SKKN Môn Toán, SKKN Môn Toán THCS, SKKN cấp tỉnh, SKKN Nguyên lí DRICHLET
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý viết đề tài Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp thấy học sinh thường điểm không giải tập sử dụng nguyên lí Dirichlet Nhiều học sinh cho tập mà em thường khơng giải được, tính chất đặc thù loại tốn mang tính tư trừu tượng cao Vì học sinh thường nhiều thời gian không làm loại Qua nhiều năm giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi trăn trở suy nghĩ phải làm để học sinh yêu thích giải dạng tập tập Vì em có phương pháp giải tập cách thành thạo việc tư thuật tốn để giải loại tập khác nhanh nhẹn hơn, giúp em đạt kết cao kỳ thi học sinh giỏi cấp Do mạnh dạn viết đề tài “Vận dụng nguyên lí Dirichlet giải tốn số kì thi học sinh giỏi” Nhằm giúp em có cách nhìn tổng quát suy nghĩ để mở rộng kiến thức học từ toán đơn giản học lớp Từ đó, em tự vận dụng phát triển tư với tập tương tự, tổng quát liên hệ cách lô-gic với dạng toán học Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với cách làm thấy học sinh bắt đầu yêu thích tập liên quan đến nguyên lí Dirichlet, chuyên đề nguyên lí Dirichlet, lôi học sinh học tập say mê Từ tơi thấy kỳ thi học sinh giỏi làm tập nguyên lí Dirichlet, có niềm tin chất lượng đội tuyển nâng lên Đối với em học sinh, dạng tốn liên quan đến ngun lí Dirichlet, (Suy luận lôgic) tiếp xúc từ chương trình BDHSG Tiểu học Song chương trình lồng ghép cách nhẹ nhàng BDHSG, học lớp học trước, kỹ vận dụng để giải loại em chưa đạt hiệu cao Trong trình giảng dạy BDHSG trường THCS, tơi nhận thấy dạng tốn vận dụng ngun lí Dirichlet loại xuất thường xuyên đề thi HSG lớp học hay cấp học Tuy nhiên, tiếp xúc với dạng HS thường ngại ngần khó xuất phát để làm Xuất phát từ thực trạng chọn đề tài “Vận dụng ngun lí Dirichlet giải tốn số kì thi học sinh giỏi” cho đề tài Mục đích nghiên cứu Trong đề tài trước hết nhằm củng cố cho học sinh lý thuyết nguyên lí Dirichlet Cung cấp cho học sinh số toán cụ thể cách tổng qt hóa dạng thơng qua ví dụ Giúp cho học sinh có kĩ phân loại phương pháp làm loại cụ thể Từ rèn cho học sinh tư linh hoạt, sáng tạo giải toán Học sinh thấy vai trị ứng dụng rộng rãi ngun lí Dirichlet Cũng thông qua đề tài nhằm giúp học sinh có thói quen tìm tịi học tốn sáng tạo giải tốn Từ tạo cho học sinh có phương pháp học tập đắn, biến học (kiến thức thầy) thành thân, nắm bắt nó, vận dụng nó, phát triển hướng Qua giúp em tạo niềm tin, hưng phấn, hứng thú say mê học mơn tốn học Sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh 2.1 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: +) Đối tượng nghiên cứu: Học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, học sinh luyện thi THPT chuyên Phan Bội Châu, chuyên Toán Đại học Vinh +) Phạm vi nghiên cứu: Nguyên lí Dirichlet Các tập nâng cao nguyên lí Diirchlet chương trình trung học sở 2.2 Phương pháp nghiên cứu: +) Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình phương pháp dạy học tốn, tài liệu có liên quan đến ngun lí Dirichlet ứng dụng +) Phương pháp điều tra Tìm hiểu thực trạng dạy chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên đồng thời tìm hiểu kết học tập học sinh nhằm xác định tính phổ biến nguyên nhân để chuẩn bị cho bước nghiên cứu +) Phương pháp thảo luận Trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm giảng dạy kĩ thuật vận dụng nguyên lí Dirichlet +) Phương pháp quan sát Thông qua tiết dự thao giảng bồi dưỡng học sinh giỏi đồng nghiệp để quan sát trực tiếp tình hình học sinh tiếp thu cách khai thác xây dựng bất đẳng thức phụ giáo viên +) Phương pháp kiểm tra đánh giá Khi thực chuyên đề khảo sát so sánh kết đánh giá học sinh qua giai đoạn để đánh giá hiệu đề tài 2.3 Tình hình nghiên cứu Trong q trình giảng dạy mơn Tốn đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trường trung học sở tơi thấy tốn vận dụng nguyên lí Dirichlet nội dung quan trọng Vấn đề có nhiều tài liệu tham khảo đề cập đến có nhiều giáo viên quan tâm nghiên cứu mức độ khác Kết họ có thành công định Song việc thực kết tùy thuộc vào nhiều yếu tố 2.4 Những vấn đề tồn tại: Khi chuẩn bị thực đề tài đề này, kĩ giải tốn học sinh cịn gặp nhiều khó khăn Đặc biệt tốn vận dụng ngun lí Dirichlet Vì em thụ động buổi học bồi dưỡng nội dung Các em học sinh vận dụng nguyên lí Dirichlet với toán đơn giản Các tài liệu tham khảo nội dung nêu toán cụ thể với ví dụ cụ thể mà chưa có nhiều tài liệu đề cập đến kĩ vận dụng ngun lí Dirichlet giải tốn 2.5 Ứng dụng thực tiễn: Đề tài có ứng dụng tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi công tác ôn thi vào trường trung học phổ thông chuyên Đề tài phổ biến rộng trường trung học sở trọng điểm Huyện Tỉnh Đề tài tư liệu tốt để giáo viên học sinh tham khảo PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I Cơ sở lí thuyết thực trạng vấn đề Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu: Khi gặp toán nguyên lí Dirichlet thường liên quan nhiều đến đối tượng tập hợp hữu hạn Vì lẽ đó, toán mang đặc trưng rõ nét toán học rời rạc Khi giải toán vấn đề xác định dạng phương pháp làm cho dạng Từ HS áp dụng cho cụ thể cách linh hoạt với suy luận hợp lý để giải toán Thực trạng vấn đề nghiên cứu chuyên đề Trong chương trình tốn trung học sở ngun lí Dirichlet giới thiệu dạng Tuy nhiên kỳ thi, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp ngun lí Dirichlet lại đề cập đến nhiều toán hay khó, địi hỏi học sinh phải thực linh hoạt, sáng tạo có kỹ sử dụng thành thạo suy luận gải loại tốn Trong đề thi HSG, loại tốn khơng khó biến đổi, khó suy luận mà đa dạng dạng phong phú nội dung Từ thực tế bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, tơi nhận thấy tốn ngun lí Dirichlet đa dạng dạng bài, phong phú nội dung mà cịn dạng tốn khó, ln gây khơng khó khăn cho học sinh Vậy vấn đề đặt phải để tìm biện pháp khắc phục thực trạng giúp giáo viên có tài liệu tham khảo phù hợp, đặc biệt giúp học sinh hết lúng túng tự tin gặp dạng tốn Tơi mạnh dạn đưa vấn đề buổi sinh hoạt tổ chuyên môn tổ Toán để đồng nghiệp thảo luận đưa hướng giải II Quá trình thực Xuất phát từ thực trạng nhằm đáp ứng yêu cầu hiệu công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tơi tìm hiểu, nghiên cứu áp dụng đề tài vào thực tế công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Quá trình nghiên cứu đề tài chia thành ba giai đoạn nghiên cứu sau: Giai đoạn 1: Phân dạng xây dụng phương pháp Giai đoạn 2: Xây dựng, hệ thống, chứng minh áp dụng tốn sử dụng ngun lí Dirichlet Giai đoạn 3: Luyện đề dạng tổng hợp Củng cố phương pháp làm Giai đoạn 1: Phân dạng xây dựng phương pháp +) Mục đích: Nhằm thu thập thơng tin tài liệu, giáo viên, học sinh với vấn đề nghiên cứu +) Thời gian: Từ tháng 09 năm 2015 đến tháng 12 năm 2018 +) Cách tiến hành: Bước 1: Đọc nghiên cứu tài liệu toán sử dụng nguyên lí Dirichlet Bước 2: Thực dự bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên bồi dưỡng học sinh dạng toán sử dụng nguyên lí Dirichlet ? Bước 3: Thảo luận, trao đổi với đồng nghiệp cách dạy vận dụng nguyên lí Dirichlet để xây dựng phương pháp giảng dạy giải Bước 4: Kiểm tra vận dụng học sinh +) Kết giai đoạn Về tài liệu: Có nhiều tài liệu viết nội dụng này, có tài liệu viết chi tiết với số lượng Chủ yếu tài liệu đưa tập nêu cách chứng minh Với giáo viên: Thông qua dự thăm lớp nhận thấy số lượng giáo viên giảng dạy cho học sinh dạng tốn sử dụng ngun lí Dirichlet Hầu hết giáo viên đưa toán cách giải cụ thể tốn khơng theo hệ thống toán Với học sinh: Cịn lúng túng gặp tốn sử dụng nguyên lí Dirichlet Do kết giải tập học sinh dạng tốn cịn chưa tốt Đặc biệt có học sinh có sáng tạo khai thác tốn Tơi tiến hành khảo sát tổng số 60 học sinh giỏi năm học trường THCS (Mã Thành, Lăng Thành, Hậu Thành, Tân Thành) thu kết cụ thể sau: *) Năm học 2015 – 2016 Trường khảo sát Giỏi Khá Trung bình Yếu Tổng THCS Lăng Thành THCS Mã Thành 0 THCS Hậu Thành 0 THCS Tân Thành 1 2 Tổng 12 20 Trường khảo sát Giỏi Khá Trung bình Yếu Tổng THCS Lăng Thành 1 THCS Mã Thành 1 THCS Hậu Thành THCS Tân Thành Tổng 12 20 Trường khảo sát Giỏi Khá Trung bình Yếu Tổng THCS Lăng Thành 0 2 THCS Mã Thành 1 THCS Hậu Thành 0 4 THCS Tân Thành 2 Tổng 10 20 *) Năm học 2016 – 2017 *) Năm học 2017 – 2018 Giai đoạn 2: Xây dựng, hệ thống, chứng minh áp dụng tốn sử dụng ngun lí Dirichlet +) Mục đích: Nhằm cung cấp cho giáo viên, học sinh hệ thống lí thuyết số ví dụ minh họa cụ thể nguyên lí Dirichlet Rèn tư sáng tạo, linh hoạt vận dụng khai thác kiến thức toán học cho học sinh +) Thời gian: Từ tháng 01 năm 2018 đến tháng năm 2019 +) Cách tiến hành: Đọc nghiên cứu lí thuyết nguyên lí Dirichlet số ví dụ minh họa có nội dung phù hợp với mục đích đề tài nghiên cứu +) Kết giai đoạn Tôi tiến hành khảo sát tổng số 40 học sinh giỏi trường THCS (Mã Thành, Lăng Thành, Hậu Thành, Tân Thành) thu kết cụ thể sau: *) Năm học 2018 – 2019 Trường khảo sát Giỏi Khá Trung bình Yếu Tổng THCS Lăng Thành 10 THCS Mã Thành 3 2 10 THCS Hậu Thành 10 THCS Tân Thành 2 10 Tổng 15 11 40 Giai đoạn 3: Luyện đề dạng tổng hợp Củng cố phương pháp làm +) Mục đích: Nhằm cung cấp cho giáo viên, học sinh hệ thống số dạng phương pháp giải loại Rèn tư sáng tạo, linh hoạt vận dụng khai thác kiến thức toán học cho học sinh +) Thời gian: Từ tháng 03 năm 2019 đến tháng 12 năm 2020 +) Cách tiến hành: Sưu tầm nghiên cứu số tốn có nội dung phù hợp với mục đích đề tài nghiên cứu +) Kết giai đoạn Tôi tiến hành khảo sát tổng số 50 học sinh giỏi trường THCS (Mã Thành, Lăng Thành, Hậu Thành, Tân Thành) thu kết cụ thể sau: *) Năm học 2019 – 2020 Trường khảo sát Giỏi Khá Trung bình Yếu Tổng THCS Lăng Thành 10 THCS Mã Thành 1 10 THCS Hậu Thành 10 THCS Tân Thành 3 2 10 Tổng 14 14 40 III Nội dung Nội dung nguyên lí Dirichlet Ngun lí Dirichlet - cịn gọi ngun lí chim bồ câu nguyên lí lồng nhốt thỏ nguyên lí xếp đồ vật vào ngăn kéo đưa nguyên tắc phân chia phần tử lớp • Nguyên lý Dirichlet bản: Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ • Ngun lý Dirichlet tổng qt: Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn hộp chứa N + đồ vật (ở kí hiệu [α] để phần nguyên số α) k • Nguyên lý Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n thỏ vào m ≥ chuồng tồn chuồng có n + m − 1 m thỏ - Nguyên lí dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, cơng cụ có hiệu dùng để chứng nhiều kết sâu sắc tốn học Nguyên lí Dirichlet áp dụng cho tốn hình học, điều thể qua hệ thống tập sau: - Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt “thỏ” vào “chuồng” thoả mãn điều kiện: +) Số ‘thỏ” phải hiều số “chuồng” +) “Thỏ” phải nhốt hết vào “chuồng”, không bắt buộc chuồng phải có thỏ - Thường phương pháp Dirichlet áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ngồi cịn áp dụng với phương pháp khác Một số tập ứng dụng 2.1 Bài toán điểm đường thẳng Bài tốn 1: Trong hình vng cạnh 1, đặt 51 điểm bất kì, phân biệt Chứng minh có số 51 điểm nằm hình trịn bán kính (Đề thi HSG Toán - Quận Đống Đa – Hà Nội - Năm học 2011 – 2012) Nhận xét: - Nếu ta xem 51 điểm tương ứng với 51 thỏ, theo u cầu tốn phải có lồng “nhốt” thỏ Vì 51 = 25.2 + nên theo nguyên lí Dirichlet ta cần có số lồng là: (51 – 1) : (3 – 1) = 25 Từ đó, ta có lời giải toán sau: Lời giải: - Chia hình vng cho thành 25 hình vng có cạnh - Theo ngun lý Dirichlet, tồn hình vng a chứa ba điểm số 51 điểm Đường trịn ngoại tiếp hình vng a có bán kính: R = ≤ - Vậy ba điểm nói nằm hình trịn đồng tâm với hinh vng a, có bán kính (Bài tốn chứng minh) Bài tốn tương tự: Trong hình vng có cạnh 1, cho 151 điểm Chứng minh có điểm điểm cho nằm (Đề thi HSG Toán Tỉnh Ninh Thuận - Năm học 2011 – 2012) hình trịn có bán kính Nhận xét: Tương tự tốn 1, ta tìm số lồng cần thiết là: (151 – 1) : (7 – 1) = 25 Từ đó, ta củng có lời giải tốn sau: Lời giải: - Chia hình vng cho thành 25 hình vng có cạnh - Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hình vng a chứa ba điểm số 51 điểm Đường trịn ngoại tiếp hình vng a có bán kính: R= ≤ - Vậy ba điểm nói nằm hình trịn đồng tâm với hinh vng a, có bán kính (Bài tốn chứng minh) Tổng qt hóa tốn: Dựa vào giải tốn ta tổng qt hóa tốn với a kích thước cạnh hình vng, m số điểm đặt bất kì, phân biệt Chứng minh có n số m điểm nằm a2 hình bán kính R = m n − (trong kí hiệu [x] phần ngun x) Cách giải: Chia hình vng cho thành [ m ] hình vng có n −1 a2 cạnh m Theo ngun lí Dirichlet, tồn hình n − vng P có chứa n điểm số m điểm Đường trịn a2 ngoại tiếp P có bán kính: R = m Vậy n điểm nằm n − 10 Ta hiểu: 101 điểm 101 “chú thỏ” mổi hình trịn có bán kính “chiếc lồng” Vì 101 = 4.25 + nên theo ngun lí Dirichlet ta cần có số “chiếc lồng” là: (101 – 1) : (5 – 1) = 25 Từ đó, ta có lời giải tốn sau: Lời giải: - Chia hình vng thành 25 hình vng nhau, hình vng có cạnh 0,2 - Vì có 101 điểm, mà có 25 hình vng, nên theo ngun lí Dirichlet, tồn hình vng có chứa điểm 101 điểm cho - Vì hình vng nội tiếp đường trịn có bán kính: R = 2 = 10 < nên đường tròn đồng tâm với đường tròn ngoại tiếp có bán 10 kính chứa điểm nói (Bài tốn chứng minh) - Do Bài toán phát triển tư duy: Trên mặt phẳng cho 25 điểm Biết điểm số 25 điểm cho tồn hai điểm có khoảng cách bé Chứng minh rằng: Tồn hình trịn có bán kính R = chứa khơng 13 điểm cho Lời giải: - Giả sử : Điểm A 25 điểm cho - Xét hình trịn (A; 1), xảy hai khả năng: - Khả 1: Tất 25 điểm cho nằm hình trịn (A; 1) tốn hiển nhiên - Khả 2: Tồn điểm B ≠ A 25 điểm cho, cho B ∉ (A; 1) 15 ⇒ AB > - Xét hình trịn (B; 1) Lấy điểm C 25 điểm cho (C ≠ A, B) - Theo giả thiết thì: CA < CB < (vì AB > 1) +) Nếu CA < C ∈ (A; 1) +) Nếu CB < C ∈ (B; 1) - Điều chứng tỏ rằng: Hai hình trịn (A; 1) (B; 1) chứa tất 25 điểm cho Vì thế, theo ngun lí Dirichlet, tồn hình trịn chứa khơng 13 điểm 25 điểm cho (Bài tốn chứng minh) Tổng qt hóa tốn: Cho 2n + điểm mặt phẳng (n ≥ 3) Biết rằng, điểm số ln tồn điểm có khoảng cách bé d Khi đó, ln tồn hình trịn có bán kính R = d chứa khơng n + điểm cho Bài tốn 6: Tìm hình vng có kích thước bé nhất, để hình vng xếp năm hình trịn có bán kính 1, cho khơng có hai hình trịn chúng có điểm chung (Đề thi HSG Tỉnh Quãng Ngãi năm học 2013 – 2014 Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm học 2015 – 2016) Lời giải: - Giả sử hình vng ABCD có tâm O cạnh a chứa hình trịn khơng cắt có bán kính - Vì hình trịn nằm trọn hình vng, nên tâm chúng nằm hình vng A1B1C1D1 tâm O cạnh a – Ở AB // A1B1 - Các đường thẳng nối nối trung điểm cạnh đối diện hình vng A1B1C1D1 chia A1B1C1D1 thành hình vng nhỏ Theo ngun lý Dirichlet tồn hình vng nhỏ, mà hình vng chứa hai số tâm hình trịn nói (Khơng tính tổng qt, giả sử O1O2) 16 - Do đường trịn, khơng có đường trịn cắt nên O1O2 ≥ (1) - Mặt khác, O1O2 nằm hình vng nhỏ (có cạnh a− ) a− 2 - Mà O1O2 (2) a− 2 - Từ (1) (2) ta suy ÷ ≥ ⇔ a ≥ 2 + (3) ≤ - Vậy hình vng cạnh a thỏa mãn điều kiện đề thỏa mãn (3) - Ta xét hình vng ABCD có a = 2 + Và xét hình trịn có tâm O, A1; B1; C1; D1 (hình vẽ) u cầu tốn thỏa mãn - Vậy kích thước bé cạnh hình vng thỏa mãn điều kiện đề 2 + Bài toán 7: Cho 1000 điểm M1, M2 …M1000 mặt phẳng Vẽ môt đường trịn bán kính tùy ý Chứng minh tồn điểm S đường tròn cho: SM + SM2+ … +SM1000 ≥ 1000 (Đề Thi chọn đội tuyển HSG Toán 9–THCS Mã Thành Năm học 2014–2015) Lời giải: - Xét đường kính S1S2 tùy ý đường tròn, S1 S2 hai đầu đường kính nên ta có: S1M1 + S2M1 ≥ S1S2 = S1M2 + S2M2 ≥ S M + S M ≥ 1000 1000 17 - Cộng từ vế 1000 bất đẳng ta có: (S1M1+ S1M2 +…+ S1M1000 ) + (S2M1+ S2M2 +…+ S2M1000 ) ≥ 2000 (1) - Từ (1) theo nguyên ý Dirichlet suy hai tổng vế trái cảu (1) có tổng lớn 1000 - Giả sử (S1M1+ S1M2 +…+ S1M1000 ) ≥ 1000, S = S1 (Bài tốn chứng minh) Bài tốn 8: Cho hình trịn (C) có diện tích 8, đặt 17 điểm phân biệt Chứng minh rằng: Bao củng tồn điểm tạo thành tam giác có diện tích bé (Đề Thi chọn đội tuyển HSG Toán – Trường PTTH cấp II – III Bắc Yên Thành Năm học 1994 – 1995) Lời giải: - Chia hình trịn (C) thành hình quạt nhau, mổi hình quạt có diện tích - Theo ngun lí Dirichlet, tồn hình quạt (a) chứa điểm A, B, C số 17 điểm cho - Ta có, tam giác ABC có đỉnh nằm trọn hình quạt (a) nên có diện tích nhỏ (Bài tốn chứng minh) Kết luận: Trong toán điểm đường thẳng ta thường phải xác định số “chiếc lồng” để nhốt hết “chú thỏ” theo công thức: x= n-1 k-1 Trong đó: x số “chiếc lồng” n số “chú thỏ” k số thỏ nhiều nhốt nhiều lồng 2.2 Bài tốn tơ màu hình vẽ Bài Tốn 9: Trong mặt phẳng cho điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 khơng có ba điểm thẳng hàng Với ba điểm sáu điểm ln tìm hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ 673 Chứng minh sáu 18 điểm cho ln tìm ba điểm ba đỉnh tam giác có chu vi nhỏ 2019 (Đề thi HSG Huyện n Thành Mơn Tốn - Năm học 2019 – 2020) - Tổng số đoạn thẳng sinh từ điểm cho là: + + + + = 15 (đoạn thẳng) - Trong 15 đoạn thẳng đoạn thẳng A m A n (với m ; n ∈ { ; ; ; ; ; 6} ) có độ dài nhỏ 673 tơ mà đỏ Các đoạn thẳng cịn lại tơ màu xanh - Khi đó, tam giác ln tồn cạnh màu đỏ tam giác có cạnh tơ màu đỏ có chu vi nhỏ 2019 - Vì thế, ta cần chứng minh tồn tam giác có cạnh màu đỏ - Thật vậy: Nối điểm A1 với điểm lại ta đoạn thẳng gồm A1A2 ; A1A3 ; A1A4 ; A1A5 ; A1A6 - Theo nguyên lí Dirichlet đoạn thẳng tồn đoạn thẳng tơ màu - Khơng tính tổng qt, Giả sử A1A2 ; A1A3 ; A1A4 có màu xanh, tam giác A2A3A4 có cạnh tơ màu đỏ (vì tam giác ln tồn cạnh màu đỏ) - Nếu đoạn thẳng A1A2 ; A1A3 ; A1A4 có màu đỏ, tam giác A2A3A4 có cạnh tô màu đỏ (trong tam giác ln tồn cạnh màu đỏ) Giả sử cạnh A2A4 tơ màu đỏ, Ta có tam giác A1A2A4 có cạnh tơ màu đỏ (Bài toán chứng minh) Bài Toán 10: Trên hình trịn cho 21 điểm phân biệt Mổi điểm tơ màu: Xanh, Đỏ, Tím, Vàng Mổi cặp điểm nối với đoạn thẳng tô hai màu nâu đen Chứng minh 19 tồn tam giác có ba đỉnh tơ màu (xanh, đỏ, tím vàng) ba cạnh tơ màu (nâu đen) (Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc - Năm học 2013 – 2014) Lời giải: (Hình a) (Hình b) - Vì điểm phân biệt nằm đường trịn nên điểm ln tạo thành tam giác - Có 21 điểm tơ màu, có điểm màu (theo nguyên lí Dirichlet) Giả sử, điểm A, B, C, D, E, F có màu đỏ - Nối đoạn AB, AC, AD, AE, AF tơ hai màu nâu đen, có đoạn màu (theo nguyên lí Dirichlet) Giả sử, AB, AC, AD tô màu đen - Xét tam giác BCD, xảy hai khả sau: +) Khả 1: Nếu cạnh BC, CD DB tơ màu nâu tam giác BCD có đỉnh màu đỏ có cạnh màu nâu (thỏa mãn) +) Khả 2: Nếu cạnh BC, CD DB có cạnh màu đen, giả sử cạnh BC màu đen, tam giác ABC có đỉnh màu đỏ có cạnh màu đen (thỏa mãn) - Vậy ln có tam giác có ba đỉnh màu ba cạnh màu (Bài toán chứng minh) Bài Toán 11: Tất điểm mặt phẳng tô màu, mổi điểm tô màu: Xanh, Đỏ, Tím Chứng minh rằng: Ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà 20 đỉnh tam giác màu đôi khác màu (Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc - Năm học 2011 – 2012) Lời giải: - Xét ngũ giác ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh ngũ giác ln tạo thành tam giác cân - Do tơ đỉnh A, B, C, D, E màu xanh, đỏ tím xảy hai khả sau: +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E đủ ba loại màu cho tồn đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân +) Nếu tô đỉnh A, B, C, D, E nhiều màu có đỉnh màu tạo thành tam giác cân - Vậy, trường hợp tồn tam giác cân, có đỉnh tô màu đôi khác màu (Bài toán chứng minh) Bài toán 12: Cho điểm điểm nối với tạo thành tam giác có cạnh tơ hai màu xanh đỏ Chứng minh rằng: Bao tồn tam giác có cạnh màu Lời giải: Hình Hình - Gọi A điểm, đoạn thẳng nối A với điểm cịn lại tơ 21 hai màu xanh đỏ nên tồn cạnh màu Giả sử AB, AC, AD - Xét trường hợp: Trường hợp 1: AB, AC, AD tơ màu đỏ - Xét ∆BCD Nếu có cạnh tơ màu đỏ (giả sử BC) ∆ABC màu đỏ (hình 1) - Nếu khơng có cạnh ∆BCD tơ màu đỏ ∆BCD có cạnh màu xanh (hình 2) Trường hợp 2: AB, AC, AD tô màu xanh Chứng minh tương tự - Vậy ln tồn tam giác có cạnh màu (Bài toán chứng minh) Bài toán 13: Cho điểm mặt phẳng tô hai màu xanh, đỏ Chứng minh tồn tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu Lời giải: Lấy điểm tuỳ ý cho khơng có ba điểm thẳng hàng mặt phẳng Khi dùng hai màu để tơ đỉnh, mà theo nguyên lí Dirichlet phải tồn ba điểm số màu Giả sử ba điểm A, B, C màu đỏ Như tam giác ABC với ba đỉnh màu đỏ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Khi có hai khả sau xảy ra: Hình 1) Nếu G màu đỏ Khi A, B, C, G có màu đỏ (Hình 3) tốn chứng minh 2) Nếu G có màu xanh Kéo dài GA, GB, GC đoạn AA’ = 3GA, BB’ = 3GB, CC’ = 3GC Khi gọi M, N, P tương ứng trung điểm BC, CA, AB AA’ = 3GA = 6GM ⇒ AA’ = 2AM Tương tự B’B = 2BN, C’C = 2CP Do tam giác A’BC, B’AC, C’AB tương ứng nhận A,B,C trọng tâm - Mặt khác, ta có tam giác ABC, A’B’C’ có trọng tâm G Có hai trường hợp xảy 22 Hình Hình a) Nếu A’, B’ C’ màu xanh Khi tam giác A’B’C’ trọng tâm G có màu xanh (Hình 4) b) Nếu điểm A’ B’ C’ có màu điểm Khơng tính tổng quát giả sử A’ màu đỏ Khi tam giác A’BC trọng tâm có màu đỏ (Hình 5) - Vậy khả ln tồn tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu đỏ (Bài toán chứng minh) Bài toán 14: Cho bàn hình chữ nhật Hai người chơi sau: người thứ dùng đồng xu màu trắng đặt lên bàn, sau người thứ hai đặt đồng xu đen lên bàn vị trí mà trước chưa có đồng xu đặt khơng cịn chỗ để đặt đồng xu Biết tất đồng xu Người đến lượt mà khơng đặt đồng xu lên bàn người thua Chứng minh có cách chơi để người thứ luôn thắng Lời giải: - Ta tô đen - trắng ô bàn cờ hình vẽ Khi số đen nhiều số ô trắng Như số bọ dừa ô đen nhiều số bọ dừa ô trắng Do bọ dừa di chuyển sang ô bên cạnh (ngang dọc), sau di chuyển ô đen chứa bọ dừa ô trắng - Mà số bọ dừa ô đen nhiều số bọ dừa ô trắng nên sau bọ dừa bò có đen bị bỏ trống 23 - Vậy: Có thể khẳng định sau di chuyển ln có ô bàn cờ bọ dừa Bài tốn 15: Trong bàn cờ kích thước 5x5 có bọ dừa Vào thời điểm tất bọ dừa bị sang bên cạnh (ngang dọc) Có thể khẳng định sau bọ dừa di chuyển ln có bàn cờ khơng có bọ dừa khơng ? Lời giải: Để đảm bảo thắng người thứ phải có chiến lược chơi sau: +) Đầu tiên anh chiếm vị trí trung tâm, tức đặt đồng xu trắng, cho tâm đồng xu trùng với tâm hình chữ nhật (Vị trí A) +) Giả sử người chơi thứ đặt đồng xu đen lên bàn (Tâm đồng xu B) +) Khi điểm đối xứng với B qua tâm A D chắn trống - Người thứ đặt đồng xu trắng cho tâm đồng xu trùng D - Luật chơi tiếp tục Nghĩa sau người thứ hai đặt đồng xu người thứ chọn vị trí đối xứng qua tâm A để đặt đồng xu (lưu ý vị trí đối xứng ln chưa có đồng xu đặt trước đó) - Nếu người thứ hai cịn người thứ bước - Vì người thứ khơng thua - Do mặt bàn có diện tích hữu hạn, nên thực theo chiến thuật người trước chắn đảm bảo chiến thắng thuộc Bài tốn 16: Mỗi điểm mặt phẳng tô ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh tồn hai điểm A, B tô màu mà độ dài AB = 24 Lời giải: - Giả sử trái lại, với cách tô, không tồn hai điểm màu mà có khoảng cách - Xét hai điểm M , N : MN = tồn điểm P, Q cho tam giác MPQ, NPQ tam giác có độ dài cạnh - Khi đó, hai điểm có khoảng cách tơ hai màu khác nhau, nên M , N phải tô màu - Chẳng hạn tô P: Đỏ, Q: Vàng M, N: phải tơ màu Xanh, (Hình vẽ) - Từ đó, điểm M tơ màu Xanh, điểm nằm đường trịn tâm M, bán kính tơ màu Xanh Nhưng đường trịn ln có hai điểm mà khoảng cách chúng Mâu thuẫn với giả thiết phản chứng - Từ suy điều phải chứng minh Bài Toán tương tự Trong mạng lưới liên lạc có 17 trạm Mổi trạm liên lạc trực tiếp đến trạm khác Giữa hai trạm dùng ba phương tiện là: Điện thoại, điện tín vơ tuyến điện Chứng minh có ba trạm liên lạc với phương tiện (Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên - Năm học 2011 – 2012) Kết luận: - Trong toán “tơ màu hình vẽ” ta cần phải xác định số “đối tượng tô màu (Điểm, đoạn thẳng) số “chú thỏ” số màu sắc tô “số lồng” - Ta củng tính số “chú thỏ” biết số “chiếc lồng” theo công thức: n = x(k − 1) + Trong đó: x số “chiếc lồng” n số “chú thỏ” k số thỏ nhiều nhốt nhiều lồng 25 ... giải: - Chia tam giác ABC thành tam giác (Hình vẽ) - Khi đó, mổi tam giác nhỏ có cạnh 0,5 - Theo ngun lí Dirichlet, phải có tam giác chứa điểm điểm cho điểm khơng thể rơi vào đỉnh tam giác - Vì... tốn sau: 11 Lời giải: - Chia tam giác cho thành tam giác (Hình vẽ) - Khi đó, mổi tam giác có cạnh - Theo nguyên lí Dirichlet, phải có tam giác chứa điểm A, B, C 19 điểm cho - Vì điểm không thẳng... IF - Như đường thẳng cho chia đường trung bình hình vng theo tỉ số : - Có điểm chia đường trung bình hình vng ABCD theo tỉ số : - Có 13 đường thẳng, đường thẳng qua điểm - Vậy theo ngun lý Dirichlet