SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề thức KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2009 – 2010 Mơn thi: TỐN LỚP - BẢNG A Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f (x) (x 12x 31) 2010 Tính f (a) a 16 16 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5(x xy y ) 7(x 2y) Câu (4,5 điểm): 2 a) Giải phương trình: x x x x x 1 1 x y z b) Giải hệ phương trình: 4 xy z Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz = 1 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: A x y3 y3 z z x Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI.BE BI.AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn - - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009 – 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang ) Mơn: TỐN - BẢNG A Câu Nội dung Ý Điểm a 16 16 a 32 3 (16 5)(16 5).( 16 16 ) a) a 32 3.(4).a (2,0đ) a 32 12a a 12a 32 a 12a 31 f (a ) 12010 5( x xy y ) 7( x y ) (1) 7( x y )M5 ( x y )M5 Đặt x y 5t (2) (t Z ) 1, (4,5đ) (1) trở thành x xy y 7t (3) Từ (2) x 5t y thay vào (3) ta y 15ty 25t 7t (*) b) 84t 75t (2,5đ) Để (*) có nghiệm 84t 75t 0t 28 25 Vì t Z t t Thay vào (*) Với t y1 x1 y2 x2 1 y3 x3 Với t ĐK x x Với x thoã mãn phương trình Với x Ta có 2, a) (4,5đ) (2,5đ) x3 x x ( x 1) ( x x 1) x x 1( x x) ( x x 1) x3 x x x x 2 x x x x Dấu "=" Xẩy 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com x x x x Vô lý x x 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm x 1 1 x y z (1) (I ) ĐK x; y; z (2) xy z 1 2 Từ (1) x y z xy xz yz 0,25 Thế vào (2) ta được: 0,25 1 1 2 2 2 2 xy z x y z xy xz yz 1 2 b) x y z xz yz (2,0đ) 1 ( 2)( 2) 0 x xz z y yz z 0,25 0,25 0,25 1 1 1 1 x z y z 1 x z x y z 1 0 y z 0,25 1 2 3, (3,0đ) 0,25 0,25 Thay vào hệ (I) ta được: ( x; y; z ) ( ; ; ) (TM ) 0,25 Ta có (x y) x; y 0,25 x xy y xy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Mà x; y > =>x+y>0 Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) x3 + y3 ≥ (x + y)xy x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz x3 + y3 + ≥ xy(x + y + z) > Tương tự: y3 + z3 + ≥ yz(x + y + z) > z3 + x3 + ≥ zx(x + y + z) > 1 xy(x y z) yz(x y z) xz(x y z) xyz A xyz(x y z) A 1 xyz A Vậy giá trị lớn A x = y = z = 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com C M A D Q E K O O' H I B N · · Ta có: BDE BAE (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O) 4, (5,5đ) · · BAE BMN (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O') · · BDE BMN · BMN · hay BDI BDMI tứ giác nội tiếp · · a) MDI MBI (cùng chắn cung MI) · · ABE (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) (3,0đ) mà MDI · · ABE MBI · · mặt khác BMI BAE (chứng minh trên) MBI ~ ABE (g.g) MI BI MI.BE = BI.AE AE BE Gọi Q giao điểm CO DE OC DE Q OCD vng D có DQ đường cao OQ.OC = OD2 = R2 (1) Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm b) AB OO' OO' AB H (2,5đ) µ H µ 900 ;O µ chung Xét KQO CHO có Q KQO ~ CHO (g.g) KO OQ OC.OQ KO.OH (2) CO OH 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 ThuVienDeThi.com Từ (1) (2) KO.OH R OK Vì OH cố định R khơng đổi OK không đổi K cố định R2 OH 0,50 A H' N P O H M B D C E 5, (2,5đ) ABC vuông cân A AD phân giác góc A AD BC D (O; AB/2) Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác) tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP 0,25 0,50 · mà NHP 900 H thuộc đường trịn đường kính NP · · AHN AMN 450 (1) Kẻ Bx AB cắt đường thẳng PD E tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE Mặt khác BED = CDP (g.c.g) BE = PC mà PC = BN BN = BE BNE vuông cân B 0,25 0,50 · · · NEB NEB (cùng chắn cung BN) 450 mà NHB · NHB 450 (2) · Từ (1) (2) suy AHB 900 H (O; AB/2) gọi H' hình chiếu H AB SAHB 0,50 HH '.AB SAHB lớn HH' lớn mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D thuộc đường trịn đường kính AB 0,50 OD AB) Dấu "=" xẩy H D M D Lưu ý:- Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn ThuVienDeThi.com Së GD&ĐT Thanh hoá Đề xuất Đề thi học sinh giỏi lớp Môn: Toán Bảng A (Thời gian làm bài: 150 phút ) Bài 1: (4 điểm) Cho phương trình x4 + 2mx2 + =0 Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biÖt x1, x2, x3, x4 tháa m·n x14 + x24 + x34 + x44 = 32 Bài 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình x xy y x y 2 x y x y Bài 3: (3,5 điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mÃn đẳng thức x2 + xy + y2 = x2y2 Bµi 4: (6 ®iĨm) Cho nưa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB=2R (R độ dài cho trước) M, N hai điểm nửa đường tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng cáckhoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN R 1) Tính độ dài ®o¹n MN theo R 2) Gäi giao ®iĨm cđa hai dây AN BM I, giao điểm đường thẳng AM BN K Chứng minh điểm M, N, I, K nằm đường tròn Tính bán kính đường tròn theo R 3) Tìm giá trị lớn diện tích KAB theo R M, N thay đổi thỏa mÃn giả thiết toán Bài 5: (2,5 ®iĨm) Sè thùc x thay ®ỉi vµ tháa m·n ®iỊu kiện x2 + (3 -x)2 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2 ThuVienDeThi.com Híng dÉn chÊm thi häc sinh giỏi lớp Môn: Toán Bảng A Câu Bài Nội dung Điểm Phương trình x4 + 2mx2 + =0 (1) Đặt t = x2 Phương trình (1) trở thành: t2+ 2mt +4 =0 (2) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm dương phân biệt t1, t2 ' m t1 t2 2m m 2 t t 1 0,5 1,5 Khi phương trình (1) có nghiệm lµ x1,2 = t1 ; x 3,4 t2 Vµ x14 + x24 + x34 + x44 = (t12 + t22) = 2[(t1 + t2)2 - t1.t2] = 2[(-2m)2 -2.4] = 8m2 - 16 Tõ gi¶ thiÕt ta cã 8m2 - 16 = 32 m ; m= (loại) Vậy giá trị cần tìm m là: m Bài 1,5 0,5 Hệ phương trình: 2 x xy y x y 2 x y x y y ( x 1) y x x 2 x y x y ( y x 2)( y x 1) 2 x y x y y x 2 x y x y y 2x 1 x y x y x y x x=1 va 13 y=1 y 1 1,5 Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1; 1); ; - 13 5 0,5 ThuVienDeThi.com Bµi 3,5 x y x 2 x y y *Víi x vµ y ta cã: 2 0,5 x2y2 (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2 x2 + y2 + 2xy> x2 + y2 + xy * VËy x hc y - Với x =2 thay vào phương trình ta + 2y + y2 = 4y2 hay 3y2-2y -4 =0 Phương trình nghiệm nguyên - Với x =-2 thay vào phương trình ta ®ỵc - 2y + y2 = 4y2 hay 3y2+2y -4 =0 Phương trình nghiệm nguyên - Với x =1 thay vào phương trình ta + y + y2 = y2 hay y = -1 - Với x =-1 thay vào phương trình ta - y + y2 = y2 hay 1- y = y =1 - Víi x = thay vào phương trình ta y =0 Thử lại ta phương trình có nghiệm nguyên (x, y) lµ: (0; 0); (1, -1); (-1, 1) Bµi 0,75 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,5 K O' A' M N H B' l A O P B Dựng AA' BB' vuông góc với MN Gọi H trung điểm MN OH MN Trong h×nh thang AA'B'B ta cã: R R OH = (AA' + BB') = MH= 2 MN= R OMN 0,5 1,0 0,5 Dễ thấy điểm M, N, I, K nằm đường tròn đường kính IK 0,75 · ¼ ) 600 AKN ( sd » AB sd MN · ' N MKN à Gọi O' trung điểm IK MO 1200 MN = MO ' hay MO' = 0,5 MN R 3 ThuVienDeThi.com Do bán kính đường tròn qua M, N, I, K lµ R 3 0,5 0,25 Điểm K nằm cung chứa góc 600 dựng đoạn AB=2R nên dt(KAB) lớn đường cao KP lín nhÊt KAB ®Ịu, lóc ®ã dt(KAB) = AB R2 Bµi 1,0 1,0 2,5 Đặt y =3-x toán đà cho trở thành: tìm GTNN biểu thức: P= x4 + y4 + 6x2y2 x, y sè thùc thay ®ỉi tháa m·n: x y 2 x y 0,5 Từ hệ thức ta có: 2 x y xy (x2 + y2) + 4(x2 + y2 + 2xy) + 4.9 =41 2 x y 5(x2 + y2) + 4(2xy) 41 Mặt khác 16 (x2 + y2) + 25(2xy)2 40(x2 + y2)(2xy) (1) Dấu đẳng thức xảy (x2 + y2) =5(2xy) Céng hai vÕ cña (1) với 25 (x2 + y2) + 16(2xy)2 ta được: 41[ (x2 + y2) + (2xy)2] [5(x2 + y2) + 4(2xy)]2 412 hay (x2 + y2)2 + (2xy)2 41 x4 + y4+6x2y2 41 Đẳng thøc x¶y x y ( x; y ) (1; 2) x y2 ( x; y ) (2;1) 4( x y ) 5(2 xy ) Do giá trị nhỏ P 41 đạt x=1 x=2 0,5 0,5 0,5 0,5 ThuVienDeThi.com ...SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 20 09 – 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm... D M D Lưu ý:- Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm khụng lm trũn ThuVienDeThi.com Sở GD& ĐT Thanh hoá Đề xuất Đề thi học sinh giỏi lớp Môn: Toán Bảng A (Thời gian... -x)2 Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: P = x4 + (3-x)4 + 6x2(3-x)2 ThuVienDeThi.com Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp M«n: Toán Bảng A Câu Bài Nội dung Điểm Phương trình x4 + 2mx2 + =0 (1) Đặt t