khoảng cách từ điểm M đến mặt hình chóp d thì:

 

1

S ABC SAB SAC SBC ABC

V  d S S S S S ABC

SAB SAC SBC ABC V

d

S S S S

 

  

3.48

30 30 24 24

d

  

   Khi đó:

1 32

.24

3 3

M ABC ABC

V  d S  

Câu 15: Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi đó, tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt A nV

S B

V

nS C

3

V

S D 3

V S

Xét trường hợp khối tứ diện Các trường hợp khác hoàn toàn tương tự

1 1

; ; ;

3 3

H ABC H SBC H SAB H SAC

V  h S V  h S V  h S V  h S

 

3

1

1 4

3

3 3

; ; ;

3

V

V V V

h h h h

S S S S

V V V V V

h h h h

S S

   

  

     

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy nửa lục giác với cạnh a (a> 0) Cạnh SA vng góc với đáy SA = a M điểm khác B SB cho AM  MD Tính tỉ số SM

SB

A 3

4 B

1

4 C

3

5 D

5

Hướng dẫn giải: :

Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ hình vẽ Suy ta có: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a )

B = ; 3;

2

a a

 

 

 

Suy phương trình

của SB là: 2

3

x y z a

a a a



 



Gọi M(x0; y0; z0) thuộc cạnh SB, ta có:

A C

B S

H

A D

B C

S

(21)

0

3

y x

z a x

 

 

 

 

Mặt khác AMDN   AM DM   x02 – 2ax0 + y02 + z02 = 0

3

a x

 

3 3

; ;

8

a a a

M  

   

 



4

SM  SB

 

hay

4

SM SB 

Chọn A

CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

3 B

1

6 C

1

4 D

1 12

Chọn B

Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng SBC

Ta có



1 1

.sin

3 SBC 6

V  AH S  AH SB SC BSC AS SB SC

Dấu “=” xảy 

 

, ,

sin

AH AS AS SBC

SA SB SB SC SC SA

SB SC

BSC 

  

 

    

 



 

 



Câu 18: Cho hình chóp S ABC có

, ,AB

SAx BCy  ACSBSC Thể tích khối chóp S ABC lớn tổng xy bằng:

A B

3 C

4

3 D 4

Hướng dẫn giải: Ta gọi M N trung điểm , SA BC ,

Dễ chứng minh SA(MBC) MBC cân

M

Tính được:

2 2 2

2 2

1

4 4

BC SA BC x y

(22)

Do đó:

2

1

6

S ABC

x y

V V  xy  

Vì x2y2 2xy nên 1 ( ) 22  

6 12

xy

V  xy   xy xy Dấu xảy x y

Đến đây, có hai hướng xử lý:

Thứ nhất, sử dụng BĐT Côsi:

 

3

2

32

2

( ) (2 )

2 27

xy xy

xy xy xy

xy xy xy

 

  

 

      

 

 

Dấu xảy

2 3

2

x y

x y x y

xy

  

      

  



Thứ hai, đặt txy xét ( ) (2 )

f t t t , đạt GTLN

3

t  , suy

2

3

x y  x y

Câu 19: Nếu tứ diện có cạnh có độ dài lớn thể tích tứ diện lớn bao nhiêu?

A 1

4 B

3

4 C

1

8 D

5

Giả sử tứ diện ABCDcó cạnh lớn AB, suy tam giác ACD BCD có tất cạnh không lớn Các chiều cao AF BE chúng không lớn

2

1 ,

4 a

 CDa1

Chiều cao hình tứ diện

2

AF

4 a

AH   

(do tam giác AHF vng H có AF cạnh huyền) Thể tích khối tứ diện là:

 

2

1 1 1

3 BCD 3 24

a

V  S AH  BE CD AH  a   a a

 

Để tìm giá trị lớn V ta xét biểu thức a4a2 Vì 0a1 nên a4a2 4 2

24

V  a a 

Chọn C

F H

B

C

(23)

Câu 20: Khối tứ diện ABCD có AB 1 tất cạnh cịn lại có độ dài khơng vượt q Hỏi thể tích lớn khối tứ diện là?

A 3

8 B

1

8 C

1

24 D 3

Hướng dẫn giải: Chọn B

Tứ diện ABCD có AB 1, cạnh cịn lại khơng lớn Đặt CDa x, 0;1

Gọi M trung điểm BC, K hình chiếu

B lên CD H hinfhc hiếu A

 

mp BCD Khi ta có

1

(1)

3

ABCD BCD

V  AH S  x BK AH

Có

2 2

2

1

2 4

BC BD CD x

BM      BM  x

Tương tự ta có 2

AM  x

Mà (2),  3

2

BK BM BK  x AH AM  x

Từ (1), (2), (3) suy  2  

4 ; 0;1

24

ABCD

V  x x x

Xét hàm số   2, 0;1 24

f x  x x x hàm đồng biến nên

   1 1

8 ABCD

f x  f  V 

(Dấu xẩy hai tam giác ACD BCD hai tam giác có cạnh , H K , trùng với M Khi

2 AB   ) Chọn B

Câu 21: Khối tứ diện ABCD có ABx x 1 có tất cạnh cịn lại có độ dài khơng vượt q Tính x thể tích khối tứ diện lớn

A 3

x  B

2

x  C

2

x  D

3

x 

(24)

(25)

2

2 20

5

a x

x

IK CD x a x

CH

ID a a



  

Thể tích khối tứ diện lớn CH lớn 2

2 20

20 10

2

x a x

x a x     a CDa

Đạt 2

20 10

x  a x xa

Câu 23: Cho khối tứ diện ABCD có ABx, tất cạnh cịn lại 2x Hỏi có giá trị x để khối tứ diện cho tích

12

A 1 B 6 C 4 D 2

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta có  2 2 

2

1

cos , cos

2 2(2 )

CA CB CD x

CA CB AB x

ACB BCD

CA CB x

   

 

 



   

 



Vậy

   

2

3 2

2

(2 ) 1 1

1 1

6 2 2 2 2

x x x

V

x x

 

        

 

            

            

   

  1

2 6

0, 275842

6 12

x

x x x x

x



   

   

 

Câu 24: Xét khối tứ diện ABCD có ABx cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn

A x  B x  14 C x 3 D x 3 Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi E trung điểm AB, ta có tam giác ,

CAB DAB cân ,C D nên

 

,

CE AB DE ABAB ECD Suy

1

ABCD CDE

V  AB S

Ta có

2 2

12 x

CEDE AD AE  

Gọi F trung điểm CD, ta có EFCD

2

2 12

12

4 4

x x

FE DE DF      , Suy

2

CDE

x

(26)

Khi

2 2

2

3 3 36

9 36 3

3 6

x x x

V  x   x x     

 

A a3 B

3 a

C

3 a

D

3 6 a

Chọn D

Gọi H hình chiếu A lên ( )

3 SBC

SBC V  AH S Ta có AH SA; dấu “=” xảy AS SBC



1

.sin

2

SBC

S  SB SC SBC SB SC, dấu “=” xảy

SBSC Khi đó,

1 1

3 SBC

V  AH S  AS SB SC  SA SB SC  Dấu “=” xảy SA SB SC đôi vuông góc với , ,

Suy thể tích lớn khối chóp

1

6

a V  SA SB SC 

Câu 26: Cho khối chóp S ABC có SAa, SBa 2,

SC a Thể tích lớn khối chóp A

6

a B

3 a

C

3 a

D

3 6 a

Hướng dẫn giải: :

Gọi H hình chiếu A lên

1

( )

3 SBC

SBC V  AH S

Ta có AH SA; dấu “=” xảy AS SBC



1

.sin

2

SBC

S  SB SC SBC SB SC, dấu “=” xảy SBSC

Khi đó,

1 1

3 SBC

V  AH S  AS SB SC  SA SB SC  Dấu “=” xảy SA SB SC đơi vng góc với , ,

a

a A

S

B

C H

a

A

S

B

(27)

nhau

Suy thể tích lớn khối chóp

3

1

6

a V  SA SB SC Chọn D

3 B

1

6 C

1

4 D

1 12

Gọi H hình chiếu A lên mặt phẳng SBC

Ta có



1 1

.sin

3 SBC 6

V  AH S  AH SB SC BSC AS SB SC

Dấu “=” xảy 

 

, ,

sin

AH AS AS SBC

SA SB SB SC SC SA

SB SC

BSC 

  

 

    

 



 

 



Câu 28: Cho hình chóp S ABC có SASBSC2, đáy ABC tam giác vuông A, AB 1 Tìm thể tích lớn khối chóp S ABC

A 5

8 B

5

4 C

2

3 D

4

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi H hình chiếu S lên ABC Khi H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Hay H trung điểm BC Đặt ACx Khi BC x21,

2 15

2 x

SH  

Ta có:

 

2

1 1 15

3 6

15

1

12

ABC

x

V SH S SH AB AC x

x x



  

 

 

Dấu “=” xảy 15 2 15

x x x

(28)

Câu 29: Cho hình chóp S ABC có SASBSC BABC1 Tìm thể tích lớn khối chóp

S ABC? A 1

6 B

2

12 C

1

8 D

3 12 Hướng dẫn giải:

Chọn C

Cách 1:

Gọi H hình chiếu S lên ABC Khi H tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Vì ABCcân B nên Hthuộc đường trung trực BM AC

Đặt ACx Ta có:

2

1

2 4

ABC

x x x

S  BM AC x   

2 ABC 4

abc R

S x

 



Mặt khác chiều cao khối chóp:

2 2

2

x

SH SB BH SB R

x 

    

 Thể tích khối chóp:

 

2

3

1

3 ABC 4 12

x x

x x x

V SH S

x



 

   



Dấu “=” xảy 3 x  x x Cách 2:

Gọi K I hình chiếu , C lên SAB SB Thể tích khối chóp: 3

3 SAB SAB3

V  CK S  CI S 

Dấu “=” xảy hình chiếu C lên SAB trùng trung điểm SB

Câu 30: Trong khối tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh 2a tam giác ABD vuông

D,

2

a

AD  Khoảng cách lớn từ B đến mặt phẳng ACD là? A 2

3 a

B a C

3 a

D 2a Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có

  

2 ,

2

1

cos , cos , cos

2

a

AB AC a AD

BAC DAB CAD x



  

  

   

(29)

Khi

3

2 2

1 1 16 11

2

6 16 12

a a a

a x x

V    x  x    

Khi

 

2

3 16 11

3

2

B

ACD

V a x x

d f x f a

S x

    

     

  

Câu 31: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ABC Biết SC 1, tìm thể tích lớn khối chóp S ABC

A

12 B

2

12 C

2

27 D

Chọn D

Đặt 2

1

ACxSA SC AC  x

2

ABC

x

S  CA 

Vì

 

2 2

2

3

2 2

2

1

3

2

2 3

27

ABC

x x x

x

V S SA x

x x x



   

    

 

 

 

Dấu xảy 2 2

x   x x

Câu 32: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C, AB 2 Cạnh bên SA 1và vng góc với mặt phẳng đáy Thể tích lớn khối chóp S ABC là?

A 1

3 B

1

4 C

1

12 D

1

Đặt CAx, CB AB2CA2  4x2 

2

ABC

CA CB x x

(30)

Suy  

2 2

1 4

3 ABC 6

x x x x

V  SA S    

2

4

2.6

x  x

 

Dấu đạt 2

x  x x

Câu 33: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng C, SA AB2a Cạnh bên SA

vng góc với mặt phẳng đáy ABC Gọi H K hình chiếu vng góc , A

lên SB SC Tìm thể tích lớn Vmax khối chóp S AHK A

3 max

2 a

V  B

3 max

3 a

V  C

3 max

3 a

V  D

3 max

2 a

V 

Đặt ACx BC  AB2AC2  4a2x2

Ta có

SABC

V  SA BC AC 1.2 2

6 a x a x

 

2

3 ax a x 

Vì S AHK S ABC

SH SK

V V

SB SC



2 2

2

1

2

SA ax a x

SC

 

3 2 2

2

3

a x a x a

a x



 



3 max

2 a V

 

Câu 34: Cho tam giác ABC vuông cân B, AC 2 Trên đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng ABC lấy điểm M N khác phía với mặt phẳng , ABC cho AM AN  Tìm thể tích nhỏ khối tứ diện MNBC.?

A 1

3 B

1

6 C

1

12 D

2

Tam giác ABC vuông cân B,

2

AC   ABBC Ta có

     

1 1

3 3

MNBC ABC

V  AM AN S  AM AN AB BC AMAN

Sử dụng BĐT cauchy ta có

2

3

MNBC

AM AN  AM AN  V 

A B

C S

H

(31)

Câu 35: Cho hình chóp tam giác S ABC có SA 1 Thể tích lớn khối chóp S ABC là? A 1

6 B

2

12 C

3

12 D

1 12

Gọi O tâm tam giác ABC Gọi ROAx0x1

Ta tính

2

1

SO SA R  x

Cạnh tam giác ABC

0 3

2 sin 60 sin 60

2

ABC

a R  xS  a  x

Vậy

 

2

4

1

3

1

8

S ABC ABC

V SO S x x

x x x x

  

   

Cách 1: Dùng Cauchy: Có

   

2 2 3 4

1 1

2x 2x x 4x x x x 27 VS ABC

          

Cách 2: Dùng hàm   0 1   ;5  

2 f x x x  x  f x  x  x f x  x Dùng bảng biế thiên f x  đạt giá trị lớn

2

x 

 

0

4

max

27 S ABC

x f x V

    

Câu 36: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh C SA vng góc với mặt phẳng ABC,SC a SCA, 



  Xác định góc  để thể tích khối chóp SABC

lớn A arcsin

3

  B arcsin

7  

C arcsin

  D 3arcsin

3  

(32)

 

3

os ; sin

1 1

sin os

3 6

1

sin sin

6

SABC ABC

BC AC a c SA a

V S SA AC BC SA a c

a

 

  

 

Xét hàm số: f x xx3 khoảng 0;1 

Ta có: '  2, '  f x   x f x   x 

Từ ta thấy khoảng 0;1 hàm số f x  liên tục có điểm cực trị điểm cực đại, nên hàm số đạt GTLN hay:

0;1  

1

max

3 3

x f x f

 

  

 

hay arcsin ,

2



   

 

Chọn A

Câu 37: Cho hình chóp S ABCD có SAx, cạnh cịn lại Tìm giá trị x để thể tích khối chóp lớn

A B C D 2

Gọi O giao điểm AC BD

Ta có OD=OB SB=SD nên

SOBD, BOSAC Mặt khác

2 2 2

SO SB OB  AB OB OA nên SOOAOC Do tam giác SAC vng S

Ta có AC2 x2 4 4OA2 x2 

Do 2

4OB 12x 0 x2 Và 16SSOA2 x24OA2x24x2

Để VS ABCD. đạt giá trị lớn VSOAB đạt giá trị lớn

Do VS ABCD. đạt giá trị lớn x212x2 đạt giá trị lớn Suy x2 12x2x2 6x

9 

B

3 

C

6 

D

9 

(33)

Đặt DM x,BN  y ta có

 

   

 

tan tan

tan 45 tan

1 tan tan

DAM BAN x y

DAM BAN xy DAM BAN        

 Suy

1 x y x   

và AM  AD2 DM2  x21,

 

2 2

1

x x

AN AB BN y

x x                 

Vì  

   

2

1 1

sin 45

3 AMN 6

x

V SA S SA AM AN f x f

x

 

       



3 

B 2

9 

C 2 3

3 

D 2 3

9 

Chọn C

Đặt DM x BN,  y Ta có:

 

  tantan

tan 60 tan

1 tan tan

DAM BAN x y

DAM BAN xy DAM BAN          3 x y x    

2 2

1

AM  AD DM  x  ,

2

2 2

1

3 x

AN AB BN y

x                

Vì  

 

2

3

1

.sin 60

3 6 3

S AMN AMN

x

V SA S SA AM SN

x       

Ta có    

   

2

3 2 3

2

3

6

x

f x f

x

 

   



Câu 40: Cho hình chóp S ABC có SA,SB,SC đơi vng góc, I tâm nội tiếp tam giác ABC

Mặt phẳng  P thay đổi qua I, cắt tia SA,SB,SC A B C, ,  Biết

SASB , SC  Hỏi thể tích khối chóp S A B C    có giá trị nhỏ là? A 243

256 B

7

3 C

81

256 D

(34)

· Ta có

S A B C S ABC

SA SB SC

V V

SA SB SC

  



· Ta có SASB 2,SC

1

6

S ACB

V SA SB SC

  

· Từ SASB 2,SC 7AB2,BC 3 AC

· Do I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

nên:

BC IA CA IB AB IC 

     

BC SA SI CA SB SI AB SC SI

         

BC CA AB

SI SA SB SC

AB BC CA AB BC CA AB BC CA

   

     

   

BC SA CA SB AB SC

SA SB SC

AB BC CA SA  AB BC CA SB  AB BC CA SC 

  

  

     

  

· Do bốn điểm A B C I, , , đồng phẳng nên

BC SA CA SB AB SC

ABBCCA SA ABBCCA SB ABBCCA SC

· Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

1 BC SA CA SB AB SC

AB BC CA SA AB BC CA SB AB BC CA SC

  

  

     

 

3 3

3 AB BC CA SA SB SC SA SB SC

AB BC CA



  

 

   

3

27

1 AB BC CA SA SB SC SA SB SC AB BC CA

SA SB SC SA SB SC

AB BC CA AB BC CA

  

   

  

   

·

   

27 27.2.3.3 81

3 256

2 3

S A B C S ABC S ABC

SA SB SC AB BC CA

V V V

SA SB SC AB BC CA

  

   

   

Dấu xảy

BC SA CA SB AB SC



  



         

 

  

         

(35)

8

9

4

7

3

SB SA

SA SB

SB SA

SC

SC SC

 

 

   

 

   

 

   



  



Câu 41: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD 4, cạnh bên Tìm thể tích lớn khối chóp S ABCD

A 130

3 B

128

3 C

125

3 D

250

Đặt ABx O tâm mặt đáy, ta có

 

SO ABCD

2 2

2

6 32

4

x x

SO    

Vì sử dụng bất đẳng thức AM GM , ta co có:

   

2 2

2

1 2 128 128

4 32 128

3 3

x x x

V  x   x x    

Câu 42: Cho hình chóp S ABCD có SBx 0x 3 Tất cạnh lại Với giá trị x thể tích khối chóp S ABCD lớn nhất?

A

3

x  B

2

x  C

2

x  D

2 x  Hướng dẫn giải:

Chọn C

Theo giả thiết ABCD hình thoi gọi O ACBD

 

SAC BAC c c c OS OB OD SBD

         

vng S

Vì SASCSD chân đường cao H khối chóp

nằm đường thẳng BD

2 2

1

SB SD x

SH

SB SD x

 

 

Ta có

2 2

1, 2

BD x  AC OA AB OB  x

Vì 2

2

ABCD

S  AC BD x x 

Suy  

2

2 3 2

3

6 2.6

x x

x x x x

V



  

(36)

Dấu xảy x  x x

Câu 43: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 4 Cạnh bên SAvng góc với mặt phẳng đáy ABCD  SC 6 Thể tích lớn khối chóp S ABCD là? A 40

3 B

80

3 C

20

3 D 24

Đặt AD=x, ta có 2

16

AC AB AD  x 

2 2 2

6 16 20

SA SC AC  x   x

Vì  

2

1 20

20

3 ABCD 3

x x

V  SA S  x x   

2

2 20 40

3

x  x

 

Dấu xảy x2 20x2  x  10

Câu 44: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh 1, SOABCDvà

1

SC  Thể tích lớn khối chóp S ABCD là? A 2

9 B

2

3 C

2

27 D

Chọn D

Đặt OCx OB BC2OC2  1x2 SABCD 4SOBC 2x 1x2 SO SC2OC2  1x2

 2

1

3 ABCD

x x

V  S SO  =   

2 2

2 1

3

x x x

3

2 2

2 1

3 27

x x x

     

   

 

Dấu xảy 2x2  1 x2 x

 

9 

B

3 

C

6 

D

9 

(37)

Đặt DM x,BN  y ta có

 

   

 

tan tan

tan 45 tan

1 tan tan

DAM BAN x y

DAM BAN xy DAM BAN        

 Suy

1 x y x   

và AM  AD2 DM2  x21,

 

2

2 2

1

x x

AN AB BN y

x x                 

Vì  

   

2

1 1

sin 45

3 AMN 6

x

V SA S SA AM AN f x f

x

 

       



Câu 46: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, AB 1, cạnh bên SA 1 vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Ký hiệu M điểm di động đoạn CD N điểm di động đoạn CB cho MAN  30 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN là? A 1

9 B

1

3 C

2

27 D

4 27

Đặt DM x BN,  y Ta có:

 

tan 30 tan

1 tan tan

DAM BAN x y

DAM BAN xy DAM BAN          3 x y x    

2 2

1

AM  AD DM  x  ,

2

2 2

1

x

AN AB BN y

x               Vì  

1 1

.sin 30

3 6 3 1

S AMN AMN

x

V SA S SA AM SN

x       

Ta có  

 

2

1 1

9

6

x

f x f

x

  

   

  

3 

B 2

9 

C 2 3

3 

D 2 3

9 

Chọn C

(38)

 

tan 60 tan

1 tan tan

DAM BAN x y

DAM BAN

xy

DAM BAN

 

    

 

1

3 x y

x 

 



2 2

1

AM  AD DM  x  ,

2

2 2

1

3 x

AN AB BN y

x

  

       



 

Vì  

 

2

3

1

.sin 60

3 6 3

S AMN AMN

x

V SA S SA AM SN

x 



   



Ta có    

   

2

3 2 3

2

3

6

x

f x f

x

 

   



Câu 48: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AD4a Các cạnh bên hình chóp a Tìm thể tích Vmax khối chóp S ABCD

A

3 max

8 a

V  B

3 max

4 a

V  C Vmax 8a3 D Vmax 4 6a3 Hướng dẫn giải:

Chọn A

Do SASBSCSDa nên hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ABCD

trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp đáy, ABCD hình chữ nhật H giao điểm AC BD

Đặt ABx0 ta có:

2 2

16

AC  AD AB  x  a ,

2

2 2

8

4

AC

SH  SA   a x

Vì

2

1

3

ax a x

S ABCD SO AB AD 

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

2 2 3

2 2

max

8 8

8

2 3

x a x a a

x a x     a V  V 

Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành thể tích V Gọi M N , điểm di động cạnh AB AD cho AB 2AD

AM  AN  Gọi V'

thể tích khối chóp S MBCDN Tìm giá trị nhỏ V' A 1

4V B

2

3V C

3

4V D

1 3V

(39)

Ta có ' 1 AM AN V V AB AD     

 

xy V        Trong

, 0< , <1

1

4

AM AN

x y x y

AB AD x y            1

4

x y x x            Vì 2 '

4

x

V V V

x

 

   



 

2 '

3

V V

 

1 '

3

SA  SA

 

, '

SC  SC

 

S A B C D

S ABCD V k

V

 Giá trị nhỏ k là? A

60 B

1

30 C

3

4V D

Chọn A

Đặt V VS ABCD. , ta có

' '

SB SD

SB  SD  ' '

SA SC

SA SC

3

  

Mặt khác ' ' ' ' ' '

1 15

2 S A B C

V SA SB SC

x SA SB SC

V

 

' ' '

1 30

S A B C

V xV

 

' ' '

' ' ' 1

1 15 30

2 S A C D

S A C D

V SA SD SC

y V yV

SA SD SC V

    ' ' '

30

S A B C

V xV

 

Do ' ' ' '  

1 30 S A B C D

S ABCD V

k x y

V

   , x SB'

SB

 , y SD'

SD



Và x y 1

x y         x y

   

60

k

 

Câu 51: Cho hình chóp SABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng , đáy góc SC với mặt phẳng SAB 30 Gọi M điểm di động cạnh CD H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp SABH đạt giá trị lớn bằng:

(40)

A

3 a

B

3 2 a

C

3 a

D

3 12 a

Ta có góc SC mặt phẳng SAB CSB  300 Trong tam giác SBC có SBBC.cot 300 a Trong tam giác SAB có 2

2

SA SB AB a

Thể tích khối chóp S ABH là: . 1 2

3

S ABH ABH

a

V  S SA HA HB a  HA HB

Ta có HA2HB2 AB2 a2 theo bất đẳng thức AM GM ta có:

2 2

2

2 a a HA HB  HA HBHA HB

Đẳng thức xảy 

45

HAHBABM  M D

Khi

2

2 2

6 12

S ABH

a a a a

V  HA HB 

Chọn D

Câu 52: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SASBSC 2a Tìm thể tích lớn khối chóp

S ABCD A

3

3 a

B

3 32

9 a

C

3

9 a

D

3 32

27 a

Chọn D

Ta có: SASBSCSD ABCDnội tiếp đường trịn bán kính R Ta có:

2 2

4

h cb R  a R

  2 sin2 sinsin , 

sin ,

2

R ABC R BAD AC DB

AC BD AC BD

S    R

2 2

(0;2 )

2 32

( ) ( )

3 a 27

Sh R a R a a

V   f R   max f R  f  

 

Câu 53: Khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SASBSCa, Cạnh SD thay đổi Thể tích lớn khối chóp S ABCD là:

A

3

8 a

B

3

4 a

C

3

8 a

D

3

2 a

(41)

Khi SD thay đổi thi AC thay đổi Đặt ACx Gọi OACBD

Vì SASBSC nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

H BO

 

Ta có

2 2 2 2 2

2 4

2

x a x a x

OB a       

 

2 2

1 4

2 2

ABC

a x x a x

S  OB AC x   

2

2 2

4 4 4

4 ABC

a a x a x a

HB R

S x a x a x

   

 

4 2

2 2

2 2 2

3

4 4

a a a x

SH SB BH a

a x a x



    

 

2 2

1

2

3 4

S ABCD S ABC ABC

a a x x a x

V V SH S

a x

 

  



 2 2

1

3 2

x a x a

a x a x a   

    

 

Câu 54: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng , đáy góc SC với mặt phẳng SAB 30 Gọi M điểm di động cạnh CD

và H hình chiếu vng góc S đường thẳng BM Khi điểm M di động cạnh CD thể tích khối chóp S ABH đạt giá trị lớn bằng:

A

3 a

B

3 a

C

3 2 a

D

3 12 a

Chọn D

Góc SC SBC CSBCSB 300 Ta có

 2

tanCSB BC SB a 3;SA SB AB a

SB

     

Đặt CM x, 0 xaDM ax,

Ta có BM SH BM SAH BM AH

BM SA

 

   

   Ta có

 

2

1 1

, ;

2 2 2

BMC ADM ABM ABCD AMC ADM

a

S  BC CM  ax S  AD DM  a ax S S S S 

x

a

O

A

S

D C

B

H

C

D

B

A S

(42)

Ta có

2

ABM

a

S AH BM AH

a x

  



; 2

2 ax

BH AB AH

a x

  

 Thể tích khối chóp S ABH

2

4

2 2 2

1 1

3 ABH 6

a ax x

V SA S SA BH AH a a

a x

a x a x

   



 

(*)

Xét hàm số f x  2 x 2,x 0;a

a x

 



Ta có  

   

2 2

2 ;

a x

f x f x x a

a x



     



Trên đoạn 0; a ta có f x 0, x 0;a

Vậy giá trị lớn V x a 12 mzx

V a

 

Cách 2: Từ (*)

3

4

2

2 2

6 12

x a

V a a

a x a

  

 Dấu khi: x a

(43)

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ A- LÝ THUYẾT CHUNG

1 Thể tích khối lăng trụ

V B h với B diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ

2 Thể tích khối hộp chữ nhật

V a b c với a b c ba kích thước , ,

3 Thể tích khối lập phương

3

V a với a độ dài cạnh

B

h

b c a

a

(44)

Câu 1: Cho lăng trụ đứng ABCA B C  có đáy tam giác ABC vng cân A, BC=2a Góc

mặt phẳng (AB C ) mặt phẳng (BB C )

60 Tính thể tích lăng trụ ABCA B C  

A a3 B 2a3 C a3 D 3a3

Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’ Gọi M N thuộc cạnh bên , AA CC ’, ’ cho MAMA' NC4NC' Gọi G trọng tâm tam giác ABC Trong bốn khối tứ diện GA B C BB MN ABB C ’’ ’ ’, ’ , ’ ’ A BCN khối tứ diện tích nhỏ nhất? ,

A Khối A BCN’ B Khối GA B C’ ’ ’ C Khối ABB C’ ’ D Khối BB MN’

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có BB'a, góc đường thẳng BB' ABC

bằng 60, tam giác ABC vuông C góc BAC  60 Hình chiếu vng góc điểm

'

B lên ABC trùng với trọng tâm ABC Thể tích khối tứ diện A ABC' theo a

bằng A

3 13

108 a

B

3 106

a

C

3 15

108 a

D

3 208

a

Câu 4: Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ', biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách

từ tâm O tam giác ABCđến mặt phẳng A BC' 

6

a

.Tính thể tích khối lăng trụ

' ' '

ABC A B C A

3

8 a

B

3

28 a

C

3

4 a

D

3

16 a

Câu 5: Cho hình lăng trụ có tất cạnh a , đáy lục giác đều, góc tạo cạnh bên

và mặt đáy là60 Tính thể tích khối lăng trụ A 27

8

V  a B 3

4

V  a C 3

2

V  a D 9

4a

Câu 6: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm

'

A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC

4 a

Khi thể tích khối lăng trụ là:

A

3 12 a

B

3 a

C

3 3 a

D

3 24 a

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a , mặt phẳng   cắt cạnh

AA, BB, CC, DD M , N , P, Q Biết

3

AM  a,

5

(45)

A 11

30a B

3

3 a

C

3

3 a

D 11

15a

Câu 8: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bên 1.; đáy ABCD hình chữ nhật có

các cạnh BA 3,AD 7; mặt bên ABB A' ' ADD A' ' hợp với mặt đáy góc theo thứ tự 45 ; 60 Thể tích khối hộp là: 0

A 4 (đvdt) B 3(đvdt) C 2(đvdt) D 6(đvdt)

Câu 9: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có độ dài cạnh bên a; đáy hình thoi, diện tích hai mặt chéo S 1 S ; góc hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo 2  Tính thể tích V khối hộp cho

A V S S1 2cos

a



 B 2cos

3

S S V

a



 C 2cos

4

S S V

a



 D 2cos

2

S S V

a





Câu 10: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có tất cạnh bên a góc

' , , '

A AB BDA A AD 00  90 0 Tính thể tích V khối hộp A 3sin cos2 os2 arcsin

2 a

V a  c   B 3sin cos2 os2

2 a

V  a  c 

C 3sin cos2 os2

2

a

V  a  c  D Đáp số khác

Câu 11: Cho khối hộp đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có ABa AD, b BAD,; đường chéo AC' hợp với đáy góc  Tính thể tích khối hộp đứng cho là:

A V 4ab a2b22ab c os os cos c   B V 2ab a2b22ab c os os cos c   C V 3ab a2b22ab c os sin tan   D V ab a2b22ab c os sin tan   CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có tồng diện tích tất mặt 36, độ dài đường chéo AC Hỏi thể tích khối hộp lớn bao nhiêu?

A 8 B 8 C 16 D 24

Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích mặt 36 độ dài đường chéo

Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp chữ nhật cho?

A Vmax  B Vmax 12 C Vmax 8 D Vmax 6

Câu 14: Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cạnh 32, độ dài đường chéo

Tìm thể tích lớn Vmax hình hộp cho

(46)

Câu 15: Tìm maxV giá trị lớn thể tích khối hộp chữ nhật có đường chéo 2cm diện tích tồn phần 18cm 2

A Vmax 6cm3 B Vmax 5cm3 C Vmax 4cm3 D Vmax 3cm3

A Vmax  B Vmax 12 C Vmax 8 D Vmax 6

(47)

600

H

M

I A

C

B

A'

B'

C'

B'

B C

M I

Câu 1: Cho lăng trụ đứng ABCA B C  có đáy tam giác ABC vng cân A, BC=2a Góc

mặt phẳng (AB C ) mặt phẳng (BB C )

60 Tính thể tích lăng trụ ABCA B C  

A a3 B 2a3 C a3 D 3a3

Từ A kẻ AIBC  I trung điểm BC

AI(BCC B )  AI BC (1) Từ I kẻ IM BC (2)

Từ (1), (2)  BC(IAM)

Vậy góc (ABC) (BCB) AMI = 600

Ta có AI=1

2 BCa; IM=

0 tan 60

AI a

 2

3 a

BH  IM  ; 2 2 12 32 12 12

' 4

B B  BH BC  a  a  a

Suy BB=a 2; 1

.2

2

ABC

S  AI BC  a aa

2

ABC A B C

V   a a a Chọn A

Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’ Gọi M N thuộc cạnh bên , AA CC ’, ’ cho MAMA' NC4NC' Gọi G trọng tâm tam giác ABC Trong bốn khối tứ diện GA B C BB MN ABB C ’’ ’ ’, ’ , ’ ’ A BCN khối tứ diện tích nhỏ nhất? ,

A Khối A BCN’ B Khối GA B C’ ’ ’ C Khối ABB C’ ’ D Khối BB MN’

+ Nhận thấy khoảng cách từ G A xuống mặt phẳng A B C’ ’ ’ ( G,A thuộc mặt phẳng ABC / / A B C’ ’ ’

' ' ' ' ' ' GA B C A A B C

V V

Mà VA A B C ' ' ' VABB C' '(Do hình chóp có đáy AA B’ ’

’

ABB diện tích nhau;chung đường cao hạ từ C’) ' ' ' ' '

GA B C ABB C

V V

 

=> Không khối chóp GA B C’ ’ ’ ABB C’ ’ thể thích nhỏ

G

A'

C'

B'

C

B A

(48)

60°

C'

A'

G

M N

B C

A B'

nhất → Loại B,C

+ So sánh Khối A BCN’ Khối BB MN’

Nhận thấy khoảng cách từ M A’ xuống mặt BBCC’ → Khối A BCN’ Khối BB MN’ có đường cao hạ từ M A’ Mặt khác Diện tích đáy BNB’ > Diện tích đáy BCN

=> Khối A BCN’ < Khối BB MN’

=> Khối A BCN’ có diện tích nhỏ Chọn A

Câu 3: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có BB'a, góc đường thẳng BB' ABC

bằng 60, tam giác ABC vng C góc BAC  60 Hình chiếu vng góc điểm

'

B lên ABC trùng với trọng tâm ABC Thể tích khối tứ diện A ABC' theo a

bằng A

3 13

108 a

B

3 106

a

C

3 15

108 a

D

3 208

a Hướng dẫn giải:

Gọi M N trung điểm , AB AC , Glà trọng tâm ABC

 

'

B G ABC   

', ' 60

BB ABC B BG

  

'

1

' '

3

A ABC ABC

V  S B G AC BC B G

Xét B BG' vng G, có B BG ' 600

'

2 a B G

  (nửa tam giác đều)

ĐặtAB2x Trong ABC vng C có BAC 600

 tam giác ABC tam giác ,

AB

AC x BC x

   

Do G trọng tâm ABC 3

2

a

BN BG

  

Trong BNC vuông C: BN2 NC2BC2

2 2

2

3 13

9

3

16 52 13 3

2 13 a AC

a x a a

x x x

a BC 

  

        

 

(49)

Vậy,

3 '

1 3 3

6 13 13 208 A ABC

a a a a

V  

Câu 4: Cho hình lăng trụ đứngABC A B C ' ' ', biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách

từ tâm O tam giác ABCđến mặt phẳng A BC' 

6

a

.Tính thể tích khối lăng trụ

' ' '

ABC A B C A

3

8 a

B

3

28 a

C

3

4 a

D

3

16 a

Gọi M trung điểm BC,

ta có A AM'   A BC'  theo giao tuyến A M' Trong A AM'  kẻ OH A M H' ( A M' )

 ' 

OH A BC

 

Suy ra:  , ' 

6

a d O A BC OH 

2 ABC

a

S 

Xét hai tam giác vng A AM' OHM có góc M chung nên chúng đồng dạng

Suy ra:

2 2

2

1

6

' ' ' ' '

3 '

2

a a

OH OM

A A A M A A A A AM A A

a A A

    

  

  

 

6 '

4 a A A

  Thể tích:

2

' ' '

6 3

'

4 16

ABC A B C ABC

a a a

V S A A 

Câu 5: Cho hình lăng trụ có tất cạnh a , đáy lục giác đều, góc tạo cạnh bên

và mặt đáy là60 Tính thể tích khối lăng trụ A 27

8

V  a B 3

4

V  a C 3

2

V  a D 9

4a

Ta có ABCDEF lục giác nên góc đỉnh 120

ABC tam giác cân B , DEF tam giác cân E

1

.sin120

2

ABC DEF

a

S S  a a  

O

C'

B'

M A

B A'

(50)

2

2 .cos

AC  AB BC  AB BC B

2

a a a a  a

     

 

2

3

ACDF

S AC AF a aa

2 2

2

3 3

3

4

ABCDEF ABC ACDF DEF

a a a

S S S S  a  



' 60 ' '.sin 60

2

a

B BH   B H BB  

Suy

Câu 6: Cho lăng trụ ABC A B C có đáy tam giác cạnh ' ' ' a Hình chiếu vng góc điểm

'

A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác  ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC

4

a

Khi thể tích khối lăng trụ là:

A

3

3 12

a

B

3

a

C

3

a

D

3

3 24

a

Gọi M trung điểm BC, dựng MH vng góc với AA Suy '  , ' 

4

a MH d BC A A 

Đặt AH x, ta có:

2 '

3 a A A x 

Từ ' '

3

a A A MH  A G AM x

Vậy

2

3

3 12

a a a

V  

Chọn A

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh a , mặt phẳng   cắt cạnh AA , BB , CC, DD M , N, P , Q Biết

3

AM  a,

5

CP a Thể tích khối đa diện ABCD MNPQ là:

A 11

30a B

3

3 a

C

3

3 a

D 11

15a

2

3

'

4

ABCDEF

a

V BH S a  a

M

A

B'

A' C'

C B

H

60°

C'

E' F' A'

D'

E F

B

C D

A B'

(51)

Tứ giác MNPQ hình bình hành có tâm I thuộc đoạn OO’

Ta có: 11

2 30

AM CP a

OI    a

Gọi O1 điểm đối xứng O qua I thì:

OO1=2OI=11

15a < a Vậy O1 nằm đoạn OO’

Vẽ mặt phẳng qua O1 song song với (ABCD) cắt

các cạnh AA’; BB’;CC’; DD’ A1, B1,C1, D1 Khi I tâm hình hộp

1 1

ABCD AB C D Vậy

   1 1

V ABCD MNPQ V MNPQ A B C D 

2

1 1 1

1 11

( )

2V ABCD A B C D 2a OO 30a

Câu 8: Cho khối hộp ABCD A B C D có cạnh bên 1.; đáy ABCD hình chữ nhật có ' ' ' '

các cạnh BA 3,AD 7; mặt bên ABB A' ' ADD A' ' hợp với mặt đáy góc theo thứ tự 45 ;60 Thể tích khối hộp là: 0

A 4 (đvdt) B 3(đvdt) C 2(đvdt) D 6 (đvdt) Hướng dẫn giải:

Dựng A H' ABCD

' , ' ,

A I AB A J  ADHI AB HJ  AD

Ta có  

' 45 ; ' 60

A IH  A JH 

Đặt A H' h

Tam giác HA J vuông có ' 

' 60

A JH  nên nửa tam giác có cạnh A J , đường cao '

' ,

A H HJ nửa cạnh

2

2 2

2

'

2

12 12

' ' '

9

h h

A J

h h

A J AA A J

  



     

2

9 12 AJ

3

h



  với

2

h

 

Tam giác HA I' vuông cân H IH A H' h IHJ

A hình chữ nhật

Q

O1

I

O' O

A'

C'

D'

C B

D A

B' N M

P

450 600

I H J

B' A'

C'

B C D

(52)

2

9 12

3 21

h

AJ IH   h  h  h h

Thể tích khối hộp ' ' ' ' : ' 3 21 ABCD

ABCD A B C D V S A H   (đvdt)

Chọn B

Câu 9: Cho khối hộp ABCD A B C D có độ dài cạnh bên a; đáy hình thoi, diện tích ' ' ' ' hai mặt chéo S 1 S ; góc hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo 2  Tính thể tích V khối hộp cho

A V S S1 2cos

a



 B 2cos

3

S S V

a



 C 2cos

4

S S V

a



 D 2cos

2

S S V

a





Gọi O O theo thứ tự tâm hai mặt ' đáy ABCD A B C D, ' ' ' '

Hai mặt chéo ACC A' ' BDD 'B' có giao tuyến OO ', có diện tích theo thứ tự

1, S S

Dựng mặt phẳng  P vng góc với OO' I, cắt cạnh bên AA ',BB CC', ', DD '

theo thứ tự E F G H, , , ( P  cạnh bên)

Ta có: EG HF , OO' I EIH  góc hai mặt phẳng chéo ACC A' '

BDD 'B'

- EFGH thiết diện thẳng hình hộp hình bình hành Do đó, ta tích V hình hộp là:

1

' '.sin

2

EFGH

V S AA  EG HF AA 

Ta lại có:

1 ACC A' ' AA' EG= ; BDD ' 'B '

S S

S S EG S S HF BB HF

a a

      

1 2cos

1

.sin

2

S S S S

V a

a a a

 

  

Chọn D

Câu 10: Cho khối hộp ABCD A B C D có tất cạnh bên ' ' ' ' a góc

' , , '

A AB BDA A AD 00 90 0 Tính thể tích V khối hộp

I

G

F H

E

B'

B

C' D'

A'

C D

(53)

A 3sin cos2 os2 arcsin

a

V a  c   B 3sin cos2 os2

2

a

V  a  c 

C 3sin cos2 os2

2

a

V  a  c  D Đáp số khác

Dựng A H'  AC A K; ' AD A BD'

cân A' A O' BD Ta có

 

'

A O BD

BD A AC BD AH

AC BD

AH ABCD HK AD

 

   

  

   

Đặt A AO' .HAA' vuông

os = '

AH

H c

AA





ABCD hình thoi AC phân giác góc BAD,KAH vng K

2

os os os os

2 ' '

os cos

os ' '.sin sin ' os cos

2

os os os

2 2

AK AH AK AK

c c c c

AH AA AH AA

c a

c A H AA a A H a c

c c c

 

 

  

   

  

     

         

Do ta có: 2

' ' ' ' ' sin os cos

2 cos

2

ABCD A B C D ABCD

a

V S A H a  c  



  

3 2

2 sin cos os

2

a

a  c 

 

Chọn C

Câu 11: Cho khối hộp đứng ABCD A B C D có ' ' ' ' ABa AD, b BAD,; đường chéo AC hợp ' với đáy góc  Tính thể tích khối hộp đứng cho là:

A V 4ab a2b22ab c os os cos c   B V 2ab a2b22ab c os os cos c   C V 3ab a2b22ab c os sin tan   D V ab a2b22ab c os sin tan   Hướng dẫn giải:

2

2 os sin tan

V ab a b  ab c   

K H

O

B' A'

C'

B D'

A D

(54)

Ta có: CC'ABCD

'

CAC 

  góc AC mặt đáy '

ABCD

Xét ABC, ta có:



2 2

2 os AC  AB BC  AB BC c ABC

 

2 2

2 os 180 os

a b ab c  a b ab c 

      

2

2 os

AC a b ab c 

   

Do ta có:

2

' tan os tan

CC  AC   a b  ab c  

Thể tích hình hộp đứng: V SABCD.CC'absin  a2b22ab c os tan  2

2 os sin tan V ab a b  ab c    Chọn D

CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có tồng diện tích tất mặt 36, độ dài đường chéo AC 6 Hỏi thể tích khối hộp lớn bao nhiêu?

A 8 B 8 C 16 D 24

Gọi chiều dài cạnh hình hộp chữ nhật là: a , b, c 0

Ta có

2 2

2

36; 2 36 ( ) 72

a b c S ab bc c

AC        a  a b c  a  b c

3

16

3 3

a b c a b c

abc abc  

     

      

 

    Vậy VMax16

A Vmax  B Vmax 12 C Vmax 8 D Vmax 6 Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi a b c, , kích thước hình hộp chữ nhật Ta có

a b

B'

B A

D

C A'

(55)

* Độ dài đường chéo d  a2b2c2 

* Tổng diện tích mặt S 2ab bc ca  36 Ta tìm giá trị lớn V abc

Ta có a b c   a2b2c2ab bc ac6

Mà          

2

4 18 18

bc  bc a  a b c  a a  a

Khi V abca18a6 2aa36 2a218a f a  Khảo sát hàm số y f a  0; 2 

Ta có  

3 a f a

a  

   

 

So sánh f  0 0, f  2 8 2, f 3 20, f 4 28 ta Vmax 8

A Vmax 16 B Vmax 16 C Vmax 6 D Vmax 12 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi a b c, , kích thước hình hộp chữ nhật, ta có

 

2 2 2

4 32

24

a b c a b c

a b c

       





 

  

   

 

Suy    

2 2 2 2

20

a b c a b c

ab bc ca      

b c 2 4bc8a2 4 20 a8a0a4

     

20 8 20

V abca a a  f a a a  a Suy

       

max 0;4

max 16

(56)

Câu 15: Tìm maxV giá trị lớn thể tích khối hộp chữ nhật có đường chéo 3 2cm diện tích tồn phần 18cm 2

A Vmax 6cm3 B Vmax 5cm3 C Vmax 4cm3 D Vmax 3cm3

Đặt , ,a b c kích thước hình hộp ta có hệ

2 2 18

9

a b c

ab bc ac

   



  



Suy a  b c Cần tìm GTLN V abc

Ta có b c   6 a bc 9 a b c   9 a6a Do b c 2 4bc6a2 4 9 a6a0a4 Tương tự 0b c, 

Ta lại có V a9a6a Khảo sát hàm số tìm GTLN V

A Vmax  B Vmax 12 C Vmax 8 D Vmax 6 Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi a b c, , kích thước hình hộp chữ nhật Ta có * Độ dài đường chéo d  a2b2c2 

* Tổng diện tích mặt S 2ab bc ca  36 Ta tìm giá trị lớn V abc

Ta có a b c   a2b2c2ab bc ac6

Mà          

2

4 18 18

bc  bc a  a b c  a a  a

Khi V abca18a6 2aa36 2a218a f a  Khảo sát hàm số y f a  0; 2 

Ta có  

3 a f a

a  

   

 

So sánh f  0 0, f 2 8 2, f 3 20, f 4 28 ta Vmax 8

(57)

Gọi a b c, , kích thước hình hộp chữ nhật, ta có

 

2 2 2

4 32 8

24

a b c a b c

a b c

       





 

  

   

 

Suy    

2 2

20

a b c a b c

ab bc ca      

b c 2 4bc8a2 4 20 a8a0a4

     

20 8 20

V abca a a  f a a a  a Suy

       

max 0;4

max 16

(58)

TỈ LỆ THỂ TÍCH A- LÝ THUYẾT CHUNG

1 Hai khối chóp S A A 1 2 An S B B Bmcó chung đỉnh S hai mặt đáy nằm mặt phẳng, ta có: 2

1 2

n n

m m

S A A A A A A

S B B B B B B

V S

V  S

2 Hai khối chóp tam giác S ABC có ASA B, SB C, 'SC ta có: ' ' '

S A B C S ABC

V SA SB SC

v SA SB SC

  

 3 Kiến thức cần nhớ khối lăng trụ tam giác khối hộp

3

A ABC

V

V   ,

2

A BCC B

V V    

6

A ABD

V

V   ,

3

BDA C

V V   

4 Một số công thức nhanh cho trường hợp hay gặp

Tam giác ABC vng A có đường cao AH có

2 ,

BH AB

BC BC

 

  

 

2

CH AC

CB BC

 

  

 

Mặt phẳng   song song với mặt đáy khối chóp S A A 1 2 An cắt SAk điểm Mkthỏa mãn

,

k

SM p

SA  ta có

1 2

n

n S M M M

S A A A V

p

V 

Hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có AM x, BN y, CP z

AA  BB  CC có ABC MNP

x y z

V    V

Hình hộp ABCD A B C D     có AM x,BN y, CP z

AA  BB CC  Mặt phẳng MNP cắt DD ' Q ta

có đẳng thức x z y t với t DQ DD



 ABCD MNPQ

x y z t

V     V

Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SM x,SN y,SP z

SA  SB  SC  Mặt phẳng

MNP cắt SD Q ta có đẳng thức 1 1

xz  yt với

SQ t

SD



1 1 1

4 S MNPQ

V xyzt V

x y z t

 

     

 

Định lí Meneleus cho điểm thẳng hàng MA NB PC

MB NC PA  với MNP đường thẳng cắt ba

(59)

Câu 1: Cho hình chópS ABC Trên cạnh SA lấy điểm M N, choSM MN NA.Gọi     ,  mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC quaM N, Khi hai mặt phẳng     ,  chia khối chóp cho thành phần.Nếu phần tích 10 dm3tích hai phần lại là?

A

80 dm

190 dm B

70 dm

190 dm C 70 dm3và 200 dm3 D 80 dm3và 180 dm3

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi

, ,

M N P điểm cạnh SA SB SC, , cho 1, 2,

2 3

SM SN SP

SA  SB  SC 

Mặt phẳng MNP cắt cạnh SD điểm Q Tính thể tích khối đa diện ABCD MNPQ A

63V B

10

63V C

53

63V D

58 63V

Câu 3: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB 3a, AD , SA vng góc với a đáy

SA Mặt phẳng a   qua A vuông góc với SC cắt SB , SC , SD M , N , P Tính thể tích khối chóp S AMNP

A

3

3 40

a

B

3

3 40

a

C

3

3 10

a

D

3

3 30

a

Câu 4: Cho khối chóp S ABCD tích V đáy hình bình hành Điểm S  thỏa mãn  0

SS k DC k   

Biết thể tích phần chung hai khối chóp S ABCD S ABCD

7

25V Tìm k

A k  9 B k  6 C k 11 D k  4

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Một mặt phẳng  P song song với mặt đáy ABC cắt cạnh SA , SB , SC M , N , P Tính diện tích tam giác

MNP biết  P chia khối chóp cho thành hai khối đa diện tích A

2

MNP

a

S  B

3

16

MNP

a

S  C

2

3 MNP

a

S  D

2

3 4 MNP

a

S 

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa AD, b cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng c ABCD Gọi M điểm cạnh SA cho

0 

(60)

A  

3

2 c x



 B  

2

2 ab x

c 

 C  

3

2 c x



 D  

5

ab x

c 



Câu 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với AB/ /CD CD4AB.Gọi M là điểm cạnh SA cho 0AM SA Tìm tỉ số SM

SA cho mặt phẳng CDM

chia khối chóp cho thành hai khối đa diện tích nhau:

A 13

2

SM SA

 

 B 26

2

SM SA

 

 C 17

2

SM SA

 

 D 23

2

SM SA

 



Câu 8: Cho điểmM cạnh SA , điểm N cạnh SB hình chóp tam giác S ABC tích V cho 1,

3

SM SN

x

SA  SB  Mặt phẳng  P qua MN song song với SC chia khối

chóp S ABC thành hai khối đa diện tích Tính x

A

3

x  B 10

6

x  C

6

x  D 10

9

x 

Câu 9: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a , Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC svà E điểm thuộc tia đối DB cho BD k

BE  Tìm k để mặt phẳng MNE chia khối tứ

diện thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh B tích là

3

11 294

a

A

5

k  B k  6 C k  4 D V  5

Câu 10: Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2cm Gọi M N P, , trọng tâm ba tam giác ABC ABD ACD, , Tính thể tích V khối chóp AMNP

A

162

V  cm B 2

81

V  cm C

81

V  cm D

144

V  cm

Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M điểm đối xứng C qua D , N trung điểm SC Mặt phẳng BMN

chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) bằng:

A 7

5 B

1

7 C

7

3 D

6

Câu 12: (Hình học không gian) Cho tứ diện ABCD M N P, , thuộc BC BD AC, , cho

4 , ,

BC BM BD BN AC AP Mặt phẳng MNP cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia mặt phẳng MNP

A 2

3 B

7

13 C

5

13 D

(61)

Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ', có cạnh đáy a cạnh bên a Lấy M, N cạnh AB A C', ' cho '

' '

AM A N

AB  A C  Tính thể tích V khối

' BMNC C A

3

6 108

a

B

3

2

27

a

C

3

108

a

D

3

6 27

a

Câu 14: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a góc mặt bên , phẳng đáy  thỏa mãn cos =

3

 Mặt phẳng  P qua AC vng góc với mặt phẳng SAD chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện gần với giá trị giá trị sau:

A 0,11 B 0,13 C 0, D 0,

Câu 15: Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA2SM ,

SN  NB, ( ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu (H1)và (H2) khối đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng ( ) , đó, (H1)chứa điểm S , (H2) chứa điểm A ; V1 V2 thể tích (H1) (H2) Tính tỉ số

2

V V

A 4

5 B

5

4 C

3

4 D

4

Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với SC cắt SB SC SD, , B C D’, ’, ’ Tính thể tích khối chóp S AB C D theo a ’ ’ ’

A

3

3 20

a

B

3

3 20

a

C

3

3 10

a

D

3

3 10

a

Câu 17: Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD E Biết góc hai mặt phẳng (P) (BCD) có số đo  thỏa mãn tan

7

  Gọi thể tích hai tứ diện ABCE tứ diện BCDE V1 V2 Tính tỷ số

1

V V

A 3

8 B

1

8 C

3

5 D

5

Câu 18: Cho khối chóp S ABC có SA6,SB2,SC4,AB2 10 SBC90 , ASC120 Mặt phẳng  P qua B trung điểm N SC vng góc với mặt phẳng SAC cắt cạnh SA M Tính tỉ số thể tích

S MBN S ABC

V

(62)

A 2

9 B

2

5 C

1

6 D

1

Câu 19: Khối tứ diện ABCD tích V , khối tứ diện A B C D1 1 1 1 tích V1, đỉnh 1, 1, 1,

A B C D trọng tâm tam giác BCD CDA DAB ABC, , , Khối tứ diện 2 2

A B C D tích V2, đỉnh A B C D2, 2, 2, 2 trọng tâm tam giác 1

B C D, C D A1 1 1, D A B1 1 1, A B C1 1 1 Cứ tiếp tục ta khối tứ diện A B C Dn n n n tích Vn, đỉnh A B C Dn, n, n, n trọng tâm tam giác B Cn1 n1Dn1,

1 1 n n n

C D A , Dn1A Bn1 n1, A B Cn1 n1 n1 Tính S V1V2 V2018?

A  

2018

3

2.3 V

S   B  

2019

27

26.27 V

S  

C  

2018

27

26.27 V

S   D  

2019

3

2.3 V

S  

Câu 20: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C    Gọi M N, thuộc cạnh bên AA CC, 

sao cho MAMA NC; 4NC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Hỏi bốn khối tứ diện GA B C BB MN ABB C  ,  ,   A BCN , khối tứ diện tích nhỏ nhất?

A Khối A BCN B Khối GA B C   C Khối ABB C  D Khối BB MN Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C , có cạnh đáy ’ ’ ’ cạnh bên

Lấy M N, cạnh AB A C’, ’ cho Tính thể tích V khối ’

BMNC C

A B C D

Câu 22: Cho khối lập phương ABCD A B C D     cạnh a Các điểm E F trung điểm C B  C D  Mặt phẳng AEF cắt khối lập phương cho thành hai phần, gọi V1 thể tich khối chứa điểm A V2 thể tich khối chứa điểm C Khi '

2

V V

A 25

47 B 1 C

17

25 D

8 17

Câu 23: Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh ' ' ' ' a Gọi M N, trung điểm ' '

A B BC Mặt phẳng DMN chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi  H khối đa diện chứa đỉnh A H, ' khối đa diện cịn lại Tính tỉ số  

 '

H

H V V

A  

 '

37 48 H

H V

V  B

   '

55 89 H

H V

V  C

   '

2 H

H V

V  D

   '

1 H

H V

V 

a a

'

' '

AM A N

AB  A C 

3 6 108

a 2 6

27

a 3 6

108

a 6

(63)

Câu 24: Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Gọi M N, trung điểm cạnh A B BC  Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh A V, 2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số

2

V V

A 2

3 B

55

89 C

37

48 D

1

Câu 25: Cho hình hộp ABCDA B C D Gọi M trung điểm A’B’ Mặt phẳng (P) qua BM đồng ’ ’ ’ ’ thời song song với B D Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối tích ’ ’

1,

V V (Trong V1 thể tích khối chứa A) Tính tỉ số

V F

V



A

17 B 1 C

17

25 D

8 17

Câu 26: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB, AA’ B’C’ Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

A 25

47 B C

49

95 D

8 17

CỰC TRỊ TỈ LỆ THỂ TÍCH

Câu 27: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A , C thỏa

mãn ,

3

SA S A SC SC

   

Mặt phẳng  P chứa đường thẳng A C  cắt cạnh SB SD,

lần lượt B D,  đặt S A B C D

S ABCD V k

V    

 Giá trị nhỏ k bao nhiêu?

A

60 B

1

30 C

4

15 D

15 16

Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi C trung điểm cạnh SC Mặt phẳng  P chứa đường thẳng AC cắt cạnh SB SD, B D,  Đặt

S B C D S ABCD

V m

V

  



Giá trị nhỏ m : A

27 B

4

27 C

1

9 D

2

Câu 29: Cho khối tứ diện S ABC cạnh a Mặt phẳng  P qua S trọng tâm tam giác ABC cắt cạnh AB AC, M N, Đặt

S AMN

S ABC

V m

V

(64)

A 2

3. B

2

9 C

4

9. D

1

Câu 30: Cho hình chóp S ABCD tích V đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng qua A và trung điểm N cạnh SC cắt cạnh SB SD, tạiM P, Tính thể tích nhỏ khối chópS AMNP

A

8

V

B 3

8

V

C

4

V

D

3

V

Câu 31: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình hình hành Các điểm A , C thỏa

mãn ,

3

SA SA SC SC

   

Mặt phẳng  P chứa đường thẳng A C  cắt cạnh SB SD,

lần lượt B D,  đặt S A B C D

S ABCD V k

V    

 Tính giá trị lớn k bao nhiêu?

A

105 B

1

30 C

4

15 D

4 27

Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tích V Gọi M N, thứ tự điểm di động cạnh AB AD, cho AB 2AD

AM  AN  Gọi V thể tích khối '

chóp S AMN Tìm giá trị nhỏ ' V A 1

4V B

1

6V C

1

8V D

1 3V

Câu 33: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tích V Gọi M N, thứ tự điểm di động cạnh AB AD, cho AB 2AD

AM  AN  Gọi V thể tích khối '

chóp S MBCDN Tìm giá trị lớn ' V A 1

4V B

2

3V C

3

4V D

1 3V

Câu 34: Cho hình chóp S ABCD tích V , đáy hình bình hành Mặt phẳng   qua A , trung điểm I SO cắt cạnh SB SC SD, , M N P, , Tính thể tích nhỏ khối chóp S AMNP

A

18

V

B

3

V

C

6

V

D 3

8

V

Câu 35: Cho hình chóp S ABCD SA , đường cao, đáy hình chữ nhật với SAa AB, b AD, c

Trong mặt phẳng SDB lấy G trọng tâm tam giác SDB , qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS M, cắt cạnh SD N, mpAMN cắt SC K Xác định M thuộc SB cho

SAMKN

V đạt giá trị lớn nhỏ Hãy tìm giá trị lớn nhỏ

A ax ,

8

SAMKN m SAMKN

abc abc

V   V   B ax ,

8 10

SAMKN m SAMKN

abc abc

(65)

C ax , min

9 10

SAMKN m SAMKN

abc abc

V   V   D ax , min

10 11

SAMKN m SAMKN

abc abc

V   V  

Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A C', ' thỏa mãn

1 '

3

SA  SA

 

, '

SC  SC

 

Mặt phẳng  P chứa đường thẳng A C cắt cạnh ' ' SB SD, B', 'D đặt ' ' ' '

S A B C D

S ABCD

V k

V

 Giá trị lớn k là?

A

105 B

1

30 C

4

15 D

4 27

Câu 37: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng song song với đáy cắt cạnh bên SA , SB , SC , SD M , N , P , Q Gọi M  , N , P ,Q hình chiếu M , N , P , Q mặt phẳng đáy Tìm tỉ số SM

SA để thể tích khối đa diện

MNPQ M N P Q    đạt giá trị lớn A 3

4 B

2

3 C

1

2 D

1

Câu 38: Cho khối chóp S ABC Một mặt phẳng song song với đáy cắt cạnh bên SA , SB , SC M , N , P Gọi M  , N , P hình chiếu M , N , P mặt phẳng đáy Tìm tỉ số SM

SA để thể tích khối đa diện MNP M N P    đạt giá trị lớn

A 3

4 B

2

3 C

1

2 D ..

Câu 39: Cho hình chóp S A BC D có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC, mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi

1

V thể tích khối chóp S AM PN Tìm giá trị nhỏ V1

V ?

A 1

8 B

2

3 C

3

8 D

1

Câu 40: Cho hình chóp S ABC có ASB BSC CSA30 SASBSC Mặt phẳng a

 P qua A cắt hai cạnh SB SC, B C,  cho chu vi tam giác AB C  nhỏ Gọi V V1, 2 lầ lượt thể tích khối chóp S AB C S ABC  , Tính tỉ số

2

V V

A

3 2

V

V   B

1

3

V

V   C

1

4

V

V   D

1

2

V

(66)

Câu 41: Cho khối chóp S ABC có SA SB SC a    ASB 60, BSC  90,ASC 120 Gọi

,

M N điểm cạnh AB SC cho CN AM

SC  AB Khi khoảng cách

M N nhỏ nhất, tính thể tích V khối chóp S AMN A

3

2 72

a

B

3

5 72

a

C

3

5 432

a

D

3

2 432

a

(67)

Câu 1: Cho hình chópS ABC .Trên cạnh SA lấy điểm M N, choSM MN  NA.Gọi

    ,  mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC qua M N, Khi hai mặt phẳng     ,  chia khối chóp cho thành phần.Nếu phần tích 10 dm tích hai phần cịn lại là?3

A 80 dm 3 190 dm 3 B 70 dm 3 190 dm 3 C 70 dm 3 200 dm 3 D 80 dm 3 180 dm 3 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt V VS ABC. ,V1 SS MNP. ta có:

1

3 27

SM SP SQ

V V V V

SA SB SC

 

   

 

3 270

V dm

 

Tương tự ta có :

3

2

80

3 27

SN SE SF

V V V V V dm

SA SB SC

 

     

 

Do đó:V2 80V170dm3,V3 V V 1V2 190dm3 Chọn B

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi

, ,

M N P điểm cạnh SA SB SC, , cho 1, 2,

2 3

  

SM SN SP

SA SB SC

Mặt phẳng MNP cắt cạnh SD điểm  Q Tính thể tích khối đa diện ABCD MNPQ A

63V B

10

63V C

53

63V D

58 63V

Đặt

2  SM 

x

SA ,

2  SN 

y

SB ,

1  SP 

z

SC ,

 SQ

t

SD

Ta có 1 1 3

2

        t

x z y t t

F Q

E P

B

C S

M

(68)

Do . . . 1  

2 2 63

      

S MNPQ S MNP S PQM

V V V xyz V zxt V xz y t V V

Suy . 58

63 63

 

   

 

ABCD MNPQ

V V V

Câu 3: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB 3a, ADa , SA vng góc với đáy



SA a Mặt phẳng   qua A vng góc với SC cắt SB , SC , SD M , N , P Tính thể tích khối chóp S AMNP

A

3

3 40

a

B

3

3 40

a

C

3 10

a

D

3 30

Chọn B

Ta có

  , ,

    

SC SC AM SC AN SC AP

Mặt khác

   

      

CB SAB AM CB AM SBC AM SB

Tương tự ta có APSD Thể tích khối chóp ban đầu

3

1

3

  a

V a a

Tính tỉ số x SA1

SA ,

2

1

3

 

    



 

SM SA a

y

SB SB a a ,

2

2 2

1

3

 

    

 

 

SN SA a

z

SC SC a a a ,

2

1

 

    



 

SP SA a

t

SD SD a a

Vậy

3

1 1 3

4 40 40

 

        

 

xyzt a

V V V

x y z t

Câu 4: Cho khối chóp S ABCD tích V đáy hình bình hành Điểm S thỏa mãn   0

  

 

SS k DC k Biết thể tích phần chung hai khối chóp S ABCD S ABCD .

7

25V Tìm k

A k 9 B k6 C k11 D k 4 Hướng dẫn giải:

(69)

Ta có AB // CD //SS nên  BS A SB C, S D SC Theo Thales ta có

,

1

    

       

  

B S C S S S SB SC k SD

k t

B B C C DC SB SC k SD

Do  

 

2

1 1 1

.1.1

4 1 1

1                       

S ADC B

k k

V V V

k k

k k k k

k k

Vậy thể tích phần chung  

   

2

1

25                    

S ADC B

k k

V V V V V k k

k k

Câu 5: Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Một mặt phẳng  P song song với mặt đáy ABC cắt cạnh SA , SB , SC M , N , P Tính diện tích tam giác 

MNP biết  P chia khối chóp cho thành hai khối đa diện tích

A MNP a

S  B

3 16 MNP

a

S  C

2 MNP a

S  D

2 4 MNP a

S 

 

3

S MNP S ABC

V SM SN SP SM

V SA SB SC SA

 

   

 

Theo ra:   2 S MNP S ABC V V 

Từ  1 ,  2 ta có

3 SM SA        SM SA   Lại có:           ,

3 = 3

1 , MNP S MNP S ABC ABC

d S MNP S

V V

d S ABC S



 

Mà   

 

   

, 1

=

,

d S MNP SM

SA

d S ABC 

Từ  3 ,  4 ta có

3 = MNP ABC S S   2 3

2

=

2 4

MNP ABC

a a

S S

(70)

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với ABa AD, b cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng c ABCD Gọi M điểm cạnh SA cho 

0 

AM x  x c Tìm x để mặt phẳng MBC chia khối chóp thành hai khối đa diện có  thể tích

A 3 2

2

c x



 B 2 3

2

ab x

c



 C 3 5

2

c x



 D  1

2

ab x

c





Ta có SM SN c x

SA SD c



 

Vì

S MBC

S MBC S ABCD S ABC

V SM c x c x

V V

V SA c c

 

   

Và

 2  2

2

SMNC

S MNC S ABCD SADC

c x c x

V SM SN

V V

V SA SD c c

 

   

Vậy

 2  2

2

1

2

SMNBC SABCD SABCD

c x c x c x c cx

V V V

c c c

      

   

 

 

Từ giả thiết ta có    

2

3

1

2 c

c x c cx

c cx x x

c



  

      

Câu 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với AB/ /CD CD4AB.Gọi M 1 điểm cạnh SA cho 0AM SA Tìm tỉ số SM

SA cho mặt phẳng CDM chia 

khối chóp cho thành hai khối đa diện tích nhau:

A 13

2

SM SA

 

 B 26

2

SM SA

 

 C 17

2

SM SA

 

 D 23

2

SM SA

 



Đặt x SM SN, x

SA SB

   

D

A B

C S

(71)

Ta có

4

,

5

SADC ADC

SABC ABC

SADC SABDC SABC SABDC

V S AD

V S AB

V V V V

  

  

Ta có

5

SMCD

SMCD SABDC SACD

V SM x

V V

V  SA  

2

5 SMNC

SMNC SABC SABC

V SM SN x

x V V

V  SA SB   

Vậy

2

5

SABCD

SMNCD SABCD

V

x x

V   V 

 

Suy

2

4 26

5 2

x x

x  

   

Câu 8: Cho điểmM cạnh SA , điểm N cạnh SB hình chóp tam giác S ABC tích bằng V cho 1,

3

SM SN

x

SA  SB  Mặt phẳng  P qua MN song song với SC chia khối

chóp S ABC thành hai khối đa diện tích Tính x

A

3

x  B 10

6

x  C

6

x  D 10

9

x 

Trong ABS:MNABE ,

SAC:MQ/ /SC Q, AC, ABC:EQBC P

Khi / / / / 1,

3

SM CQ SN CP

NP SC MQ x

SA CA SB CB

    

Trong tam giác

:

1

2 1

NB MS EA SAB

NS MA EB

x EA EA x AB x

x EB EB x EB x



 

     

 

Ta có

   

2 2 8

3 3 9

EAMQ

EAMQ S ABC

V AM AQ EA x x x

V V

V  AS AC BA x  x   x

E P

Q A

B

C S

M

(72)

              3 3 1

3 3

1

8 8 10

9 3 3

EBNP

EBNP S ABC

AMQBNP

x x

V BN BP EB x

x V V

V BS BC AB x x x

x x

V V V V x

x x x x

                           

Câu 9: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a , GọiM , N trung điểm cạnh AB, BC svà E điểm thuộc tia đối DB cho BD k

BE  Tìm

k để mặt phẳng MNE chia khối

tứ diện thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh B tích

3

11 294

a

A

5

k  B k 6 C k 4 D V 5

Ta có diện tích khối tứ diện cạnh a

3 12 a V  BMNE ABCD BMQE

V BM BN BE

V BA BC BD

V V



 

Theo ta let ta có:

 

2

1

1 2 1

1

k

EP EQ k

EN EM k k

            2

4 1

4

2

EDPQ BMQE

k

EP EQ DE k

V V V

EN EM BE k k

 

  



Do  

 

2

0 0

4 1

4 4

BMNPQD

k k

k k k

V V V V

k

k k k

                 22 49 BMNPQD

V  V hay  

 

3

0

4

1

4 2 1

k

k k

V V k

k k

  

    

  

 

Câu 10: Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2cm Gọi M N P, , trọng tâm ba tam giác ABC ABD ACD, , Tính thể tích V khối chóp AMNP

(73)

P N M

H K

F E

A

B

C

D

A

162

V  cm B 2

81

V  cm C

81

V  cm D

144

V  cm

Tam giác BCD 3

3

DE DH

   

2 2

3

AH  AD DH 

   

EF , D,BC

1 1

2 2

K E FK

S  d FK  d BC

EF

1

3 3

SKFE K

V AH S

   

Mà

3

AM AN AP

AE  AK  AF 

Lại có:

8

27 27 81

AMNP

AMNP AEKF AEKF

V AM AN AP

V V

V  AE AK AF    

Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M điểm đối xứng C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng BMN

chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) bằng:

A 7

5 B

1

7 C

7

3 D

6

Giả sử điểm hình vẽ E SDMNE trọng tâm tam giác SCM ,

//

DF BCF trung điểm BM

Ta có:

 



 ,   60

6

SD ABCD SDO

a SO

  

 

,

E N

M

F O

A B

C D

S

(74)

2

a SF  SO OF 

 

2

6

, ;

2

2 SAD

a a

d O SAD OH h S SF AD

     

1

MEFD MNBC

V ME MF MD

V  MN MB MC  

 

5 1 5

,

6 18 72

BFDCNE MNBC SBC SAD

a

V V d M SAD S h S

         

3

1

3 36

S ABCD ABCD SABFEN S ABCD BFDCNE

a a

V  SO S  V V V  

Suy ra:

5

SABFEN BFDCNE

V

V  

Câu 12: (Hình học không gian) Cho tứ diện ABCD M N P, , thuộc BC BD AC, , cho

4 , ,

BC BM BD BN AC AP Mặt phẳng MNP cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia mặt phẳng MNP

A 2

3 B

7

13 C

5

13 D

1

Gọi I MNCD Q, PIAD,

kẻ DH / /BC H IM,DK / /AC K IP

ID DH BM

NMB NDH

IC CM CM

      

1

3 3

IK DK ID DK

DK

IP  CP  IC   AP   

APQ DKQ

 

Suy

3

AQ AP AQ

DQ DK AD

    

Đặt V VABCD Ta có: 1; ANPQ

ANCD

V AP AQ

V  AC AD 

1

2 10

ANCD DACN

ANPQ ABCD DABC

V V DN

V V

V V  DB   

1

2

1 1

2

CDMP

CDMP CDBA

V ABMP DABMP CDMP

V CM CP

V V

V CB CA

V V V V V

   

    

Q K

I P

M N

B

C A

(75)

7

20 13

ABMNQP ABMNQP ANPQ N ABMP

CDMNQP

V

V V V V

V

     

Vậy mặt phẳng MNP chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích 13

Chọn B

Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có cạnh đáy a cạnh bên a ' ' ', Lấy M, N cạnh AB A C cho ', ' '

' '

AM A N

AB  A C  Tính thể tích V khối

'

BMNC C

A

3 108 a

B

3

2

27 a

C

3

108 a

D

3 27 a

Gọi G, K tâm hình chữ nhật ABB A' ' AA 'C C'

Ta có:

' 3

AM AM

AB   AG 

(Do G trung điểm AB’)

Xét tam giác ABA' có AG trung tuyến

3

AM

AG  Suy M trọng

tâm tam giác ABA' Do BM q ua trung điểm I AA’

Ta có: ' '

' '

A N A N

A C   A K 

(Do K trung điểm A’C)

Xét tam giác AA 'C' có A K' trung tuyến '

'

A N

A K  Suy N trọng tâm tam giác AA 'C' Do C N' qua trung điểm I

của AA’

Từ M trọng tâm tam giác ABA' N trọng tâm tam giác AA 'C' Suy ra:

1

'

IM IN

IB  IC 

Gọi V V thể tích khối chóp 1, 2 IMNC IBCC Ta có: ; '

1

'

V IM IN IC

V  IB IC IC 

Mà 2

8

V V V V  V

K G N

M I

H A'

B'

C'

B

(76)

Hạ AH vng góc với BC H thuộc BC Ta AH vng góc với mặt phẳng BB C C' '  AA ' song song với mặt phẳng BB C C' '  nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng BB C C' '  khoảng cách từ A đến BB C C' '  AH

Ta có:  

2

2 '

3 1

; , ' '

2 BCC 2 12

a a a a

AH  V  d I BB C C  S  

Suy ra:

3

8

9 27

a V  V  Chọn B

Câu 14: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên phẳng đáy  thỏa mãn cos =

3

 Mặt phẳng  P qua AC vng góc với mặt phẳng SAD chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện gần với giá trị giá trị sau:

A 0,11 B 0,13 C 0, D 0,9

S ABCD hình chóp tứ giác  

SO ABCD

Gọi N trung điểm CD

   

 

,

CD SN CD ON

SCD ABCD CD

SCD ABCD SNO

 

   

 

 

 

Kẻ CM SD Ta có:

 

AC BD

AC SBD

AC SO

 

 

  

     

AC SD SD ACM ACM SAD

     

nên mặt phẳng  P ACM + Xét tam giác SON vuông N có:



cos

ON a

SN

SNO

 

2

a a

SO SN ON      a

   

+ Xét tam giác SOD vng O có:

N O

C B

A

D S

(77)

 

2

2 2 10

2 `

2

a a

SD SO OD  a   

 

Ta có: 10

2 10

SCD

SN CD a

S CM SD SN CD CM

SD

     

Xét tam giác MCD vuông M có:

2

2 2 10 10

D

10 10

a a

M  CD CM  a   

 

Ta có:

10

1 10 1

2 2 10 10 10

2 M ACD MACD

MACD SABCD SABCD SACD

a

V V DM DA DC

V V

V  V  DS DA DC  a   

Mặt phẳng  P chia khối chóp S ABCD thành hai khối M ACD

9

10

SABCD MACD SABCM SABCM SABCD

S ABCM V V V V  V

Do đó: 0,11

9 MACD SABCM V

V  

Chọn A

Câu 15: Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA2SM ,

2

SN  NB, ( ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu (H 1) (H2) khối đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng ( ) , đó, (H chứa 1) điểm S, (H2) chứa điểm A; V 1 V thể tích 2 (H 1) (H2) Tính tỉ số

1 V V A 4

5 B

5

4 C

3

4 D

4

Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P, Q giao điểm ( ) với đường thẳng BC, AC

Ta có NP MQ SC Khi chia khối // // (H 1) mặt phẳng (QNC , ta hai khối chóp )

N SMQC N QPC Ta có:

( , ( )) (B, ( ))

N SMQC SMQC

B ASC SAC

V d N SAC S

V  d SAC  S ;

( , ( ))

(B, ( ))

d N SAC NS

d SAC  BS  ; P

N

Q M

A

B

(78)

2

4

9

AMQ SMQC

ASC ASC

S AM S

S AS S

 

    

 

Suy

2 10 27 N SMQC

B ASC V

V   

.QP

( , (QP )) (S, (A ))

1 2

3 3 27

QPC N C

S ABC ABC

S

V d N C

V d BC S

NB CQ CP SB CA CB

 

      

.QP

1

10 4

5

27 27 9

N SMQC N C

B ASC S ABC

V V

V  V V    V V   

1 V V  

Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với SC cắt SB SC SD lần , , lượt ’, ’, ’.B C D Tính thể tích khối chóp S AB C D ’ ’ ’ theo a

A 3 20 a B 3 20 a C 3 10 a D 3 10 a

, ( ) '

BCAB BC SABC SAB BC AB

( ) ' ' ( ) '

SC  P SCAB AB  SBC AB SB Tương tự AD'SD

' ' ' ' ' ' ' S AB C D S AB C S AD C

V V V

' ' 2 2 2 ' ' ' '

3

4 20

S AB C S ABC

V SB SC SB SB SC SC

V SB SC SB SC

SA SA SB SC      (1) 2 ' '

2 2

' ' ' ' 3

4 20 S AD C

S ADC

V SD SC SD SD SC SC SA SA

V  SD SC  SD SC  SD SC   (2)

Do

3

1

3

S ABC S ADC

a

V V  a a 

Cộng (1) (2) theo vế ta

3

' ' ' '

' ' '

3

9 9 3

20 20 10 20

3

6

S AB C S AD C

S AB C D

V V a a

V

a  a     

(79)

Câu 17: Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD E Biết góc hai mặt phẳng (P) (BCD) có số đo  thỏa mãn tan

7

  Gọi thể tích hai tứ diện ABCE tứ diện BCDE V 1 V Tính tỷ số 2

2 V V A 3

8 B

1

8 C

3

5 D

5

+) Gọi M trung điểm BC

Khi BC(MAD) nên (P)(AMD); (P)(AMD) =ME

Kẻ AHME AH(BCE) (do AH (AMD))

Kẻ DKME nên DK(BCE) (do DK (AMD)) Hiển nhiên AH song song DK Khi

2 A BCE D BCE V

V AH

V V  DK

+) Gọi  góc (P) (ABC) (

0

2

 

  ) Hiển nhiên DME ;



AME

Vì AM = DM nên:

2 sin

sin sin sin

sin

V AH

t

DK V



  

     (1)

+) Trong tam giác OMA: os( ) os cos sin

3

MO

c c sin

MA

          (2)

Từ (1) có: cos  sin 2  1t2.sin2  1t x2 ; với x=sin2 Thay vào (2) ta có: (1 )(1 )

3

t x x t x t x x t x

        

+) Giải phương trình có: 2

(9 9)

x

t t



 

Vì

2

2 2

8 9

sin tan

1 9 9

x t t

x

x t t t t t t

        

      

Theo giả thiết suy 2 2

3

8 50 196 171

9

19

9 49 25 25

15 t

t t t t

t t

t 

 

          



   



M A

B

C

D E

H

(80)

Vậy ABCE DBCE V V  Chọn C

Câu 18: Cho khối chóp S ABC có SA6,SB2,SC 4,AB2 10 SBC90 , ASC120 Mặt phẳng  P qua B trung điểm N SC vng góc với mặt phẳng SAC cắt cạnh SA M Tính tỉ số thể tích

S MBN S ABC V

V

A 2

9 B

2

5 C

1

6 D

1

Ta có: S MBN S ABC

V SM SN

k

V  SA SC  với

SM k

SA



Áp dụng định lý hàm số cosin ta có:

90 ; 60 ; 120

ASB  BSC  ASC 

     

Đặt

6, 2,

; ;

0; 4; 12

a b c

SA a SB b SC c

a b b c a c

                              

Vì BMN  SAC nên kẻ

 

,

BH MN HMN BH  SAC

Khi đó: BH x BM.1x BNx SM SB1xSN SB

  1  1

2

x

x k a b x  c b kxa b  c

        

 

      

Lại có:  

1

0

1

0

x

a kxa b c

BH SA BH SA

BH SAC

BH SC BH SC x

c kxa b c

                                                      

36 3

1

12

3 k kx x kx x x                      

Vậy

1 1

2

S MBN S ABC

V SM SN

k

V  SA SC   

(81)

Câu 19: Khối tứ diện ABCD tích V , khối tứ diện A B C D tích 1 1 V , đỉnh 1 1, 1, 1,

A B C D trọng tâm tam giác BCD CDA DAB ABC Khối tứ diện , , , 2 2

A B C D tích V , đỉnh 2 A B C D trọng tâm tam giác 2, 2, 2, 2 1

B C D , C D A , 1 1 1 D A B , 1 1 1 A B C Cứ tiếp tục ta khối tứ diện 1 1 1 A B C D n n n n tích V , đỉnh n A B C D trọng tâm tam giác n, n, n, n B Cn1 n1Dn1,

1 1 n n n

C  DA , Dn1A Bn1 n1, A B Cn1 n1 n1 Tính S V1V2 V2018?

A  

2018

3

2.3 V

S   B  

2019

27

26.27 V

S 

C  

2018

27

26.27 V

S   D  

2019

3

2.3 V

S 

Ta có

1

3 27

V    V  V

 

3

2 1

1 1

3 27 27

V    V  V   V

   

…

3 2018

2018 2017

1

3 27

V    V   V

   

 

2018

2018 2018

2018

1

27

1 1 27

1

27 27 27 27 1 26.27

27

V

S V V

 

   

       

         

   

 

  

Câu 20: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C    Gọi M N thuộc cạnh bên , AA CC,  cho MAMA NC; 4NC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Hỏi bốn khối tứ diện GA B C BB MN ABB C  ,  ,   A BCN , khối tứ diện tích nhỏ nhất?

A Khối A BCN B Khối GA B C   C Khối ABB C  D Khối BB MN Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi V thể tích khối lăng trụ cho

Ta có:

2

M BB C C A BB C C A BB C C

(82)

Và

1 1

2

BB N CBB BB C C A BB C A BB C C

S  S  S   V    V    V

Và

1 1

2

BB N CBB BB C C BB MN M BB C C

S  S  S   V   V    V

Chú ý:

4 2

5 3 15

BCN BCC BB C C A BCN A BB C C

S  S  S   V   V     V

Chọn A

Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ’ ’ ’, có cạnh đáy cạnh bên Lấy M N cạnh , AB A C cho ’, ’ Tính thể tích V khối

’

BMNC C

A B C D

Gọi G, K tâm hình chữ nhật ABB’A’ AA’C’C

Ta có: (Do G trung điểm AB’)

Xét tam giác ABA’ có AG trung tuyến Suy trọng tâm tam giác ABA’ Do BM qua trung điểm I AA’

Ta có: (Do K trung điểm

A’C)

Xét tam giác AA’C’ có A’K trung tuyến Suy N trọng tâm tam giác AA’C’ Do C’N qua trung điểm I AA’

Từ trọng tâm tam giác ABA’ N trọng tâm tam giác AA’C’ Suy ra:

Gọi thể tích khối chóp IMNC; IBCC’ Ta có:

a a

'

' '

AM A N

AB  A C 

3 6 108

a 2 6

27

a 3 6

108

a 6

27 a

1

' 3

AM AM

AB   AG 

2

AM

AG 

M

' '

A N A N

A C   A K 

'

A N

A K 

M

1

'

IM IN

IB  IC 

1;

V V

H K

G M

N

I B'

C'

A C

(83)

Mà Suy

Hạ AH vng góc với BC H thuộc BC Ta AH vng góc với mặt phẳng

(BB’C’C) AA’ song song với mặt phẳng nên khoẳng cách từ I đến mặt phẳng (BB’C’C) khoẳng cách từ A đến (BB’C’C) AH Ta có:

Suy

Chọn B

Câu 22: Cho khối lập phương ABCD A B C D     cạnh a Các điểm E F trung điểm C B  C D  Mặt phẳng AEF cắt khối lập phương cho thành hai phần, gọi V 1 thể tich khối chứa điểm A V thể tich khối chứa điểm 2 C' Khi

2 V V A 25

47 B 1 C

17

25 D

8 17

Đường thẳng EF cắt A D  N, cắt

A B  M , AN cắt DD P, AM cắt

BB Q Từ mặt phẳng AEF cắt khối lăng trụ thành hai khối

ABCDC QEFP AQEFPB A D   Gọi V VABCD A B C D    , V3 VA A MN  ,

4 PFD N, QMB E

V V  V V 

Do tính đối xứng hình lập phương nên ta có V4 V5

3

1 3

6 2

a a a

V  AA A M A N    a  ,

1

6 2 72

a a a a

V  PD D F D N    

1 25

72 a

V V  V  ,

3

2

47 72

a

V V V  Vậy

25 47 V

V  Chọn A

1

2

1

'

V IM IN IC

V  IB IC IC  V1 V V2

8

V  V

BB C C' ' 

3 a AH 

 

2 '

1

; ' '

3 BCC 2 12

a a a

V  d I BB C C S     2

9 27

a

(84)

Câu 23: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M N trung điểm ,

' '

A B BC Mặt phẳng DMN chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi  H khối đa diện chứa đỉnh A H, ' khối đa diện lại Tính tỉ số  

 '

H

H V V

A  

 '

37 48 H

H V

V  B

   '

55 89 H

H V

V  C

   '

2 H

H V

V  D

   '

1 H

H V

V 

, '

ANNDJ JMBB K Ta có: BK 2 ' ;B K IA D' ' Ta có: ' ' '

4

A I  D D Suy thiết diện KMIDN

 H ABA KMIDN' D ABKMA ' D BKN D MA I '

V V V V V

 

3

3 3

'

1 1 1 55

3 3 2 3 2 144

55 89 55

144 144 89

H H

H

a a a a a a a

a a a a

V

a a

V a

V

 

     

 

     

Chọn B

Câu 24: Cho hình lập phương ABCD A B C D    

cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh , A B BC  Mặt phẳng (DMN ) chia hình lập phương thành phần Gọi V thể tích phần chứa đỉnh 1 A V thể tích , 2 phần cịn lại Tính tỉ số

2

V V

A 2

3 B

55

89 C

37

48 D

1

N M

K I

C'

C D

A B

D'

A' B'

(85)

Hướng dẫn giải

Gọi H  ABDN; MH cắt B B' K, cắt A A' S; SD cắt A D' ' E Thiết diện tương ứng ngũ giác DNKME

Phần đa diện chứa A tích là: V1VS ADH VS A EM ' VK BNH

Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BABH ; AH 4 'A M; AD4 'A E

1

' ' '

3

SA B K  A A

Đặt độ dài cạnh hình lập phương 1thì: ' 1;

3

SA  KB

Ta có: . 1 1.2

6

S ADH

V  SA AD AH     

 

'

1

64 144

S A EM S ADH

V  V  ;

1

8 18

K BNH S ADH

V  V 

Vậy phần đa diện chứa A tích là: 1 55

914418144

Suy phần đa diện khơng chứa A tích là: 13 55 89

144 144

 

Chọn B

Câu 25: Cho hình hộp ABCDA B C D’ ’ ’ ’ Gọi M trung điểm A’B’ Mặt phẳng (P) qua BM đồng thời song song với B D’ ’ Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối tích

1,

V V (Trong V1 thể tích khối chứa A) Tính tỉ số V F

V 

A

17 B 1 C

17

25 D

8 17

*Gọi N trung điể A’D’ Khi  P BDNM) E

K

N M A'

A

N M A'

A

D C

B B'

C'

D' D' C'

B'

B

C D

S

(86)

Thấy BMDNAA’=I

Khi đó: V1=V(A’MNABD); V2=V-V1 (Với V thể tích hình hộp)

* Ta có: ( ' ) ( )

( A'B'D') ( ' ' ')

V IA MN S AMN

V A S A B D 

* Mà: (AA'B'D')

6

V

V  nên có:

1

( ' )

24

V IA MN  V

* Lại có: ( ' ) '

( )

V IA MN IA IM IN V IABD  IA IB ID  *Vậy: ( )

3

V IABD  V

* Do đó: 1 1

3 24 24

V  V V  V nên 2 1 17

24

V VV  V Vậy:

2 17 V V  Chọn A

Câu 26: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB, AA’ B’C’ Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

A 25

47 B C

49

95 D

8 17

Chứng minh EI = IJ = JF Từ suy

'

' '

EB EM FA

EB  EK  FB  Lại từ suy

1

FN FK 

Ta có: d(K, A'B') = (1/2)d(C', A'B'), FB' = (3/2)A'B' Suy SKFB’ = (3/4)SA’B’C’

Mặt khác

'

EB

EB  nên suy d(E, (KFB’)) = (3/2)h (h

chiều cao lăng trụ)

Do VEKFB’ = (3/8)V (V thể tích lăng trụ)

'

1 1

' 3 27 EBIM

EB FK

V EI EM EB

V  EF EK EB   nên VEBIM =

1

27 8V 72V

' '

' 1 1

' 3 18

FA JN FB EK

V FJ FA FN

V  FE FB FK   nên VFA’JN =

1

18 8V 48V

Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa điểm B'

V2 thể tích phần chứa điểm C

C I

N

M

D

B C'

A'

B' D'

A

N F

M E

K J

I

B'

C' A'

C

(87)

Ta có V1 = (3/8 – 1/72 – 1/48)V = (49/144)V nên V2 = (95/144)V

Do

49 95 V

V  Chọn C

CỰC TRỊ TỈ LỆ THỂ TÍCH

Câu 27: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A, C thỏa

mãn ,

3

SA S A SC SC

   

Mặt phẳng  P chứa đường thẳng A C  cắt cạnh SB SD , B D,  đặt

S A B C D

S ABCD V k

V    

 Giá trị nhỏ k bao nhiêu?

A

60 B

1

30 C

4

15 D

Chọn A

Đặt V VS ABCD. , ta có: SB SD SA SC SBSD  SASC    Đặt x SB 0,y SD

SB SD

 

    x y 1

x y

 

    

 

1

1 15 30

2 S A B C

S A B C

V SA SB SC

x V xV

SA SB SC V

  

   

1

1 15 30

2 S A D C

S A D C

V SA SD SC

y V yV

SA SD SC V

  

   

Do  

1 30 S A B C D

S ABCD V

k x y

V    

   1

8 60

x y k

     

Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi C trung điểm cạnh SC Mặt phẳng  P chứa đường thẳng AC cắt cạnh SB SD , B D,  Đặt

S B C D

S ABCD V m

V   



Giá trị nhỏ m : A

27 B

4

27 C

1

9 D

2

(88)

Đặt

1

2 S B C D S ABCD

V SB SC SD

V V xy

SB SC SD V

     

   

1

;

SB SD

m xy x y

SB SD

 

 

    

  ;

1

SA SC

x y SA SC

 

     

Sử dụng bất đẳng thức AM GM ta có 1

9

xy m

x y  xy    

Câu 29: Cho khối tứ diện S ABC cạnh a Mặt phẳng  P qua S trọng tâm tam giác ABC cắt cạnh AB AC , M N Đặt ,

S AMN S ABC V m

V

 Giá trị nhỏ m

A 2

3. B

2

9 C

4

9. D

1

Ta có AMN

ABC

S AM AN

m xy

S AB AC

  

Gọi O trọng tâm tam giác ABC, đặt

 

 

; , 0;1

AM AN

x y x y

AB AC

  

Ta có D trung điểm AB, giả sử

AM AD đặt ABa

Áp dụng định lí Meneleuys cho tam giác

ACD có MD OC NA

MA OD NC 

2

a xa

ya

xa a ya



 

 2x1yx1y3xy x y2 xy

4

m xy

  

Câu 30: Cho hình chóp S ABCD tích V đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng qua A

và trung điểm N cạnh SC cắt cạnh SB SD tại, M P Tính thể tích nhỏ , khối chópS AMNP

A

8

V

B 3

8

V

C

4

V

D

3

V

Chọn C

Ta có 1, , 1,

2

SA SN

x y z t

SA SB SC

M

S

S SP

D

     

D

O

B C

A

(89)

Và 1 1 1 x z  y t y    t

Do . 1 1 13 3

4 4

S AMNP

xyzt V

V V yt ytV

x y z t

 

        

 

Mặt khác .

3 S AMNP

yt

y t V

yt    yt V 

Câu 31: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình hình hành Các điểm A, C thỏa

mãn ,

3

SA SA SC SC

   

Mặt phẳng  P chứa đường thẳng A C  cắt cạnh SB SD , B D,  đặt

S A B C D

S ABCD V k

V    

 Tính giá trị lớn k bao nhiêu? A

105 B

1

30 C

4

15 D

4 27

Đặt V VS ABCD. , ta có: SB SD SA SC SBSD  SASC    Đặt x SB 0,y SD

SB SD

 

   

1

1 15 30

2 S A B C

S A B C

V SA SB SC

x V xV

SA SB SC V

  

   

1

1 15 30

2 S A D C

S A D C

V SA SD SC

y V yV

SA SD SC V

  

   

Do  

1 30 S A B C D

S ABCD V

k x y

V    

   1

x y  Không tính tổng quát, giả sử x 1

4 y

   , từ 1

8 y x

x y    y

 

1

30 30

y

k x y y

y

 

      



 

với 1

4y Ta có

 2

1

1 0, y ;1

30

k

y

   

       

    

 

Vậy max  

1

30 105

k k    

(90)

Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tích V Gọi M N thứ tự , điểm di động cạnh AB AD cho , AB 2AD

AM  AN  Gọi V' thể tích khối

chóp S AMN Tìm giá trị nhỏ V' A 1

4V B

1

6V C

1

8V D

1 3V

Đặt

1 1 2

;

4

AB AD x

y x

AM  x AN  y  x y    x   

2

1

'

2 4

SAMN

S ABCD

V AM AN x x

xy V V

V  AB AD   x   x

2

1 ;1

1

min

4

x

x x

     

 

  

 



 

Câu 33: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tích V Gọi M N thứ tự , điểm di động cạnh AB AD cho , AB 2AD

AM  AN  Gọi V' thể tích khối

chóp S MBCDN Tìm giá trị lớn V' A 1

4V B

2

3V C

3

4V D

1 3V

Đặt

1 1 2

;

4

AB AD x

y x

AM  x AN  y  x y    x   

2

1

'

2 4

SAMN

S ABCD

V AM AN x x

xy V V

V AB AD x x

 

      

   

2

1 ;1

3

max

4

x

x x

     

 

   

 



 

Câu 34: Cho hình chóp S ABCD tích V , đáy hình bình hành Mặt phẳng   qua A, trung điểm I SO cắt cạnh SB SC SD , , M N P Tính thể tích nhỏ , , khối chóp S AMNP

A

18

V

B

3

V

C

6

V

D 3

8

V

D

A B

C S

N

M

D

A B

C S

N

(91)

Với x SA

SA

  ,

3

SM y

SB

  ,

2

SN z

SC

  ,

SP t

SD

 ta có 1 1

xz  y Xét tam giác t SAC ta có

 

1

2

1

4

SO SC

SO SA SC SI SA SN

SI SN

SI SA SN

z

 

      

 

 

    

 

     

  

Mặt khác điểm A I N thẳng hàng nên , ,

1 1

1

44z  z3

Vậy

 

   

2

1

;1

1 1

min

4

S AMNP

xyzt t V

V V f t V f t f

x y z t t  

   

   

           

  

 

Dấu xảy 1;

2

t y tức   qua trung điểm SB SD ,

Câu 35: Cho hình chóp S ABCD SA đường cao, đáy hình chữ nhật với , SAa AB, b AD, c Trong mặt phẳng SDB lấy G trọng tâm tam giác SDB, qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS M, cắt cạnh SD N, mpAMN cắt SC K Xác định M thuộc SB cho

SAMKN

V đạt giá trị lớn nhỏ Hãy tìm giá trị lớn nhỏ

A ax , min

8

SAMKN m SAMKN

abc abc

V   V   B ax , min

8 10

SAMKN m SAMKN

abc abc

V   V  

C ax , min

9 10

SAMKN m SAMKN

abc abc

V   V   D ax , min

10 11

SAMKN m SAMKN

abc abc

V   V  

Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD

Ta có:

3

SG SO K  AGSC K trung điểm SC

1 1

2 12

SMAK

SMAK SBAC SBAC

SBAC

V SM SA SK SM SM SM

V V V a b c

V  SB SA SC   SB  SB  SB

Tương tự 12

SNAK

SN

V a b c

SC



M

G K

O

C D A

B S

N

P N

I

O

C

A D

B

S

(92)

Do đó: 12

SAMKN

SM SN

V a b c

SB SC

 

   

 

Trong mp SBD:

2 2

SMN SMG SGN SMG SGN

SBD SBO SBO SBO

S SM SN S S S S SG SM SG SN SM SN SM SN

S SB SC S S S SO SB SO SB SB SC SB SC

  

          

 

Do M, N nằm cạnh SB, SD nên: 1

2

SB SM

SM SB

SB

    

Đặt , 1

2 SM

t t

SN

 

    

 

3

SN SN SN t

t t

SC SC SC t

 

    



 

Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN, GTNN nếu:

 

3

SM SN t

f t t

SB SC t

   

 với

1 2 t

Ta có  

   

2

1

'

3

t t

f t

t t



  

 

Nên '  2,

f t   t t (loại)  

1 3

, ,

2 2 3

f   f  f   

   

Do

8

SAMKN

abc

V  GTLN M trung điểm SB M trùng với B

9

SAMKN

abc

V  GTNN MB chiếm phần SB Chọn A

1 '

3

SA  SA

 

, '

SC  SC

 

S A B C D

S ABCD V k

V

 Giá trị lớn k là? A

105 B

1

30 C

4

15 D

4 27

H

M G

O

D

B S

(93)

Đặt V VS ABCD. , ta có

' '

SB SD

SB  SD  ' '

SA SC

SA SC   3

Mặt khác ' ' ' '. '. '

1 15

2 S A B C

V SA SB SC

x SA SB SC

V

  ' ' '

30

S A B C

V xV

 

' ' '

1 15

2

1 30 S A C D

S A C D

V SA SD SC

y SA SD SC

V

V yV

 

 

Do ' ' ' '  

1 30 S A B C D

S ABCD V

k x y

V

   ,

'

SB x

SB

 , y SD'

SD



Và

1 ;1

1

( ) max ( ) (1)

30 105

x

k f x x f x f

x  

   

 

      



 

Câu 37: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng song song với đáy cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD M , N, P, Q Gọi M , N ,P,Q hình chiếu M , N, P, Q mặt phẳng đáy Tìm tỉ số SM

SA để thể tích khối đa diện

MNPQ M N P Q    đạt giá trị lớn A 3

4 B

2

3 C

1

2 D

1

Đặt SM x

SA  0x1, kí hiệu V , h

là thể tích chiều cao khối chóp cho, theo Thales ta có: MN NP PQ SM x

AB  BC CD  SA  ;

và   

 

,

1 ,

d M ABCD AM

x SA

d S ABCD   

 

 ,  1 

d M ABCD x h

  

Vì vậy: VMNPQ M N P Q.     MN MQ d M  ,ABCD

 

2

1

x x AB AD h

  3x21x V

P' Q'

N' A

P

M'

Q

D

C B

N M

(94)

Sử dụng bất đẳng thức AM GM ta có:

 

2

1

x x 2 

2x x x

 

3

1 2

2 27

x  x x

 

   

 

Do .

9

MNPQ M N P Q

V      V Dấu " " xảy x 2 2x

2

x

 

Chọn B

Câu 38: Cho khối chóp S ABC Một mặt phẳng song song với đáy cắt cạnh bên SA, SB, SC

lần lượt M ,N, P Gọi M , N ,P hình chiếu M ,N, P mặt phẳng đáy Tìm tỉ số SM

SA để thể tích khối đa diện MNP M N P    đạt giá trị lớn

A 3

4 B

2

3 C

1

2 D

1

Đặt SM x

SA  0x1, kí hiệu V , h

là thể tích chiều cao khối chóp cho, theo Thales ta có: MN NP MP SM x

AB  BC  CA  SA  ;

và   

 

,

1 ,

d M ABC AM

x SA

d S ABC   

 

 ,  1 

d M ABC x h

   ;

MNP ABC

S x S

Vì vậy: VMNP M N P.    SMNP.d M ,ABC

 

2

1 ABC

x x S h

  2 

3x x V

 

Sử dụng bất đẳng thức AM GM ta có:

 

2

1

x x 2 

2x x x

 

3

1 2

2 27

x  x x

 

   

 

Do

9

MNPQM N P

V    V Dấu " " xảy x 2 2x

2

x

 

Chọn B

Câu 39: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC mặt phẳng qua , AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi

1

V thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ V1

V ?

A 1

8 B

2

3 C

3

8 D

1 B

N'

P' A

P

M' N

C M

(95)

Gọi O tâm hình bình hành ABCD G trọng tâm tam giác SAC

Ta có M G N thẳng hàng Do , , ABCDlà hình bình hành nên . . .

2

S ADC S ABC S ABCD

V V  V

Theo cơng thức tỉ số thể tích ta có:

1

2

S AMP S AMP S AMP

S ADC S ABCD

S ABCD

V SM SP V SM V SM

V SD SC SD V SD

V      Tương tự 1

1 2 4

2

S ANP S ANP S ANP

S ABC S ABCD

S ABCD

V SN SP V SN V SN

V SB SC SB V SB

V

    

Từ suy

4 S AMP S ANP

S ABCD S ABCD

S AMNP

S ABCD

V V SM SN

V V SD SB

V SM SN

V SD SB

                 

Hay 1

V SM SN

V SD SB

 

   

 

Ta chứng minh SD SB

SM SN 

Thậy vậy, qua B D kẻ đường song song với , MN cắt SO E F , Ta có: SD SF SB; SE SD SB SE SF

SM SG SN SG SM SN SG



    

2

SD SB SO

SM SN SG

    

Đặt SD x;SB y

SM  SN  Ta có xy

Mặt khác

 

1

2

1 1 3

4 4

V SM SN x y

V SD SB x y xy xy x y

  

 

         

    

Vậy V1

V nhỏ

1

Câu 40: Cho hình chóp S ABC có ASB BSC CSA30 SASBSCa Mặt phẳng  P qua A cắt hai cạnh SB SC , B C,  cho chu vi tam giác AB C  nhỏ Gọi V V lầ lượt thể tích khối chóp 1, 2 S AB C S ABC  , Tính tỉ số

2 V V A

2

3 2 V

V   B

1

3 V

V   C

1

4 V

V   D

1

2 V

V  

S

B O D

(96)

Đặt

, V

SB SC SB SC

x y x y

SB SC V SB SC

   

    

Khi đó:

   

2 2

2

2 2

2 .cos

2 .cos 30

AB SA SB SA SB ASB

a ax a ax  a x x

      

     

2

1

AB a x x

   

Tương tự: AC a 1 3yy2 ,

2

3 B C  a x  xyy Ta có:

2 2

2

1 3

p AB AC B C

a x x y y x xy y

   

  

 

        

 

 

2 2 2

2

3

1

2 2

a y y x x x x

 

       

 

              

   

         

 

2 2

3 1

1 ( 1 )

2 2

a  x  x a x x a x x x x

               

   

 

2 2

2

1 3 1

2

2 2 2 2

a x x a a

 

       

   

 

                   

     

         

 

Dấu xảy khi:  

2

2 , 3 1 3 1 3 1 4 3

3

y x

V

x x x y

V y



           



Câu 41: Cho khối chóp S ABC có SASBSCa ASB  60 , BSC  90 ,ASC 120 Gọi ,

M N điểm cạnh AB SC cho CN AM

SC  AB Khi khoảng cách M N nhỏ nhất, tính thể tích V khối chóp S AMN

A

3 72

a

B

3

72 a

C

3

432 a

D

3 432

Chọn C

S

A

C

B

(97)

Ta tích khối chóp S ABC

2

3

0

1

6 2 12

a a

V        

   

Đặt CN AM m0 m 1

SC  AB    , ta có

, ,

SAa SBb SCc

     

, a  b  c a,

2

, 0,

2

a a

a b  b c  a c   Theo đẳng thức ta có đẳng thức vectơ

1  ,  

SN  m c SM SAAM am ABam b a

         

   

1

MN SN SM m c a m b a

m a mb m c

 

       

 

    

      

  

Do

   

 

2

1

11

3

12

MN m a mb m c

a

m m a

    

   

  

Dấu xảy

 

3

0

6

5

1

6 12 432

S AMC

SN SN AM

m V V V

SC SC AB

a a

m m V

   

   

b c

a

C A

B S

(98)

1,8dm

1dm

1,2m

ỨNG DỤNG THỰC TẾ

A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144 m , đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230 m Các lối phòng bên chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10

xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá 3

2,5.10 kg m Số lần vận / chuyển đá để xây đủ dựng kim tự tháp là:

A 740600 B 76040 C 7406 D 74060

Câu 2: Một hộp đựng chocolate kim loại có hình dạng lúc mở nắp hình vẽ Một phần tư thể tích phía hộp dải lớp bơ sữa ngọt, phần cịn lại phía chứa đầy chocolate ngun chất Với kích thước hình vẽ, gọi xx0 giá trị làm cho hộp kim loại tích lớn nhất, thể tích chocolate ngun chất có giá trị V Tìm 0 V 0

A 48 đvtt B 16 đvtt C 64 đvtt D 64

3 đvtt

Câu 3: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt rubic có ô vuông), biết chu vi ô (ô hình vuông mặt) 4cm

A 27 cm3 B 1728 cm3 C 1 cm3 D 9 cm3 Câu 4: Cắt miếng giấy hình vng hình xếp thành hình chóp tứ

giác hình2 Biết cạnh hình vng 20cm, OM x cm  Tìm x để hình chóp tích lớn nhất?

A x9cm B x8cm C x6cm D x7cm

Câu 5: Người ta muốn xây bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp

(99)

kể)

A 738 viên, 5742 lít B 730 viên, 5742 lít C 738 viên, 5740 lít D 730 viên, 5740 lít

Câu 6: Cho nến hình lăng trụ lục gác có chiều cao độ dài cạnh đáy 15cm

và 5cm Người ta xếp nến vào hộp có dạng hình hộp chữ nhật cho nến nằm khít hộp Thể tích hộp

A 1500 ml B 600 ml C 1800 ml D 750 ml

Câu 7: Một miếng bìa hình trịn có bán kính 20cm Trên biên miếng bìa, ta xác định điểm , , , , , , ,

A B C D E F G H theo thứ tự chia đường tròn thành phần Cắt bỏ theo nét liền hình vẽ để có hình chữ thập ABNCDPEFQGHM gấp lại theo nét đứt MN NP PQ QM tạo thành khối hộp không nắp Thể tích khối hộp thu , , , là:

A  

4000 2 2

 

B  

3

4000 2

2 

C 4000 2  2 2 D  

3

4000 2

Câu 8: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD60cm, AB40cm Ta gập nhơm theo hai cạnh MN PQ vào phía AB DC trùng hình vẽ bên để dược hình lăng trụ khuyết hai đáy Khi tạo khối lăng trụ với thể tích lớn

A 4000 cm 3 B 2000 cm 3 C 400 cm 3 D 4000 cm 3 Câu 9: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD60cm Ta gấp nhôm theo cạnh

(100)

A x 20 B x 15 C x 25 D x 30

Câu 10: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh x cm  Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện, tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương, cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập phương có độ dài y cm  hình vẽ bên Tìm thể tích V khối gỗ sau đục biết x80cm y; 20cm

A 490000 cm 3 B 432000 cm 3 C 400000 cm 3 D 390000 cm 3 Câu 11: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằngx cm .Ở mặt hình lập

phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện,tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương,các cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập phương có độ dài y cm (như hình vẽ bên).Tính tỉ số S

V ,trong V khối gỗ sau

đục S tổng diện tích mặt (trong ngồi)khối gỗ sau đục

A  

  

6

2

x y

S

V x y x y

 

  B

 

  

3

2

x y

S

V x y x y

 

(101)

C  

  

2

x y

S

V x y x y

 

  D

 

  

9

2

x y

S

V x y x y

 

 

Câu 12: Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V m 3 , hệ số k cho trước (k - tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Gọi x y h  chiều , , rộng, chiều dài chiều cao hố ga Hãy xác định x y h  xây tiết kiệm nguyên vật , , liệu x y h , ,

A  

 

3

3 2

2

2 2

2 ; ;

4

k V kV k k V

x y h

k k

 

  



B  

 

3

3 2

2

2 2

; ;

4

k V kV k k V

x y h

k k

 

  



C  

 

3

3 2

2

2 2

; ;

4

k V kV k k V

x y h

k k

 

  



D  

 

3

3 2

2

2 2

; ;

4

k V kV k k V

x y h

k k

 

  



Câu 13: Cho nhơm hình vng cạnh 1m hình vẽ Người ta cắt bỏ tam giác cân bên nhơm, phần cịn lại gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x m , cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm x để khối chóp nhận tích lớn

A 2

x  B

2

x  C

4

x  D

3 x 

Câu 14: Một viên đá có dạng khối chóp tứ diện tất cạnh a , người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói A

2

3 a

B

2

3 a

C

2

3 a

D

2

3 a

(102)

Câu 15: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1, 296m Người thợ cắt 3 kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước a b c hình vẽ Hỏi người thợ , , phải thiết kế kích thước a b c để , , đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày kính khơng đáng kể

A a3, ;m b0, ;m c0, 6m B a2, ;m b0,9 ;m c0, 6m C a1,8 ;m b1, ;m c0, 6m D a1, ;m b1, ;m c0,9m

Câu 16: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm hồ nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng khơng nắp, có chiều cao h tích Hãy tính chiều cao hồ nước cho chi phí xây dựng thấp nhất?

A m B h2 m C

2

h m D

2

h m

Câu 17: Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích

72dm chiều cao 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước , a b (đơn vị dm) hình vẽ

Tính a b để bể cá tốn nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày kính , khơng ảnh hưởng đến thể tích bể

A a 24, b 24 B a3, b8 C a3 2, b4 D a4, b6 Câu 18: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1,296 m3

Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với kích thước a, b, c hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kế kích thước a, b, c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy kính khơng đáng kể

A a3, ;m b0, ;m c0, 6m B a2, ;m b0, ;m c0, 6m C a1,8 ;m b1, ;m c0, 6m D a1, ;m b1, ;m c0,9m

b dm a dm

3 dm

c

(103)

Câu 19: Từ tơn có kích thước 90cmx3m người ta làm máng xối nước mặt cắt là hình thang ABCD có hinh Tính thể tích lớn máng xối

A 40500 3cm 3 B 40500 2cm 3 C 40500 6cm 3 D 40500 5cm 3 Câu 20: Để làm máng xối nước, từ tơn kích thước 0,9m3m người ta gấp tơn

như hình vẽ Biết mặt cắt máng xối (bị cắt mặt phẳng song song với hai mặt đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ có chiều cao chiều dài tôn Hỏi x m bằng thể tích máng xối lớn nhất?

A x0,5m B x0, 65m C x0, 4m D x0, 6m

Câu 21: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm bể nước gạch có dạng hình hộp có đáy hình chữ nhật chiều dài d m và chiều rộng r m  với d 2 r Chiều cao bể nước h m và thể tích bể 2m Hỏi chiều cao bể nước chi phí xây dựng thấp nhất? 3

A 3 3 

2 m B  

3

3 m C  

3

2 m D  

2 3 m Câu 22: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để

làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ A

2

xV B

x V C

1

xV D x V

Câu 23: Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ông A định mua tặng vợ quà đặt vào hộp tích 32 ( đvtt ) có đáy hình vng khơng có nắp Để q trở nên thật đặc biệt xứng đáng với giá trị ơng định mạ vàng cho hộp, biết độ dạy lớp mạ điểm hộp Gọi chiều cao cạnh đáy hộp Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị

phải là?

A B C D

3m 90cm

3m

30cm

30cm 30cm

D

B C

A

h; x h; x

x2; h4 x4; h2 4;

2

 

x h x1;h2

3 m

0, m 0, m

0, m

x m

0, m 3 m

0, m

x

(104)

Câu 24: Một ngơi nhà có dạng tam giác ABC cạnh dài 10 m được đặt song song cách mặt đất h m  Nhà có trụ A B C vng góc với , , ABC Trên trụ A người ta lấy hai điểm M N cho , AM x AN,  y góc MBCvà NBCbằng 90để mái phần chứa đồ bên Xác định chiều cao thấp nhà

A 5 B 10 C 10 D 12

Câu 25: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện tích tồn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thể tích xác định V cho trước Khi diện tích tồn phần hộp sữa bé hai phương án

A 3 2 V B 6 V3 C 3 6V3 D 3 V3 

Câu 26: Một bác thợ gị hàn làm thùng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) tơn thể tích

665,5 dm Chiếc thùng có đáy hình vng cạnh x dm , chiều cao (( ) h dm Để làm ) thùng, bác thợ phải cắt miếng tơn hình vẽ Tìm x để bác thợ sử dụng nguyên liệu

A 10, 5(dm ) B 12(dm ) C 11(dm ) D 9(dm )

Câu 27: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để làm thùng hàng tốn nguyên liệu chiều cao thùng đựng đồ

A

2

xV B

x V C

1

xV D x V

Câu 28: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát khơng đáng kể)

A 1180 viên, 8820 lít B 1180 viên, 8800 lít C 1182 viên, 8820 lít D 1180 viên, 8800 lít

Câu 29: Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác (như hình vẽ) Từ mảnh giấy hình vng khác cũng có cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tam giác (như hình vẽ) Gọi V V thể tích lăng trụ tứ giác lăng 1, trụ tam giác So sánh V 1 V 2

h h

x

(105)

(106)

B – HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Kim tự tháp Cheops (có dạng hình chóp) kim tự tháp cao Ai Cập Chiều cao kim tự tháp 144 m , đáy kim tự tháp hình vng có cạnh dài 230 m Các lối phịng bên chiếm 30% thể tích kim tự tháp Biết lần vận chuyển gồm 10

xe, xe chở đá, khối lượng riêng đá 2,5.103kg m Số lần vận / chuyển đá để xây đủ dựng kim tự tháp là:

A 740600 B 76040 C 7406 D 74060

Gọi cạnh hình chóp a 230,chiều cao h 144

Thể tích kim tự tháp: 2 539 002 3

V  ha  m

Thể tích khối đá cần vận chuyển 0.7V 1777 440m3 Gọi x số lần vận chuyển Để đủ đá xây dựng kim tự tháp

Câu 2: Một hộp đựng chocolate kim loại có hình dạng lúc

mở nắp hình vẽ Một phần tư thể tích phía hộp dải lớp bơ sữa ngọt, phần cịn lại phía chứa đầy chocolate nguyên chất Với kích thước hình vẽ, gọi xx0 giá trị làm cho hộp kim loại tích lớn nhất, thể tích chocolate ngun chất có giá trị V Tìm 0 V 0

A 48 đvtt B 16 đvtt C 64 đvtt D 64

3 đvtt

Phân tích: Đây dạng toán ứng dụng thực thể kết hợp với phần tính thể tích khối đa diện hình học phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đa thức học chương I phần giải thích

Trước tiên ta nhận thấy

    2

6 12 2

V  x  x x x x

 

2x x 12x 36 2x 24x 72x

     

Xét hàm số  

2 24 72

(107)

   

' 48 72; '

2 x

f x x x f x

x  

     

  Khi

0;6    

max f x  f 64 đvtt Đến nhiều quý độc gỉ vội vã khoanh C mà khơng đắn đo Tuy nhiên, vội vã bạn sai, đề u cầu tìm thể tích chocolate ngun chất mà khơng phải thể tích hộp ta cần Tức 1

4

  thể tích hộp tức 3.64 48

4  đvtt

Câu 3: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt rubic có vng), biết chu vi (ơ hình vng mặt) 4cm

A 27 cm3 B 1728 cm3 C 1 cm3 D 9 cm3 Hướng dẫn giải:

Đây toán ăn điểm, đọc không kĩ câu chữ đề độc giả sai

Ta có khối rubic sau:

Hướng sai 1: Nghĩ cạnh ô vuông nên chiều dài cạnh khối rubic

4.3 12 12 1728

a  V   B

Hướng sai 2: Nghĩ chu vi ô vuông tổng độ dài 12 cạnh nên chiều dài cạnh

3, nên độ dài khối rubik

3

1

.3 1

3

a  V   C

Hướng sai 3: Nhầm công thức thể tích sang cơng thức tính diện tích nên suy ý D Cách làm đúng: Chu vi ô nhỏ cm nên độ dài cạnh nhỏ 1cm, độ dài cạnh khối rubic

3

3.1 3.3.3 27

a  cmV   cm

Chọn A

Câu 4: Cắt miếng giấy hình vng hình xếp thành hình chóp tứ giác hình2 Biết cạnh hình vng 20cm, OM x cm  Tìm x để hình chóp tích lớn nhất?

A x9cm B x8cm C x6cm D x7cm Hướng dẫn giải:

(108)

1,8dm

1dm

3m

1,2m

Ta có: OM x AC2x, AM  2x Suy ra:

2 x

OH  ,

2 x

MH  , 10

2 x

SH  

 

2

2 10

20 10

2 2

x x

SO SH OH        x

   

  2

1 20

20 10 40

3 đáy 3

V  SO S  x x   x x

 

5 15

2

20 20 40 20

40

3

x x x x x

V x x x x       

      

 

Dấu " " xảy 40 4 xxx8

Câu 5: Người ta muốn xây bể chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp

3m; 1, 2m ; 1,8m (người ta xây hai mặt thành bể hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bể thể tích thực bể chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát khơng đáng kể)

A 738 viên, 5742 lít B 730 viên, 5742 lít C 738 viên, 5740 lít D 730 viên, 5740 lít Hướng dẫn giải:

Chọn A

Thể tích bể V 18.11.295742 l

Thể tích viên gạch 1dm , thể tích cần xây dựng 3 (30 11).18 738dm3, suy số viên cần dùng 738 viên

Câu 6: Cho nến hình lăng trụ lục gác có chiều cao độ dài cạnh đáy 15cm

và 5cm Người ta xếp nến vào hộp có dạng hình hộp chữ nhật cho nến nằm khít hộp Thể tích hộp

A 1500 ml B 600 ml C 1800 ml D 750 ml

Ta có AB 10 cm,AD=5 cm 50

ABCD

S 

H x

O

M

D

A

(109)

750

ABCD

V S h

Chọn D

Câu 7: Một miếng bìa hình trịn có bán kính 20cm Trên biên miếng bìa, ta xác định điểm , , , , , , ,

A B C D E F G H theo thứ tự chia đường tròn thành phần Cắt bỏ theo nét liền hình vẽ để có hình chữ thập ABNCDPEFQGHM gấp lại theo nét đứt MN NP PQ QM tạo thành khối hộp khơng nắp Thể tích khối hộp thu , , , là:

A  

4000 2 2

 

B  

3

4000 2

2 

C 4000 2  2 2 D  

3

4000 2

Chọn C

Theo giả thuyết ta có

2 sin

8.2

(110)

1 cos

40sin 40 20 2

8



 

   

Và

10 2

AH

MH MANBNCPDPEQGQH   

Vì  

2

20 2 10 2 4000 2 2

V MN MQ MA      

 

Câu 8: Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD60cm, AB40cm Ta gập nhôm theo hai cạnh MN PQ vào phía AB DC trùng hình vẽ bên để dược hình lăng trụ khuyết hai đáy Khi tạo khối lăng trụ với thể tích lớn

A 4000 cm 3 B 2000 cm 3 C 400 cm 3 D 4000 cm 3 Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đáy lăng trụ tam giác cân có cạnh bên x , cạnh đáy

60 2x

Đường cao tam giác 2 60

60 900

x

AH  x     x

  ,

với H trung điểm NP

Diện tích đáy

     

1

60 900 30 60 900 900 30 900 30

2 30

ANP

S S  AH NP x x  x  x  x

 

3

2

1 900

100

30

S   cm

    

 

Diện tích đáy lớn 100 3cm nên thể tích lớn 2 V 40.100 34000 3cm3 Câu 9: Cho nhôm hình chữ nhật ABCD có AD60cm Ta gấp nhơm theo cạnh

(111)

A x 20 B x 15 C x 25 D x 30 Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có PN 60 2 x, gọi H trung điểm PN suy AH  60x900

      

1

60 60 900 60 15 225

2

ANP

S   x x   x x  f x , chiều cao khối

lăng trụ khơng đổi nên thể tích khối lăng trụ max f x  max

  45 20    

' 20, 20 100 3, 15

15 225 x

f x x f f

x

 

     

  

max f x 100 x 20

Câu 10: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh x cm  Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện, tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương, cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập phương có độ dài y cm  hình vẽ bên Tìm thể tích V khối gỗ sau đục biết x80cm y; 20cm

A

490000 cm B

432000 cm C

400000 cm D

390000 cm Hướng dẫn giải:

(112)

Thể tích cần tìm thể tích khối lập phương ban đầu trừ khối hộp chữ nhật có đáy hình vng cạnh y cm , chiều cao  ;

2

x y cm



trừ thể tích khối lập phương có độ dài cạnh y cm  Vì vậy,

 

3 3 80 20 3

6 80 .20 20 432000

2

x y

V x    y y      cm

 

Câu 11: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh bằngx cm .Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện,tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương,các cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập phương có độ dài y cm (như hình vẽ bên).Tính tỉ số S

V ,trong V khối gỗ sau

đục S tổng diện tích mặt (trong ngồi)khối gỗ sau đục

A  

  

6

2

x y

S

V x y x y

 

  B

 

  

3

2

x y

S

V x y x y

 

 

C  

  

2

x y

S

V x y x y

 

  D

 

  

9

2

x y

S

V x y x y

 

 

Thể tích hình cần tính thể tích khối lập phương ban đầu trừ khối hộp chữ nhật có đáy hình vng cạnhy cm,chiều cao

2

x y cm



,rồi trừ thể tích khối lập phương có độ dài cạnh bằngy cm

Vì vậy:   2 

2 x y

V x    y y  xy x y

 

Tổng diện tích mặt khối gỗ sau đục

 2 ( )   

6 6.4

2

y x y

V  x y    xy x y

Vậy  

  

6

2

x y

S

V x y x y

 

 

(113)

Câu 12: Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V m 3 , hệ số k cho trước (k - tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Gọi x y h  chiều , , rộng, chiều dài chiều cao hố ga Hãy xác định x y h  xây tiết kiệm nguyên vật , , liệu x y h , ,

A  

 

3

3 2

2

2 2

2 ; ;

4 2 1

k V kV k k V

x y h

k k

 

  



B  

 

3

3 2

2

2 2

; ;

4 2 1

k V kV k k V

x y h

k k

 

  



C  

 

3

3 2

2

2 2

; ;

4 2 1

k V kV k k V

x y h

k k

 

  



D  

 

3

3 2

2

2 2

; ;

4 2 1

k V kV k k V

x y h

k k

 

  

 Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi x y h x y h , ,  , , 0 chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Ta có: k h h kx

x

   V xyh y V V2

xh kx

   

Nên diện tích tồn phần hố ga là: 2 1

2 k V

S xy yh xh kx

kx 

    

Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ

 

3

2

4

k V

x

k

 

Khi

 

3

3 2

2

2 ,

4

2

k k V

kV

y h

k



 



Câu 13: Cho nhơm hình vng cạnh 1m hình vẽ Người ta cắt bỏ tam giác cân bên ngồi nhơm, phần cịn lại gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x m , cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm x để khối chóp nhận tích lớn

x

(114)

A 2

x  B

2

x  C

4

x  D

3 x  Hướng dẫn giải:

Ta có: 2

2

x

y  z y

Chiều cao hình chóp:

2

2 2 2

2 2

h z  x  y  x   x

   

   

2

1

3 2

chop

V x x

  

chop

V lớn hàm số 2

2

yx  x đạt GTLN

5

'

1

4

2

x x

y

x

 





2

0

' 2 2

5 x

y x x

x   

     

   Chọn A

1

x x

z y

(115)

Câu 14: Một viên đá có dạng khối chóp tứ diện tất cạnh a , người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói A

2

3 a

B

2

3 a

C

2

3 a

D

2

3 a

Chọn D

Từ giả thiết . .

2

S A B C D S ABCD

V     V

  . .

2

S A B C S ABC

V    V

  ( Do khối chóp tứ giác đều)

1 S A B C

S ABC V

V   

 

3

2

SA SA a

SA SA



 



    

  A B SA

  

 

3 a 

2

3 td

a S A B 

   .

Câu 15: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1, 296m Người thợ cắt 3 kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước a b c hình vẽ Hỏi người thợ , , phải thiết kế kích thước a b c để , , đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày kính khơng đáng kể

A a3, ;m b0, ;m c0, 6m B a2, ;m b0,9 ;m c0, 6m C a1,8 ;m b1, ;m c0, 6m D a1, ;m b1, ;m c0,9m Hướng dẫn giải:

Với a chiều dài ngăn bể cá Ta có: V abc1, 296 1 

3

2 2 3

2 2

a a a a abc abc abc

S c bc b c bc b ac bc ab abc

b a c abc

 

             

 

B'

A'

O

D'

C'

D

C B

A

S

c

(116)

b dm a dm

3 dm

Dấu “=” xảy

3

2

a b

b

a a c

c 

  

   

   

Thay vào   3 1, 296.4

1 : 1, 296 ; 1,8; 0,

4b  b  b a c

Chọn C

Câu 16: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm hồ nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng khơng nắp, có chiều cao h tích Hãy tính chiều cao hồ nước cho chi phí xây dựng thấp nhất?

A m B h2 m C

2

h m D

2

h m

Gọi x, y, h chiều rộng, chiều dài chiều cao hình hộp Theo đề ta có y3x 2

3

V V

V hxy h

xy x

   

Để tiết kiệm nguyên vật liệu ta cần tìm kích thước cho diện tích tồn phần hồ

nước nhỏ

Khi ta có:

2

8

2 2 2.3 x

3 3

tp

V V V

S xh yh xy x x x x

x x x

       

Ta có

2

2 3

8 4 16

3 3 36

3 3

Cauchy tp

V V V V

S x x

x x x

      

Dấu “=” xảy

2

4

3

V V V

x x h

x       x 

Vậy chọn C

Câu 17: Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích 72dm chiều 3 cao 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước , a b (đơn vị dm) hình vẽ

Tính a b để bể cá tốn nguyên liệu , (tính kính giữa), coi bề dày

tấm kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể

(117)

Có: V 72 3.ab 72 a 24 b

     (1)

Bể cá tốn ngun liệu nghĩa diện tích tồn phần nhỏ

Ta có diện tích tồn phần bể cá là: Stp 3.3a ab 3b 216 6b 24

b

     

Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Stp 216 6b 24 216.6b 24 96

b b

     

Dấu xảy khi: 216 6b b 6b 0

b     Từ (1), ta suy ra: a 4

Câu 18: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1,296 m3 Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình

hộp chữ nhật với kích thước a, b, c hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kế kích thước a, b, c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy kính khơng đáng kể

A a3, ;m b0, ;m c0, 6m B a2, ;m b0, ;m c0, 6m C a1,8 ;m b1, ;m c0, 6m D a1, ;m b1, ;m c0,9m Hướng dẫn giải:

Thể tích bể cá là: V abc1, 296

Diện tích tổng miếng kính Sab2ac3bc (kể miếng giữa) Ta có:

3

1 3 , ,

1 3 6

3

1, 296 Cauchy cho so

c b a S

abc cba  c b a  abc 

Dấu “=” xảy

1,8

1

1,

1, 296 0,

a b

c b a

abc c

  

 

 

 

 

   

 

Chọn C

Câu 19: Từ tơn có kích thước 90cmx3m người ta làm máng xối nước mặt cắt là hình thang ABCD có hinh Tính thể tích lớn máng xối

A

40500 3cm B

40500 2cm C

40500 6cm D

40500 5cm 3m

90cm

3m

30cm

30cm 30cm

D

B C

(118)

Thể tích máng xối:

.300 ( )

ABCD

V S cm

Vậy thể tích lớn diện tích hình thang lớn

1

( )

2

ABCD

S  BCAD CE

CECDsin 30.sin

2 30 60

ADBC ED  cos

90

2

ABCD

S  sin  sin 

Đặt ( ) 90 90 , [0; ]

2

f   sin sin   

90

'( ) 90 2

2

f   cos  cos 

2

1 cos

'( ) cos cos 2 cos cos

cos

f

  

    

  

 



 



         

 

  

 

(0) ( ) 0; 135

3 f  f   f 

  Vậy GTLN diện tích ABCD

2 135 3cm Vậy thể tích máng xối lớn 40500 3cm ta cạnh CD tạo với BC góc 3 60 Câu 20: Để làm máng xối nước, từ tôn kích thước 0,9m3m người ta gấp tơn

như hình vẽ Biết mặt cắt máng xối (bị cắt mặt phẳng song song với hai mặt đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ có chiều cao chiều dài tơn Hỏi x m bằng thể tích máng xối lớn nhất?

A x0,5m B x0, 65m C x0, 4m D x0, 6m Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi h chiều cao lăng trụ

Vì chiều cao lăng trụ chiều dài tơn nên thể tích máng xối lớn diện tích hình thang cân (mặt cắt) lớn

Ta có  0,3

h S  x

3 m

0, m 0, m

0, m

x m

0, m 3 m

0, m

x

(a) Tấm tôn (b) Máng xối (c) Mặt cắt

θ θ

30cm

30cm 30cm

E D

B C

(119)

h

0.3m 0.3m

B

A

C

 

   

2

0,3

0,3 0,3

4 x

BC x

x h



 



  

ĐK:      

2 0,3

0,3 0; 0,3 0,9

4 x

x 

   

Khi đó:

   2  2

1

0,3 0,3 0,3

4

S  x  x

Xét hàm số

   0, 3 0, 3 2  0, ; 0, 3 2 0, 9

f x  x  x x

         

   

2

2 0,3

4 0,3 0,3 0,

4 0,3 0,3

x

f x x x

x

 



     

 

      

   

 

   

2

2 2

4 0,3 0, 0,3 0,3 0,36 0,3

4 0,3 0,3 0, 0,3

x x x x x

x x

      

 

   

  0,

0 0,3 0,18

0, x

f x x x

x   

        

 

x 0,3 0, 0,9

 

f x  0 

 

f x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x  lớn x 0, Vậy thể tích máng xối lớn x0, 6m

Câu 21: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm bể nước gạch có dạng hình hộp có đáy hình chữ nhật chiều dài d m và chiều rộng r m  với d 2 r Chiều cao bể nước h m và thể tích bể

2m Hỏi chiều cao bể nước chi phí xây dựng thấp nhất? A 3 3 

2 m B  

3

3 m C  

3

2 m D  

2 3 m Hướng dẫn giải:

(120)

2

1

2

V x h h

x

   

Diện tích xung quanh hồ đáy bể

 

2

6 2

S x h x x x

x

    

Xét hàm số f x  2x2 x

  với x 0

Hàm số đạt giá trị nhỏ 3. x 

Vậy chiều cao cần xây 2  

2

1 2

3

2

h m

x

  

     

Câu 22: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ

A

2

xV B

x V C

1

xV D x V

Gọi a độ dài cạnh đáy, x độ dài đường cao thùng đựng đồ a x , 0

Khi đó, V a x2 a V Stp 2a2 4ax 2V Vx

x x

       

Để làm thùng hàng tốn nguyên liệu thìStp nhỏ 2V Vx x

  nhỏ

Cách : Xét hàm số f x  2V Vx x

  0; 

Ta có    

1

2

' V V ; '

f x f x x V V x x V

x x



      

Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ

1 V

f x( ) f' x( )

x

f(V

1

3)

0 + ∞

0 +

V

1

(121)

Cách 2: ta có

2V Vx 2V Vx Vx V

x   x   

Dấu " " xảy 3

x

V

V x V x V

x     

Chọn B

Câu 23: Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ông A định mua tặng vợ quà đặt vào hộp tích 32 ( đvtt ) có đáy hình vng khơng có nắp Để q trở nên thật đặc biệt xứng đáng với giá trị ông định mạ vàng cho hộp, biết độ dạy lớp mạ điểm hộp Gọi chiều cao cạnh đáy hộp Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị

phải là?

A B C D

Ta có , để lượng vàng cần dùng nhỏ

nhất Diện tích S phải nhỏ ta có

,

Câu 24: Một ngơi nhà có dạng tam giác ABC cạnh dài 10 m được đặt song song cách mặt đất h m  Nhà có trụ A B C vng góc với , , ABC Trên trụ A người ta lấy hai điểm M N cho , AM x AN, y góc MBCvà NBCbằng 90để mái phần chứa đồ bên Xác định chiều cao thấp nhà

A 5 B 10 C 10 D 12

Hướng dẫn giải: Đáp án B

h; x h; x

x2; h4 x4; h2 4;

2

 

x h x1;h2

x

x h

S xh x

S x. x x

V x

V x h h x

x x

  

     

     

2

4

32 128

4 32

   

S x f x f ' x x x

x x

  2      

2

128 128

(122)

Để nhà có chiều cao thấp ta phải chọn N nằm mặt đất Chiều cao nhà NM   x y

Gọi I trung điểm BC Ta có ABC AI BC,

 

MN  ABC MN BC, từ suy BC MNI MI BC MIN 900

NI BC

 

    

 

IMN

 vuông I nhận AI đường cao nên

2 10

75

2

AM AN AI xy  

     

 

 

Theo bất đẳng thức Côsi: xy2 xy 2 7510 3x y5

Do chiều cao thấp nhà 10

Câu 25: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện tích tồn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thể tích xác định V cho trước Khi diện tích tồn phần hộp sữa bé hai phương án

A 3 2 V B 6 V3 C 3 6V3 D 3 V3  Hướng dẫn giải:

Chọn D

Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ

Thể tích khơng đổi V R h2 h V2 ,Stp R2 Rh R2 2V

R R

   



      

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương R2,V V,

R R



Ta có 2 3 23 2. . 3 23

tp

V V V V

S R R V

R R R R

  

     (*)

Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật Thể tích khơng đổi

h

b a

(123)

 

; tp 2 2

V V V V V

V abh h S ab a b h ab a b ab

ab ab ab b a

 

             

 

Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho ba số dương ab;V V;

a b

Ta có 2.33 . . 63 tp

V V

S ab V

a b

  (**)

Xét hai kết ta thấy (*) nhỏ

Vậy diện tích tồn phần hộp sữa bé Stp 3 23 V2 (đvdt)

Câu 26: Một bác thợ gò hàn làm thùng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) tơn thể tích

665,5 dm Chiếc thùng có đáy hình vng cạnh x dm , chiều cao (( ) h dm Để làm ) thùng, bác thợ phải cắt miếng tơn hình vẽ Tìm x để bác thợ sử dụng nguyên liệu

A 10, 5(dm ) B 12(dm ) C 11(dm ) D 9(dm ) Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta tích hình hộp là:

2

665,5 665,

V x h h

x

   

Diện tích tồn phần S x2 4xh x2 2662 S' 2x 26622

x x

       ;

' 11

S   x

Lập bảng biến thiên ta thấy x 11 S đạt giá trị nhỏ

Vậy để sử dụng ngun liệu bác thợ xây phải cắt miếng tơn có đáy hình vng cạnh 11(dm )

Câu 27: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ

A

2

xV B

x V C

1

xV D x V

Gọi a độ dài cạnh đáy, x độ dài đường cao thùng đựng đồ a x , 0

Khi đó, V a x2 a V Stp 2a2 4ax 2V Vx

x x

       

Để làm thùng hàng tốn nguyên liệu thìStp nhỏ 2V Vx x

  nhỏ Cách : Xét hàm số f x  2V Vx

x

  0; 

h h

x

(124)

Ta có    

1

2

' V V ; '

f x f x x V V x x V

x x



      

Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ

1 V

Cách 2: ta có 2V Vx 2V Vx Vx 63V2

x   x   

Dấu " " xảy 3

x

V

V x V x V

x     

Câu 28: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát không đáng kể)

A 1180 viên, 8820 lít B 1180 viên, 8800 lít C 1182 viên, 8820 lít D 1180 viên, 8800 lít Hướng dẫn giải:

Phân tích:

* Theo mặt trước bể:

Số viên gạch xếp theo chiều dài bể hàng 500 25 20

x   viên Số viên gạch xếp theo chiều cao bể hàng là: 200 40

5  Vậy tính theo chiều cao

có 40 hàng gạch hàng 25 viên Khi theo mặt trước bể N 25.40 1000 viên

f x( ) f' x( )

x

f(V

3)

0 + ∞

0 +

V

3

5m 2m

1dm

1m

(125)

* Theo mặt bên bể: ta thấy, hàng mặt trước bể xây viên hoàn chỉnh đoạn nối hai mặt mặt bên viên gạch lại cắt

2 viên Tức mặt bên

sẽ có

1 100 20

.40 40 180

2 20



  viên

Vậy tổng số viên gạch 1180 viên Khi thể tích bờ tường xây 1180.2.1.0,5 1180 lít

Vậy thể tích bốn chứa nước là:

50.10.20 1180 8820 lít

Câu 29: Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác (như hình vẽ) Từ mảnh giấy hình vng khác cũng có cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tam giác (như hình vẽ) Gọi V V thể tích lăng trụ tứ giác lăng 1, 2 trụ tam giác So sánh V 1 V 2

A V1V2 B V1 V2 C V1V2 D Không so sánh

Hướng dẫn giải: Ta có

3

4 16

a a a

V a 

và

3

1 3

2 3 36

a a a

Định dạng
Số trang	125
Dung lượng	13,54 MB