(không kể thời gian phát đề) Câu 1.[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI GIỮA KÌ NĂM HỌC 2020-2021
——oOo——-Mơn thi: Phương trình vi phân đạo hàm riêng Mã mơn học:MAT Số tín chỉ:3 Đề số:2 Dành cho sinh viên lớp:Cao học 20-22 Ngành học:
Thời gian làm bài (khơng kể thời gian phát đề) Câu 1. Tìm nghiệm giải tích tốn Cauchy:
ux(x,y) +x2uy(x,y) =u(x,y)trongR2, u(0,y) =cos(y).
Câu 2. Cho sốa,b.Xét phương trình
xuxx(x,t)−x3utt(x,t)−aux(x,t)−bxut(x,t) =x2f(x,t)trongx >0,t >0. (i) Xác định loại chuyển dạng tắc phương trình cho.
(ii) Với a = 0,b > 0,L > 0, f ∈ C([0,L]×[0,∞))vàu ∈ C2((0,L)×(0,∞))∩C1([0,L]×
[0,∞))là nghiệm phương trình cho thỏa mãn u(0,t) =u(L,t) = 0,t ≥0.
Chứng minh rằng, với J(t) =R0L(x2u2t(x,t) +u2x(x,t))dx1/2ta có
J(t) ≤ J(0) + Z t
0
Z L
0
|f(x,s)|2dx 1/2
ds.
(iii) Vớia = 1,b = 0, f(x,t) = 0, tìm nghiệm tổng qt phương trình cho Từ đó, tìm nghiệm phương trình cho thỏa mãn
u(x, 0) = ϕ(x),ut(x, 0) = ψ(x)khix >0.
Tìm miền nghiệm tìm nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho Tìm hàm điều khiểnh(t)sao cho nghiệm phương trình cho thỏa mãn