toan-roi-rac-1__giao-trinh-trr1 - [cuuduongthancong.com]

LỜI GIỚI THIỆU Toán rời rạc lĩnh vực nghiên cứu xử lý đối tƣợng rời rạc dùng để đếm đối tƣợng, nghiên cứu mối quan hệ tập rời rạc Một yếu tố làm Toán rời rạc trở nên quan trọng việc lƣu trữ, xử lý thông tin hệ thống máy tính chất rời rạc Chính lý đó, Tốn học rời rạc mơn học bắt buộc mang tính chất kinh điển ngành Công nghệ thông tin Điện tử Viễn thơng Tài liệu hƣớng dẫn mơn học Tốn học rời rạc đƣợc xây dựng cho hệ đào tạo từ xa Học viện cơng nghệ Bƣu Viễn thơng đƣợc xây dựng dựa sở kinh nghiệm giảng dạy mơn học kế thừa từ giáo trình “Tốn học rời rạc ứng dụng tin học” Kenneth Rossen Tài liệu đƣợc trình bày thành hai phần: Phần I trình bày kiến thức lý thuyết tổ hợp thơng qua việc giải bốn tốn là: Bài tốn đếm, Bài tốn tồn tại, Bài toán liệt kê Bài toán tối ƣu Phần II trình bày kiến thức Lý thuyết đồ thị: khái niệm, định nghĩa, thuật toán đồ thị, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton Một số tốn có ứng dụng thực tiễn quan trọng khác lý thuyết đồ thị đƣợc trọng giải Bài tốn tơ màu đồ thị, Bài tốn tìm đƣờng ngắn Bài toán luồng cực đại mạng Trong phần tài liệu, chúng tơi cố gắng trình bày ngắn gọn trực tiếp vào chất vấn đề, đồng thời cài đặt hầu hết thuật tốn ngơn ngữ lập trình C nhằm đạt đƣợc hai mục tiêu cho ngƣời học: Nâng cao tƣ toán học phân tích, thiết kế thuật tốn rèn luyện kỹ lập trình với thuật tốn phức tạp Mặc dù cẩn trọng trình biên soạn, nhiên tài liệu khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Chúng tơi mong đƣợc góp ý quí báu tất đọc giả bạn đồng nghiệp Mọi góp ý xin gửi về: Khoa Công nghệ Thông tin – Học viện Công nghệ Bƣu Viễn thơng Hà nội, tháng 05 năm 2006 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PHẦN I LÝ THUYẾT TỔ HỢP CHƢƠNG 1- NHỮNG KIẾN THỨC BẢN Nội dung chƣơng đề cập đến kiến thức logic mệnh đề lý thuyết tập hợp Bao gồm:  Giới thiệu tổng quan lý thuyết tổ hợp  Những kiến thức logic  Những kiến thức lý thuyết tập hợp  Một số ứng dụng logic lý thuyết tập hợp tin học Bạn đọc tìm thấy kiến thức sâu chi tiết tài liệu [1] [2] tài liệu tham khảo 1.1- Giới thiệu chung Tổ hợp lĩnh vực quan trọng toán học rời rạc đề cập tới nhiều vấn đề khác toán học Lý thuyết Tổ hợp nghiên cứu việc phân bố phần tử vào tập hợp Thông thƣờng phần tử tập hợp hữu hạn việc phân bố chúng phải thoả mãn điều kiện định tuỳ theo yêu cầu toán nghiên cứu Mỗi cách phân bố đƣợc coi “cấu hình tổ hợp” Nguyên lý chúng để giải toán tổ hợp đuợc dựa nguyên lý sở nguyên lý cộng, nguyên lý nhân số nguyên lý khác, nhƣng đặc thù tách rời tốn học tổ hợp việc chứng minh kiểm chứng phƣơng pháp giải tốn khơng thể tách rời máy tính Những dạng toán quan trọng mà lý thuyết tổ hợp đề cập tốn đếm, tốn liệt kê, toán tồn toán tối ƣu Bài toán đếm: dạng toán nhằm trả lời câu hỏi “có cấu hình thoả mãn điều kiện nêu?” Bài tốn đếm đƣợc áp dụng có hiệu vào cơng việc mang tính chất đánh giá nhƣ xác suất kiện, độ phức tạp thuật toán Bài toán liệt kê: toán liệt kê quan tâm đến tất cấu hình có đƣợc, lời giải đƣợc biểu diễn dƣới dạng thuật toán “vét cạn” tất cấu hình Bài tốn liệt kê thƣờng đƣợc làm cho nhiều toán khác Hiện nay, số toán tồn tại, toán tối ƣu, toán đếm chƣa có cách giải ngồi phƣơng pháp liệt kê Phƣơng pháp liệt kê trở nên quan trọng đƣợc hỗ trợ hệ thống máy tính Bài tốn tối ƣu: khác với toán liệt kê, toán tối ƣu quan tâm tới cấu hình “tốt nhất” theo nghĩa Đây tốn có nhiều ứng dụng thực tiễn lý thuyết tổ hợp đóng góp phần đáng kể việc xây dựng thuật tốn để đƣa đƣợc mơ hình tối ƣu Bài toán tồn tại: nhƣ toán đếm thực đếm cấu hình có, tốn liệt kê:liệt kê tất cấu hình có, tốn tối ƣu cấu hình tốt tốn tồn giải vấn đề nghi vấn nghĩa kể vấn đề có hay khơng cấu hình chƣa biết Những toán thƣờng tốn khó, việc sử dụng máy tính để chứng tỏ tốn tồn hay khơng tồn (hoặc khơng) cấu hình trở nên quan trọng 1.2 Những kiến thức Logic Các qui tắc Logic cho ta ý nghĩa xác mệnh đề Những qui tắc đƣợc sử dụng lập luận toán học khơng Vì mục tiêu giáo trình trang CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt bị cho sinh viên hiểu xây dựng đƣợc phƣơng pháp lập luận toán học đắn, nên bắt đầu nghiên cứu toán học rời rạc kiến thức môn logic học Hiểu đƣợc phƣơng pháp lập luận tốn học có ý nghĩa quan trọng tin học Những qui tắc logic cơng cụ sở để xây dựng nên ngơn ngữ lập trình, mạng máy tính, kiểm chứng tính đắn chƣơng trình nhiều ứng dụng quan trọng khác 1.2.1- Định nghĩa & phép toán Đối tƣợng nghiên cứu logic học mệnh đề Một mệnh đề đƣợc hiểu câu khẳng định hoặc sai khơng thể vừa vừa sai Ví dụ: Những câu khẳng định sau mệnh đề: “Hà nội thủ đô Việt nam.” 1+1 =2 2+2=3 Các mệnh đề “ Hà nội thủ đô việt nam”, “ +1 =2 “ mệnh đề đúng, mệnh đề “2 +2 =3” sai Nhƣng câu ví dụ sau khơng phải mệnh đề câu khơng cho ta khẳng định chẳng cho ta khẳng định sai “Bây ?” “Hãy suy nghĩ điều cho kỹ lưỡng” x +1 =2 x+y=z Ta ký hiệu chữ A, B, C, D, p, q, r, s mệnh đề Giá trị mệnh đề đƣợc ký hiệu T, giá trị mệnh đề sai đƣợc ký hiệu F Tập giá trị { T, F } đƣợc gọi giá trị chân lý mệnh đề Định nghĩa Mệnh đề p tuyển với mệnh đề q (ký hiệu p  p) mệnh mà nhận giá trị T hai mệnh đề p, q nhận giá trị T Mệnh đề p  q nhận giá trị F p, q nhận giá trị F Định nghĩa Mệnh đề p hội mệnh đề q (ký hiệu p  q ) mệnh đề mà nhận giá trị T p, q nhận giá trị T Mệnh đề p  q nhận giá trị F p, q, hai nhận giá trị F Định nghĩa Phủ định mệnh đề p (kí hiệu p) mệnh đề nhận giá trị F mệnh đề p nhận giá trị T, nhận giá trị F p nhận giá trị T Định nghĩa Mệnh đề tuyển loại p q, đƣợc ký hiệu pq, mệnh đề p q sai trƣờng hợp khác lại Định nghĩa Mệnh đề p suy mệnh đề q (ký hiệu p  q) nhận giá T p nhận giá trị F p q nhận giá trị T Mệnh đề pq nhận giá trị F p nhận giá trị T q nhận giá trị F Định nghĩa Hai mệnh đề p, q đƣợc gọi kéo theo (ký hiệu : p  q) có giá trị p q có giá trị chân lý sai trƣờng hợp khác lại Các phép tốn : , , , , , đƣợc định nghĩa thông qua bảng giá trị chân lý sau: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bảng 1.1: Bảng giá trị chân lý phép toán , , , , , p q p q p q p pq pq p q T T T T F F T T T F T F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T 1.2.2- Sự tƣơng đƣơng mệnh đề Một vấn đề quan trọng lập luận toán học việc thay mệnh đề khác có giá trị chân lý Hai mệnh đề có giá trị chân lý hiểu theo cách thơng thƣờng chúng tƣơng đƣơng ngữ nghĩa Do vậy, ta tiếp cận phân loại mệnh đề phức hợp thông qua giá trị chân lý chúng Định nghĩa Một mệnh đề phức hợp mà luôn với giá trị chân lý mệnh đề thành phần đƣợc gọi (tautology) Một mệnh đề luôn sai với giá trị chân lý mệnh đề thành phần đƣợc gọi mâu thuẫn Ví dụ: mệnh đề phức hợp p q đúng, p  q mâu thuẫn giá trị chân lý mệnh đề luôn đúng, luôn sai nhƣ đƣợc bảng 1.2 Bảng 1.2 Ví dụ mệnh đề & mệnh đề mâu thuẫn p p p q pq T F T F F T T F Định nghĩa Hai mệnh đề p, q đƣợc gọi tƣơng đƣơng logic với (ký hiệu : p  q) cột cho giá trị chân lý chúng giống Hay mệnh đề pq Ví dụ: hai mệnh đề  (p  q) p  q tƣơng đƣơng logic cột giá trị chân lý chúng đƣợc thể qua bảng sau: Bảng 1.3 Bảng giá trị chân lý (p  q) pq p q pq (pq) p q pq T T T F F F F T F T F F T F F T T F T F F F F F T T T T Dùng bảng giá trị chân lý để chứng minh tính tƣơng đƣơng logic hai mệnh đề phức hợp cho ta phƣơng pháp trực quan dễ hiểu Tuy nhiên, với mệnh đề logic phức hợp có k mệnh đề cần tới 2k giá trị chân lý để biểu diễn bảng giá trị chân lý Trong nhiều trƣờng hợp CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt chứng minh tính tƣơng logic việc thay mệnh đề phức hợp tƣơng đƣơng logic có trƣớc Bằng phƣơng pháp bảng chân lý, dễ dàng chứng minh đƣợc tƣơng đƣơng công thức dƣới đây: p q  p q pq  (pq)(qp) (p)  p Bảng 1.4 Bảng tương đương logic TƢƠNG ĐƢƠNG TÊN GỌI pTp Luật đồng pFp pTT Luật nuốt pFF ppp Luật luỹ đẳng ppp (p)  p Luật phủ định kép pqqp Luật giao hoán pqqp (p  q)  r  p  ( q  r) Luật kết hợp (p  q)  r  p ( q  r) p  ( q  r)  (p  q )  (p  r) Luật phân phối p  ( q  r)  (p  q)  (p  r) (p  q )  p  q Luật De Morgan (p  q )  p  q Ví dụ: Chứng minh ( p  (q  q ) tƣơng đƣơng logic với p  q Chứng minh: ( p  (q  q )  p  (p  q ) theo luật De Morgan thứ  p  [ (p)  q theo luật De Morgan thứ  p  [ p  q ] theo luật phủ định kép  (p  p )  (p  q) theo luật phân phối  F  (p  q) p  p  F  p  q Mệnh đề đƣợc chứng minh CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2.3 Dạng chuẩn tắc Các công thức (mệnh đề) tƣơng đƣơng đƣợc xem nhƣ biểu diễn khác mệnh đề Để dễ dàng viết chƣơng trình máy tính thao tác cơng thức, cần chuẩn hóa cơng thức, đƣa chúng dạng biểu diễn chuẩn đƣợc gọi dạng chuẩn hội Một công thức đƣợc gọi dạng chuẩn hội hội mệnh đề tuyển Phƣơng pháp để biến đổi công thức dạng chuẩn hội cách áp dụng thủ tục sau:  Bỏ phép kéo theo () cách thay (pq) (pq)  Chuyển phép phủ định () vào sát ký hiệu mệnh đề cách áp dụng luật De Morgan thay (p) p  Áp dụng luật phân phối thay công thức có dạng (p(qr)) (pq)(pr) Ví dụ Ta chuẩn hóa cơng thức (pq)(rs): (pq)(rs)  (pq) (rs)  ((pq)r) ((pq)s)  (pqr)(pqs) Nhƣ công thức (pq)(rs) đƣợc đƣa dạng chuẩn hội (pqr)(pqs) 1.3- Vị từ lƣợng từ Trong tốn học hay chƣơng trình máy tính hay gặp khẳng định chƣa phải mệnh đề Những khẳng định có liên quan đến biến Chẳng hạn khẳng đinh: P(x) = “x > 3” mệnh đề nhƣng giá trị cụ thể x = x P(x0) lại mệnh đề Hoặc đoạn chƣơng trình gặp câu lệnh: if ( x > ) then x:= x +1; chƣơng trình đặt giá trị cụ thể biến x vào P(x), mệnh đề P(x) cho giá trị x đƣợc tăng lên câu lệnh x:=x+1, P(x) có giá trị sai giá trị x đƣợc giữ nguyên sau thực câu lệnh if Chúng ta phân tích khẳng định thành hai phần chủ ngữ vị ngữ (hay vị từ), câu “ x lớn 3” ta coi x chủ ngữ, “ lớn 3” vị ngữ, hàm P(x) đƣợc gọi hàm mệnh đề Một hàm mệnh đề có nhiều biến, giá trị chân lý hàm mệnh đề giá trị cụ thể biến đƣợc xác định nhƣ mệnh đề thơng thƣờng Ví dụ: Cho Q(x, y, z) hàm mệnh đề xác định câu x = y2 +z2 xác định giá trị chân lý mệnh đề Q (3, 2, 1), Q ( 5, 4, 3) Giải: Đặt giá trị cụ thể x , y , z vào Q(x,y,z) ta có : Q(3,2,1) mệnh đề “32 = 22 + 12” sai Q(3,2,1) mệnh đề sai Trong đó, Q (5, 4, 3) mệnh đề “ 52 = 42 + 32” đúng, Q(5,4,3) mệnh đề Tổng quát, giả sử M tập hợp phần tử M thƣờng đƣợc gọi trƣờng hay miền xác định phẩn tử thuộc M Khi đó, biểu thức P(x) gọi vị từ xác định trƣờng M thay x phần tử trƣờng M P(x) trở thành mệnh đề trƣờng M CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Khi tất biến hàm mệnh đề đƣợc gán giá trị cụ thể, mệnh đề tạo xác định giá trị chân lý Tuy nhiên, có phƣơng pháp quan trọng khác để biến hàm mệnh đề thành mệnh đề mà không cần phải kiểm chứng giá trị chân lý hàm mệnh đề tƣơng ứng với giá trị biến thuộc trƣờng xét Phƣơng pháp gọi lƣợng hố hay lƣợng từ Chúng ta xét hai lƣợng từ quan trọng lƣợng từ với (ký hiệu :), lƣợng từ tồn (ký hiệu : ) Định nghĩa Lƣợng từ với P(x) ký hiệu x P(x) mệnh đề “ P(x) với phần tử x thuộc trƣờng xét” Ví dụ : Cho hàm mệnh đề P(x) = X2 + X + 41 nguyên tố Xác định giá trị chân lý mệnh đề  P(x) với x thuộc không gian bao gồm số tự nhiên [0 39] Giải: P(x) với giá trị x  [0 39]   P(x) Ví dụ : Cho P(x) hàm mệnh đề “ x + > x” Xác định giá trị chân lý mệnh đề  x P(x), khơng gian số thực Giải : P(x) với số thực x nên x P(x) Định nghĩa Lƣợng từ tồn hàm mệnh đề P(x) (đƣợc ký hiệu là: x P(x) ) mệnh đề “ Tồn phần tử x không gian cho P(x) “ Ví dụ: Cho P(x) hàm mệnh đề “x > 3” Hãy tìm giá trị chân lý mệnh đề  x P(x) không gian số thực Giải: P(4) “ > 3” nên  x P(x) Ví dụ: Cho Q(x) “ x + > x” Hãy tìm giá trị chân lý mệnh đề  x Q(x) không gian số thực Giải: Q(x) sai với x  R nên mệnh đề  x Q(x) sai Bảng 1.5: Giá trị chân lý lƣợng từ ,  x P(x) P(x) với x Có giá trị x để P(x) sai x P(x) Có giá trị x để P(x) P(x) sai với x Dịch câu thông thƣờng thành biểu thức logic: Dịch câu đƣợc phát biểu ngôn ngữ tự nhiên (câu hỏi thông thƣờng) thành biểu thức logic có vai trị quan trọng xây dựng ngơn ngữ lập trình, chƣơng trình dịch xử lý ngơn ngữ tự nhiên Q trình dịch câu từ ngôn ngữ tự nhiên thành biểu thức làm tính tự nhiên ngơn ngữ đa số ngơn ngữ khơng rõ ràng, nhƣng biểu thức logic lại rõ ràng chặt chẽ từ cú pháp thể đến ngữ nghĩa câu Điều dẫn đến phải có tập hợp giả thiết hợp lý dựa hàm xác định ngữ nghĩa cuả câu Một câu đƣợc chuyển dịch thành biểu thức logic, xác định đƣợc giá trị chân lý biểu thức logic, thao tác biểu thức logic, biến đổi tƣơng đƣơng biểu thức logic Chúng ta minh hoạ việc dịch câu thông thƣờng thành biểu thức logic thơng qua sau Ví dụ dịch câu “Bạn không đƣợc lái xe máy bạn cao dƣới 1.5 mét bạn 18 tuổi” thành biểu thức logic Giải: Ta gọi p câu : Bạn đƣợc lái xe máy CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt q câu : Bạn cao dƣới 1.5m r câu : Bạn 18 tuổi Khi đó: Câu hỏi đƣợc dịch là: (q  r)  p Ví dụ: Dịch câu “ Tất sinh viên học tin học học mơn tốn học rời rạc” Giải: Gọi P(x) câu “x cần học mơn tốn học rời rạc” x đƣợc xác định không gian sinh viên học tin học Khi phát biểu:  x P(x) Ví dụ: Dịch câu “Có sinh viên lớp tất phịng nhà tron+g ký túc xá” Giải : Gọi tập sinh viên lớp không gian xác định sinh viên x, tập nhà ký túc xá không gian xác định nhà y, tập phịng khơng gian xác định phòng z Ta gọi P(z,y) “ z thuộc y”, Q(x,z) “ x z” Khi ta phát biểu :  x  y  z (P(z,y)  Q(x,z)); 1.4 Một số ứng dụng máy tính Các phép tốn bít: Các hệ thống máy tính thƣờng dùng bit (binary digit) để biểu diễn thơng tin Một bít có hai giá trị chân lý hoặc Vì giá trị chân lý biểu thức logic có hai giá trị (T) sai (F) Nếu ta coi giá trị có giá trị giá trị sai phép tốn với bít máy tính đƣợc tƣơng ứng với liên từ logic Một xâu bít (hoặc xâu nhị phân) dãy khơng nhiều bít Chiều dài xâu số bít xâu Ví dụ: Xâu nhị 101010011 có độ dài Một số nguyên đuợc biểu diễn nhƣ xâu nhị phân có độ dài 16 bít Các phép tốn với bít đƣợc xây dựng xâu bít có độ dài, bao gồm : AND bít (phép cấp bít), OR (phép cấp bít), XOR (phép tuyển loại trừ cấp bít) Ví dụ: cho hai xâu bít 01101 10110 11000 11101 tìm xâu AND bít, OR bít, XOR bít Phép AND 01101 10110 11000 11101 01000 10100 Phép OR 01101 10110 11000 11101 11101 11111 Phép XOR 01101 10110 11000 11101 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10101 01011 Thuật toán phép tính số ngun: Các thuật tốn thực phép tính với số nguyên dùng khai triển nhị phân quan trọng xử lý số học máy tính Nhƣ biết, thực chất số nguyên đƣợc biểu diễn máy tính xâu bít nhị phân, sử dụng biểu diễn nhị phân số để thực phép tính Giả sử khai triển nhị phân số nguyên a b tƣơng ứng là: a = (an-1an-2 a1a0)2 , b = (bn-1bn-2 b1b0)2 Khai triển a b có n bít ( chấp nhận bít đầu để làm đặc n bít) Xét tốn cộng hai số ngun viết dạng nhị phân Thủ tục thực việc cộng giống nhƣ làm giấy thông thƣờng Phƣơng pháp tiến hành cách cộng bít nhị phân tƣơng ứng có nhớ để tính tổng hai số ngun Sau mơ tả chi tiết cho q trình cộng hai xâu bít nhị phân Để cộng a với b, trƣớc hết ta cộng hai bít phải nhất, nghĩa là: a0 + b0 = c0*2 + s0; s0 bít phải số nguyên tổng a + b, c số cần để nhớ Sau ta cộng hai bít số nhớ: a1 + b1 + c0 = c1*2 + s1; s1 bít số a + b, c1 số nhớ Tiếp tục q trình cách cộng bít tƣơng ứng khai triển nhị phân số nhớ, giai đoạn cuối : a n-1 + bn-1 + cn-2 = cn-1 * + sn-1 Bít cuối tổng cn-1 Khi khai triển nhị phân tổng a + b (snan-1 s1s0)2 Ví dụ: cộng a =(1110)2, b = (1011)2 Giải: Trƣớc hết lấy: a0 + b0 = + = * +  c0=0, s0 = Tiếp tục: a1 + b1 + c0 = + + = * +  c1=1, s1 = a2 + b2 + c1 = + + = * +  c2=1, s2 = a3 + b3 + c2 = + + = * +  c3=1, s3 = Cuối cùng: s4 = c3 =  a + b = (11001)2 Thuật toán cộng: void Cong(a , b: positive integer) { /*a = (an-1an-2 a1a0)2 , b = (bn-1bn-2 b1b0)2 */ c=0; for (j=0 ; j n-1; j++) { d= [( aj + bj + c)/ 2]; sj = aj + bj + c – 2d; 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c = d; } sn = c; khai triển nhị phân tổng (snan-1 s1s0)2; } Thuật toán nhân: Để nhân hai số nguyên n bít a, b ta việc phân tích: a = (an-1an-2 .a1a0), b = (bn-1bn-2 .b1b0)  ab  a  j 0 b j j  n 1 n 1  a(b j j ) j 0 Ta tính a.b từ phƣơng trình Trƣớc hết, ta nhận thấy ab j = a bj=1, abj=0 bj=0 Mỗi lần tính ta nhân với 2j hay dịch chuyển sang trái j bít cách thêm j bít vào bên trái kết nhận đƣợc Cuối cùng, cộng n số nguyên abj 2j (j=0 n-1) ta nhận đƣợc a.b Ví dụ sau minh hoạ cho thuật tốn nhân: Ví dụ: Tìm tích a = (110)2, b= (101)2 Giải: Ta nhận thấy ab020 = (110)2*1*20 = (110)2 ab121 = (110)2*0*21 = (0000)2 ab222 = (110)2*1*22 = (11000)2 Sử dụng thuật tốn tính tổng hai số ngun a, b có biểu diễn n bít ta nhận đƣợc(ta thêm số vào đầu toán hạng): (0 110)2 + (0000)2 = (0110)2 ; (0 0110)2 + (11000)2 = (11110)2 = ab Thuật toán nhân hai số nguyên n bít đƣợc mơ nhƣ sau: void Nhan( a, b : Positive integer){ /* khai triển nhị phân tương ứng a = (an-1an-2 .a1a0), b = (bn-1bn-2 .b1b0) */ for (j=0; j n-1; j++) { if ( ( bj==1) cj = a * 2j; /* a dịch trái j bít */ else cj =0; } /*c0, c1 , cn-1 tích riêng abj 2j(j=0 n-1 */ p=0; for ( j=0 ; j n-1; j++) p= p + cj; 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... n! / 2!(n-2)! = n(n-1)/2 trận đấu Ví dụ Chứng minh a) C(n,k) = C(n, n-k) (2) b) C(n, 0) = C(n,n)= (3) c) C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) (4) Giải a C(n,n-k) = n!/(n-k)! (n-n+k)! = n!/k!(n-k)! =... = n!/k!(n-k)! = C(n,k) Hoặc C(n, k) = n!/k!(n-k)! = n!/ (n-k)! (n-(n-k))! = C(n, n-k); b) Chú ý 0!=1 => b hiển nhiên c) C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) C (n  1, k  1)  C (n  1, k )  (n ... ứng khai triển nhị phân số nhớ, giai đoạn cuối : a n-1 + bn-1 + cn-2 = cn-1 * + sn-1 Bít cuối tổng cn-1 Khi khai triển nhị phân tổng a + b (snan-1 s1s0)2 Ví dụ: cộng a =(1110)2, b = (1011)2 Giải: