Đang tải... (xem toàn văn)
(4,5 điểm) Kiểm tra tính elliptic tại từng điểm trên biên của các bài toán biên sau.[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ NĂM HỌC 2011-2012
——oOo——-Mơn thi: Bài tốn biên elliptic Mã mơn học: Số tín chỉ:2 Đề số:2
Dành cho học viên cao học khóa:2010-2012 Ngành học:Tốn Giải tích Thời gian làm bài90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (2 điểm) Hỏi hàme3x+5có hàm suy rộng tăng chậm khơng? Giải thích câu trả lời. Câu 2. (3,5 điểm) Cho toán tử vi phân
A1(x,D) = ∂ ∂x21 +x1
∂2
∂x22, A2(x,D) = ∂2 ∂x12 +x2
∂2 ∂x22 trong miềnB={x = (x1,x2)| (x1−1)2+ (x2−2)2 ≤1|}.
(a) (1,5 điểm)Tính tốn tử hợp thành A(x,D) = A1(x,D)A2(x,D)và biểu trưng của tốn tử hợp thành đó.
(b) (2 điểm) Khảo sát tính elliptic toán tử A1(x,D),A2(x,D) và A(x,D) trên miềnB.
Câu 3. (4,5 điểm) Kiểm tra tính elliptic điểm biên toán biên sau. Bài toán biên
∆2u(x1,x2,x
3) =0 khix21+x22+x23<1 ∂3u
∂x31(x1,x2,x3
) =g(x1,x2,x3) khix21+x22+x23 =1
∑ j=1
bj(x1,x2,x3)∂u ∂xj
(x1,x2,x3) =h(x1,x2,x3) khix12+x22+x23 =1.
(a)(b1(x),b2(x),b3(x)) = (x1,x2,x3). (b)(b1(x),b2(x),b3(x)) = (x2,−x1,x3).
(2)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————–
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ , NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: Bài tốn biên elliptic
Mã mơn học: Số tín chỉ:2 Đề số:2
Dành cho sinh viên khoá:2010-2012 Ngành học:Tốn Giải tích
Lời giải 1. [2điểm]
e3x+5 6∈S0(R) 0,5
Chọn dãy hàmρk(x) =e−kρ(3x−k)với
ρ(x) =
(
ex21−1 khi|x|<1,
0 lại
0,5
Có +)S−lim
k→∞ρk =0;
+)R
R
e3x+5e−kρ(3x−k)dx=e5R
R
eyρ(y)dy=const6→ 0. 1
Lời giải 2. [3,5điểm]
(a)A(x,D) = ∂
∂x41
+ (x1+x2)
∂2 ∂x12
∂2 ∂x22
+x1x2
∂4 ∂x42
+2x1
∂3
∂x32 với biểu trưng
a(x,ξ) =x1ξ41+ (x1+x2)ξ21ξ22+x1x2ξ42
1,5
(b) Toán tửA2(x,D)là elliptic với sốC=1/2, 1 tốn tử A1(x,D),A(x,D) khơng elliptic chọn dãy điểm x = (2, 1/n),n =
2, 3,
1
Lời giải 3. [4,5điểm]
Các biểu trưng
+ phương trìnha(x,ξ) = (ξ21+ξ22+ξ23)2,
+ điều kiện biênb1(x,ξ) =ξ31,b2(x,ξ) =b1(x)ξ1+b2(x)ξ2+b3(x)ξ3 0,5 Các véc-tơ pháp tuyến, tiếp tuyến
η(x) = (x1,x2,x3),ξ(x) = (ξ1,ξ2,ξ3)
0,5
(3)Toán tử∆là elliptic đúng,
a+(x,ξ+τη) = (τ−i)2
0,5
Cób1(x,η) =x31và
b1(x,ξ+τη)≡(3ξ12x1+6iξ1x21−3x31)τ+ (ξ31+3x12ξ1+2ix31)(moda+)
0,5
(a) Cób2(x,η) =1và
b2(x,ξ+τη) =hη,ξ+τηi=τ≡ τ(moda+)
0,5
Như hệb1,b2là chuẩn tắc khix16=0và
det
3ξ21x1+6iξ1x21−3x31 ξ31+3x21ξ1+2ix31
1
= −(ξ13+3x12ξ1+2ix31)6=0 Từ dẫn đến toán biên xét elliptic khix16=0
0,5
(b) Cób2(x,η) =x23và
b2(x,ξ+τη)≡2(x3ξ3+ix32)τ+ξ23+x23(moda+) Như hệb1,b2là chuẩn tắc khix1x36=0,
det
3ξ12x1+6iξ1x21−3x31 ξ31+3x21ξ1+2ix31
2(x3ξ3+ix32) ξ23+x23
1,5
Chưa biết tốn biên có elliptic hay không khix1x36=0?
Hà nội, ngày 15 tháng 05 năm 2012 NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN
(ký ghi rõ họ tên)
Đặng Anh Tuấn