Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) C biết tiếp tuyến đó song song với d. Trường hợp này không thỏa mãn.. Xác định số phần tử của S. Trường hợp 1: Nếu AB là đường thẳng.. [r]
(1)ĐỀ VÀ HDG HỌC SINH GIỎI 12 ĐIỆN BIÊN 2018-2019 Câu 1: (6,0 điểm)
1 Cho hàm số 3( ) − =
− x
y C
x đường thẳng d x: − − =y Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với d
2 Tìm m để hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x+m+2 đồng biến khoảng (2;+∞)
Câu 2: (4,0 điểm)
1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ( )
2
4
2 sin sin cos
2
=
+ x f x
x x
2 Giải hệ phương trình ( ) ( )
3 2
3 2 15 10
;
2 2
− − − + + − =
∈
− + − = −
ℝ
x y x y y x
x y
y x x
Câu 3: (4,0 điểm)
GọiS tập hợp tất số tự nhiên có chữ số khác chọn từ số 0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9 Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S,
tính xác suất để số chọn số chẵn
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(0;9 ,) (B 3;6) Gọi D miền nghiệm hệ phương trình
6
− + ≤
+ + ≥
x y a
x y a Tìm tất giá trị a để AB⊂D Câu 4: (4,0 điểm)
1 Cho hình chóp SABC Trên đoạn thẳng SA SB SC lấy điểm , , A B C khác ', ', ' với điểm S Chứng minh rằng:
' ' '
' ' '
= S ABC
S A B C
V SA SB SC
V SA SB SC
2 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có AB=a SA, =a 3 Gọi O giao điểm ACvà BD , Glà trọng tâm tam giác SCD
a) Tính thể tích khối chóp S OGC
b) Tính khoảng cách từG đến mặt phẳng (SBC) c) Tính cosin góc hai đường thẳng SAvà BG Câu 5: (2,0 điểm)
Cho phương trình ( ) ( ) ( ) ( )
2 1
+ + − + − − =
m x x x m x Tìm giá trị m để
phương trình ( )1 có nghiệm thực
Cho đa thức ( )
1
= + + + +
f x x ax bx ax có nghiệm thực Chứng minh
2+ 2−4 + >1 0
(2)HDG
Câu 1: (6,0 điểm)
1 Cho hàm số 3( ) − =
− x
y C
x đường thẳng d x: − − =y Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với d
2 Tìm m để hàm số ( )
3
= − + − + +
y x mx m x m đồng biến khoảng (2;+∞) Tập xác định: ℝ
Lời giải 1 :d x− − = ⇒y d y: = − ⇒x d có hệ số góc kd =1
Xét hàm số ( ) −
= =
− x y f x
x :
+ Tập xác định D= ℝ\ { } +
( )
/
2
1
( ) , x 1
= ∀ ≠
− f x
x
Gọi ∆ tiếp tuyến ( )C 0
0
2
x ;
−
−
x M
x ∆ :
/
0
0
2
( )( )
1 −
= − +
− x y f x x x
x
+ Giả sử ∆ d/ / ta
( )
0 /
0
0
0
( )
2
=
= ⇔ = ⇔
=
−
d
x f x k
x x
+ Thử lại:
0= ⇒ ∆0 : = +3
i x y x thỏa mãn ∆ d/ /
0= ⇒ ∆2 : = − ⇒1
i x y x ∆ ≡ d Trường hợp khơng thỏa mãn Vậy có tiếp tuyến ( )C thỏa đề, ∆:y= +x
2 / 2
3 3( 1), x
= − + − ∀ ∈ ℝ
y x mx m
/
0
1 = −
= ⇔
= −
x m y
x m : Hai nghiệm phân biệt với m
(3)Hàm số đồng biến (2;+∞ ⇔) (2;+∞ ⊂) (m+ +∞ ⇔1; ) m+ ≤ ⇔1 m≤1 Vậy m cần tìm m≤1
Câu 2: (4,0 điểm)
1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ( )
2
4
2 sin sin cos
2
=
+ x f x
x x
2 Giải hệ phương trình ( ) ( )
3 3 2 2 2 15 10 0
;
2 2
− − − + + − =
∈
− + − = −
ℝ
x y x y y x
x y
y x x
Lời giải
1 Ta có
2
4 2 2 sin
sin cos sin cos sin 0,
2 2 2
−
+ = − = − = ≠ ∀
x x x x x
x x
Cách 1:
Khi ( )
2
2
4 sin
4 sin sin
= = −
− −
x f x
x x
Vì 0≤sin2x≤ ⇒ ≤ −1 sin2x≤2 nên 2 sin
≤ ≤
− x Do 0≤ f x( )≤4 Ta có f x( )= ⇔0 sin2x= ⇔0 sinx= ⇔ =0 x kπ(k∈ ℤ),
( ) 4 sin2 1 sin 1 2 ( )
2
= ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + ∈ ℤ
f x x x x π kπ k
Vậy giá trị nhỏ f x( ) đạt x=kπ(k∈ ℤ), giá trị lớn f x( ) đạt ( )
2
= ± + ∈ ℤ
x π kπ k
Cách 2: Đặt
sin x=t , Điều kiện t∈[0;1] 2 Điều kiện:
2 ≤ ≤
x y
Phương trình thứ hệ tương đương với:
(x−2)3+3(x−2) (= y−1)3+3(y−1) ( )1 y2
y1
+∞ -∞
+
+ 0 _ 0
+∞
-∞ m-1 m+1
(4)Xét hàm số f t( )=t3+3 ,t t∈ ℝ
Khi ta có f t'( )=3t2+ >3 0,∀ ∈ ℝt Do f t( ) hàm đồng biến ℝ Nên phương trình ( )1 trở thành f x( −2)= f y( −1)⇔ − = − ⇔x y y= −x Thay y= −x vào phương trình thứ hai ta được:
2 3− =x 2x− ⇔2 3− = −x x
2
1
3
≥ ⇔
− = − +
x
x x x
1
2
1 ≥
⇔ = ⇔ =
= −
x
x x
x
Với x=2 y=1 (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x y; ) (= 2;1) Câu 3: (4,0 điểm)
GọiS tập hợp tất số tự nhiên có chữ số khác chọn từ số
0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9 Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất
để số chọn số chẵn
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(0;9 ,) (B 3;6) Gọi D miền nghiệm hệ phương trình
6
− + ≤
+ + ≥
x y a
x y a Tìm tất giá trị a để AB⊂D Lời giải
Số phần tử tập S n S( )=9.9.8.7.6=27216
Gọi số chẵn thuộc tập S có dạng abcde a( ≠0)
Nếu e∈{2; 4; 6;8}, trường hợp ta có: 8.8.7.6.4=10752 số Nếu e=0, trường hợp ta có: 9.8.7.6=3024 số
Vậy xác suất cần tìm là: 10752 3024 13776 41 27216 27216 81
+
= = =
P
Phương trình đường thẳng AB x: + − =y Trường hợp 1: Nếu AB đường thẳng Xét hệ
5
≤− +
≥ − −
a x y
a x y
Dễ thấy điểm C(2; 7)∈AB C∉D
12 12
33
33
10
≤ − ≤ −
⇔ ⇔ ∈
≥ − ≥ −
a a
a a
a φ
Trường hợp 2: Nếu AB đoạn thẳng Ta thay y= −9 x x( ∈[0;3]) vào hệ
5
≤ − +
≥ − −
a x y
(5)ta ( )
3 27
9 * 27
5
≤ −
− −
⇒ ≤ ≤ −
− −
≥
a x
x
a x
x a
( )* với ∀ ∈x [0;3]
27
0
⇔ − ≤ ≤a Vậy 27
5
− ≤ ≤a thỏa mãn yêu cầu toán Câu 4: (4,0 điểm)
1 Cho hình chóp SABC Trên đoạn thẳng SA SB SC lấy điểm , , A B C khác ', ', ' với điểm S Chứng minh rằng:
' ' '
' ' '
= S ABC
S A B C
V SA SB SC
V SA SB SC
2 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có AB=a SA, =a 3 Gọi O giao điểm ACvà BD, Glà trọng tâm tam giác SCD
a) Tính thể tích khối chóp S OGC
b) Tính khoảng cách từG đến mặt phẳng (SBC) c) Tính cosin góc hai đường thẳng SAvà BG
Lời giải
Gọi H H hình chiếu vng góc ,, ' A A (' SBC )
Ta có
'= ' AH SA AH SA
1
.sin
= SBC
S SB SC BSC ; ' ' ' '.sin
= SB C
S SB SC BSC
Khi . . sin
3
= = =
S ABC A SBC SBC
V V AH S AH SB SC BSC
' ' ' ' ' ' ' '
1
' ' ' ' ' '.sin
3
= = =
S A B C A SB C SB C
(6)Vậy ' ' '
' ' ' ' ' ' '
= =
S ABC
S A B C
V AH SB SC SA SB SC
V A H SB SC SA SB SC
a) Ta có AC=a 2; 2 10
= − =a
SO SA OA
Gọi M trung điểm CD
Khi
3
1 10
6 48
= =
S OCM
a
V SO OM MC
2
= =
S OCG
S OCM
V SG
V SM
Suy
3
2 10
3 72
= =a
S OGC S OMC
b) Ta có ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))
3
= =
d G SBC d M SBC d O SBC
Gọi H trung điểm BC, K hình chiếu vng góc O SH Ta có 12 2 2 42 42 222
10
= + = + =
OK OH OH a a a
110 ( , ( ))
22
= =a
d O SBC OK
2 110
( , ( )) ( , ( ))
3 33
= =a
d G SBC d O SBC
c) Gọi I giao điểm BD AM , I tam tam giác ADC
Suy IG/ /SA nên góc hai đường thẳng SA BG góc hai đường thẳng IGvà BG
Ta có 3; 2; 11
3 3
= =a = a =a
IG SA BI BG
2 2
33 cos
2 11
+ −
=BG IG BI = IGB
(7)Cho phương trình ( ) ( ) ( ) ( )
2 1
+ + − + − − =
m x x x m x Tìm giá trị m để
phương trình ( )1 có nghiệm thực
Cho đa thức f x( )=x4+ax3+bx2+ax+1
có nghiệm thực Chứng minh
2
4
+ − + >
a b b
Lời giải Điều kiện: x≥0
- Với x=0 phương trình vơ nghiệm - Với x>0, phương trình ( ) ( )
2 1 1
1 m x x m
x x
+ +
⇔ + − + − =
Đặt
2
2
2
1 t
x
t x
x t
x ≥
+
= ⇒ +
=
;
Ta phương trình theo ẩn phụ: ( ) ( )
2
2
2
1 t t
m t t m m
t
− +
+ − + − = ⇔ =
+
Yêu cầu toán ⇔( )2 có nghiệm 2;+∞)
Xét hàm số ( ) ( )
( ) ( )
2
2
4
2
0
1
t l
t t t t
f t f t
t t t
= −
− + ′ + −
= ⇒ = = ⇔
+ + =
Bảng biến thiên
Vậy phương trình có nghiệm ⇔ ≥m
2 Giả sử đa thức cho có nghiệm trường hợp 2
4
+ − + ≤
a b b
( )2 ( )
2 2
4
+ − + ≤ ⇔ + − ≤
a b b a b
x – ∞ -4 + ∞
y' + – – 0 +
y
(8)
Vì x=0khơng phải nghiệm phương trình f x( )=0 nên
2
4 2
2
1 1
1 + + + + = ⇔ + + + + = ⇔ + + + + − =
x ax bx ax x a x b x a x b
x x x x
Đặt t= +x
x phương trình có nghiệm
2
2
+ + − =
t at b có nghiệm
thoả mãn t ≥2
Xét hàm số g t( )=t2+at+ −b
( )
′ = +
g t t a; ( )
2 −
′ = ⇔ = a
g t t Như (1) ( 2; 2)
− ∉ − a
Do ta có bảng biến thiên:
Phương trình có nghiệm ( )
( )
2 2
2
− + + ≤
+ + ≤
a b a b
Những điểm M a b( ; ) thoả (1) nằm bên biên đường trịn tâm I(0; 2) bán kính
Những điểm N a b( ; ) thoả mãn (2) (3) điểm thuộc phần không chứa gốc tạo độ đường thẳng 2
2
− + + =
+ + =
x y
x y
(9)Ta có điều phải chứng minh: Nếu thức cho có nghiệm 2
4
+ − + >
a b b
Chú ý: Bài giải nhanh sau:
2+ + − = ⇔2 0
t at b t2= − + −at 2 b ( )2 ( )2 ( 2)
2
⇒ = − + − ≤ + − +
t at b a b t
( )
4
2
2
1
2
1 −
⇒ + − > = − ≥
+ t
a b t
t
2
4
23 41