Đang tải... (xem toàn văn)
b) Giả sử cửa hàng nhập 10 lô hàng 1 tháng và với mỗi lô hàng đều được kiểm tra ngẫu nhiên 20 thiết bị. Xác suất có đúng 3 lô hàng có chứa ít nhất 1 thiết bị hỏng trong số 20 thiết bị [r]
(1)Qui luật phân phối xác suất thường gặp
(2)Phân phối chuẩn N(, 2)
• Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn với
tham số 2 hàm mật độ có dạng:
• Ký hiệu: X ~ N(, 2)
• Là ppxs bnn liên tục
2
2
2
1
( ) ,
2
x
f x e x R
(3)Đồ thị hàm mật độ
2
2
1 )
2 (
x
f x e
(4)Tính chất
2
2
~ ,
) )
Neáu X N thì:
i E X Var X
ii ModX MedX
(5)Phân phối chuẩn tắc
• Standard Normal Distribution
• Là bnn có pp chuẩn với trung bình là phương sai
• Ký hiệu X ~ N(0, 1) ta có:
2
2
1 2
x
f x e
(6)Chuẩn hóa bnn
• Ta có:
~ , ~ 0,1
Neáu X N thì: Z X N
a X b
(7)Xác suất N(, 2)
• Cho X ~ N(, 2) ta có:
• Với:
• Là tích phân Laplace
b a
P a X b
2/2
0
1 2
z
x
z e dx
(8)Tính chất hàm (x)
)
) 0,5 0,5
) 0,5
i z z
ii
iii z khi z
z
2/2
0
1
z
x
z e dx
(9)Xác suất N(μ;σ2)
• Giá trị tích phân Laplace dị bảng Phụ lục
2 • 1) 2) 0,5 3) 0,5 b a
P a X b
a a
P X a
b b
P X b
(10)Tính chất pp chuẩn
• Nếu a, b số thực thì:
• Tổ hợp tuyến tính bnn độc lập có phân phối chuẩn bnn có pp chuẩn
2
1 1
1 2
2 2
; ?;? ; X N
Z aX bX N
X N
; ; 2
(11)Ví dụ 1
• Cho X~N(3,1) Y~N(4,2) độc lập Tìm xác suất X>2Y • Giải. ~ 3;1
2 ~ 1.3 2.4;1.1 4.2 ~ 4;2
0
2 0,5
3 0,5 1,67 0,0475
X N
X Y N
Y N
P X Y P X Y
(12)Ví dụ 2
(13)Giá trị tới hạn Zα
• Giá trị tới hạn chuẩn mức α ( số thực ký hiệu Zα sao cho với Z~N(0;1) thì:
• Chú ý:
•
P Z Z
0
0,5
Z Z
Z Z Z
(14)Quy tắc k sigma
1 0,6826
2 2 0,9544
3 3 0,9974
4 4
(15)Ví dụ 3
Giả sử thời gian khách phải chờ để phục vụ cửa hàng bnn X, biết X~N(4,5; 1,21)
a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến phút?
(16)Ví dụ 4
(17)Phân phối Khi bình phương
• Bnn X gọi có phân phối Khi bình phương với n bậc tự hàm mật độ có dạng:
• Ký hiệu:
• Là trường hợp riêng pp Gamma.
2 , 2
0 ,
n x
n x e x
n f x x ~
(18)Quan hệ với pp N(0,1)
• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối N(0,1)
• Khi đó:
2
1
~
n
i i
X n
~ 0,1 i
(19)Phân phối Khi bình phương
• Nếu X~χ2(n)
• Đồ thị:
; ar 2
(20)Đồ thị hàm mật độ Khi BP
(21)Đồ thị hàm mật độ
• Khi n=30, vẽ đoạn từ đến 53 (trong khoảng độ lệch chuẩn)
30
2 60
7 74
,
E X n
(22)Tính chất X~2(n)
2
1 2
2
1 2
) ~ ; ~
~
Nếu độc lập thì:
X
a X n X n
X n n
2
) ~ 0,1
2
Nếu F
n
X n
b X n N
n
(23)Kết hay dùng Thống kê
• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn
• Khi đó:
2 ~ n i i X n
~ ,
i
(24)Kết hay dùng Thống kê
• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn
• Khi đó:
2 ~ 1 n i i X X n 2 ~ , 1 i n X N
X X X X
n
(25)Giá trị tới hạn 2 (n; α)
• Giá trị tới hạn mức α ( số thực ký hiệu 2(n;)
sao cho với Z~ 2(n) thì: •
n;
P Z
(26)(27)Ví dụ 5
• Cho
• Tìm xác suất sau:
2 20
Z
2
) 0,95 20;0,95 ) 8,2604 ?
) 10,8508 31,4104 ?
a P Z a hay b P Z
c P Z
(28)Phân phối Student t(n)
• Kí hiệu: X ~ t(n)
• Bnn X gọi có phân phối Student với n bậc tự hàm mật độ có dạng:
1
(29)Quan hệ với Chuẩn Khi BP
• Cho X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập.
• Khi đó:
~ 0,1 ; ~
X N Y n
~ X X n
T t n
Y Y
(30)Tính chất
Neu ~ thì:
) ;
)
2
) n F 0,1
T t n
a E T n
n
b V T n
n
c T N
(31)(32)(33)Giá trị tới hạn
• Giá trị tới hạn mức α ( số thực ký hiệu sao cho với Z~ (n) thì:
•
Z t n;
P
;0 ;1
;0,5 ;1 ;
;
0
n n
n n n
n n
t t
t t t
(34)(35)Ví dụ 6
• Cho
• Tìm giá trị tới hạn xác suất sau:
15
Z t
15;0,025 15;0,975
) 0,025 ?
) 2,602 ?
) 2,0343 2,9467 ?
) 0,975 ?
a P Z a hay t b P Z
c P Z
d P Z b hay t
(36)Phân phối Fisher - Snedecor
• Ta định nghĩa thơng qua phân phối Khi bình phương. • Xét hai biến ngẫu nhiên độc lập.
• Đặt:
• Ta nói F có phân phối Fisher – Snedecor với (n,m) bậc
tự
2
~ ; ~
X n Y m
/
~ ;
/
X n mX
F F n m
Y m nY
(37)Đồ thị hàm mật độ
(38)(39)Đồ thị hàm mật độ
, mF 1,0 n
F n m N
(40)Tính chất
• Cho X~F(n,m) thì:
2 , 2 2 2 2 , 4 2 4 m
E X m
m
m n m
V X m
n m m
, mF 1,0 n
F n m N
(41)Giá trị tới hạn phân phối Fisher
• Giá trị tới hạn mức α ( số thực ký hiệu hay cho với F~ (n,m) thì:
• Tính chất:
•
, ,
P F f n m
( , ,1 ) , ,
( )
f n m
f n m
(42)(43)Ví dụ 7
• Cho F~F(20; 30) Tìm a, b, c cho:
) 0,05
) 0,01
) 0,95
a P F a
b P F b a P F c
(44)Ví dụ 8
(45)Ví dụ
• Cho bnn
• Giả sử bnn độc lập Tính xác suất:
1 1
~ 0; 1,5 ; ~ 0; 1,11
3 4
i j
X N i Y N j
5 11
2
1
3 i 2 j
i j
P X Y
(46)Phân phối Nhị thức (Binomial)
Định nghĩa: bnn X gọi phân phối theo qui luật Nhị thức nếu
• X={0,1,2,3…n}
• Với xác suất tương ứng là:
• Kí hiệu: X~B(n,p)
nk k n k
P X k C p q
(47)Quá trình Bernoulli
• Dãy n phép thử độc lập
• Trong phép thử bc A xuất với xác
suất không đổi.
(48)Mơ hình Nhị thức
Đặt X số lần bc A xuất trình Bernoulli gồm n phép thử
Khi đó: X~B(n,p)
Chú ý:
Gọi Y số lần A không xuất trình Bernoulli
(49)Thường gặp
• Khi điều tra tỷ lệ hỏng dây chuyền sản xuất
(50)Tham số đặc trưng
• Cho bnn X~B(n,p) Ta có:
) )
) 1 1 1
i E X np
ii VX npq
iii n p ModX n p
(51)Ví dụ 9
• Xác suất để bệnh nhân chữa khỏi điều trị bệnh gặp máu 0,4 Nếu 15 người đồng ý chữa trị xác suất:
• A) Có 10 người khỏi • B) Có từ đến người khỏi • C) Có người khỏi
(52)Ví dụ 10
• Một chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn mua loại thiết bị
điện tử để bán Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bị hư hỏng loại thiết bị 3%
a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lô hàng giao Xác suất có thiết bị hỏng bao nhiêu?
(53)Ví dụ 11
• Có giả thiết cho 30% giếng nước vùng
nơng thơn có tạp chất Để tìm hiểu kỹ người ta xét nghiệm số giếng (vì khơng đủ tiền xét nghiệm hết)
• A) Giả sử giả thiết đúng, tính xác suất có
đúng giếng có tạp chất
• B) Xác suất có nhiều giếng có tạp chất?
• C) Giả sử 10 giếng kiểm tra có giếng
(54)Phân phối Khơng – một
• Là phân phối Nhị thức với n=1, hay B(1;p) • Ký hiệu khác: X~A(p)
• Cịn gọi phân phối Bernoulli • Bảng ppxs:
X
P q p
(55)Tính chất
Cho X1, X2 hai bnn độc lập Giả sử:
Khi đó:
Hệ quả: Tổng n biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng pp A(p) bnn có pp B(n,p)
1 p 2
X B n , ; X B n , p
1 2
X X B n n , p
,
n
i i
(56)Ví dụ 12
• Hai đội A B tham gia đấu giải với đội đạt trận thắng trước đội chiến thắng giải Xác suất đội A thắng trận đấu p giả sử trận đấu độc lập
(57)Phân phối Siêu bội
Định nghĩa: Bnn X gọi phân phối theo qui luật siêu bội nếu:
• X số nguyên
• Với xác suất tương ứng là:
• Kí hiệu: X~H(N,NA,n)
A . A
k n k
N N N
n N
C C P X k
C
(58)Xét tập hợp có N phần tử
Lấy ngẫu nhiên n phần tử Lấy ngẫu nhiên n phần tử, khơng hồn lại
X: số phần tử có t/c A n phần tử lấy
Mơ hình siêu bội
Tính chất A
A N
A
(59)Ta có:
Tổng qt:
Mơ hình siêu bội
A A ~ , ,
k n k
N N N
A n
N
C C
P X k X H N N n
C
0; ,
(60)Các tham số
Cho bnn X~H(N,NA,n) ta có:
Trong đó:
;
1 N n
E X np V X npq
N
; 1
A
N
p q p
N
(61)Ví dụ 13
• Một sọt có 30 trái cam có trái bị hỏng
• A) Tính xs trái cam mua ngẫu nhiên từ sọt có trái khơng hỏng
• B) Tính xs 10 trái cam mua ngẫu nhiên từ sọt có trái khơng hỏng
(62)Ví dụ 14
(63)ModX
• Ta có:
• Với
• Công thức cho ta khoảng chứa ModX
0 1
k ModX k
0
1
1
A
N n
k
N
(64)Ví dụ 15
Trong cửa hàng bán 100 bóng đèn có bóng hỏng Một người mua ngẫu nhiên bóng Gọi X số bóng hỏng người mua phải
(65)Ví dụ 16
Một hộp có 20 sản phẩm có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sp từ hộp Gọi X số phế phẩm sp
a) Luật phân phối xác suất X b) Tính E(X), Var(X)?
(66)Quan hệ Nhị thức siêu bội
n<<N
N>20n
~ ,
X B n p
~ , A,
X H N N n
A A
k n k
N N N k k n k
n n
N
C C
P X k C p q
C
(67)Ví dụ 17
(68)Phân phối Poisson
• X: số lần kiện xh khoảng thời gian (khơng gian)
• X=0,1,2,…
• X bnn Poisson • Ví dụ:
• Số lỗi sai trang in
(69)Phân phối Poisson P(λ)
Định nghĩa: bnn X gọi phân phối theo qui luật Poisson P(λ)
• X={0,1,2,3…}
• Với xác suất tương ứng là:
• X~
( ) .
!
k
P X k e
k
(70)Điều kiện
• X: số lần kiện xh khoảng liên tục.
• X tn theo q trình xấp xỉ Poisson với tham số λ > nếu:
• (1) Số lượng kiện xh khoảng rời độc lập
• (2) Xác suất có kiện xh khoảng ngắn h=1/n xấp xỉ với λh = λ(1/n) = λ/n • (3) Xác suất có nhiều hai
(71)Hàm mật độ
• Cơng thức
• Lấy giới hạn
( ) 1
k n k
k n
P X k C
n n lim
1
lim 1 1
!
k n k k n n n k k n k C n n k
k n n n n n
(72)Các tham số tính chất
• Cho X~ P(λ) Ta có:
• X1, X2 hai bnn độc lập X1~ P(λ1); X2~ P(λ2)
Ta có:
) )
) 1
i E X
ii V X
iii ModX
1 1 2
(73)Tham số đặc trưng
• Xét tỷ lệ P(X=k+1) P(X=k) ta có:
• Vậy 1 1 1 k k e
P X k k
k
P X k
e
k
P X k
k
P X k
(74)Một số ví dụ
• Số lần truy cập vào máy chủ web
phút
• Số điện thoại trạm điện thoại
phút
• Số lượng bóng đèn bị cháy khoảng thời
gian xác định
• Số lần gõ bị sai đánh máy trang giấy.
• Số lần động vật bị chết xe cộ cán phải
đơn vị độ dài đường
• Số lượng thơng đơn vị diện tích rừng
(75)Ví dụ 18
Trong nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt có phân phối Poisson với trung bình Tính xác suất có
(76)Ví dụ 19
Một trạm điện thoại trung bình nhận 300 gọi Tính xác suất:
(77)Ví dụ 20
• Gà mẹ ấp n trứng Xác suất trứng nở gà p (độc lập nhau)
• Xác suất gà sống r (độc lập nhau) • a) PPXS số gà nở là?
(78)Ví dụ 21
(79)Xấp xỉ xác suất
n<<N
n lớn
p nhỏ n lớn
p lớn
~ ,
X B n p
~ . X P n p
~ , A,
X H N N n
(80)Xấp xỉ pp chuẩn
n lớn
0,1<p<0,9
2
~ ,
X N
~ ,
X B n p
2
E X np
V X npq
(81)Cơng thức xấp xỉ • Cho • 2/2 1 1 ) ; 0,5 0,5 ) x k np
i P X k f f x e
npq npq
k np k np
ii P k X k
(82)Xấp xỉ Poisson N(0,1)
• Cho bnn X có phân phối Poisson
• Ta chứng minh được:
• Trong thực hành, ta xấp xỉ Nghĩa là:
• ~ 0,1 X N khi ~ ? ?
X P E X V X
0,1 ~ , 20
X
N khi X P
(83)Ví dụ 22
• Trọng lượng viên thuốc có phân phối chuẩn với kỳ vọng 250mg phương sai 81 mg2 Thuốc đóng thành vỉ, vỉ 10 viên Một vỉ gọi tiêu chuẩn có trọng lượng từ 2490 mg đến 2510 mg (đã trừ bao bì) Lấy ngẫu nhiên 100 vỉ để kiểm tra Tính xác suất:
• A Có 80 vỉ đạt tiêu chuẩn.
(84)Ví dụ 23
• Khảo sát lơ thuốc viên, trọng lượng trung bình
của viên thuốc 252,6 mg có độ lệch chuẩn 4,2 mg Giả sử trọng lượng pp theo quy luật chuẩn
• A Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn 260
mg
• B Tính trọng lượng x0 cho 30% viên thuốc nhẹ
hơn x0
• C Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượng
(85)Bài tập chương 3
• 3.1; 3.2; 3.3; 3.6; 3.7; 3.8; 3.11; 3.12; 3.16 • 3.17; 3.22; 3.23; 3.29; 3.32; 3.37; 3.38