Không được sử dụng tài liệu của thí sinh khác..[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ I NĂM HỌC 2013-2014
——oOo——-Môn thi: Hàm suy rộng
Mã môn học:MAT3014 Số tín chỉ:2 Đề số:1
Dành cho sinh viên khoá:Lớp K55A1T Ngành học:Toán học Thời gian làm bài90 phút (không kể thời gian phát đề)
Cho phiếm hàm∆1: D(R)→Cđược xác định h∆1,ϕi =
Z ϕ
(x)dx,ϕ∈ D(R)
Câu 1. (2 điểm) Chứng minh rằng∆1 ∈ E0(R)
Câu 2. (3 điểm) Tính nguyên hàm suy rộngFvà đạo hàm suy rộngGcủa∆1 Câu 3. (3 điểm) Đặt∆2=∆1∗∆1.Tính∆2và giá supp∆2
Chứng minh chuỗi ∑
n∈Z∆2(x−n)hội tụ đến hàm hằng1trongS
0(R),nghĩa là S0− lim
N→∞
M→∞ M ∑ n=−N
∆2(x−n) =1
Câu 4. (4 điểm) Với ∆n = ∆n−1∗∆1,n = 2, 3, , tính biến đổi Fourier ∆n Từ xem với số thựcsnào ta có∆1006thuộc khơng gian SobolevWs(R)?
(2)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————–
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2013-2014 Môn thi: Hàm suy rộng
Mã môn học:MAT3014 Số tín chỉ:2 Đề số:1
Dành cho sinh viên khoá:Lớp K55A1T Ngành học:Toán học
Lời giải 1 [2điểm]
Phiếm hàm xác định trênE(R)và tuyến tính 1
Kiểm tra tính liên tục dãy trênE(R)tại gốc 1
Lời giải 2 [3điểm]
Dạng thông thường của∆1là hàm
∆1(x) =
(
1 nếu0< x<1, cịn lại
Dự đốn ngun hàm suy rộng của∆1
F(x) =
C nếux <0,
x+C nếu0<x <1,
1+C nếux >1
1
Kiểm traDF=∆1 1
TínhG=D∆1=δ(x)−δ(x−1) 1
Lời giải 3 [3điểm]
Có
∆1∗∆1(x) =DF∗∆1(x) =F∗G= F(x)−F(x−1) =
0 nếux<0,
x nếu0≤ x<1,
2−x nếu1≤ x<2, nếux≥2
1
Từ đó∆2(x)là hàm liên tục có giá
cl{x∈R| |∆2(x)6=0}= [0, 2]
1
(3)VớiN,M∈Ncó
FN M(x) =
M
∑
n=−N
∆2(x−n) =
0 nếux≤ −Nhayx≥ M+2,
x+N −N< x≤ −N+1,
1 −N+1< x≤ M+1,
x−M nếuM+1<x ≤ M+2
Lấyϕ∈S(R),e>0cóN0 ∈Nđể
|ϕ(x)| ≤ e
1+x2,|x|>N0
VớiN> N0,M > M0có
| Z
R(FN M(x)−1)ϕ(x)dx| ≤
Z
|x|>N0
2e
1+x2dx<2πe
1
Lời giải 4 [4điểm]
Có
F(∆n)(ξ) = (2π)
n−1
2 (F∆1(ξ))n
1
Lại cóF(∆1)(ξ) = (2π)−1/2i(e
−iξ−1) ξ nên
F(∆n)(ξ) = (2π)−12(i(e
−iξ−1) ξ )
n.
1
Có
C1(1+|ξ|2)s−1006≤(1+|ξ|2)s|F(∆1006)(ξ)|2≤C2(1+|ξ|2)s−1006
khi2kπ+π/2≤ ξ ≤2kπ+3π/2,k∈Z
1.0
màR
R
(1+|ξ|2)tdξhội tụ khit<−1/2 0.5 nên∆2013 ∈Ws(R)khi khi2s<2013 0.5
Hà nội, ngày 19 tháng 12 năm 2013 NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN
(ký ghi rõ họ tên)
TS Đặng Anh Tuấn