phoi_hop_giua_cac_diem_mat_phang_mat_cau.pdf

Phương pháp: Từ các giả thiết của bài toán ta tìm được 2 mối liên hệ giữa hoành độ, tung độ và cao độ của điểm đó.. Kết hợp với điểm đó thuộc mặt phẳng cho trước ta suy ra điểm cần tì[r]

Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt!

1

BÀI GIẢNG SỐ 4: BÀI TOÁN PHỐI HỢP GIỮA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU

Bài tốn 1: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng , từ đó suy M’ đối xứng với M qua 

Phương pháp:

 Bước 1: Chuyển  dạng tham số suy H  Vì MH   nên MH u   0, từ đó suy tọa độ điểm H

 Bước 2: H trung điểm MM’ nên ta có: '

'

' 2

M H M

M H M

M H M

x x x

y y y

z z z

 

 

 



  



Ví dụ: Cho M2;3;5 :

2

x y z

   Tìm điểm H hình chiếu vng góc M

, từ suy M’ đối xứng với M qua 

Giải

Ta có

1 :

2

x t

y t

z t

      

   

, gọi H  H1 ; ; 2 t t  tMH2t1;t5; 2t1, u 2;1; 2

Vì MH   nên  MH u  02 2 t1  t52 2 t10  t H3;1; 4

H trung điểm MM’ nên :  

'

'

'

2

2 ' 4; 3;5

2

M H M

M H M

M H M

x x x

y y y M

z z z

  

 

     



   



Vậy: H3;1; 4, M' 4; 3;5  

Bài tập:

1. Cho ba điểm A1;3; 2, B4; 0; 3 , C5; 1; 4  Tìm tọa độ hình chiếu H A đường thẳng BC Đáp số: 231; 27 36;

51 51 51

H  

Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt!

2

2. Cho M2; 1;1 , đường thẳng : 1

2

x y z

  

 Tìm tọa độ M’ đối xứng với m

qua  Đáp số: ' 16; 17 7;

9 9

M   

 

Bài tốn 2: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M đường thẳng , từ đó suy M’ đối xứng với M qua 

Phương pháp:

 Bước 1: Viết phương trình MH qua M vng góc với  P , từ suy tọa độ

điểm H MH P

 Bước 2: H trung điểm MM’ nên ta có: '

'

' 2

M H M

M H M

M H M

x x x

y y y

z z z

 

 

 



  



Ví dụ: Cho M1; 2;1  P :x   y z Tìm điểm H hình chiếu vng góc M  P , từ suy M’ đối xứng với M qua  P

Giải

Đường thẳng MH qua M vng góc với  P , suy MH qua M1; 2;1 có vtcp

 

1

1;1;1 :

1

x t

u MH y t

z t

   

    

    

, tR Ta có tọa độ H nghiệm:

2

1

7

x t

y t

t

z t

x y z

      

  

  

     

2;3; 2

H



H trung điểm MM’ nên :  

'

'

'

2

2 ' 3; 4;3

2

M H M

M H M

M H M

x x x

y y y M

z z z

  

 

   



   



Vậy: H2;3; 2, M' 3; 4; 3 

Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt!

3

1. Cho M3;3;3 mặt phẳng  P : 2xy3z 4 Tìm điểm H hình chiếu vng góc M  P , từ suy M’ đối xứng với M qua  P

Đáp số: H1; 2;0, M'1;1; 3 

2. Cho M4;3;1 mặt phẳng  P : 2x   y z Tìm M’ đối xứng với M qua  P

Đáp số: M' 4; 1;5

3. Cho mặt phẳng  P :xy  z hai điểm A1; 2;3, B2; 0; 4 a) Chứng minh AB/ / P

b) Tìm A’ đối xứng với A qua  P Đáp số: ' 11; 8;

3 3

A    

 

c) Tìm M  P cho : MA MB nhỏ Đáp số: 5; 7;

6

M  

 

Bài tốn 3: Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp: Biểu diễn điểm theo tham số, sau dùng cơng thức độ dài đoạn thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt, khoảng cách từ điểm đến đường từ suy điểm cần tìm

Ví dụ 1: TSĐH khối B_ 2010 ( Ban nâng cao).Cho đường thẳng :

2

x y z

   Tìm tọa độ M

thuộc trục Ox cho d M ,  OM

Giải

Vì MOx nên M m ; 0;0OM  OM  m Đường thẳng  qua A2;1; 2 có u 2;1; 2

2; ; 2

MA u   m m

 

Ta có  

2 ,

5

3

M

MA u m m

d

u  



  

 

  

Ta có:  

2

2

5

,

2

m

m m

d M OM m m m

m

  

 

         



Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt!

4  1; 0; ;

M  M2; 0;0 

Ví dụ 2: Cho đường thẳng :

2

x y z

  

 mặt phẳng  P :xy z 100 Tìm điểm M thuộc  cho d M ; P 

Giải

Ta có:

1 :

2

x t

y t

z t

      

    

, M thuộc  nên 1 ; ; 2   ; 

t

M  t t   t d M P  

 

   

 

5; 6;10

9

9

; 3

9 12 23; 12; 22

3

M

t t

t

d M P

t t M

  

   

  

      

      

  

Vậy : M 5; 6;10 M23; 12; 22 

Ví dụ 3: TSĐH khối A_2009 (Ban nâng cao) Cho hai đường thẳng 1:

1

x y z

  

2

1

:

1

x t

y t

z t

       

    

mặt phẳng  P :x2y2z 1 Tìm M 1 cho

 ; 2  ; 

d M  d M P

Giải

Ta có: A1;3; 1   2,     2

1 ; ; ;

MA u

M M t t t d M

u 

 

         

 

Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt!

5

29t 88t68 ; Mà :  ;  11 20

t

d M P   Vì d M ;2d M ; P  nên :

2

1

11 20

29 88 68 35 88 53 53

3

35

t t

t t t t

t  

 

       

  

Vậy có hai điểm : M0;1; 3 

18 53

; ;

35 35 35

M 

  thỏa mãn

Bài tập:

1 TSĐH khối D_2009 ( Ban nâng cao) Cho hai đường thẳng 1

3 :

x t

y t

z t

      

  

2

2

:

2

x y z

   Tìm M 1 cho d M ;21

Đáp số:M4;1;1và M7; 4; 4

2 TSĐH khối B_2009 ( Ban bản) Cho điểm A1; 0; 0, B0; ; 0b , C0;0;c với b, c dương, mặt phẳng ( ) :P y  z Tìm tọa độ B C biết ABC   P

 

 ; 

3

d O ABC 

Đáp số: 0; ;01

2

B   và

1 0; 0;

2

C   

3 TSĐH khối B_2011 ( Ban nâng cao) Cho đường thẳng :

1

x y z

  

 hai điểm A2;1;1, B 3; 1; 2 Tìm M  cho tam giác MABcó diện tích

Đáp số:M2;1; 5 và M14; 35;19 

4 Cho hai đường thẳng 1:

1

x y z

d   ; 2: 1

2 1

x y z

d    

Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt!

6

Đáp số:M0; 0; 0; N1; 0;1 4 8; ; 7

M 

 

; 1; 3;

7 7

N  

 

.

Bài toán 4: Tìm điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp: Từ giả thiết tốn ta tìm mối liên hệ hoành độ, tung độ cao độ điểm Kết hợp với điểm thuộc mặt phẳng cho trước ta suy điểm cần tìm

Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;3; 1) ; B2; 0; 1  mặt phẳng ( ) : 3P x8y7z 1 Tìm điểm C thuộc mặt phẳng  P cho tam giác ABC

Giải

Gọi M a b c ; ;    P ,và tam giác ABC nên ta có:

 

 2

2 2

2

3

4 4

3

AC AB a b c

AC BC a c

a b c

C P



     



 

    

 

      

 

2

a b c

     

  

;

2 3

a

b

c 

    

    

   

Vậy : M2; 2;1  2; 2;

3 3

M   

 

Ví dụ 2: TSĐH khối B_2011 (Ban bản) Cho đường thẳng :

1

x y z

  

Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt!

7

Tọa độ giao điểm I nghiệm hệ  

1

1;1;1

1

3

x y z

I x y z

 



 





 



     

Vì M P , MI  

4 14

MI  nên

 2  2  2

3

2 ;

11 13

1 1 224

a b c a a

a b c b b

c c

a b c

         



  

         

     

 

     

 

Vậy : M5;9; 11 ; M 3; 7;13

Bài tập:

1 TSĐH khối A_2011 (Ban bản) Cho điểm A2; 0;1, B0; 2;3  mặt phẳng  P : 2x   y z Tìm M  P cho : MAMB3

Đáp số: M0;1;3 12; ;

7 7

M 

 

2 TSĐH khối B_2008 Cho ba điểm A(0;1; 2); B2; 2;1  ; C2; 0;1và mặt phẳng

( ) : 2P x2y  z Tìm điểm M thuộc mặt phẳng  P cho MAMAMC

Đáp số: M2;3; 7 

3 Cho điểm A3;8; 2, mặt phẳng  P :x   y z hai đường thẳng 1

2

:

x t

d y

z t

   

    

2

2

:

2

x t

d y t

z t

   

     

Tìm M P cho AM cắt d1 d2

Đáp số: M1; 2; 2  

4 Cho mặt cầu   S : x12y22z32 25 mặt phẳng  P : 3x4z190 a) Tìm M  S cho :dM; P  lớn Đáp số: M4; 2;7

b) Tìm N S cho :dN P;  nhỏ Đáp số: N2; 2;1

Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt!

8

5.1: Cho hai điểm A B không thuộc mặt phẳng (P) Tìm M thuộc (P) cho MA+MB nhỏ nhất.

Phương pháp: Nếu A B khác phía so với (P) M  AB P

Nếu A B phía so với (P) ta lấy A đối xứng với A qua (P) ( Xem 1

tốn 2) Khi M A B1  P

Ví dụ : Cho hai điểm A( 7; 4; 4) ; B6; 2;3 mặt phẳng ( ) : 3P xy2z190 Tìm M thuộc  P cho MA MB nhỏ

Giải

Ta có: 3.7 4 2.4 19 3.    6 2 2.3 19 980 nên A B phía so với  P Gọi A1 điểm đối xứng A qua  P

Đường thẳng AA qua Avà vng góc với 1  P , suy AA qua 1 A7; 4; 4 có vtcp

 

7 3; 1; AA :

4

x t

u y t

z t

   



      

    

, tR H hình chiếu vng góc A  P tọa

độ H nghiệm:

7

1

3 19

x t

y t

t

z t

x y z

   

   

  

  

    



 4;3; 2

H

 

H trung điểm AA nên : 1  

1

1

1

1

2 1 5

2 1; 2; A : ,

3

2

A H A

A H A

A H A

x x x x t

y y y A B y t R

z t

z z z

        

 

       

 

  

   



Ta có : MA MB MA1MB A B1 MA MB nhỏ 1 ( ) 13; 2;

M  A B P M 

Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt!

9 Vậy : 13; 2;

3

M 

 

5.2: Cho hai điểm A B không thuộc đường thẳng d Tìm M thuộc cho MA+MB nhỏ nhất.

Phương pháp:

 Gọi A1, B1 theo thứ tự hình chiếu vng góc A B lên d

 Tìm tọa độ N chia A B1 1 theo tỉ số 1

AA

BB

 tức là: 1 1

AA

NA

BB

NB  





 Khi MA MB nhỏ M N

Ví dụ : Cho điểm A1;1;0, B3; 1; 4  đường thẳng : 1

1

x y z

d     

 Tìm M thuộc d cho MA MB nhỏ

Giải

Gọi A1, B1 hình chiếu vng góc A B lên d Theo tốn ta tìm A10; 0; 0;

 

1

1

AA

2; 2;

B

BB

     Gọi tọa độ N d chia A B1 1 theo tỉ số 1

AA

BB

 tức là:

 

1

1

1

AA

1; 1;

NA

NA NB N

BB

NB       



 

 Ta chứng minh MA MB nhỏ M N ,

Thật : Gọi A2 điểm thuộc mặt phẳng B d,  , khác phía so với d thỏa mãn:

1 1 1 2 1 1 2

1 1 1

AA A A AA A A NA A A

A A d BB BB NB BB

 

     

  



 A2, B, N thẳng hàng

Ta có : MA MB MA2 MB A B2 NANB MA MB nhỏ M N1; 1; 2 

Vậy : M1; 1; 2 

Viết tặng em học sinh yêu quý tôi_Chúc em học tập thật tốt!

10

1 Cho hai điểm A3;1; 0, B9; 4;9 mặt phẳng  P : 2x   y z Tìm M P

sao cho MA MB lớn

Đáp số: M7; 2; 13 .

2 Cho hai điểm A( 1;3; 2)  ; B3;7; 18  mặt phẳng ( ) : 2P xy  z Tìm M thuộc  P cho MA MB nhỏ

Đáp số: M2; 2; 3 

3 Cho hai điểm A(3;1;1); B7;3;8 mặt phẳng ( ) :P xy  z Tìm M thuộc  P

sao cho MAMB  

nhỏ

Đáp số: M0; 3;0 

4 Cho điểm A1; 2; 1 , B7; 2;3  đường thẳng :

3 2

x y z

d    

 Tìm M thuộc d cho MA MB nhỏ

Đáp số: M2; 0; 4

5 Cho điểm A3;0; 2, B3;6; 4 đường thẳng : 1

3

x y z

d    

 Tìm M thuộc d cho MA MB  nhỏ

Đáp số: 13; 4;

7 7

M   

 .