[r]
(1)1
::Ôn tập Phương pháp tính::
Dùng ph
ương pháp
xác đị
nh nghi
ệ
m g
ần phương tr
ìn
h để
đưa
các thu
ậ
t tốn tính g
ần giá trị
c
ủ
a
n ( 0, , 2)a n n
a > Î¥ ³
1. Dựa vào phương pháp chia đôi
2. Dựa vào phương pháp xấp xỉ Newton
3.
Dựa vào phương pháp xấp xỉ liên tiếpGọi x giá trị na0, ta có: x=
0
n a
0 0(*)
n n
x a x a
Û = Û - =
Đặt f(x)=xn-a0thì (*) tương đương với phương trình f(x)=
Ta cần tìm giá trị gần na0, tức tìm gtgđ nghiệm pt (*)
v Nếu a0> 1:
0
0 0
(1) (
0
)
n n f
f a
a
a a
- < = =
>
-Do pt f(x)= có nghiệm xỴ(1,a0) v Nếu a0<1:
0
0 0
(1) (
0
)
n n f
f a
a
a a
- > = =
<
-Do pt f(x)= có nghiệm xỴ(a0,1) v Nếu a0=
na
=
Dựa vào phương pháp chia đôi:
1. Thuật toán:
v Input: a0, n, k
{cần tính giá trị gần na v0 ới sai số không 10
-k
, kết ghi dạng biểu diễn thập phân, có k chữ số sau dấu phẩy}
v Output: x { x là gtgđ củana0thỏa điều kiện trên}
v Giải thuật:
B1: Nếu a0> gán b= a0, a= sang B2
Nếu a0< gán b= 1, a= a0 sang B2
Nếu a0= gán x= dừng
B2: Nếu ( )
2
a b
f + = gán *
x =a b+ sang B5 Ngược lại sang B3
B3: Nếu 10
2
k
b a- £
-thì gán *
x =a b+ sang B5 Ngược lại sang B4
B4: Nếu ( ) ( )
2
a b
f + f a > gán
2
a=a b+ trở lại B2
Nếu ( ) ( )
a b
f + f a < gán
2
a b
b= + trở lại B2
(2)2
2. Ví dụ:
Tính 3
2, sai số khơng q 10-2 a0= 2, n= 3, k=
B1: a0> 1, b= 2, a=
B2:
2
2
f ổỗ + ửữ
ố ứạ
B3:
2
2 10
0,5
2
= > B4: (1)
2
f ổỗ + ửữ f
ố ứ <
Gỏn b= 2 +
= 1,5
(lặp)
B2: 1,
f ổỗ + ửữ
ứạ ố
B3:
2
1,5 10
0, 25
2
= > B4: 1, (1)
2
f ổỗ + ửữ f
ø > è
Gán a= 1,5 +
= 1,25 (lặp)
B2: 1, 25 1,
2
f ổỗ + ửữ
ø¹ è
B3:
2
1, 1, 25 10
0,125
2
= >
B4: 1, 25 1, (1, 25)
2
f ổỗ + ư÷ f
ø <
è
Gán b= 1, 25 1,
+
= 1,375
(lặp)
B2: 1, 25 1, 375
f ổỗ + ửữ
ứạ ố
B3:
2
1,375 1, 25 10
0, 0625
2
= >
B4: 1, 25 1, 375 (1, 25)
2
f ổỗ + ửữ f
ø <
è
Gán b= 1, 25 1,375 +
= 1,3125 (lặp)
B2: 1, 25 1, 3125
f ổỗ + ửữ
ứạ ố
B3:
2
1, 3125 1, 25 10
0, 03125
2
= >
B4: 1, 25 1, 3125 (1, 25
2 )
f ổỗ + ửữ f
ố ứ <
Gán b= 1, 25 1,3125 +
= 1,28125
(lặp)
B2: 1, 25 1, 28125
f ổỗ + ửữ
ứạ ố
B3:
2
1, 28125 1, 25 10
0, 015625
2
= >
B4: 1, 25 1, 28125 (1, 25)
2
f ổỗ + ửữ f
è ø <
Gán b= 1, 25 1, 28125 +
= 81 64 (lặp)
B2:
81 1, 25
64
f
ổ +
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ạ
B3:
2 81
1, 25
10
64 7,8125.10
2
-= >
B4:
81 1, 25
64 (1, 25)
f f
æ +
ỗ ữ
>
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
gỏn a=
81 1, 25
64
+
= 126 128
(lặp)
B2: 81 161
64 128
f ổỗ + ửữ
ứạ ố
B3:
2 81 161
10 64 128 3, 90625.10
2
-= <
*
161 81 323 128 64
2 256
x = =
+ B5:x= 1,26
Vậy
1, 26 10
x= ±
-1 2
3 4
5
7 8
(3)3
Dựa vào phương pháp xấp xỉ Newton
0 '( ) n , '( ) 0, (1, )
f x =nx - f x > " Ỵx a (hoặc (a0, 1))
2
0 ''( ) ( 1) n , ''( ) 0, (1, )
f x =n n- x - f x > "xỴ a (hoặc (a0, 1)) 1. Thuật toán:
v Input: a0, n, k
v Output: x { xlà gtgđ na0, với sai số không 10-k, xđược ghi ở dạng biểu diễn thập phân có k chữ số sau dấu phẩy}
v Giải thuật:
B1: Nếu a0> gán b= a0, a= sang B2
Nếu a0< gán b= 1, a= a0 sang B2
Nếu a0= gán x= dừng
B2: Gán x0= b,
2 ( 1) n
n
n b
M
a
-=
B3: Gán 0
1
0
n n
x x a
n x
x
-=
-Đặt x1là làm tròn x1, làm tròn đến chữ số hàng thứ -(k+1) sang B4
{Lưu í: có số trường hợp ta làm trịn x1 đến chữ số hàng thứ (-k-1) x0= = x1 Khi ta lấy x1 làm trịn x1 đến chữ số hàng thứ (-m) (m>k) đó, để x1¹x0}
B4: Nếu 0| | 1
10
.(| |)
4
k
x x x x
M
+ - < sang B5
Ngược lại gán x0= x1và quay lại bước
B5: Lấy xlà làm tròn x1, làm tròn đến chữ số hàng thứ -k (và dừng)
2.
Ví dụ:
Tính
32
, sai s
ố
khơng q 10
-2…
a
0= 2, n= 3, k=2
B1: a0= 2> 1, b= 2, a=
B2: x0= 2,
3 (3 1).2
4
m= - - - = B3:
3
1
2
1,5
2
x = - -- =
1 1, 5; 1,
x = x =
B4:
2
2
1 0| | 1|]
10
4[|
4
4 | |
x x x x x x
+ - = - = >
Gán x0= 1,5
(lặp) B3:
3
1
1, 1,
.1,5
x = -
-1
3 1
1, 296
10
x
x x
-= = ± B4:
2
1 1
3
4[| | | |]
4[0, 204 1.10 ] 0,2
x x x x
+
-£ + <
Gán x0= 1,296
(4)4
(lặp) B3:3
1
1, 29
1, 296
3.1, 296
x = -
-1 1, 261
x =
3 1
1 10
x = ±x
-B4: 4[|x1-x0|+|x1-x1|]2
3
1
.10 5, 041.10
4.[ ]
2
0, 035 - =
-£ +
Gán x0= 1,261
(lặp) B3:
3
1
1, 26
1, 261
3.1, 261
x = -
-1 1, 260
x =
3 1
1 10
x
x = ±
-B4: 4[|x1-x0|+|x1-x1|]2
2
3
4[10 110 ] 9.10 10
2
-
-£ + = <
B5: x=1, 26
Vậy x=
1, 26 10±
-Dựa vào phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Đặt
1
( ) [(n-1)x+ an ]
g x
n x
-= pt (*) Û g x( )=x
Với b= max{ a0, 1} Xét dãy (xk)kđịnh
0
0
1 1
1
( ) ( 1) , 1, 2,
k k k n
k x
a x
n x
b
g x - n x- - k
-ì ï
í =
=
é ù
= ê - + ú =
ë û
ï ỵ
thì:
0;
i i 0,1,
i x ³ =
(
1
) [
1
( 1) ] n ,
i i n
k
Cauchy a
ii
n n x x a i
x+ = - + - " ẻƠ
0
1 ( 1) 1 ( ) ), 0,1,
1
[ ]
n k
k k k n k n
k k
x
x n x a x a
iii x
n x n x do ii k
+ -
= - + - = £ =
Vậy dãy (xk)k dãy giảm, bị chặn n a Do (xk)k dãy hội tụ
0 m
li n
k k
iv x a
đ+Ơ =
Vy dóy (xk)k hội tụ nghiệm phương trình g x( )=x
Do đó, với sốk đủ lớn đó, ta lấy xklàm gtgđ cho n a0 với sai số khơng q ị cho
trước
1. Thuật toán:
v Input: a0, n, k
v Output: x { x gtgđ n a0 , với sai số không 10
-k
, x ghi dạng biểu diễn thập phân có k số sau dấu phẩy}
v Giải thuật:
B1: Gán b= max{a0, 1}
B2: x0= b;
B3: Gán
1
0
(n 1)x an x
n x
-é ù
= ê - + ú
ë û
(5)5
Đặt x1là làm tròn x1, làm tròn đến chữ số hàng thứ -(k+1) sang B4:
{Lưu í: có số trường hợp ta làm tròn x1 đến chữ số hàng thứ -(k+1) x0= = x1 Khi ta lấy x1 làm tròn x1 đến chữ số hàng thứ (-m) (m>k) đó, để x1¹x0}
B4: +/ a0>
Nếu
1 0|
|
2
n k n
x -a < - - sang B5
{Vì
1 0|
|
2
n k n
x -a < - -
1
1
1 1
1
10 10
10
2
|
2
|
.( )
}
k k
k n
n
n n
n n
n n
x a
n
x a x a
- -
< < =
+ + Ngược lại, gán x0= x1, quay lại B3
+ /a0< 1:
Nếu
1 0| 010
|
2
n k n
x -a <a - - sang B5
{Vì
1 0| 010
|
2
n k n
x -a <a - -
1
1
1
0 10
10 |
|
2
k
k n
n
a n
x a
a n
< = }
Ngược lại, gán x0= x1, quay lại B3
B5: Lấy xlà làm tròn x1, làm tròn đến chữ số hàng thứ -k
2. Ví dụ: Tính 3
2, sai số khơng 10-2… a0= 2, n= 3, k=
B1: b=2 B2: x0=
B3: 1 2, 22
3
1
,
x = éê + ùú=
ë û
1 1, 5, 1
x = x =x
B4: | 13 | |1,53 | 1, 3.10
375 0, 0015
x - = - = > - =
Gán x0= 1,5
(lặp)
B3:
2
2,15 1,
2
3
x = éê + ùú=
ë û
3
1 1
1
1, 296; 10
2
x = x = ±x
-B4: 3
1 | | 1, 296 | |x - = - > , 0015 Gán x0= 1,296
(lặp)
B3: 1 2.1, 296 2 1, 296
3
x = éê + ùú
ë û
3
1 1
1
1, 261; 10
2
x = x = ±x
-B4: 3
1 | |1, 261 | |x - = - > , 0015 Gán x0= 1,261
(lặp)
B3: 1 2.1, 261 2 1, 261
3
x = éê + ùú
ë û
3
1 1
1
1, 260; 10
2
x = x = ±x
-B4:
3 3 4 3
1
3 | |1, 260 | 3, 76.10 0, 0015
| 10
2
x - = - = - < =
-Gán x=1, 26
Vậy
1, 26 10
x= ±
- ::Try your best n Have fun! J::
1 2