Tài liệu đại số tổ hợp dành cho lớp 11A2

(Khi ñoåi choã 2 hoïc sinh baát kì cho nhau ta ñöôïc moät caùch xeáp môùi). Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau, trong ñoù coù maët chöõ soá 0 nhöng kh[r]

(1)

Tuyển tập Đại số tổ hợp Tuyển tập Đại số tổ hợp Tuyển tập Đại số tổ hợp

Tuyển tập Đại số tổ hợp GV: HuGV: HuGV: HuGV: Huỳỳỳỳnh Vnh Vnh Vnh Văăăăn Quyn Quyn Quyn Quy

Cho A =  −  + − 

 

20 10

3

1

x x

x

x Sau khai triển rút gọn

biểu thức A gồm số hạng? 69. (CĐ KT Y tế I 2006)

Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau:

+ 2+ + 2k 2k+ + 2n 2− 2n 2− + 2n 2n = 15 16+

2n 2n 2n 2n 2n

C C C C C (2 1)

70. (CĐ Xây dựng số 2006)

Chứng minh: n− n 1− + + − n n= 0+ 1+ + n

n n n n n n

C C ( 1) C C C C

71. (CĐ KT Y tế 2005)

Giải bất phương trình: 2+ + 2− <

x x

2C 3A 20

72. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Tìm hệ số x29y8 khai triển (x3 – xy)15 73. (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006)

Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta đa thức có dạng:

a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

Tìm hệ số x5, bieát a

0 + a1 + a2 = 71

Chuyên đề:

ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Dành cho học sinh

H H H

Họ tên h tên h tên h tên học sinh:c sinh:c sinh:c sinh: L

L L Lớp:p:p:p:

(2)

Phần BÀI TỐN ĐẾM 1 (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999)

Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

1 Có tập X tập A thoả điều kiện X chứa không chứa

2 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập A không bắt đầu 123

2 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999)

Một học sinh có 12 sách đơi khác nhau, có sách Tốn, sách Văn sách Anh Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ sách dài, sách môn xếp kề nhau?

3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999)

Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trường hợp sau:

1 Bất học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường với

2 Bất học sinh ngồi đối diện khác trường với

4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999)

Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi từ X (chữ số phải khác 0) trường hợp sau:

1 n số chẵn

2 Một ba chữ số phải 5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)

Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy khơng có đủ màu?

Tuyển tập Đại số tổ hợp GV: HuGV: HuGV: HuGV: Huỳỳỳỳnh Vnh Vnh Văăăăn Quynh Vn Quyn Quyn Quy

60. (ĐH khối A 2006)

Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Newton

cuûa  + 

 

n

1 x

x , biết rằng: + + + + + + = −

1 n 20

2n 2n 2n

C C C

61. (ĐH khối B 2006)

Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập gồm

phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k∈{1,2,…, n} cho số tập gồm k phần tử A lớn 62. (CĐ Bán cơng Hoa Sen khối A 2006)

Giải hệ phương trình: +



= 



 =



x x

y y

x x

y y

1 C : C

3 C : A

24

63. (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006) Tìm số tự nhiên n cho: n − n = n

4

1 1

C C C

64. (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006) Tính tổng S =

+

+ + + +

0 n

n n n n

1 1

1 n

1.C 2.C 3.C (n 1).C

A A A A

Biết rằng: 0+ 1+ =

n n n

C C C 211

65. (CĐ Sư phạm TPHCM khoái BT 2006)

Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta đa thức có dạng:

a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

Tìm hệ số x5, biết a

0 + a1 + a2 = 71

66. (CĐ Điện lực TPHCM 2006)

Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức  + 

 

n

3

1 x

x ,

biết rằng: 1+ =

n n

C C 13n (n số tự nhiên lớn 2, x số thực

khaùc 0)

67. (CĐ Kinh tế TPHCM 2006)

Tìm n ∈ N cho: + + + + + + + 2n+ =

4n 4n 4n 4n

C C C C 256

(3)

51. (CĐ Nông Lâm 2003)

Tìm hệ số lớn đa thức khai triển nhị thức Newton của:

 + 

 

15

1 x 3

52. (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)

Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x)2n, với n số nguyên

dương Từ chứng minh rằng:

+ + + − 2n 1− = + + + 2n

2n 2n 2n 2n 2n 2n

1C 3C (2n 1)C 2C 4C 2nC

53. (ĐH khối A 2004)

Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức [1 + x2(1 –

x)]8

54. (ĐH khối D 2004)

Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton của:

 + 

 

7

4

1 x

x với x >

55. (ĐH khối A 2005)

Tìm số nguyên dương n cho:

+

+ − + + + − + + + + +

1 2 3 2n 2n

2n 2n 2n 2n 2n

C 2.2C 3.2 C 4.2 C (2n 1).2 C = 2005

56. (ĐH khối D 2005)

Tính giá trị biểu thức: M = + + +

4

n n

A 3A

(n 1)!

bieát 2+ + 2+ + 2+ + 2+

n n n n

C 2C 2C C = 149

57. (ĐH khối A 2005 dự bị 2)

Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 – 3x)2n, n

số nguyên dương thoả mãn: +

+ + + + + + + + =

1 2n

2n 2n 2n 2n

C C C C 1024

58. (ĐH khối D 2005 dự bị 1)

Tìm k ∈ {0; 1; 2; …; 2005} cho k 2005

C đạt giá trị lớn

59. (ĐH khối D 2005 dự bị 2)

Tìm số nguyên n > thoả mãn đẳng thức: 2Pn + 6A2n−P An 2n = 12

6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)

Người ta xếp ngẫu nhiên phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh

1 Có cách xếp để phiếu số chẵn ln cạnh nhau?

2 Có cách xếp để phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?

7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)

Người ta viết chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng

1 Có số lẻ gồm chữ số thành? Có số chẵn gồm chữ số thành? 8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)

Xét số gồm chữ số, có năm chữ số bốn chữ số cịn 2, 3, 4, Hỏi có số thế, nếu:

1 Năm chữ số xếp kề Các chữ số xếp tuỳ ý 9. (ĐH Hàng hải 1999)

Coù cách xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào ghế dài cho:

1 Bạn C ngồi

2 Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế 10. (HV BCVT 1999)

Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số gồm chữ số khác nhau, cho chữ số có mặt số

11. (ĐHQG HN khối B 2000)

Từ chữ số 0, 1, 3, 5, lập số gồm chữ số khác không chia hết cho

12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)

(4)

muốn lấy tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F em

1 Giả sử thầy giáo muốn tặng cho học sinh sách thuộc thể loại Văn Nhạc Hỏi có cách tặng?

2 Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, ba loại sách cịn lại Hỏi có cách chọn?

13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)

Một lớp có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác nếu:

1) phải có nữ 2) chọn tuỳ ý

14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)

Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số cho ta lập được:

1 Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số bốn chữ số khác đôi

2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số ba chữ số khác đôi

3 Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số ba chữ số khác đơi

15. (ĐH Y HN 2000)

Có nhà tốn học nam, nhà toán học nữ nhà vật lí nam Lập đồn cơng tác người cần có nam nữ, cần có nhà tốn học nhà vật lí Hỏi có cách?

16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000)

Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta lập số mà số có năm chữ số chữ số khác đơi Hỏi

1 Có số phải có mặt chữ số

2 Có số phải có mặt hai chữ số

42. (CĐ Xây dựng số – 2002)

Chứng minh với số nguyên dương n ta có: + + + + 2n 1− = + + + + 2n

2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n

C C C C C C C C

43. (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002) Giải phương trình: + 2+

x x x

C 6C 6C = 9x2 – 14x

2 Chứng minh rằng: + + + + 17 + 19

20 20 20 20 20

C C C C C = 219

44. (CĐ khối AD 2003)

Chứng minh rằng: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 –

1

45. (CĐ Giao thông II 2003)

Chứng minh với số nguyên dương n ≥ 2, ta có:

≤ −  −

 − 

n n

0 n

n n n

2 C C C

n

46. (CĐ Giao thông III 2003)

1 Tính tổng: S = 1− 2+ 3− + + − n 1− n

n n n n n

C 2C 3C 4C ( 1) nC (n > 2)

2 Tính tổng: T = + + + +

+

0 n

n n n n

1 1

C C C C

2 n

biết n số nguyên dương thoả điều kiện:

n+ n 1− + n 2− =

n n n

C C C 79

47. (CĐ Tài kế tốn IV 2003)

Chứng minh rằng: − −

− + − + − =

0 k k k k

2 n 2 n 2 n n

C C C C C C C

(với n, k ∈ Z+;n ≥ k + 2)

48. (CĐ Tài kế tốn IV 2003 dự bị) Giải bất phương trình: n n n ≤ n 2n 3n

(n!) C C C 720

49. (CĐ Công nghiệp HN 2003)

Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)2003 Khai triển đa thức

dạng:

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003

Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … + a2003

50. (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)

Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: 3+ =

n n

(5)

34. (ĐH khối D 2002)

Tìm số nguyên dương n cho:

0+ 1+ 2+ + n n

n n n n

C 2C 4C C = 243

35. (ĐH dự bị 2002)

Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: 3+ n 2−

n n

A 2C ≤

9n

36. (ĐH dự bị 2002)

Giả sử n số nguyên dương và: (1 + x)n = a

0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn

Biết tồn số k nguyeân (1 ≤ k ≤ n – 1) cho

− = = +

k k k

a a a

2 24

Hãy tính n

37. (ĐH dự bị 2002)

Gọi a1, a2, …, a11 hệ số khai triển sau:

(x + 1)10.(x + 2) = x11 + a

1x10 + a2x9 + … + a11

Hãy tính hệ số a5

38. (ĐH khối A 2003)

Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton

cuûa  + 

 

n

1 x

x , biết rằng:

+

+ − + = +

n n

C C 7(n 3)(n nguyên dương,

x > 0)

39. (ĐH khối B 2003)

Cho n số nguyên dương Tính tổng:

+ − + − + + + −

+

2 n

0 n

n n n n

2 2

C C C C

2 n

40. (ĐH khối D 2003)

Với n số nguyên dương, gọi a3n–3 hệ số x3n–3 khai

triển thành đa thức (x2 + 1)n(x + 2)n Tìm n để a

3n–3 = 26n

41. (ĐH khối D 2003 dự bị 2) Tìm số tự nhiên n thoả mãn: n 2− + 3+ n 3−

n n n n n n

C C 2C C C C = 100

17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)

Một đội văn nghệ có 20 người, có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho:

1 Có nam người

2 Có nam nữ người 18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)

Từ chữ số 2, 3, tạo số tự nhiên gồm chữ số, có mặt đủ chữ số

19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)

Có số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ

20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)

Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đơi khác

1 Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ

2 Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ

21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)

Có thẻ trắng thẻ đen, đánh dấu loại theo số 1, 2, 3, 4, Có cách xếp tất thẻ thành hàng cho hai thẻ màu khơng nằm liền

22. (ĐH Sư phạm HN khối A 2000)

Có thể lập số gồm chữ số từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần

23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)

Có số khác gồm chữ số cho tổng chữ số số số chẵn

24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)

(6)

25. (HV Kỹ thuật quân 2000)

Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày, cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người địa điểm B, người thường trực đồn Hỏi có cách phân công? 26. (ĐH GTVT 2000)

Một lớp học có 20 học sinh, có cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghị Hội sinh viên trường cho người có cán lớp

27. (HV Quaân y 2000)

Xếp viên bi đỏ có bán kính khác viên bi xanh giống vào dãy ô trống Hỏi:

1 Có cách xếp khác nhau?

2 Có cách xếp khác cho viên bi đỏ xếp cạnh viên bi xanh xếp cạnh nhau?

28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 9? 29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Có số lẻ gồm chữ số khác lớn 500000? 30. (CĐSP Nha Trang 2000)

Với số: 0, 1, 2, 3, 4, thành lập số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, có em nam, em nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn nhóm em để tham dự trị chơi gồm em nam em nữ Hỏi có cách chọn?

32. (ĐH An ninh khối D 2001)

Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập số có bảy chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, cịn chữ số khác có mạt lần

33. (ĐH Cần Thơ 2001)

Một nhóm gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có

Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

n 1− + n 2− + n 3− + + n

n n n n

C 2.C 3.C n.C = n.4n–1

28. (ĐHSP HN khối A 2001) Trong khai triển  + 

 

10

1 x

3 thành đa thức:

a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak∈ R)

hãy tìm hệ số ak lớn (0 ≤ k ≤ 10)

29. (ÑH Vinh khoái AB 2001)

Cho n số nguyên dương cố định Chứng minh k n

C lớn

nhất k số tự nhiên lớn không vượt n 1+

30. (ĐH Vinh khối DTM 2001) Chứng minh rằng:

+ 2 + 4 + + 2000 2000 = 2000 2001−

2001 2001 2001 2001

C C C C (2 1)

31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001)

Cho k n số nguyên thoả mãn: ≤ k ≤ n Chứng minh

raèng:

n + n − ≤( )n

2n k 2n k 2n

C C C

32. (ĐH khối A 2002) Cho khai triển nhị thức:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

−

− −

− − −

−

− −

+ = + + +

+ +

n n n

x x

x x x

0

3

2 2

n n

x x

x

n n

2 C C 2

C 2 C

(n số nguyên dương) Biết khai triển =

n n

C 5C vaø

số hạng thứ tư 20 Tìm n x 33. (ĐH khối B 2002)

Cho đa giác A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn

(O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1, A2,

…, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh

(7)

− + − + + − =

+ +

n

0 n

n n n n n

1 1 ( 1)

C C C C C

2 2(n 1) 2(n 1)

19. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000)

Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức:

(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7

20. (ÑH An Ninh khối A 2001)

Tìm số âm dãy số x1, x2, …, xn, … với

xn = +

+ − n

n n

A 143

P 4P (n = 1, 2, 3, …)

21. (ÑH An ninh nhân dân khối A 2001)

Chứng minh với n số tự nhiên, n ≥ 2, ta có:

2 + 2 + + 2

2 n

1 1

A A A =

− n

n

22. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001) Giải hệ phương trình:  + =

− =



y y

x x

y y

x x

2A 5C 90 5A 2C 80

23. (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001) Tính tích phân: I = ∫1 +

0

(x 2) dx

2 Tính tổng: S = 0+ 1+ 2+ 3+ + +

6 6 6 6

2 2 2

C C C C C C C

1

24. (ĐH Đà Lạt khối D 2001)

Chứng minh với số x ta có: xn =

= −

∑n k k n

n k

1

C (2x 1)

2 (n ∈

N) (*)

25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001)

Với n số tự nhiên, tính tổng:

S = + + + + +

+

0 2 3 n n

n n n n n

1 1

C C C C C

2 n

26. (ĐH Hàng hải 2001)

Chứng minh: + 2+ 4+ + 2n 2n = 2n 1− 2n+

2n 2n 2n 2n

C C C C (2 1)

27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001)

bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành hàng dài cho học sinh nam phải đứng liền

34. (HV Chính trị quốc gia 2001)

Một đội văn nghệ có 10 người, có nữ nam

1 Có cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ

2 Có cách chọn người mà khơng có q nam

35 (ĐH Giao thông vận tải 2001)

Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi lập số gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số

36. (ĐH Huế khối ABV 2001)

Có số tự nhiên gồm chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần?

37. (ÑH Huế khối DHT 2001)

Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mittinh trường với yêu cầu có nam nữ Hỏi có cách chọn?

Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh

39. (ĐH Kinh tế quốc daân 2001)

Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác phải có chữ số

40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)

1 Có thể tìm số gồm chữ số khác đôi một?

(8)

chẵn có chữ số đơi khác nhau? 41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập số có chữ số khác mà hai chữ số không đứng cạnh nhau?

42 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có cách xếp để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đổi chỗ học sinh cho ta cách xếp mới)

43. (HV Quan hệ quốc teá 2001)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số có chữ số mà chữ số đứng vị trí giữa?

44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)

1 Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, có mặt chữ số khơng có mặt chữ số

2 Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt khơng q lần

45. (ĐHSP HN II 2001)

Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7,

46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A hợp có 20 phần tử Có tập hợp A?

2 Có tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn?

47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

1 Có số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4,

2 Có số có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, mà số nhỏ số 345

10 (ĐHSP TPHCM khối DE 2000)

Tính toång: S = + + + +

+

0 n

n n n n

1 1

C C C C

2 n

11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000)

Chứng minh: n 1− + n 1− 2+ n 3− + n 4− 4+ + n = n 1−

n n n n n

2 C C C C nC n.3

12. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Tìm hệ số x31 khai triển f(x) =   +

 

 

40

2

1 x

x

13 (ĐH Thuỷ lợi 2000)

Chứng minh với số nguyên n ≥ 2, ta ln có:

+ + + + = −

2 2

2 n

1 1 n

n

A A A A

14 (ĐH Thuỷ lợi II 2000)

Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1 + x)14

có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14

Hãy tính hệ soá a9

15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000)

Với n số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau: + 1+ 2+ + n

n n n n

C C C C = 2n

2 + + + + 2n 1−

2n 2n 2n 2n

C C C C = C02n+C22n+C42n+ + C2n2n

16 (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000)

Tính tổng: 2000

2000 2000 2000 2001 2000 S=C + C + C + + C

Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12 thành dạng:

a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12

Tìm max(a1, a2, …, a12)

18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tính tích phân: I = ∫1 − n

0

x(1 x ) dx (n ∈ N*)

(9)

Phần II BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON 1. (CĐSP TPHCM 1999)

Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức: k + k 2+ = k 1+

14 14 14

C C 2C

2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999) Tính tổng: + + + + 10

10 10 10 10 10

C C C C C

trong k n

C số tổ hợp chập k n phần tử

3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)

Tìm số nguyên dương x thoả: + 2+ = 2−

x x x

C 6C 6C 9x 14x

4. (ÑH Bách khoa HN 1999)

Tính tổng: S = 1− 2+ 3− 4+ + − n 1− n

n n n n n

C 2C 3C 4C ( 1) nC

trong n số tự nhiên lớn 5. (ĐHQG HN khối A 2000)

Chứng minh rằng: k + k 1+ ≤ 1000+ 1001

2001 2001 2001 2001

C C C C

(trong k nguyên, ≤ k ≤ 2000û)

6. (ĐHQG HN khối B 2000)

Tìm số hạng không chứa x khai triển biểu thức sau:

 + 

 

 

17 3

1 x x

, x ≠

7. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)

Giải bất phương trình: − ≤ 3+

2x x x

1

A A C 10

2 x

8. (ĐHSP HN khối A 2000)

Trong khai triển nhị thức  + − 

 

 

n 28

3 15

x x x , tìm số hạng không

phụ thuộc vào x, biết n+ n 1− + n 2− =

n n n

C C C 79

9. (ĐHSP HN khối BD 2000)

Biết tổng tất hệ số khai triển nhị thức (x2 + 1)n

1024, tìm hệ số a (a số tự nhiên) số hạng ax12

khai triển

48. (ĐH Văn Lang 2001)

Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có cách chọn học sinh phải có nhất:

1 Hai học sinh nữ hai học sinh nam Một học sinh nữ học sinh nam 49. (ĐH Y HN 2001)

Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số chẵn có ba chữ số khác không lớn 789?

50. (ĐH khối D dự bị 2002)

Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn

51. (ĐH khối A 2003 dự bị 2)

Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số

52. (ĐH khối B 2003 dự bị 1)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 lập số tự nhiên mà số có chữ số thoả mãn điều kiện: sáu chữ số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị

53. (ĐH khối B 2003 dự bị 2)

Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn vậy?

54. (ĐH khối D 2003 dự bị 1)

Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau?

(10)

a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt

2 Từ kết câu 1) suy số giao điểm tối đa tập hợp đường nói

56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị)

Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh

57. (CĐ Xây dựng số – 2002)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác nhỏ 245

58. (CÑ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)

Từ chữ số 0, 1, 2, 5, lập số lẻ, số gồm chữ số khác

59. (ĐH khối B 2004)

Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng

60. (ĐH khối B 2005)

Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ

61. (ĐH khối A 2005 dự bị 1)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn

62. (ĐH khối B 2005 dự bị 1)

Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm phải có nữ

63. (ĐH khối B 2005 dự bị 2)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số 1,

64. (ĐH khối D 2006)

Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy?

65. (CĐ GTVT III khối A 2006)

Từ nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C, chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A học sinh khối C Tính số cách chọn

66. (CĐ Tài – Hải quan khối A 2006)

Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần hai chữ số lại phân biệt?

67. (CĐ Xây dựng số khối A 2006)

Có số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng tất số

68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho đường thẳng d1, d2 song song với Trên đường thẳng

d1 cho 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 cho điểm phân