Cho hình bình hành ABCD.. Cho hình bình hành ABCD.[r]
(1)HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU (Phục vụ cho chương trình lớp ơn thi vào lớp 10)
Chủ ñề: ðA THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Nhân ñơn, ña thức
( )( )( )
( )
( )( )
m n p q m p n q m p n q
) ax y bx y a.b x x y y abx y ) A B C D A.B A.C A.D
) A B C D A.C A.D B.C B.D
+ +
+ = =
+ + − = + −
+ + − = − + −
2 Cộng, trừñơn, ña thức
Thực chất việc làm cộng, trừ ñơn thức ñồng dạng dựa vào quy tắc sau tính chất giao hốn, kết hợp phép cộng đa thức
( )
( )
m n m n m n
m n m p m n m n m p
ax y bx y a b x y
ax y bx y cx y a c x y bx y
± = ±
+ + = + +
3 Hằng ñẳng thức ñáng nhớ
( )
( )( )
2 2 2
2
A B A 2AB B
A B A B A B
± = ± +
+ − = −
( )
( )( )
3 3 2 2 3
2 3
A B A 3A B 3AB B
A B A AB B A B
± = ± + ±
± ∓ + = −
Mở rộng: ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
A B C A B C AB BC CA
A B C A B C AB BC CA
+ + = + + + + +
+ − = + + + − −
4 Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử thực chất viết đa thức thành tích hai hay nhiều đa thức khác ñơn giản
* Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử gồm: - ðặt nhân tử chung
- Dùng ñẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử
- Tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Thêm, bớt hạng tử
- ðặt ẩn phụ
Trong thực hành thông thường ta dùng kết hợp phương pháp với Song nên ñi theo thứ tự phương pháp ñể thuận lợi trình xử lý kết
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ Thực hiện phép tính
( ) ( )3 ( )2
2 3
A 2x y x y xy 4x ; B x x x 2
= − − + − = + − − −
Giải
( )
2 3 5
A 2x y x y xy 4x 3x y 4x y x y
= − − + − = − = −
( )3 ( )2 3 2 3 2 2
(2)( )
2 3
A 2x y x y xy 4x
= − − + −
với x = - 2; y = 1 2
( )3 ( )2
B= x 1+ −x x−2 −1 với x = 12 3
−
Giải: - Thu gọn biểu thức (đã làm ví dụ 1) - Thay số, tính:
( )5 1 ( ) 1
A 2 32 4
2 8
= − − = − − =
5 5 25 5 125 15 140
B 5 5
3 3 9 3 9 9 9
= − − − = + = + =
Ví dụ Chứng minh
( ) ( )
( ) ( )( )
2
a) a b 4ab a b
b) A n n 5 n 3 n 2 6 n Z
+ − = −
= + − − + ⋮ ∀ ∈
2
c) B=x +2x+ > ∀2 0 x.
Giải: a) Có VT = a2 + 2ab + b2 – 4ab = a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 = VP (ñpcm) b) Có A = n2 + 5n – n2 + n + = 6n + = (n + 1)
do n∈Z⇒n Z+ ∈ ⇒6 n n( + )⋮ (đpcm) c) Có B = (x2 + 2x + 1) + = (x + 1)2 +
Do (x + 1)2 ≥ ∀x ⇒(x + 1)2 + > ∀x (đpcm) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x3 – 4x b) x2 – 5x + c) x4 + Giải: a) x3 – 4x = x (x2 – 4) = x (x – 2) (x + 2)
b) x2 – 5x + = (x2 – 4x) – (x – 4) = x (x – 4) – (x – 4) = (x – 4) (x – 1)
c) x4 + = (x2)2 +2x2 +22 – 4x2 = (x2 +2)2 – (2x)2 = (x2 +2 – 2x) (x2 +2 + 2x) C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Chứng minh
( )2 ( ) ( ) ( ) 3 2
a) 3x x 1− −2x x−3 x+ +3 4x x− =4 x −2x +5x
( ) 2( )
b) A=x 2x 1+ −x 2x+ +2 2x − +x 15 không phụ thuộc vào biến x
( ) ( )
c) B=2a a− −5 a −2a 1+ < ∀0 a Tính giá trị biểu thức
A = 6(4x + 5) + 3(4 – 5x) với x = 1,5
B = 40y – 5(2y – 3) + 6(5 – 1,5y) với y = - 1,5 Tìm x
a) 2x(3x + 1) + (4 – 2x) 3x = b) 5x(x – 3) – x + = Chứng minh:
a) (1 – 2a)(5a2 + 2a + 1) = – 10a3
b) (5x3 + 4x2y + 2xy2 + y3)(2x – 10y) = 10(x4 – y4) c) a3 + b3 + c3 - 3abc = ⇔ a = b = c a + b + c =
(Nếu a, b, c ñộ dài ba cạnh tam giác tam giác tam giác gì?) d) ∀x, y>0 x y 2
y + ≥x
5 Cho x + y + z = xy + yz + zx = Tính T = (x – 1)1991 + y1992 + (z + 1)1993 Tìm max, biểu thức sau
(3)Chủ ñề: PHÂN THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Khái niệm Dạng A
B A, B ña thức, B ≠
2 ðiều kiện xác định Cách tìm: - Giải B =
- Kết luận: Loại ñi giá trị tìm ñược ẩn 3 Rút gọn
- Phân tích tử mẫu thành nhân tử
- Chia tử mẫu cho nhân tử chung: A C.M C B = D.M = D 4 Quy ñồng mẫu phân thức
- Phân tích tử mẫu thành nhân tử
- Lập tích = (BCNN hệ số) (các nhân tử với số mũ lớn nhất) - Tìm thừa số phụ = MTC : MR
- Nhân tử mẫu phân thức với thừa số phụ tương ứng 5 Các phép tính
( )
A B A B A C A.D C.B
a) b)
M M M B D B.D
A C A C A C A.C A C A D
c) d) e) : C
B D B D B D B.D B D B C
+ +
+ = + =
−
− = + = = ≠
Chú ý:
- Ở phần b, MTC khác - Cần rút gọn kết B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ Tìm điều kiện xác định của phân thức sau
3
2
x 30
a) b)
x 4x xy
+
− −
Giải: a) Phân thức
3
x x
+
− khơng xác định x – = ⇔ x = Vậy ðKXð: x ≠
b) Phân thức 230
4x −xy không xác ñịnh 4x
– xy = ⇔ x(4x – y) = ⇔ x = 4x – y = ⇔ x = y = 4x Vậy ðKXð: x≠0; y≠4x Ví dụ Rút gọn biểu thức sau
2
2
4x 1 x x 20
A B
2x 1 x 5x
− + −
= =
− +
Giải: ( ) ( )( )
( )
2
2 2x 1 2x 2x 1
4x 1 1
A 2x 1; x
2x 1 2x 1 2x 1 2
− − +
−
= = = = + ≠
− − −
( )( )
( ) ( )
2
x 5 x 4
x x 20 x 4
B ; x 5
x 5x x x 5 x
+ −
+ − −
= = = ≠ −
+ +
(4)2
2
x 1 x 2 x 1
a) b)
x 1 1 x x 3x x 9
+ +
+ −
− − + −
Giải: ( )( )
( ) ( )
2 2 x x 1
x x x
a) x 1; x
x 1 x x x x x
− +
−
+ = − = = = + ≠
− − − − − −
( ) ( )( ) ( ()( )() ( ) )
( )( ) ( )( ) ( ( )( ) ) ( )
( )
2
2
x 2 x 3 x x
x 2 x 1 x 2 x 1
b)
x 3x x 9 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
2 x 3
x 3x 2x 6 x x 2x 6 2
x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3
x 3; x 0
+ + − +
+ − + = + − + =
+ − + − + − +
− +
− + − − − − − −
= = = =
− + − + − + −
≠ ± ≠
C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Tìm điều kiện xác định phân thức sau
( )
2
2
x 2xy y x 2y 2x 1 7
a) b) c) d)
x y 4 x y 3x x x x 1
− + + +
− + − − +
2 Các biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị biến hay không?
2
2
4x 4xy 2y 2x 1
A ; x , y
2x 2y 2
x
B ; x
x x 2 x
− − + −
= − ∀ ≠ ≠ −
− +
= + + ∀ ≠ ±
− + −
3 Chứng minh 2 x y x y :x y 2x
3x x y 3x x x y
+ −
− − − =
+ −
4 Cho biểu thức
2
6x 2x 3xy y A
6x 3y
+ − −
=
−
a)Tìm ðKXð biểu thức A
b)Rút gọn A tính giá trị với x = - 0,5; y = c)Tìm ñiều kiện x, y ñể A =
(5)Chủ ñề: CĂN BẬC HAI A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Khái niệm
x bậc hai số không âm a ⇔ x2 = a Kí hiệu: x= a 2 ðiều kiện xác ñịnh của biểu thức A
Biểu thức A xác ñịnh ⇔ A≥0 3 Hằng ñẳng thức căn bậc hai
2 A A
A A
A A
≥
= =
− <
4 Các phép biến ñổi căn thức
+) A.B = A B (A≥0; B≥0)
+) A A (A 0; B 0) B = B ≥ > +) A B2 = A B (B≥0)
+) A A.B (A.B 0; B 0)
B = B ≥ ≠
+) ( 2 ) ( ) m A B
m
B 0; A B
A B
A± B = − ≥ ≠
∓
+) ( ) ( )
n A B
n
A 0; B 0; A B A B
A ± B = − ≥ ≥ ≠
∓
+) ( )
2
A±2 B = m±2 m.n + =n m ± n = m ± n
với m n A
m.n B
+ =
=
B MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1 Thu gọn, tính giá trị biểu thức
( )( ) ( )2 3 2 3 2 2 ( )
A 3 3 ; B
3
C 2 ; D 3
+ +
= − − + + = + − +
+
= − − + = + + −
Giải: A= −6 3+ +6 27+6 34+ =
( ) ( )
3 3 2 2 2 1
B 2 3 3 2 2 2 3 2
3 2 1
+ +
= + − − = + + − − =
+
( ) (2 )2
C= 2−2 1+ − 4+2 8+ =2 2 1+ − 2+ 2 = 2+ − −1 2 2= −1
( ) ( ) (2 )2
D 2 2. 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1
D 2 3 1 3 3 D 6
= + + − = + + − = + + −
(6)VD2 Cho biểu thức
2
x x 2x x
y
x x x
+ +
= + −
− +
a) Rút gọn y Tìm x để y =
b) Cho x > Chứng minh y− =y c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải: a) ( ) ( ) ( )
3
x x 1 x x 1
y 1 x x 1 1 x 1 x x
x x 1 x
+
+
= + − = + + − − = −
− +
( )( )
y x x x x x x
x x x
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(Ởđây ta áp dụng giải phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ) b) Có y− = −y x x − −x x
Do x>1⇒x > x ⇒x− x >0⇒ x − x = −x x ⇒y− =y c) Có: ( ) ( )
2
2 1 1 1 1 1 1
y x x x x x x x
2 4 4
= − = − = − + − = + − ≥ −
Vậy Min y 1khi x 1 x 1 x 1
4 2 2 4
= − = ⇔ = ⇔ =
VD3 So sánh hai số sau
a = 1997 + 1999 b=2 1998
Giải: Có ( )
2 a = 1998 1− + 1998 1+ = 1998 1− + 1998 1+
2
2.1998 2 1998 1 2.1998 2 1998 2 1998
= + − < + = Vậy a < b
C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài Thực phép tính, rút gọn biểu thức
A=4 3+2 2 − 57+40 2 B= 1100−7 44 +2 176 − 1331
( )2
C= 1− 2002 2003+2 2002 D 72 51 4,5 22 2 27
3 3
= − + +
( )
3 2 3 2
E 6 2 4 3 12 6 2
2 3 2 3
= + − − − −
F= 8 15− − 8+2 15 G = 4+ 7 − 4− 7 H= 8+ 60 + 45− 12 I= 9−4 5 − 9+4 5
( ) ( )
K= 2 8+3 5−7 72−5 20−2 2
2 14
L
12
+ −
= M (5 3 50)(5 24)
75 5 2
+ −
=
−
3 5 3 5
N
3 5 3 5
+ −
= +
− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
(7)( )
2
2
1 5
Q
2
2
−
= −
−
+ R = 3+ 13+ 48
Bài Tính giá trị biểu thức
1 1 1 1
A khi a ; b
a 1 b 1 7 4 3 7 4 3
= − = =
+ + + −
2
B 5x 5x x 5
= − + = +
1 2x 2x
C x
4 1 2x 1 2x
+ −
= + =
+ + − −
Bài Chứng minh
a) 1
12
3 +3 + − = b)
3
2+ + 2− =1
c) 3
2 2
+ + − =
+ + − −
d) S 1
1 2 99 100
= + + +
+ + + số nguyên
Bài Cho ( )
3
x x 2x
2x x
A ; B
x x
− + −
− −
= =
− +
a) Rút gọn A B b) Tìm x để A = B Bài Cho A x
x
+ =
− Tìm số ngun x để A nhận giá trị nguyên
Bài Tìm x, biết:
( )2 x x x
a) x 81 36 b) c)
x x
+ + −
− = = =
−
Bài Khai triển ñẳng thức 1)
( 2+1) 2)
( 2−1) 3)
( 3−2) 4)
( 3−2) 5)
( 3+ 2) 6)
( 3− 2) 7)
(2 2+2) 8)
(2 2−2) 9) 2+1 10) 2−1 11) ( 2+1)( 2+1) 12) 2−8 Bài Phân tích thành lũy thừa bậc hai
1) 8+2 15 2) 10−2 21 3) 5+ 24 4) 12− 140 5) 14+6 6) 8− 28 7) 9+4 8) 28+6 9) 17 18 2+ Bài Phân tích thành nhân tử
1) 1+ 3+ 5+ 15 2) 10+ 14+ 15+ 21
3) 35+ 14− 15− 4) 3+ 18+ 3+ 5) 36x −5
6) 25 – 3x2 7) x – (x > 0) 8) 11 + 9x (x < 0) 9) 31 + 7x (x < 0) 10) x y+y x
Bài 10 Tính: A= 21 6+ + 21 6−
HD: Ta có: 6 =2 3.3 và 2
(8)Bài 11 Tìm giá trị x để
1) x2 − 2x + có giá trị nhỏ 2) 2
x +2x+5 có giá trị lớn 3) 2 2x 2x +
+ có giá trị lớn 4)
2
x 2x x 4x
− +
+ + có giá trị nhỏ
Bài 12 Tìm giá trị x ∈ Z để biểu thức sau có giá trị ngun 1) A =
x 1− 2) B =
14 2x+3 3) C = x
x
+
+ 4) D =
4x 2x
+
−
Bài 13 Giải bất phương trình
1) 5(x − 2) + > − 2(x − 1) 2) + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2) 3) 5x 2x
4 12
− > −
4) 11 3x 5x
10 15
− < +
Bài 15 Cho biểu thức:
2
x x x
A :
x x x x x
+ −
= − − +
− + − − +
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị biểu thức A x= 3+ c) Tìm giá trị x A =
HD: a) ðK: x ≠ ±1:
2 4x A x = − ;
b) x = 3+ = +1 Khi đó: A = −2 ; c) x1 = − 5; x
5
=
Bài 16 Cho biểu thức:
2
x 10
A
x x x x
+
= − +
+ + − −
a) Tìm điều kiện x để A xác ñịnh b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị x ñể A > HD: a) a ≠ −3, a ≠ ; b) A x
x
+ =
− ; c) A > ⇔ x > x < −1
Bài 17 Cho biểu thức
2
2 2a a a a 4a C
a a a a
− − +
= − +
+ + − −
a) Tìm điều kiện a để biểu thức C xác ñịnh Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị a để C =
c) Khi C có giá trị dương? Có giá trị âm? HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b)
2 4a C
a
=
+ ; c) C = ⇔
a a = = −
; d) C > ⇔
a a a ≠ ≠ ±
> −
; C < ⇔ a < −3
Bài 18 Cho biểu thức C x : x 1 :x
x x x
+
= − + − −
− −
a) Tìm điều kiện x ñể biểu thức C xác ñịnh b) Rút gọn biểu thức C
c) Tính giá trị biểu thức C x= 6+ 20
d) Tìm giá trị ngun x để C có giá trị nguyên HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b) C x
x
− =
(9)Bài 19 Cho biểu thức: A a a a a :a a
a a a a
− + +
= −
−
− +
a) Với giá trị a biểu thức A khơng xác ñịnh b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị ngun a A có giá trị ngun? HD: a) A khơng xác định ⇔ a < 0, a = 0, 1,
b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2: A 2(a 2) a
− =
+ ;
c) có a = thỏa mãn Bài 20 Cho biểu thức: B x 2x x
x x x
−
= −
− −
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị B x = +3
c) Với giá trị x B > 0? B< 0? B = 0? HD: a) ðK x > 0, x ≠ 1: B= x−1
b)
x= +3 =( 2+1) : B= 2;
c) B > ⇔ x > 1; B < ⇔ x < 1; B = ⇔ x = Bài 21 Cho biểu thức B a 3 a
2 a a
+ −
= −
− +
a) Tìm điều kiện a ñể B xác ñịnh Rút gọn B b) Với giá trị a B > 1? B< 1?
c) Tìm giá trị x để B = HD: a) a ≥ a ≠ 9: B a
a
+ =
− ;
b) B > ⇔ a > 9, B < ⇔ ≤ a < 9; c) B = ⇔ a = 15
Bài 22 Cho biểu thức A = 1 : 1
1 x x x x x
+ − +
− + − + −
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A x = +
c) Với giá trị x A ñạt giá trị nhỏ HD: a) ðK: x ≥ 0, x ≠ Rút gọn ta ñượcA
x (1 x )
=
−
b)
x (2 3) : A (3 5)
= − = + = − − ;
c) A = x
=
Bài 23 Cho
2 x x x
P
x x x
− + −
= −
− + +
1) Rút gọn P
2) Chứng minh : Nếu < x < P > 3) Tìm giá trị lớn P
(10)3)
2
1 1
P x
4
= − − ≤
Dấu "=" xảy ⇔
1
x x
2
= ⇔ = Vậy: max P x
4
= ⇔ =
Bài 17: Cho biểu thức
3
1 x x
B
x x x x x
−
= + +
− − − + −
a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác ñịnh b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm giá trị x B =
d) Tìm giá trị ngun dương x để B có giá trị nguyên
HD: a) x > b) B= −x x 1− c) B = ⇔ x = 10 d) B nguyên x = m2 + (m ∈ Z) Bài 18: Cho biểu thức: A 1 : x
x x x x x
+
= +
− − − +
a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa, rút gọn A b) So sánh A với
HD: a) ðiều kiện: x > x ≠ Ta có:
2
1 x ( x 1) x
A
x ( x 1) x x
+ − −
= =
− +
b) Xét hiệu: A – = x 1 x x
x x x
− − = − − = − <
Vậy: A < Cách 2: Dễ thấy: A = 1
x
(11)Chủ ñề: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ðịnh lý Pitago
ABC
∆ vuông A ⇔AB2 +AC2 =BC2 2 Hệ thức lượng tam giác vuông
1) AB2 = BH BC; AC2 = CH BC 2) AB AC = AH BC
3) AH2 = BH HC 4) 2 2 2
AH = AB +AC
Kết quả: Với tam giác ñều cạnh a, ta có:
2
a 3 a 3
h ; S
2 4
= =
3 Tỉ số lượng giác của góc nhọn
ðặt ∠ACB= α ∠; ABC= β đó:
AB AH AC HC AB AH AC HC
sin ; cos ; tg ; cot g
BC AC BC AC AC HC AB AH
α = = α = = α = = α = =
b a sin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC
= = = =
= = = =
Kết suy ra:
1) sinα =cos ;β cosα =sin ;β tgα =cotg ;β cot gα = βtg
sin cos
2) 0 sin 1; 0 cos <1; tg ; cot g
cos sin
α α
< α < < α α = α =
α α
2
2
1 1
3) sin cos 1; tg cot g 1; 1 cot g ; 1 tg
sin cos
α + α = α α = = + α = + α
α α
4) Cho ∆ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c đó:
2 2
ABC 1
a b c 2bc.cosA; S bcsin A
2
∆
= + − =
B MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1 Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh:
2
2 2 BC 2
a) AB AC 2AM ; b) AB AC 2BC.MH
2
+ = + − =
VD2 Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vng góc với BD
b) Tính diện tích hình thang
VD3 Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ∠ADC=700 C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I hình chiếu C BD, H hình chiếu I AC
Chứng minh: AH = 3HI
2 Qua ñỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E cắt ñường thẳng DC F Chứng minh: 2 12 12
AE +AF =a D MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN THÊM
B
H C
(12)(13)(14)(15)(16)Chủđề: PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Bậc nhất)
A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Phương trình bậc nhất một ẩn
- Quy ñồng khử mẫu
- ðưa dạng ax + b = (a ≠ 0) - Nghiệm x b
a
− =
2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu - Tìm ðKXð phương trình - Quy ñồng khử mẫu
- Giải phương trình vừa tìm
- So sánh giá trị vừa tìm với ðKXð kết luận 3 Phương trình tích
ðể giái phương trình tích ta cần giải phương trình thành phần Chẳng hạn: Với phương trình A(x) B(x) C(x) =
( ) ( ) ( )
A x 0
B x 0
C x 0
=
⇔ =
=
4 Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải biện luận phương trình)
Dạng phương trình sau biến đổi có dạng ax + b = Song giá trị cụ thể a, b ta nên cần ñặt ñiều kiện ñể xác ñịnh số nghiệm phương trình
- Nếu a ≠ phương trình có nghiệm x b a
− = - Nếu a = b = phương trình có vơ số nghiệm - Nếu a = b ≠ phương trình vơ nghiệm 5 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt ñối
Cần ý khái niệm giá trị tuyệt ñối biểu thức
A A A
A A
≥
=
− <
6 Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng ñại số Chú ý phương pháp ñặt ẩn phụ số trường hợp xuất biểu thức giống hai phương trình 7 Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc việc biến đổi tương tự với phương trình bậc Tuy nhiên cần ý nhân hai vế với số âm phải đổi chiều bất phương trình
B MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1 Giải phương trình sau
a) 2 x( − + =3) x 1( + −) 9 b) 7x x( 9) 20x 1,5
8
+
− − =
c) 2 13 26
2x + −x 21+ 2x+7 = x −9 d) x− +3 x− =7 10(*) Giải
( ) ( )
(17)Vậy phương trình vơ nghiệm
( )
7x 20x 1,5
b) x 21x 120x 1080 80x 179x 1074 x
8
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x =
c) 2 13 26
2x + −x 21+ 2x+7 = x −9 ( )( ) ( )( )
13
x 2x 2x x x
⇔ + =
− + + − +
ðKXð: x 3; x 7
2
≠ ± ≠ −
( ) ( )( ) ( )
13 x x x 2x 13x 39 x 12x 42
⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( )( )
2 x DKXD
x x 12 x x
x DKXD
= ∉
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ = − ∈
Vậy phương trình có nghiệm x = - d) Lập bảng xét dấu
x
x – - + ║ + x - - ║ - + - Xét x < 3:
(*) x 7( x) 10 24 4x 10 4x 14 x
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ = (loại)
- Xét 3≤ <x 7:
(*) ⇔ − +x 3 7( −x)=10⇔ − + =2x 18 10⇔ − = − ⇔ =2x x (t/mãn) - Xét x ≥7:
(*) x 3 x( 7) 10 4x 24 10 4x 34 x 17
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = (loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = VD2 Giải biện luận phương trình sau
a)
2
x a b x b a b a
a b ab
+ − − + − = −
(1)
b) ( )
2 a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
− + =
− + − (2)
Giải
a) ðK: a ≠ 0; b ≠
( ) ( )
( ) ( )( )
2
2 2
(1) b x a b a x b a b a bx ab b ax ab a b a
b a x b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
- Nếu b – a ≠ ⇒b≠a x b( a)(b a) ( )2 b a b a
− +
= = +
−
(18)- Với b ≠ a, phương trình có nghiệm x = 2(b + a) - Với b = a, phương trình có vơ số nghiệm
b) ðKXð: x≠ ±1
( )( ) ( ) ( )
( )
2
2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 2x 2 ax a
a x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
- Nếu a + ≠ ⇒a ≠ −1 x a a
+ =
+
- Nếu a + = ⇒a = −1 phương trình vơ nghiệm Vậy:
- Với a ≠ - a ≠ - phương trình có nghiệm x a a
+ =
+
- Với a = - a = - phương trình vơ nghiệm VD3 Giải hệ phương trình sau
1
x 2y 3z
x 5y x y x y
a) b) c) x 3y z
3x 2y 1
x 5y x y x y
+ − = + = + = + − − + = − = − = − = − +
Giải
( )
x 5y
x 5y x 5y x 5y x
a)
3 5y 2y
3x 2y 21 17y y y
= − + = = − = − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − = − = − = = =
hoặc x 5y 3x 15y 21 17y 17 y
3x 2y 3x 2y 3x 2y x
+ = + = = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − = − = =
b) ðK: x≠ ±y
ñặt 1 u; 1 v x+y = x−y =
Khi đó, có hệ
5 1
2v 1
u v v
8 2
5
1
3 u v
u
u v 8
8 8 = + = = ⇔ ⇔ + = − + = =
Thay trở lại, ta ñược: x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = = ⇔ − = = c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + = − + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ = − = + − + = + = =
(19)1 Giải phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
2
a) x x 3x 82 x 17 3x
b)
5
x x x x c)
65 64 63 62
x x 7x
d)
x x x
x 2
e)
x x x x f ) x
g) 3x 2x h) x 2x i) x x 2x
k) 3x x 3x x 4x x 2x x l)
3
+ − − = − +
+ − − = −
+ + + = + + +
− − = −
+ − −
+ − =
− −
+ =
− = +
− − + =
− + − =
+ + < − +
+ − − > − − +
2 Giải biện luận phương trình sau
( )
2
2
x a x b
a) b a
a b
b) a x 1 3a x ax-1 x a a 1 c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
− + = − +
− − =
+ +
− =
− −
− +
+ = +
− + − +
3 Giải hệ phương trình sau
2
2
m n p 21 x y 24
3x 4y 2u v n p q 24
a) x y 8 b) c) d)
2x 5y 12 p q m 23
2 u 2v 66
9
q m n 22
+ + =
+ =
+ − = − = + + =
− + = + + =
+ = + =
+ + =
4 Cho hệ phương trình (m x) y mx y m
+ − =
+ =
a) Giải hệ với m = - 2
(20)Chủ ñề: CHỨNG MINH
BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ðỒNG QUY, THẲNG HÀNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Tam giác bằng
a) Khái niệm: ABC A 'B'C' A A '; B B'; C C' AB A 'B'; BC B'C'; AC A 'C'
∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠
∆ = ∆
= = =
b) Các trường hợp hai tam giác: c c c; c g c; g c g
c) Các trường hợp hai tam giác vuông: hai cạnh góc vng; cạnh huyền cạnh góc vng; cạnh huyền góc nhọn
d) Hệ quả: Hai tam giác đường cao; ñường phân giác; ñường trung tuyến tương ứng
2 Chứng minh hai góc bằng
- Dùng hai tam giác hai tam giác đồng dạng, hai góc tam giác cân, đều; hai góc hình thang cân, hình bình hành, …
- Dùng quan hệ góc trung gian với góc cần chứng minh - Dùng quan hệ góc tạo đường thẳng song song, ñối ñỉnh
- Dùng mối quan hệ góc với đường trịn (Chứng minh góc nội tiếp chắn cung hai cung đường trịn, …)
3 Chứng minh hai ñoạn thẳng bằng - Dùng ñoạn thẳng trung gian - Dùng hai tam giác
- Ứng dụng tính chất đặc biệt tam giác cân, tam giác ñều, trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng, hình thang cân, hình chữ nhật, …
- Sử dụng yếu tố đường trịn: hai dây cung hai cung nhau, hai đường kính đường trịn, …
- Dùng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang, … 4 Chứng minh hai đường thẳng, hai ñoạn thẳng song song
- Dùng mối quan hệ góc: So le nhau, ñồng vị nhau, phía bù nhau, …
- Dùng mối quan hệ song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba - Áp dụng ñịnh lý ñảo ñịnh lý Talet
- Áp dụng tính chất tứ giác đặc biệt, đường trung bình tam giác - Dùng tính chất hai dây chắn hai cung đường trịn 5 Chứng minh hai đường thẳng vng góc
- Chứng minh chúng song song với hai đường vng góc khác
- Dùng tính chất: đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại
- Dùng tính chất đường cao cạnh ñối diện tam giác - ðường kính qua trung điểm dây
- Phân giác hai góc kề bù 6 Chứng minh ba ñiểm thẳng hàng
- Dùng tiên đềƠclit: Nếu AB//d; BC//d A, B, C thẳng hàng
- Áp dụng tính chất ñiểm ñặc biệt tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường trịn ngoại tiếp, …
- Chứng minh tia tạo ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC 1800 A, B, C thẳng hàng
- Áp dụng tính chất: Hai góc có hai cạnh nằm đường thẳng hai cạnh nằm hai nửa mặt phẳng với bờ ñường thẳng
(21)- Áp dụng tính chất đường đồng quy tam giác
- Chứng minh ñường thẳng ñi qua ñiểm: Ta hai ñường thẳng cắt ñiểm chứng minh đường thẳng cịn lại qua điểm
- Dùng ñịnh lý ñảo ñịnh lý Talet B MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1 Cho nửa lục giác ñều ABCD nội tiếp nửa ñường tròn (O; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T
a) Chứng minh rằng OT//AB (góc BAD = góc TOD)
b) Chứng minh ba ñiểm O, C, T thẳng hàng (phân giác BOD; song song với AB) c) Tính chu vi diện tích của tam giác TBD theo R (P = 3 3R; S =
2 3R 3
4 )
d) Tính theo R diện tích giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD (S = R2 3
π
−
VD2 Cho nửa đường tâm O đường kính AB = 2R, M trung điểm AO Các đường vng góc với AB M O cắt nửa đường trịn D C
a) Tính AD, AC, BD DM theo R (AD = R; AC = R ; BD = R 3; DM = R ) b) Tính góc tứ giác ABCD (ABD = 300; ABC = 450; BCD = 1200; ADC = 1350) c) Gọi H giao ñiểm AC BD; I giao ñiểm AD BC Chứng minh IH vng góc với AB (AC, BD ñường cao tam giác IAB)
VD3 Cho tam giác ABC ñều cạnh a Kéo dài BC ñoạn CM = a
a) Tính góc của tam giác ACM (ACM = 1020; CAM = CMA = 300) b) Chứng minh Am vng góc với AB (MAB = 900)
c) Kéo dài CA ñoạn AN = a kéo dài AB ñoạn BP = a Chứng tỏ tam giác MNP ñều (tgMCN = tgNAP = tgPBM)
C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Cho hình vng ABCD Lấy điểm M ñường chéo BD Gọi E, F hình chiếu M lên AB AD
a) Chứng tỏ: CF = DE; CF vng góc với DE Từđó tìm quỹ tích giao điểm N CF DE (tgCFD = tgDAE; quỹ tích N ¼ đường trịn- cung trịn DNO có đường kính CD)
b) Chứng tỏ: CM = EF CM ⊥EF (tgCKM = tgFME, K giao FM CB)
c) Chứng minh ñường thẳng CM, BF, DE ñồng quy (CM, ED, FB ba ñường cao tam giác CEF)
2 Cho tam giác ABC vng A ðường trịn qua tâm O qua A tiếp xúc với BC B ñường tròn tâm I qua A tiếp xúc với BC C
a) Chứng minh hai đường trịn (O) (I) tiếp xúc tại A (tgOAB; tgIAC cân; OAB + CAI + BAC = 1800; O, I, A thẳng hàng)
b) Từ O kẻñường vng góc với AB từ I kẻđường vng góc với AC Chứng minh chúng cắt trung ñiểm M của BC (MA = MB = MC)
c) Chứng minh MO vng góc với MI (OMI = 900)
d) Kéo dài BA cắt đường trịn tâm I P Chứng minh C, P, I thẳng hàng (tính chất góc nội tiếp PIA + AIC = 1800)
3 Cho hai đường trịn (O), (O’) cắt A B cho góc OAO’ 900 Qua A kẻ cát tuyến MAM’ vng góc với AP P trung điểm OO’ M, M’ theo thứ tự giao ñiểm cát tuyến với hai đường trịn (O); (O’) Chứng minh:
a) AM = AM’ (A trung ñiểm DC; OC, O’D vng góc với MM’) b) Tam giác ABM cân (tgOAC = tgOHA)
c) BM vng góc với BM’ (AB = AM’; t/c trung tuyến tam giác vuông)
(22)Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải biện luận, cần ý a = phương trình trở thành bậc một ẩn (§5)
A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Các dạng cách giải
Dạng 1: c =
( ) ( )
x 0
1 ax bx 0 x ax+b 0 b
x a
=
⇔ + = ⇔ = ⇔
= −
Dạng 2: b =
( ) 2 c
1 ax c x
a
−
⇔ + = ⇔ =
- Nếu c a
− ≥ x c a
− = ± - Nếu c
a
− < phương trình vơ nghiệm Dạng 3: Tổng quát
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
2
b 4ac
∆ = −
' b ' ac
∆ = −
0
∆ > : phương trình có nghiệm phân biệt
1
b b
x ; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
'
∆ > : phương trình có nghiệm phân biệt
1
b ' ' b ' '
x ; x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
0
∆ = : phương trình có nghiệm kép
1
b x x
2a
−
= =
'
∆ = : phương trình có nghiệm kép
1
b ' x x
a
−
= =
0
∆ < : phương trình vơ nghiệm ∆ <' 0: phương trình vơ nghiệm Dạng 4: Các phương trình đưa phương trình bậc hai
Cần ý dạng trùng phương, phương trình vơ tỉ dạng đặt ẩn phụ, cịn dạng chứa ẩn mẫu dạng tích nói §5
3 Hệ thức Viet ứng dụng
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
1
1
b S x x
a c P x x
a
= + = −
= =
- Nếu có hai số u v cho u v S uv P
+ =
=
( )
2
S ≥4P u, v hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P =
- Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 =
(23)- Nếu a – b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1; x2 =
c a
− 4 ðiều kiện có nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0)
- (1) có nghiệm ∆ ≥0; có nghiệm phân biệt ∆ >0 - (1) có nghiệm dấu
P
∆ ≥
>
- (1) có nghiệm dương
0 P S
∆ ≥
>
>
- (1) có nghiệm âm
0 P S
∆ ≥
>
<
- (1) có nghiệm trái dấu ac < P <
5 Tìm điều kiện của tham sốđể nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đó
2
1 2
1
2 3
1 2
1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t;
α + β = γ + = + =
+ ≥ + =
Trong trường hợp cần sử dụng hệ thức Viet phương pháp giải hệ phương trình
B MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1 Giải phương trình sau
2 1 2
a) 3x 2x 0 b) x 8 0 c) x 3x 10 0
2
+ = − + = + − =
( ) ( )( )( )( )
2
d) 2x + 2 x 2− + − =0 e) x−4 x + =3 0 f ) x x+ +2 x+3 x+ =4 3
Giải
( )
2
x 0
a) 3x 2x 0 x 3x 2 0 2
x 3
=
+ = ⇔ + = ⇔
= −
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt …
2
1
b) x 8 0 x 16 x 4
2
− + = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … ( )
2
1
c) a 1; b 3; c 10
b 4ac 3 4.1. 10 49 0
b 3 7 b 3 7
x 2; x 5
2a 2.1 2a 2.1
= = = −
∆ = − = − − = >
− + ∆ − + − − ∆ − −
= = = = = = −
Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … d) a = 2; b= 1; c 2− = −
(24)Theo hệ thức Viet, có: x1 1; x2 c 2
a 2
− −
= = = =
e) ðặt t= x ≥0, ta có pt mới: t2 – 4t + = Có a + b + c = + (- 4) + =
Vậy t1 = 1; t2 = Suy ra: x1 = 1; x2 =
f) (x x+ )( +2 x)( +3 x)( + = ⇔4) (x2 +5x+4 x)( +5x+ =6) ðặt x2 + 5x + = t, ta có:
t (t + 2) = t2 2t (t t)( 3) t t
=
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔
= −
Suy ra:
2
1
2
x 5x x 5x 13 13
x ; x
2
x 5x x 5x
+ + = + + = − + − −
⇔ ⇔ = =
+ + = − + + =
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt … VD2 Cho phương trình x2 + 3x – m = (1)
a) Giải phương trình với m =
b) Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình (1) c) Tìm m để (1) có nghiệm x= - Tìm nghiệm cịn lại
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn ñiều kiện sau:
1 2x1 + 3x2 = 13
2 Nghiệm lớn nghiệm ba ñơn vị x12 + x22 = 11
e) Chứng tỏ
1
1 ;
x x nghiệm phương trình mx
2
– 3x – = Trong ñó x1, x2
là hai nghiệm (1)
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dấu Em có nhận xét hai nghiệm
Giải
a) Với m = ta có: x2 + 3x – = (a = 1; b = 3; c = - 4) Nhận thấy: a + b + c = + + (- 4) =
Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x2 =
c a = − b) có: ∆ =b2 −4ac= +9 4m
1
9
0 4m m
4
b 4m b 4m
x ; x
2a 2a
∆ > ⇔ + > ⇔ > −
− + ∆ − + + − − ∆ − − +
= = = =
1
9
0 4m m
4
b
x x
2a
∆ = ⇔ + = ⇔ = −
−
= = = −
9
0 9 4m 0 m
4
∆ < ⇔ + < ⇔ < − phương trình vơ nghiệm c) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2, đó:
(25)- Tìm nghiệm thứ hai
Cách 1: Thay m = - vào phương trình cho: x2 + 3x + = có a – b + c = – + = nên x1 = - 1; x2 =
c a
− = −
Vậy nghiệm lại x = - Cách 2: Ta có x1 + x2 = b
a
− x2 b x1 ( )2
a
⇒ = − − = − − − = −
Cách 3: Ta có x1x2 = c
a
c m
x : x
a
−
⇒ = = = −
−
d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13
1 2 b x x a c x x a 2x 3x 13
∆ ≥ + = − ⇔ = + = 2 9 m 4
x x 3
x x m
2x 3x 13
≥ − + = − ⇔ = − + =
giải hệ tìm x1 = - 22; x2 = 19; m = 418
- Tương tự ta tìm ñược (x1 = - 2; x2 = - 3; m = - 6); (m=1)
e) Ta có
1
1 2
1 2
1 1 x x 3
x x x x m
1 1 1 1
.
x x x x m
+ + = = = = − mà 2
3 1 9 4 9 4m
4 0
m m m m m
+
− − = + = ≥
Vậy
1
1 1 ;
x x hai nghiệm phương trình
2 3 1
x x 0 mx 3m 0
m m
− − = ⇔ − − =
f) Phương trình có hai nghiệm dấu
9
0 m 9
m 0
4
P 0 4
m 0
∆ ≥ ≥ −
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
>
− >
Hai nghiệm ln âm Vì S = - C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Giải phương trình sau
( )
2 2
a) x −5x =0 b) 2x + =3 0 c) x −11x+30=0 d) x − +1 2 x+ 2=0
( )2
4
e) x −7x +12=0 f ) x−2 −5 x− + =2
( ) ( ) ( )( )( )( )
2
2 x
g) h) x x x x 20
x x x x x
−
− + = + + + − = −
− − +
2 2
2
1
i) 2x 8x 2x 4x 12 k) x 4,5 x
x x
− − − − = + − + + =
(26)2 Cho phương trình x2 −2 3x 0+ = , có hai nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình Hãy tính giá trị biểu thức sau:
2
2 3 1 2
1 2 3
1 2
3x 5x x 3x
A x x ; B x x ; C
4x x 4x x
+ +
= + = + =
+ Cho phương trình x2 + mx + m+3 =
a) Giải phương trình với m = -
b) Giải biện luận số nghiệm phương trình c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m
d) Xác ñịnh giá trị m ñể x12 + x22 = 10 e) Tìm m để 2x1 + 3x2 =
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - Tính nghiệm cịn lại g) Tìm m để phương trình có nghiệm dấu dương
4 Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m- 2)x + 6m – = a) Giải phương trình với m =
b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có nghiệm đối
d) Tìm m để phương trình có nghiệm nghịch đảo e) Tìm m để phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm cịn lại f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
5 Cho phương trình x2 – mx + m – = 0, ẩn x, tam số m
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) giá trị tương ứng m
b) ðặt A = x12 + x22 – 6x1x2
+) Chứng minh A = m2 – 8m + +) Tìm m để A =
+) Tìm giá trị nhỏ A giá trị tương ứng m 6* Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = với abc ≠
a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2
b) Lập phương trình nhận hai số (x1+ α) (; x2 + α) làm nghiệm c) Lập phương trình nhận hai số αx ;1 αx2 làm nghiệm
d) Lập phương trình nhận hai số
1
1 ;
x x làm nghiệm e) Lập phương trình nhận hai số
2
x x ;
(27)Chủ ñề: CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ðỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC
A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Tam giác ñồng dạng
- Khái niệm:
A A '; B B'; C C'
ABC A 'B'C' khi AB AC BC
A 'B' A 'C' B'C'
∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠
∆ ∆
= =
∼
- Các trường hợp ñồng dạng hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g
- Các trường hợp ñồng dạng hai tam giác vng: góc nhọn; hai cạnh góc vng; cạnh huyền - cạnh góc vng…
* Tính chất: Hai tam giác đồng dạng tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai ñường trung tuyến tương ứng, hai chu vi tỉ số ñồng dạng; tỉ số hai diện tích bình phương tỉ sốđồng dạng
2 Phương pháp chứng minh hệ thức hình học
- Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác ñồng dạng, hệ thức lượng tam giác vuông, …
Giả sử cần chứng minh MA MB = MC MD
- Chứng minh hai ∆MAC ∆MDB ñồng dạng hai ∆MAD ∆MCB
- Trong trường hợp điểm nằm đường thẳng cần chứng minh tích tích thứ ba
Nếu cần chứng minh MT2 = MA MB chứng minh hai tam giác MTA MBT ñồng dạng so sánh với tích thứ ba
Ngồi cần ý ñến việc sử dụng hệ thức tam giác vng; phương tích điểm với đường trịn
B MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1 Cho hình bình hành ABCD Từ đỉnh A kẻ cát tuyến cắt đường chéo BD E, cắt cạnh BC F cắt cạnh CD G Chứng minh:
a) Các ∆DAE BFE ñồng dạng b) Các ∆DGE BAE ñồng dạng
c) AE2 = EF EG d) Tích BF DG khơng ñổi cát tuyến qua A thay ñổi
VD2 Cho hình bình hành ABCD Từ C kẻ CM vng góc với AB, CN vng góc với AD Giả sử AC > BD Chứng minh rằng: AB AM + AD AN = AC2
C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M trung ñiểm BC ðường thẳng qua H vng góc với MH cắt AB P, cắt AC Q Chứng minh:
a) ∆AHP ~ CMH∆ b) ∆QHA ~ HMB∆ c) HP = HQ
2 Cho tam giác ñều ABC Gọi M trung ñiểm BC Lấy P cạnh AB, Q cạnh AC cho góc PMQ 600
a) Chứng minh ∆MBP ~ QCM∆ Từđó suy PB CQ có giá trị khơng đổi b) Kẻ MH vng góc với PQ, chứng minh ∆MBP ~ QMP;∆ ∆QCM ~ QMP∆
c) Chứng minh độ dài MH khơng đổi P, Q chạy AB, AC thỏa mãn ñiều kiện góc PMQ 600
3 Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c (b > c) phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE
(28)Chủ đề: GIẢI BÀI TỐN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp giải
Bước Gọi ẩn ñặt ñiều kiện: Gọi (hai) số ñiều chưa biết làm ẩn ñặt ñiều kiện cho ẩn
Bước Biểu diễn ñại lượng chưa biết lại qua ẩn
Bước Lập phương trình (hệ phương trình): Dựa vào mối quan hệ ñại lượng ñã biết chưa biết
Bước Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập
Bước Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm với điều kiện kết luận *Chú ý việc tóm tắt toán trước làm
B MỘT SỐ VÍ DỤ
1 ðể đoạn đường từ A ñến B, xe máy ñã ñi hết 3h20 phút, cịn ơtơ hết 2h30phút Tính chiều dài qng đường AB biết vận tốc ơtơ lớn vận tốc xe máy 20km/h
Quãng ñường (km) Thời gian (h) Vận tốc (km/h) Xe máy x 3h20ph = 10
3 h
10 3x x :
3 =10
Ơtơ x 2h30ph = 5
2h
5 2x x :
2 = 5
Từđó có phương trình 2x 3x 20
5 −10 = , giải ñược x = 200 km
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng ñường (km) Xe máy x - 20 3h20ph = 10
3 h ( )
10
x 20
3 −
Ơtơ x 2h30ph = 5
2h
5 x 2
Từđó có phương trình 5x 10(x 20)
2 = 3 − , giải ñược x = 80 km/h
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng ñường (km) Xe máy x 3h20ph = 10
3 h
10 x 3
Ơtơ x + 20 2h30ph = 5
2h ( )
5
x 20
2 +
Từđó có phương trình 10x 5(x 20)
3 = 2 + , giải ñược x = 60 km/h
*Nhận xét: Trong cách làm đó cách thứ nhất ngắn gọn nhất C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài Cho 200g dung dịch có nồng độ muối 10% Phải pha thêm vào dung dịch lượng nước đểđược dung dịch có nồng độ muối 8%
(29)Bài Tổng chữ số hàng chục hai lần chữ số hàng ñơn vị số có hai chữ số 18 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số ban đầu 54 Tìm số ban đầu Bài Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m Nếu tăng chiều dài 5m chiều rộng 3m diện tích tăng thêm 225m2 Tính kích thước hình chữ nhật
Bài Một cửa hàng ngày bán ñược số xe ñạp xe máy Biết số xe ñạp bán ñược nhiều số xe máy tổng bình phương hai số 97 Hỏi cửa hàng bán ñược xe loại
Bài Dân số ñịa phương 41618 người Cách ñây năm dân số địa phương 40000 người Hỏi trung bình năm dân sốđịa phương tăng phần trăm
Bài Một người ñi xe máy từ A ñến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 25km/h Tính qng đường AB, biết thời gian cảñi lẫn 50 phút
HD: Gọi ñộ dài quãng ñường AB x km (x > 0) Ta có phương trình: x x 55
30+25+ =3 Giải ta ñược: x = 75 (km)
Bài Hai canô khởi hành lúc chạy từ bến A ñến bến B Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canơ II dừng lại 40 phút, sau tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài qng sơng AB, biết hai canơ đến bến B lúc
HD: Gọi chiều dài quãng sông AB x km (x > 0) Ta có phương trình: x x
20−24 = Giải ta ñược: x = 80 (km)
Bài Một ơtơ dựđịnh ñi từ tỉnh A ñến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ơtơ với vận tốc đó, cịn 60km nửa quãng ñường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h qng đường cịn lại, ơtơ đến tỉnh B sớm 1giờ so với dự định Tính quãng ñường AB
HD: Gọi ñộ dài quãng ñường AB x km (x > 120)
Ta có phương trình: x 60 : 40 x 60 : 50 x
2 40
− + + = −
Giải ta ñược: x = 280 (km)
Bài 10 Một tàu thủy chạy khúc sơng dài 80km, cảđi lẫn 8giờ 20phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước 4km/h
HD: Gọi vận tốc tàu thủy nước yên lặng x km/h (x > 0) Ta có phương trình: 80 80 81
x+4+x−4 = Giải ta ñược: x
5
= − (loại), x2 = 20 (km)
Bài 11 Một ca nô bè gỗ xuất phát lúc từ bến A xi dịng sơng Sau 24 km ca nơ quay trở lại gặp bè gỗ ñịa ñiểm cách A km Tính vận tốc ca nơ nước yên lặng biết vận tốc dòng nước km / h
HD: Gọi vận tốc canô nước yên lặng x km/h (x > 4) Ta có phương trình: 24 16
x+4+x−4 = Giải ta ñược x1 = (loại), x2 = 20 (km/h)
Bài 12 Một người ñi xe ñạp từ tỉnh A ñến tỉnh B cách 50 km Sau 30 phút, người ñi xe máy ñi từ A ñến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe ñạp
HD: Gọi vận tốc xe ñạp x km/h (x > 0) Ta có phương trình: 50 50 (1, 1)
x = 2, 5x + + Giải ta ñược: x = 12 (thỏa mãn)
(30)xe nhỏ Biết xe lớn có nhiều xe nhỏ 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn, loại xe huy động
HD: Gọi số xe lớn x (x ∈ Z+) Ta có PT: 180 180 15
x −x+2 = ⇒ x1 = 4; x2 = –6 (loại)
Bài 14 Một ñội xe cần chuyên chở 100 hàng Hôm làm việc, có hai xe điều làm nhiệm vụ nên xe phải chở thêm 2,5 Hỏi ñội có xe? (biết số hàng chởđược xe nhau)
HD: Gọi x (xe) số xe ñội (x > x ∈ N) Ta có phương trình: 100 100
x−2− x = Giải ta ñược: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn)
Bài 15 ðể làm hộp hình hộp khơng nắp, người ta cắt hình vng góc miếng nhơm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm Hỏi cạnh hình vng bao nhiêu, biết tổng diện tích hình vng
5 diện tích đáy hộp? HD: Gọi x (cm) độ dài cạnh hình vuông bị cắt ( < x < 9)
Ta có pt: 2
4x (24 2x)(18 2x)
= − − Giải ta ñược: x1 = −18 (loại), x2 = (thỏa)
Bài 16 Cho một số có hai chữ số Tìm sốđó, biết tổng hai chữ số nhỏ sốđó lần, thêm 25 vào tích hai chữ sốđó sẽđược số viết theo thứ tự ngược lại với sốđã cho
HD: Gọi số phải tìm xy (0 < x, y ≤ x, y ∈ Z) Ta có hệ: 6(x y) 10x y x
xy 25 10y x y
+ = + =
⇔
+ = + =
Vậy số phải tìm 54
Bài 17 Hai vịi nước chảy vào bể sau 20 phút bể đầy Nếu mở vịi thứ chảy 10 phút vòi thứ hai 12 phút đầy
5 bể Hỏi vịi chảy phải ñầy bể
HD: Gọi thời gian chảy ñầy bể vòi I, II x, y phút (x, y > 80)
Ta có hệ:
80 80
x 120
x y
10 12 y 240
x y 15
+ =
=
⇔
=
+ =
Bài 18 Hai người thợ làm cơng việc 16giờ xong Nếu người thứ làm 3giờ người thứ hai làm 6giờ họ làm 25% cơng việc Hỏi người làm cơng việc hồn thành cơng việc
HD: Gọi x, y (giờ) thời gian người thứ nhất, hai làm xong cơng việc (x > 0, y > 16)
Ta có hệ:
16 16
x 24
x y
3 y 48
x y
+ =
=
⇔
=
+ =
(thỏa mãn ñiều kiện ñầu bài)
Bài 19 Một phịng họp có 360 ghế ngồi ñược xếp thành dãy số ghế dãy ñều Nếu số dãy tăng thêm số ghế dãy tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi phịng họp có dãy ghế dãy có ghế?
HD: Gọi số dãy ghế phòng họp x dãy (x ∈ Z, x > 0) Ta có phương trình: (x 1) 360 400
x
+ + =
Giải ta ñược: x1 = 15, x2 = 24
(31)Bài 20 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian ñịnh Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I ñã vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì vậy, thời gian qui ñịnh họñã vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm ñược giao tổ theo kế hoạch
HD: Gọi x, y số sản phẩm tổ I, II theo kế hoạch (x, y ∈ N*) Ta có hệ phương trình:
x y 600 x 200
0,18x 0, 21y 120 y 400
+ = =
⇔
+ = =
Bài 21 Một xe máy ñi từ A ñến B thời gian dựñịnh Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/h đến muộn Tính vận tốc dựñịnh thời gian dựñịnh
HD: Gọi thời gian dựñịnh x vận tốc dựñịnh y (x, y > 0) Ta có hệ: (x 1)(y 4) xy x
(x 2)(y 14) xy y 28
+ − = =
⇔
− + = =
(32)Chủ ñề: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp chứng minh
- Chứng minh bốn ñỉnh tứ giác cách ñều ñiểm - Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù
- Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm cịn lại hai góc - Chứng minh tổng góc ngồi ñỉnh với góc ñối diện bù
- Nếu MA MB = MC MD NA ND = NC NB tứ giác ABCD nột tiếp (Trong ñó M=AB∩CD; N=AD∩BC)
- Nếu PA PC = PB PD tứ giác ABCD nội tiếp (Trong P=AC∩BD) - Chứng minh tứ giác hình thang cân; hình chữ nhật; hình vng; …
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm thuộc một đường trịn ta có thể chứng minh lần lượt điểm một lúc Song cần ý tính chất “Qua điểm khơng thẳng hàng xác định nhất một đường trịn”
B MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, có điểm M Trên đường kính AB lấy điểm C cho AC < CB Kẻ hai tiếp tuyến Ax By A B với (O) ðường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P, đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao ñiểm CQ BM Chứng minh:
a) Các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp b) AB//DE
c) Ba ñiểm P, M, Q thẳng hàng
VD2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính AA’, ñường cao AM
a) Hai ñường cao BN, CP cắt H PN cắt AA’ S Chứng minh tứ giác BPNC A’SNC nội tiếp
b) Chứng minh PN vng góc với AA’ C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Cho (O; R) dây cung AB ( AB < 2R) Trên tia AB lấy ñiểm C cho AC > AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường trịn P K Gọi I trung ñiểm AB
a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp
b) Chứng minh hai tam giác ACP PCB đồng dạng Từđó suy CP2 = CB CA
c) Gọi H trực tâm tam giác CPK, tính PH theo R
d) Giả sử PA//CK, chứng minh tia ñối tia BK tia phân giác góc CBP
2 Cho tam giác ABC cân A, cung trịn phía tam giác tiếp xúc với AB, AC B C Từ ñiểm D cung BC kẻ đường vng góc DE với BC, DF với AC DG với AB Gọi M giao ñiểm BD GE, N giao ñiểm EF DC Chứng minh:
a) Các tứ giác BEDG CEDF nội tiếp b) DE2 = DF DG
c) ◊EMDN nội tiếp, suy MN vng góc với DE d) Nếu GB = GE EF = EC
3 Từđiểm M đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta kẻ đường vng góc hạ xuống ba cạnh tam giác MH⊥AB; MI⊥BC; MK⊥AC Chứng minh:
a) Ba tứ giác AHMK, HBIM, ICKM nội tiếp
(33)Chủ ñề: HÀM SỐ - ðỒ THỊ
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠0) - ðồng biến a > 0; nghịch biến a <
- ðồ thị ñường thẳng nên vẽ cần xác ñịnh hai ñiểm thuộc ñồ thị + Trong trường hợp b = 0, đồ thị hàm số ln qua gốc tọa ñộ + Trong trường hợp b ≠ 0, đồ thị hàm số ln cắt trục tung ñiểm b - ðồ thị hàm số tạo với trục hồnh góc α, mà tgα =a
- ðồ thị hàm sốñi qua ñiểm A(xA; yA) yA = axA + b
2 Vị trí của hai đường thẳng mặt phẳng tọa ñộ
Xét hai ñường thẳng: (d1): y = a1x + b1 ; (d2): y = a2x + b2 với a1 ≠ 0; a2≠
- Hai ñường thẳng song song a1 = a2 b1≠ b2 - Hai ñường thẳng trùng a1 = a2 b1 = b2 - Hai ñường thẳng cắt a1≠ a2
+Nếu b1 = b2 chúng cắt b1 trục tung +Nếu a1 a2 = - chúng vng góc với
3 Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2 (a ≠ 0)
- Nếu a > hàm số nghịch biến x < 0, ñồng biến x > - Nếu a < hàm sốñồng biến x < 0, nghịch biến x > - ðồ thị hàm số Parabol ln qua gốc tọa độ:
+) Nếu a > parabol có điểm thấp gốc tọa ñộ +) Nếu a < Parabol có điểm cao gốc tọa độ - ðồ thị hàm sốñi qua ñiểm A(xA; yA) yA = axA2
4 Vị trí của đường thẳng parabol
- Xét ñường thẳng x = m parabol y = ax2: +) Ln có giao điểm có tọa độ (m; am2) - Xét ñường thẳng y = m parabol y = ax2:
+) Nếu m = có giao điểm gốc tọa độ
+) Nếu am > có hai giao điểm có hồnh độ x = m a
±
+) Nếu am < khơng có giao điểm
- Xét đường thẳng y = mx + n ( m ≠ 0) parabol y = ax2:
+) Hồnh độ giao điểm chúng nghiệm pt hồnh độ ax2 = mx + n B MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1 Cho (P): y = x2
1 Vẽ (P) hệ trục Oxy
2 Trên (P) lấy hai điểm A B có hồnh độ Hãy viết phương trình đường thẳng qua A B
3 Lập phương trình ñường trung trực (d) AB Tìm tọa ñộ giao ñiểm (d) (P)
5 Tính diện tích tứ giác có đỉnh A, B điểm 1; trục hồnh
VD2 Trong một hệ trục tọa ñộ, gọi (P), (d) ñồ thị hàm số
2
x
y ; y x
4
= − = +
a) Vẽ (P) (d)
(34)Phương trình đã cho
2
x
x
⇔ − = + Nhận thấy ñồ thị của hai hàm số vừa vẽ ñồ
thị của
2
x y
4
= − y= +x 1
Mà ñồ thị hai hàm sốño tiếp xúc tại A nên phương trình có nghiệm kép hồnh
độ của điểm A
c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) cắt (P) điểm có tung độ - Tìm giao điểm cịn lại (d1) với (P)
VD3 Cho (P): y = 1x2
4 ñường thẳng (d) ñi qua hai ñiểm A, B (P) có hồnh độ
là –
a) Khảo sát biến thiên vẽñồ thị hàm số (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm M cung AB (P) tương ứng với hồnh độ x chạy khoảng từ - ñến cho tam giác MAB có diện tích lớn
Do đáy AB khơng đổi nên để diện tích lớn nhất đường cao MH lớn nhất MH lớn nhất khoảng cách từ AB ñến ñường thẳng (d)//AB tiếp xúc với (P)
Tìm ñược tọa ñộ của M 1;1 4
C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Cho (P): y = ax2
a) Xác ñịnh a ñểñồ thị hàm sốñi qua A(1; 1) Hàm số ñồng biến, nghịch biến b) Gọi (d) ñường thẳng ñi qua A cắt trục Ox ñiểm M có hồnh độ m ( m ≠ 1) Viết phương trình (d) tìm m để (d) (P) có điểm chung
Bài Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho ñiểm A (- 2; 2) ñường thẳng (d1): y = - 2(x+1)
a) Giải thích A nằm (d1)
b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A
c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A vng góc với (d1)
d) Gọi A, B giao ñiểm (P) (d2); C giao điểm (d1) với trục tung Tìm tọa
độ B C Tính diện tích tam giác ABC
Baì Cho (P): y = x2 (d): y = 2x + m Tìm m ñể (P) (d):
a) Cắt hai ñiểm phân biệt b) Tiếp xúc c) Không giao Bài Trong hệ trục tọa ñộ Oxy gọi (P) ñồ thị hàm số y = x2
a) Vẽ (P)
b) Gọi A, B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ – Viết ptđt AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P)
Bài Cho hai đt (d1) (d2) có phương trình là:y = (m- 2)x + y = mx + m +
a) Tìm m để (d1) qua điểm A(1; 5) Vẽđồ thị hai hs với m vừa tìm b) Chứng tỏ (d1) ln qua điểm cốñịnh với m ≠
c) Với giá trị m (d1) //(d2); (d1) ⊥ (d2)
d) Tính diện tích phần giới hạn hai đường thẳng (d1), (d2) trục hồnh trường
hợp (d1) ⊥ (d2)
Bài Xác ñịnh a b ñểñường thẳng y = ax + b ñi qua hai ñiểm A(1; −2) B(2; 1) ðS: a = b = −5
Bài Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc −2 qua điểm A(1; 5) ðS: y = −2x +
(35)Bài Viết phương trình đường thẳng song song với ñường thẳng y = −x + cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
ðS: y = −x +
Bài 10 Xác ñịnh hệ số a, b hàm số y = ax + b trường hợp sau:
a) ðồ thị hàm số ñường thẳng có hệ số góc qua điểm A(−1 ; 3) b) ðồ thị hàm sốñi qua hai ñiểm B(2 ; 1) C(1 ; 3)
c) ðồ thị hàm sốñi qua ñiểm A(1 ; 3) song song với ñường thẳng y = 3x − ðS: a) (a ; b) = (3 ; 6) b) (a ; b) = (−2 ; 5) c) (a ; b) (3 ; 0)
Bài 11 Cho Parabol (P): y = 2x2 hai ñường thẳng: (d1): mx − y − = (d2): 3x + 2y − 11 =
a) Tìm giao điểm M (d1) (d2) m =
b) Với giá trị m (d1) song song với (d2) c) Với giá trị m (d1) tiếp xúc với (P)
HD: a) M(3 ; 1); b) m
= −
c) (d1) tiếp xúc với (P) ⇔ 2x2 − mx + = có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔ m2 = 16 ⇔
m
m
=
= −
Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m ñể hai ñường thẳng song song, trùng nhau, cắt Bài 12 Tìm giá trị m ñể ba ñường thẳng sau ñồng qui:
a) (d1): 5x + 11y = (d2): 10x − 7y = 74 (d3): 4mx + (2m − 1)y = m + b) 3x + 2y = 13 (d2): 2x + 3y = (d3): (d1): y = (2m − 5)x − 5m
HD: a) ðS: m = b) m = 4,8
Bài 13 Tìm khoảng cách hai ñiểm A B mặt phẳng tọa ñộ biết: a) A(1 ; 1) B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) B(3 ; 5)
HD: a) 2
AB= (5 1)− + −(4 1) =5b) 2
AB= (3+2) + −(5 2) ≈5,83
Bài 14 Xác ñịnh a b ñểñường thẳng y = ax + b ñi qua A(−2 ; 15) B(3 ; −5) Bài 15 Viết phương trình ñường thẳng có hệ số góc −1 ñi qua gốc tọa ñộ
Bài 16 Xác ñịnh a b ñể ñường thẳng y = ax + b song song với ñường thẳng y = 3x cắt ñường thẳng ñiểm nằm trục tung
Bài 17 Gọi (d) ñường thẳng ñi qua A(1 ; 1) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 2005 Hãy viết phương trình đường thẳng (d)
Bài 13: Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm giá trị m ñểñường thẳng (D) : a) ði qua ñiểm A (1 ; 2003) ;
b) Song song với ñường thẳng x - y + = ; c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x2
Bài 18 Cho hai hàm số y = 2x + 3m y = (2m + 1)x + 2m − Tìm ñiều kiện m ñể: a) Hai ñường thẳng cắt
(36)Chủ ñề: CỰC TRỊ
A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 ðịnh nghĩa
Tìm giá trị lớn (max) hay giá trị nhỏ (min) biểu thức xác ñịnh giá trị biến để biểu thức đạt giá trị lớn hay nhỏ
- Giá trị lớn biểu thức A: maxA
ðể tìm maxA cần A≤M, M số Khi maxA = M - Giá trị nhỏ biểu thức A: minA
ðể tìm minA cần A≥m, m số Khi minA = m 2 Các dạng toán thường gặp
2 Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường bậc hai):
Nếu A = B2 + m (ña thức biến), A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến), … A có giá trị nhỏ minA = m
Nếu A = - B2 + M (ña thức biến), A = - B2 – C2 + M (ña thức hai biến), … A có giá trị lớn maxA = M
2 Biểu thức A có dạng phân thức: 2 Phân thức A m
B
= , m số, B ña thức
- Nếu mB > A lớn B nhỏ nhất; A nhỏ B lớn
- Nếu mB < (giả sử m < 0) A lớn B lớn nhất; A nhỏ B nhỏ 2 2 Phân thức A = B
C, B có bậc cao bậc C
Khi ta dùng phương pháp tách giá trị nguyên ñể tách thành
m D
A n ; A n
C C
= + = + ñó m, n số; D ña thức có bậc nhỏ bậc C 2 Phân thức A = B
C, C có bậc cao bậc B Cần ý tính chất: Nếu A có giá trị lớn
A có GTNN ngược lại 2 Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt ñối, chứa thức bậc hai:
- Chia khoảng giá trịñể xét - ðặt ẩn phụñưa bậc hai
- Sử dụng tính chất giá trị tyệt ñối:
a + ≥ +b a b ; a − ≥b a − b ∀a, b Dấu “=” xảy ab≥0 - Sử dụng số bất ñẳng thức quen thuộc
Bất đẳng thức Cơsi: ( ) n
1 n n n
1
a ,a , ,a 0 a a a a a a n
≥ ⇒ + + + ≥
dấu “=” xảy a1 = a2 = …= an
Bất ñẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: ∀a ,a , ,a ;b , b , , b1 2 n 1 2 n có
( 2 2 2)( 2 2 2) ( )2
1 n n 1 2 n n
a +a + + a b +b + + b ≥ a b +a b + + a b
dấu “=” xảy n
1 n
a a a
b =b = = b
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nếu có của biểu thức sau
2 2
(37)( )
2
3 x
C ; D x 1
4x 4x 7 x 1
= = ∀ >
− + −
2
E= − + −x x ; F= 2x 1− −3 2x 1− +2 G = +x 2−x ; H= x− + x+
Giải: *
2 2
2 3 3 3 3 21 21
A x 2.x. 3 x x
2 2 2 2 4 4
= − + + + + = − + + ≤ ∀
Dấu “=” xảy x 3 2
⇔ = − Vậy maxA = 21
4 x = - 3 2
* B=(x2 +2xy+y2+2y+2x 1+ +) (x2 −4x+ +4) 2002
( ) (2 )2
x y x 2002 2002 x, y
= + + + − + ≥ ∀
Dấu “=” xảy x y x
x y
+ + = =
⇔
− = = −
Vậy minB = 2002 x = y = -
*
( )2
3 C
2x
=
− + mà ( )
2
2x 1− + ≥ ∀6 x C x
⇒ ≤ = ∀
Dấu “=” xảy x
= Vậy maxC =
1 x
2
= *
2
x 1 1
D x x
x x x
− +
= = + + = − + +
− − −
Do x > nên x 0; x
− > >
− theo Bđt Cơsi có
( )
1
x x 2
x x
− + ≥ − = =
− −
D
⇒ ≥ Dấu “=” xảy x 1 x 1 x
x x
− + = ⇔ − = = ⇔ =
− −
Vậy minD = x = * E= − + −x x
x
x – - + ║ + x - - ║ - + Khi x < 1: E = – x + – x = – 2x > – =
Khi x≤ ≤3: E = x – + – x =
Khi x > 3: E = x – + x – = 2x – > – = Vậy minE = x≤ ≤3
* F= 2x 1− −2 2x 1− +2 ðặt t= 2x 1− ≥0
2
2 1
F t 3t t t
2 4
= − + = − − ≥ − ∀
(38)Dấu “=” xảy
5 x
3 3 4
t 2x 2x
1
2 2
x = = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = −
Vậy minF = 1
4
− x 5 4
= x 1 4
= − * G= +x 2−x ðKXð: ∀ ≤x
ðặt t= 2− ≥x 0⇒t2 = −2 x⇒x= −2 t2
2 1 9 9
G 2 t t t t
2 4 4
= − + = − − + ≤ ∀
Dấu “=” t 1 2
= 2 x 1 x 7
2 4
⇒ − = ⇒ = Vậy maxG = 9
4 x = 7 4
* H= 1 x− + 1 x+ ðKXð: − ≤ ≤1 x
2
H= x− + x+ ⇒H = +2 x− Có 0≤ x− ≤1⇒0≤2 x− ≤2
2
2 H H
⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Dấu “=” thứ xảy x = Dấu “=” thứ hai xảy x = Vậy minA = x = 1; maxA = x = C MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có bểu thức sau
2 2
A=x +y −6x−2y 17;+ B=x −4xy+5y +10x−22y+28
( )
2
2
x 1 8 x 1
C x 0 ; D ; E
x 2 3x 2 x 1
+ − − = ≥ = = + + + ( ) 2 2
x x x x
F x ; G
x x x
− + + +
= > =
+ + +
HD: A = x - 3( ) (2+ y - 1)2+ 7 ≥7; B = x - 2y + 5( ) (2 + y - 1)2+ 2≥2
( ) ≥ ( ) ≥ ≤ ≥
2
2 2 2
5 1 1 1 2x
C = x + + - 4 2 - 4; D = -8 -4 ; E = -1 + -1
x + 2 3x + 2 3x + 2 2 x + 1
( ) ( ) ≥ ≥ ⇒ ≤ ⇔ ⇔ 2 2
2 2 2
2
2x 2 2 1 2 2
F = - = - 1 - x + + 1 3
1 1
x + x + 1 3 x 3
x + + 1 x + + 1
x x
x + x + 1
G = G x + = x + x + 1 G - x - x + G - = 0
x + 1
- Nếu G = x = ngược lại
- Nếu G ≠ muốn có x thỏa mãn điều kiện cần có
( )2 ≥ ⇔ 2 ≤ ⇔ ≤ ≤1 3
∆= - G - 1 0 4G - 8G + 3 0 G
2 2
Vậy minG = 1
2 x = - 1; maxG =
(39)Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 Hệ phương trình bậc
Bài 1: Giải hệ phương trình: 1) x 2y
2x y
+ =
− =
2)
3x 4y 2x 3y
− =
+ =
3)
x 7y
2x y 11
− = −
+ =
4)
2x 3y 10 3x 2y
+ =
− =
Bài 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp ñặt ẩn phụ:
a)
1
x y
1 1
x y
+ = − = b) 15 x y 35 x y − = + = c)
1
x y x y
1
x y x y
+ = + − − = − + − d) 2x 3y 3x y
3
21 3x y 2x 3y
+ = − + − = + −
HD: a) ðS: (x ; y) ; 10
=
;b)
1 (x ; y) = ;
2
;c) (x ; y) = (5 ; 3);d)
7
(x ; y) ; 66 11
=
Bài 3: Cho hệ phương trình
mx y x y 334 − = − =
a) Giải hệ phương trình cho m =
b) Tìm giá trị m để hệ phương trình vơ nghiệm
HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001) b) Hệđã cho vơ nghiệm ⇔ m
=
Bài 4: Cho hệ phương trình: x my
mx 3my 2m
+ =
− = +
a) Giải hệ phương trình với m = –3
b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm HD: a) Hệ có vơ số nghiệm b) m ≠ m ≠ –3
Bài 5: Cho hệ phương trình: mx y
x y m
− =
− + =
Chứng tỏ m = –1, hpt có vơ số nghiệm
HD: Thay m = –1 vào hệ⇒ñpcm
Bài 6: Cho hệ phương trình: 2mx y mx 3y
− + =
+ =
a) Giải hệ phương trình m =
b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm HD: a) (x ; y) = (–2; 1); b) m ≠
2 Phương trình bậc hai Bài 7: Giải phương trình:
1) x2 – 4x + = 2) x2 + 6x + = 3) 3x2 – 4x + = 4) x2 – 5x + = 5)
( 2−1)x + −x =0 6)
2x −( 2+1)x 1+ =0 7)
x +( 2−1)x− =0 8) x4 – 11x2 + 10 = 9) 3x4 – 11x2 + = 10) 9x4 – 22x2 + 13 =
11) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 12) (x – 3)2 + (x + 4)2 = 23 – 3x 13)
2
2x x x
x x 3x
− + =
+ − − 14)
1 1
x−4+x+4 =
15) 3(x2 + x) – 2(x2 + x) – = 16) (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – = Bài 8: Cho phương trình
x + 3x− =0 gọi hai nghiệm phương trình x1, x2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau:
a)
1
1
x + x b)
2 2
x +x c)
2 2
1
x + x d)
(40)HD: ðưa biểu thức dạng x1 + x2 x1x2 sử dụng hệ thức Viét
Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 = Tìm nghiệm x2
HD: m = 2, x2 =
Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = (1)
a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm có nghiệm −2
HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ m
> − ; b) m = m =
Bài 11: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − = (1)
a) Chứng minh ∀m ≠ −1 phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dấu
HD: a) Chứng minh ∆' > 0; b) Phương trình (1) có hai nghiệm dấu ⇔ m < −1 m > Bài 12: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − = (1)
a) Giải phương trình (1) m =
b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m
c) gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Chứng minh A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x= ±2
b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒ A không phụ thuộc vào m
Bài 13: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − =
a) Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m
b) Tìm m để P nhỏ
HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10 c) P = (2m 5)2 15 15
4
− + ≥ Dấu "=" xảy ⇔ m
=
Bài 14: Cho phương trình x2 − 6x + m = (m tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m =
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20
HD: a) Với m = ⇒ x1 = 1, x2 = 5; b) đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2) Bài 15: Cho phương trình x2 − 4x + k =
a) Giải phương trình với k =
b) Tìm tất số ngun dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3; b) ∆' = − k > ⇔ k < ðS: k ∈ {1 ; ; 3}
Bài 16: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + = (1) a) Giải phương trình với m =
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = −2 HD: a) ðS: x1 = 1, x2 = 5; b) ðS: m = − 20
Bài 17: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − = (*) a) Giải phương trình (*) m =
b) Tìm tất giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt HD: a) Khi m = 1: x
2
= ; b) ðS: m 2, m
> ≠
Bài 18: Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1)3 = a) Giải phương trình với m = −1
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm bình phương nghiệm cịn lại
(41)Chủ đề: MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔNG HỢP Bài 1: Cho ∆c.ABC (AB = AC), I tâm đường trịn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp A, O trung điểm IK
a) Chứng minh bốn ñiểm B, I, C, K thuộc đường trịn tâm O b) Chứng minh AC tiếp tuyến đường trịn (O)
c) Tính bán kính đường trịn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm HD: a)
KBI+KCI=180 (Tính chất phân giác) ⇒ BICK nội tiếp (O)
b)
1
1
C +OCI=C + =Iɵ 90 ⇒ OC ⊥ AC ⇒ AC tiếp tuyến (O)
c) 2 2
AH= AC −HC = 20 −12 =16 (cm)
2
CH 12
OH
AH 16
= = = (cm)
Vậy: OC = 2 2
OH +HC = +12 = 225 =15 (cm)
Bài 2: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt ñường thẳng DE DC theo thứ tựở H K
a) Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp b) Tính góc CHK
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
d) Khi ñiểm E chuyển động cạnh BC điểm H chuyển ñộng ñường nào?
HD: a)
BHD=BCD=90 ⇒ BHCD nội tiếp
b) 0
DHC=DBC=45 ⇒CHK=45
c) ∆KCH ∆KDC (g.g) ⇒ KC.KD = KH.KB d)
BHD=90 ⇒ Khi E chuyển ñộng ñoạn BC H chuyển ñộng BC
Bài 3: Cho đường trịn (O, R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy ñiểm M (khác O) ðường thẳng CM cắt đường trịn (O) điểm thứ hai N ðường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường trịn điểm P Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp
b) Tứ giác CMPO hình bình hành
c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vị trí điểm M
d)* Khi M di động đoạn thẳng AB P chạy ñoạn thẳng cốñịnh HD: a)
OMP=ONP=90 ⇒ ONMP nội tiếp
b) OC // MP (cùng vng góc với AB), MP = OD = OC Suy ra: CMPO hình bình hành
c) ∆COM ∆CND (g.g) Suy ra:
CM CO
CD = CN ⇒ CM.CN = CO.CD = Const d) ∆ONP = ∆ODP (c.g.c) ⇒ ODP=900
Suy ra: P chạy đường thẳng cốđịnh Vì M ∈ [AB] nên P ∈ [EF]
Bài 4: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường trịn, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By E F
a) Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp
b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q Tứ giác MPOQ hình gì? sao? c) Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) Gọi K ≡ MH ∩ EB So sánh MK với KH HD: a) EOA+OME=1800⇒ AEMO nội tiếp
21
H
B C
O A
K I
K H B
C A
D
E
1 1
1
P N
E D F
C
O
A B
(42)b) MPOQ hình chữ nhật có ba góc vng c) ∆EMK ∆EFB: EM EF
MK = BF MF = BF ⇒
EM EF
MK = MF Mặt khác: ∆ABE ∆HBK: EA AB
HK = HB Vì:
EF AB
MF = HB(Talet)
⇒ EM EA
MK = KH Vì: EM = AE ⇒ MK = KH
Bài 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định ðiểm I nằm A O cho
AI AO
3
= Kẻ dây MN ⊥ AB I Gọi C ñiểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
b) Chứng minh ∆AME ∆ACM AM2 = AE.AC c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2
HD: a) Dễ thấy
BIE+ECB=180 ⇒ IECB nội tiếp
b) Ta có AM =AN ⇒AME=ABM⇒∆AME ∆ACM (g.g)
⇒ AM2 = AE.AC (1)
c) Ta có: MI2 = AI.IB (2) Theo (1) (2) ðL Pitago: AI2 = AM2 − MI2 = AE.AC − AI.IB
Bài 6: Cho ∆ABC có góc nhọn,
A=45 Vẽ ñường cao BD CE ∆ABC Gọi H giao ñiểm cảu BD CE
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b) Chứng minh HD = DC
c) Tính tỉ số DE : BC
d) Gọi O tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC CM: OA ⊥ DE HD: a) Ta có: AEH+ADH=1800⇒đpcm
b) ∆v.AEC có A=450⇒ACD =450⇒∆DCH vng cân D ⇒ HD = HC
c) ∆ADE ∆ABC (g.g) ⇒ DE AE AE BC = AC = AE =
d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường trịn (O), ta có BAx =BCA
mà BCA =AED (cùng bù với DEB) ⇒ BAx =AED⇒ DE // Ax ⇒ OA ⊥ DE
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp ñược ñường trịn
b) Khi điểm D di động đường trịn BMD+BCD khơng đổi c) DB.DC = DN.AC
HD: a) CBMD nội tiếp đường trịn đường kính CD b) Khi ñiểm D thay ñổi, tứ giác CBMD tứ giác nội tiếp ⇒
BMD+BCD=180 c) Ta có:
ANB=90 (gt) ⇒ N ∈ (O) Mặt khác: BDN=BAN (Cùng chắn BN)
BAN=ACD (So le trong) Suy ra: BDN =ACD
Lại có: DAC =DAN =DBN (Cùng chắn DN) Vậy: ∆ACD ∆BDN (g.g) ⇒ñpcm
x y
K
H
Q P
E
F
O
A B
M
O' E
N M
I O
A B
C
x
O H
D E
A
B
C
M
N C
O
A B
(43)Bài 8: Cho ∆ABC vng A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa ñiểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F
a) Chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp c) Chứng minh AE.AB = AF.AC
d)* Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường trịn HD: a) AEHF có ba góc vng ⇒ AEHF hình chữ nhật
b) B =E1 =Fɵ1 ⇒ BEFC nội tiếp
c) ∆AEF ∆ACB (g.g) ⇒ AE.AB = AF.AC d)
1 2
E +E =H +H =90 ⇒ EF tiếp tuyến (O1) Tương tự: EF tiếp tuyến (O2)
Bài Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (O) Gọi D điểm cung nhỏ BC Hai tiếp tuyến C D với ñường tròn (O) cắt E Gọi P, Q giao ñiểm cặp ñường thẳng AB CD; AD CE
a) Chứng minh BC // DE
b) Chứng minh tứ giác CODE APQC nội tiếp c) Tứ giác BCQP hình gì?
HD: a) BC DE vng góc với OD ⇒ BC // DE b)
ODE+OCE=180 ⇒ CODE nội tiếp
Ta có: PAQ =PCQ (Do BD =CD)⇒ APQC nội tiếp c) BCQP hình thang Vì:
Ta có: QPC =CAQ (Cùng chắn cung QC (APQC)
Lại có: QAC =QAP QAP =BCP (cùng chắn BD) ⇒ BC // PQ
Bài 10 Cho hai đường trịn (O) (O’) cắt A B Các tiếp tuyến A ñường tròn (O) (O’) cắt ñường tròn (O’) (O) theo thứ tự C D gọi P Q trung ñiểm dây AC AD Chứng minh:
a) ∆ABD ∆CBA b) BQD =APB
c) Tứ giác APBQ nội tiếp
HD: a) Ta có: DAB =ACB (Cùng chắn An ' B) Lại có: ADB =BAC (Cùng chắn AnB) Suy ra: ∆ABD ∆CBA
b) ∆ABD ∆CBA ⇒ AD BD DQ
CA = BA = AP (Do P, Q trung ñiểm AC, AD) Và: BDQ =BAP Suy ra: ∆BQD ∆APB ⇒ BQD =APB
c) Do BQD =APB suy ra: APBQ nội tiếp
Bài 11: Cho ∆ABC vng A điểm D nằm A B ðường trịn đường kính BD cắt BC E Các ñường thẳng CD, AE cắt ñường trịn cá điểm thứ hai F, G Chứng minh:
a) ∆ABC ∆EBD
b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c) AC // FG
d)* Các ñường thẳng AC, DE, BF ñồng qui
HD: a) ∆ABC ∆EBD (Hai tam giác vng có B1 chung) b) Học sinh tự chứng minh
c) C1 =F (ɵ1 =E )1 ⇒ AC // FG
1
1
1 G F
S
E C
A
B
D
Q P
E D
C B
O A
n' n Q
P
D
B C A
O
O' 2
1
1
O2 O1
F E
H C
A
(44)d) Gọi S ≡ BF ∩ CA ⇒ ∆BSC có D trực tâm
⇒ S, D, E thẳng hàng ⇒ BF, CA, ED ñồng qui S
Bài 12: Cho ñiểm C thuộc ñoạn thẳng AB cho AC = 10cm, CB = 40cm Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K ðường vng góc với AB C cắt nửa đường trịn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao ñiểm EA, EB với nửa đường trịn (I), (K)
a) Chứng minh EC = MN
b) CmR: MN tiếp tuyến chung nửa đường trịn (I), (K) c) Tính độ dài MN
d) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường trịn HD: a) Chứng minh CMEN hình chữ nhật ⇒ EC = MN
b) Gọi S ≡ MN ∩ EC:
1 2
M +M =C +C =90 ⇒ MN ⊥ MI Tương tự:
1
N +N =C +C =90 ⇒ MN ⊥ NK ⇒ MN tiếp tuyến chung hai đường trịn c) MN = EC = AC.BC= 10.40 =20(cm) d)
2 2
2 πAB πAC πBC
S 100π(cm ) 4
= − − =
Bài 13: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H ≠ O, B) Trên đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn MA, MB theo thứ tự cắt đường trịn (O) C D Gọi I giao ñiểm AD BC
a) Chứng minh tứ giác MCID nội tiếp
b) Chứng minh ñường thẳng AD, BC, MH ñồng qui I c) Gọi K tâm ñường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh KCOH nội tiếp
HD: a)
MCI=MDI=90 ⇒ MCID nội tiếp
b) Chứng minh I trực tâm ∆MAB suy ñường cao MH ñi qua I
c) Xét hai tam giác cân OCA KCM, chứng minh: 0
1
C +C =90 ⇒C +C =90 , từđó suy KCOH nội tiếp
Bài 14: Cho ∆ABC vng A Dựng miền ngồi tam giác hình vng ABHK ACDE a) Chứng minh ba ñiểm H, A, D thẳng hàng
b) ðường thẳng HD cắt đường trịn ngoại tiếp ∆ABC F, chứng minh ∆FBC vuông cân
c) Cho biết
ABC>45 Gọi M giao ñiểm BP ED, chứng minh năm ñiểm B, K, E, M, C thuộc đường trịn
d) Chứng minh MC tiếp tuyến đường trịn (ABC) HD: a) Từ gt chứng minh:
HAB=DAC=45 chứng Minh:
HAB+BAC+DAC=180 ⇒ H, A, D thẳng hàng b) Chứng minh 0
FBC=45 , BFC=90 Suy
∆BFC vuông cân
c) Chứng minh
BKC=BEC=BMC=45 , từđó suy B, K, E, M, C thuộc đường trịn Chú ý đến FMDC tứ giác nội tiếp
d) Chứng minh ∆FCM vng cân, FCM =450 Từđó ta có:
MCF+FCB=90 hay: MC ⊥ BC ⇒ MC tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp ∆ABC
4
3
3 2 1 E
M
N S
K I
A C B
4
I K
D C
O
A B
H M
M
F
H K
D E
C A
(45)PHẦN BÀI LUYỆN GIẢI CƠ BẢN I BIẾN ðỔI CĂN THỨC
Bài Tìm điều kiện xác định biểu thức sau
1 6x 2x
a) 5x b) c) d)
x
1 x x x
− −
−
+
− − −
Bài Thực phép tính, rút gọn biểu thức
( )
a) 18+3 8−3 32− 50 b) 48+3 27 −2 12 : 3
c) −4 18+2 50 d) 12 +2 75−5 48
2 2
e) 4 7 4 7 2 f )
7 4 3 7 4 3
+ − − − +
+ −
1 3 3
g) h)
2 3+3 2 2+ 3+ 5
Bài Giải phương trình, bất phương trình sau
( )( )
a) 1+ 2x =10 b) 7+ x 8− x = +x 11 c) 2+ 3+ x =3
2
d) 16x =3x+7 e) 3 5x+ ≥72 f ) 2+2 2+ 2x ≥4 II HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài Giải hệ phương trình sau
x y
3x 5y 3 2x 3y 2 3u v 8 1
1. 2. 3. 4 5 15
5x 2y 1 3x 2y 3 7u 2v 23
2x 5y 10
+ = + = − + = = −
+ = − = − − =
− =
1 1 4a 5b 10 0
x 6y 17 40x 3y 10 x y 2 0
5. 6. 7. 3 4 8. a b 1
5x y 23 20x 7y 5 0
5x y 11 5 3 3
− − =
− = + = + − =
+ = − = − + =
− =
( )
( ) ( ( ) ) ( ( ) )
6 x y 8 2x 3y 2 2x 1 1,5 3 y 2 6x
9. 10.
5 y x 5 3x 2y 11,5 4 3 x 2y 5 x
+ = + − − + + = − −
− = + + − − = − −
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
2
x 1 x 2 9y x 2 y 1 3x y 5
11. 12. 13.
2 3 x 3y 1
y 3 y 2 5x 1
x 2 y 1
+ =
− − + = − − + =
− =
− − + =
− =
− −
x 2 z x y 3 x y z 12
14 y 2 3z 15 y z 6 16 2x 3y z 12
z 3x 3y 2 z x 1 x y 2z 9
= + + = + + =
= + + = − + =
− − = − + = + − = −
(46)a) x y m 3x 5y 2m
+ = +
+ =
có nghiệm nguyên b)
mx 2y 3x y
− =
+ =
vô nghiệm
III PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài Giải phương trình sau
2 2
a) 3x +12x=0 b) 5x −10x =0 c) 3x − =12 d) 3x − =1
2 2
e) x +5x+ =4 f ) 3x −7x+ =3 g) 5x +31x+26=0
2 2
h) x −15x 16− =0 i) 19x −23x+ =4 k) 2x +5 3x 11 0+ =
2 2
y 3 1 9x 12 1 1
l) m)
y 9 6y 2y y 3y x 64 x 4x 16 x 4
+
+ = − =
− + − − + + −
( )( )
2
1 1 27
n) 3x x 14 2 p) x x x x 12 12 q) x x
x x 4
− + = + + + + = + + + =
Bài Cho phương trình x2 + 5x + = Khơng giải phương trình tính:
( )( )
2 2
1 2 2
2
x x 1 1
a) x x x x b) c) x 2x 2x x d) x x
x x x x
+ + + + + +
Bài Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình 2x2 – 7x – = Hãy lập phương trình có
nghiệm là:
2 2
1 2 2 2
1 2
1 1 1 1 x x
a) 3x ; 3x b) ; c) x x ; x x d) ; e) ; f ) x 2x ; 2x x
x x x x x x + +
Bài Cho phương trình x2 + (m + 2)x + 2m = a) Giải biện luận số nghiệm phương trình
b) Phương trình có nghiệm x = Tìm m nghiệm cịn lại c) Tìm m ñể
2
x x
2 x + x =
d) Tìm m ñể (2x1+x2)(x1+2x2)≥0
e) Tìm biểu thức liên hệ x1 x2 mà không phụ thuộc vào m f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối
g) Tìm m để pt có hai nghiệm dấu Có nhận xét hai nghiệm IV HÀM SỐ
Bài Cho hàm số y = (a – 3)x + b (d) Tìm giá trị a, b cho ñ.thẳng (d): a) ði qua hai ñiểm A(1; 2) B(- 3; 4)
b) Cắt trục tung ñiểm 1− 2 cắt trục hoành ñiểm 1+ 2
c) Cắt hai ñường thẳng 2y – 4x + = ; y = x – ñiểm song song với ñường thẳng y = - 2x +
d) ði qua điểm C (1; - 3) vng góc với ñường thẳng y = x + e) Tính diện tích phần giới hạn hai đường thẳng câu d trục tung Bài Cho hai hàm số y = x2 (P); y = x + 2m – (d)
a) Vẽñồ thị hai hàm số hệ trục tọa ñộ (d) ñi qua ñiểm A(1; 1) b) Tìm m ñể (d) cắt (P) hai điểm
c) Tìm m ñể (d1): y = 2x – cắt (d) (P) ñiểm
(47)1 Cách ñây 18 năm, hai người tuổi gấp đơi Nhưng năm tuổi người thứ 5
4 tuổi người thứ hai Tính tuổi người
2 Một ơtơ dự định từ A ñến B thời gian ñịnh Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính qng ñường AB thời gian dựñịnh lúc ñầu
3 Tìm hai số biết bốn lần số thứ hai với năm số thứ 18040 ba lần số thứ hai lần số thứ hai 2002
4 Hai thùng nước có dung tích tổng cộng 175 lít Một lượng nước ñổ ñầy thúng thứ
3 thùng thứ hai đổđầy thùng thứ hai
2 thùng thứ Tính dung tích thùng “Cơ gái làng bên lấy chồng Họ hàng kéo đến thật đơng Năm người cỗ thừa ba cỗ Ba người cỗ chín người khơng ” Hỏi có người, cỗ
6 Hai vòi nước chảy vào bể khơng sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy giờ, vòi thứ hai chảy
5 bể Hỏi vịi chảy sẽđầy bể
7 Một phong họp có 120 chỗ ngồi, số người ñến họp 165 người Do người ta phải kê thêm dãy ghế dãy ghế phải thêm người ngồi Hỏi phịng họp lúc đầu có dãy ghế, biết phịng họp có khơng q 20 dãy ghế ?
8 Một tầu thủy ñi khúc sơng dài 100 km Cảđi hết 10giờ 25 phút Tính vận tốc tầu thủy, biết vận tốc dòng nước km/h