tong_hop_on_tap_mon_toan.pdf

thẳng song song. a) Vẽ đồ thị hàm số trên. Tính độ dài đoạn thẳng AB.. a) Chứng minh rằng 3 đường thẳng trên đồng quy. Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của m đồ thị hàm số luôn đi. qua đ[r]

Bài giảng số 5: ÔN TẬP TỔNG HỢP

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Cho hàm số yax b  d1 ya x b  d2 , với a a,  0

 Cách vẽ đồ thị hàm số yax b

- Bước 1: Xác định giao điểm với trục tung A0;b - Bước 2: Xác định giao điểm với trục hoành B b;

a

 



 

 

- Bước 3: Vẽ điểm A B tr, ục tọa độ Oxy Đường thẳng qua A B , là đồ thị cần vẽ

 Đồ thị  d1 đi qua điểm A x y 0; 0 y0 ax0b  Vị trí tương đối hai đường thẳng  d1  d2

a) 1 2

1

a a

d d

b b

    

 

b) 1 2

1

a a

d d

b b

   

 



c) d1d2 a1a2 d) d1d2 a a1 2  1  Tìm tọa độ giao điểm  d1  d2

Ta việc giải hệ phương trình ax b y a x b y

  



   

Nghiệm hệ tọa độ điểm cần tìm  Hàm số yax b có:

0

a  hàm số đồng biến đường thẳng tạo với Ox góc nhọn.

0

a  hàm số nghịch biến đường thẳng tạo với Ox góc tù

B. CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1:Cho hai đường thẳng 1:y2x1; 2 :y 2 x và đường thẳng :

2

n

n

d y x

n

 

 Hãy xác

định n để ba đường thẳng  1, 2,dn đồng quy điểm, vẽ ba đường thẳng trục

toạ độ.

Giải:

– Xác định giao điểm d1 d2: M Toạ độ M thoả mãn phương trình hai đường thẳng d1

và d2:  

2 2

1;1

2

M M M M M

M M M M M

x y x x x

M

x y x y y

     

  

  

  

    

  

- Do hai đường thẳng d1 d2 cắt M 1;1 nên M 1;1 thoả mãn dn có nghĩa là:  1;1 n

M d 8.1 13 13

2

n

n n n n

n



         

 Vậy với 13

4

n ba đường thẳng  1, 2,dn đồng quy điểm

x

2

y x -1

2

y x

yx 0 1

Vẽ đồ thị:

x y

1 O

1

-1

2

1 (d )n

Ví dụ 2:Cho  d2 :y 3x3 Hãy tìm toạ độ giao điểm trục toạ độ Ox Oy v, ới  d2 Giải:

* d2Ox y: 0 thoả mãn hệ sau:

3 3

0 0

y x x x

y y y

      

  

 

  

  

  

Vậy J1; 0 giao điểm d2 Ox

* d2Oy x: 0thoả mãn hệ sau: 3

0

y x y

x x

   

 



 

 

 

Vậy Q0;3 giao điểm d2 Oy

Ví dụ 3:Cho hàm số  :  

2 3

m

m m

d y f x x

m m

 

   

   

6

:

2

n

n

d y x

n

 

 Điểm Q'2;3dm và P' 5; 7 dn Hãy xác định m n, Với giá trị vừa tìm viết phương trình hai đường thẳng ứng

với hai giá trị m n, Giải:

   2

' 2;3 2

2 3

8

3

3 m

m m

Q d m m m m m

m m

m m

 

              

 

    Điều kiện

2

m thoả mãn với

m Khi phương trình  : 11

7

m

d y  x

  75

' 5; 7 14 35 30 40 16 75

2 16

n

n

P d n n n n

n



          

Với điều kiện

n  thoả mãn với 75 16

n Khi phương trình  : n

d y x

Ví dụ 4:Lập phương trình đường thẳng d4/ /d2:y 3x3 để a) Đi qua M1; 

b) Chắn hai trục toạ độ tam giác có S 2 c) Khoảng cách từ O đến d4 2

Giải:

Lập phương trình đường thẳng d4/ /d2 để a) Đi qua điểm M1; 2

Do d4/ /d2:y 3x3 nên hệ số góc cùa d4 3 d4 qua M1; 2 có hệ số góc k 3 có phương trình y 3x12 y 3x5 d4

b) Chắn hai toạ độ tam giác có S 2

Do d4/ /d2 chắn trục toạ độ tam giác có S2

Gọi A B, theo thứ tự giao điểm d4 với trục Oy, Ox ta ( với d4/ /d2 nên phương trình có dạng y 3x b )

+ Với điểm A x:  0 y  0 b b A0;b + Với điểm : 0

3

b

B y    x b x ; b B 

 

+ 12

2

OAB

b

S  OA OB  b b  b  Khi đó:

Với b2 3d4:y 3x2 Với b 2 3d4' :y 3x2

Vậy tồn hai đường thẳng d4, d4' thoả mãn điều kiện đề c) Khoảng cách từ O đến d4 2

Gọi A B, theo thứ tự giao điểm d4 với Oy, Ox ta được: Với điểm A x:  0 y  0 b A0;b

Với điểm : 0 ;

3

b b

B y    x b x B 

 

Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng d4 AOB vuông O, ta có

2 2 2 2 2 2

2

1 1 3

2 2

10

9

3 2 2 2 2 2 20.

10 10

3

b b b

b OA OB

OH

OH OA OB OA OB b b

b

b b

b

b b

       





Khi

Với b2 20d4" :y 3x2 20 Với b 2 20d4"' :y 3x2 20

Ví dụ 5:Lập phương trình đường thẳng d 5 đi qua điểm I1:y2x  1 2:y  2 x  I  để:

a) Diện tích OAB nhỏ b) OA OB  nhỏ nhất.

c) 12 12 OA OB

 



 

  nhỏ nhất.

d) Tạo với tia Ox góc  có tan

  Tìm đường thẳngd5điểm Q x Q;yQ cho  2

Q Q

x y nhỏ nhất.

Giải:

   

1

2 1

: 1;1

2

y x x

I I

y x y

  

 

      

  

 

cắt O ,x Oy theo A a '; , B0; 'b  với a b, 0 thoả mãn a) SOAB nhỏ

Từ giả thiết, ta 5: ' '

x y

d

a b 

Vì M   1;1  d5 nên 1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' '  ' 1  *

' ' '

b

a b a b a a b b a b

a b           b 

Mặt khác ta có ' '

2

OAB

a b S  OA OB

Ta có 1 1 ' '

' ' ' ' ' ' a b S

a b a b a b

       

Suy ta Smin 2 đạt 1 ' '

' '

a b a b

     

 

Vậy phương trình đường thẳng 5: 2

2

x y

d   xy  yx

b) OA OB nhỏ

Ta có ' ' ' ' ' 2  ' 1

' ' '

b

OA OB a b b b OA OB b

b b b

              

  

Ta  

min

OA OB  đạt ' 1

1 '

b b

a b

      



 

Vậy phương trình đường thẳng d5:  5 : 2

1

x y

d y x

      c) 12 12

OA OB

 



 

  nhỏ

Ta có 12 12 12 12

' '

Theo bất đẳng thức Bunhiacốpki, ta có:  

2

2

2 2

1 1 1 1

1 1

' ' ' ' ' '

a b a b a b

   

         

   

Suy ra, ta 12 12 OA OB

 



 

  nhỏ

1 ,

 đạt

1

'

' '

' ' '

a a b

b a b



    



 

   



Vậy phương trình đường thẳng d5 có dạng  5 :

2

x y

d y x

      d) Giả sử phương trình đường thẳng d5 có dạng d5:ymxn

 d5 tạo với tia Ox góc có

1 tan

2

  nên tan

2

m  

Vì I 1;1 d5 nên 1

2

m n n n

      

Vậy phương trình đường thẳng d5 có dạng 1

2

y x

- Vì Q x Q;yQ d5 nên 1

2

Q Q Q Q

y  x  x  y 

Khi đó:

     

2

2

2 2 2 2

2 5

5 5

Q Q Q Q Q Q Q Q

x y y y y y y y

     

             

   

 

 

2

2 2 1

5

5

5

Q Q Q

x y  y    

 

Suy ta xQ2 yQ2 nhỏ

 đạt 2.2 1

5 5

Q Q

y  x    

Vậy ta tìm 2; 5 Q 

 

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số y2mxm1 có đồ thị  d1 Tìm m để:

a) Hàm số đồng biến ĐS: m0

b) Hàm số nghịch biến ĐS: m0

c)  d1 qua điểm A1; 2 ĐS: m1

d)  d1 cắt trục tung điểm có tung độ 2 ĐS: m 1 e)  d1 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 1 ĐS: m 1

f)  d1 cắt đường thẳng y x trục tung? Trên trục hoành? ĐS: m2 ; m 1

g)  d1 cắt đường thẳng y3x2 điểm có hồnh độ ĐS: m1 h)  d1 cắt đường thẳng

2

j)  d1 song song với đường thẳng 1

y  x ĐS:

6

m 

k)  d1 trùng với đường thẳng 2xy5 ĐS: m  l)  d1 vng góc với đường thẳng xy2 ĐS:

2

m 

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng  d1 :y3x2,  d2 : 2y x ĐS: 16 7;

5

 

 

 

Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y2x5 b) y 0,5x3

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng  d biết:

a)  d qua A1; 2 B 2; 5 ĐS: 7x3y 1 b)  d qua M3; 2 song song với đường thẳng  :

5

y x

   ĐS: y2x4 c)  d qua N1; 5  vng góc với đường thẳng  :

2

d y  x ĐS: y2x7 d)  d qua D1;3 tạo với chiều dương trục Ox góc 30 ĐS:

3

y x 

e)  d qua E0; 4 đồng quy với hai đường thẳng   :y2x3;   :y 7 3x điểm ĐS: 3x2y 8

f)  d qua K6; 4  cách gốc O khoảng 12

5 (đơn vị dài) ĐS:

16 63 156

4 12

x y x y

  



    

Bài 5: Gọi  d đường thẳng y2k1x k với k tham số

a) Định k để  d qua điểm 1; 6 ĐS: k3 b) Định k để  d song song với đường thẳng 2x3y 5 ĐS:

k

c) Định k để  d vng góc với đường thẳng x2y0 ĐS:

k

d) Chứng minh khơng có đường thẳng  d qua điểm 1;1 A 

 

e) Chứng minh k thay đổi, đường thẳng  d qua điểm cố định ĐS: 1;

2

 

 

 

 

Bài 6: Cho đường thẳng   d : 2m3xm5y4m 1

a) Vẽ đồ thi hàm số với m 1 ĐS:

4

y  x

b) Tìm điểm cố định họ đường thẳng  d ĐS: 3; 2

Bài 7: Cho hai đường thẳng  d : ym x 2,  d1 : y2m3x2 Với m0,5, tìm giao điểm M

Bài 8: Cho điểm C1; 2 D3; 4  Lập phương trình đường thẳng  d qua C D, ĐS: y 1,5x0,5 Bài 9: Vẽ đồ thị hàm số y x1

Bài 10: Cho hai đường thẳng  d1 : y2m x2 m5,  d2 : ymx3m7 Tìm m để hai đường

thẳng song song ĐS: m 2

Bài 11: Cho hàm số: y 3x2 a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Gọi A B, giao điểm đồ thị với trục tọa độ Tính độ dài đoạn thẳng AB

ĐS:

3 AB

Bài 12: Cho hàm số ym2xm3  d

a) Với giá trị m hàm số đồng biến, nghịch biến

b) Tìm m để  d song song với đường thẳng: 2x3y3 ĐS:

m 

c) Tìm m để  d vng góc với đường thẳng: y 1,5x5 ĐS:

m 

Bài 13: Cho đường thẳng d2:y 3x3 3: 10 11

d y x Xác định toạ độ giao điểm d2 d3

ĐS: 33 30; 43 43

 

 

 

Bài 14: Cho hàm số: ym2xm

a) Xác định giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ 3 ĐS: m3 b) Xác định giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục trục tung điểm có tung độ

ĐS: m4

c) Vẽ đồ thị hai hàm số ứng với giá trị m tìm câu a, b hệ trục toạ độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị vừa vẽ ĐS: 1; 2

Bài 15: Gọi  d1 đồ thị hàm số ymx2  d2 đồ thị hàm số 1

y x

a) Với

2

m  , xác định toạ độ giao điểm  d1  d2 ĐS: 3;1       b) Xác định giá trị m để 3;

2 M  

  giao điểm  d1 ,  d2 ĐS:

m

Bài 16: Với giá trị m đồ thị hàm số y 3xm2 y4x 5 2m cắt điểm

trên trục tung ĐS:

3

m 

Bài 17:

a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ:  d1 :y3x2,  d2 :y  x

b) Hai đường thẳng cắt M cắt trục hoành theo thứ tự P Q Tìm toạ độ M P Q, , ĐS: 1;5 , 2;0 , 6; 0

3 M P  Q

c) Tính độ dài đoạn thẳng MP, MQ, PQ (theo đợn vị đo trục toạ độ)

ĐS: 10, 2, 20

3

MP MQ PQ d) Tính số đo góc tạo đồ thị  d2 với trục Ox ĐS: 135

Bài 18: Cho hàm số: ym3x2n m3 có đồ thị  d Tìm giá trị m n để :

a)  d qua hai điểm A2; 2 , 1; B 

 

ĐS:

31 15 15 m

n

          b)  d cắt trục tung M0; 32 cắt trục hoành N2 3; 0 ĐS:

4 3

1

m

n

    



  



Bài 19: Cho ba hàm số:  d1 :y2x3,  d2 :y x 5,  d3 :y2kx5 Tìm giá trị k để  d1 ,  d2 ,  d3 đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ ĐS: k3

Bài 20: Cho ba đường thẳng:  d1 :y2x1,  d2 :y3x1,  d3 :yx3 a) Chứng minh đường thẳng đồng quy ĐS: 2;5

b) Với giá trị m đường thẳng ym1xm qua giao điểm đường thẳng

đó ĐS:

3

m

Bài 21: Cho hàm số ym2x2m1 Chứng tỏ với giá trị m đồ thị hàm số

qua điểm cố định ĐS:  2; 5

Bài 22: Cho điểm A2; 4, B8;6, C3; 2  a) Vẽ tam giác ABC mặt phẳng toạ độ

b) Tính khoảng cách từ điêm A B C, , đến gốc toạ độ ĐS: OA2 5,OB10,OC 13 Bài 23: Cho điểm A1;1, B3; 2, C2; 1 , D 2; 2

a) Lập phương trình đường thẳng AB BC DC DA, , , ĐS:

:

:

:

:

AB x y BC x y DC x y DA x y

            b) Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành

c) Tính SABCD PABCD ĐS: 2 17 10

11 ABCD

ABCD

P

S

 

 Bài 24: Cho hàm số  

3

2

2 8

4

x x x

y f x

x

  

 



a) Tìm tập xác định hàm số ĐS: x 2

b) Vẽ đồ thị  d hàm số

Bài 25: Cho hàm số : y x2 2x 1 x26x9 a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm giá trị nhỏ y giá trị tương ứng x ĐS: ymin 2 1 x3

c) Với giá trị x y4 ĐS:

2 x x

  

  

Bài 26: Cho hàm số : y x2 4x 4 4x24x 1 ax

a) Xác định a để hàm số đồng biến ĐS: a3

b) Xác định a để đồ thị hàm số qua B1;6 Vẽ đồ thị  C hàm số với a tìm ĐS: a2 c) Dùng đồ thị  C biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2

4 4

x  x  x  x xm

ĐS:

a) m3 phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn: 2 x    b) m3 phương trình có nghiệm

c) m3 phương trình vơ nghiệm

Bài 27: Trên mặt phẳng toạ độ, xác định điểm sau: A4;1, B1; 3 , C1; 0 Qua C vẽ đường thẳng  d vng góc với đường thẳng AB H H AB

a) Viết phương trình đường thẳng AB  d ĐS:  

: 13

:

AB x y d x y

     

b) Tìm toạ độ điểm H ĐS: 61; 27

25 25

H  

 

c) Tính diện tích tam giác ABC theo đơn vị đo trục tọa độ ĐS: ABC