ĐỀ CƯƠNG TOÁN 7 kì 2 TRUNG VUONG1718

1/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê Trường THCS Trưng Vương Năm học: 2017-2018 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KỲ II MƠN: TỐN A LÝ THUYẾT: Đại số: Trả lời câu hỏi 1,2 SGK trang 22 Câu 1,2,3,4 SGK trang 49 Hình học: - Nêu định nghĩa, tính chất, cách nhận biết tam giác cân, đều, vuông, vuông cân? - Nêu trường hợp hai tam giác, trường hợp đặc biệt tam giác vuông - Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận định lí + Quan hệ cạnh góc đối diện tam giác + Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu + Quan hệ cạnh tam giác + Tính chất tia phân giác góc, đường trung trực đoạn thẳng + Tính chất đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao tam giác B BÀI TẬP THAM KHẢO: Bài Thu gọn đơn thức sau bậc đơn thức: a) x(−2 xy ).3xyz b) (−2 x yz )2 (3x3 y z )3 3  c) (4 xy x)  x yz  4  1  d) − x  x y  25   5   y  2  2     e)  − x3 y  x3 y  − xy      2   f) 4abx  − xy  ( −ay ) (a, b số)   2/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Bài Cho đa thức: A = − x y + x − 3x y + xy + yx − 5x − Toán học đam mê B = xy + − x y − 3xy + x + − ( xy) C = 4( x − 1) + x( xy − y) + y( x − x) − x( xy + 3) a) Thu gọn tìm bậc A, B, C b) Tính A + B + C; A + B − C;2 A − B + C c) Tính giá trị biểu thức C với x = 2, y = −2 Bài Tìm đa thức A biết: a) A + (2 xy − 3x y + y ) = x y + x y + y b) A − (4 xy − y ) = x − xy + y c) (25 x y − 13xy + x3 ) − A = 11x y − x3 d) (3x y − xy + x3 y3 ) − A Bài Cho đa thức: P ( x ) = −5 x5 − x + x5 − x − + x Q ( x ) = −2 x − x3 + 10 x − 17 x + x3 − + x3 a) Thu gọn đa thức xếp theo lũy thừa giảm dần biến b) Tính P ( x ) + Q ( x ) ; P ( x ) − Q ( x ) c) Chứng tỏ x = −2 nghiệm P ( x ) nghiệm Q ( x ) Bài Cho đa thức: A ( x ) = x3 ( x + ) − x + + x3 ( x − 1) B ( x ) = ( x − 3x + 1) − ( 3x + x3 − 3x + ) a) Thu gọn xếp theo lũy thừa tăng dần biến b) Tính A ( x ) + B ( x ) ; A ( x ) − B ( x ) c) Tìm nghiệm C ( x ) = A ( x ) + B ( x ) d) Chứng tỏ đa thức H ( x ) = A ( x ) + x vô nghiệm Bài Cho hai đa thức: A ( x ) = ( x + − x ) − x ( x − ) + 17 B ( x ) = 3x − x + − ( x − x + ) 3/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê a) Thu gọn A ( x ) , B ( x ) Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm biến Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự đa thức b) Tìm N ( x ) cho N ( x ) − B ( x ) = A ( x ) M ( x ) cho A ( x ) − M ( x ) = B ( x ) c) Chứng minh: x = nghiệm N ( x ) Tìm nghiệm N ( x ) d) Tính nghiệm A ( x ) x = Bài Tìm nghiệm thức 1 x −3 − 2 a) A ( x ) = −4 x − g) H ( x ) = b) B ( x ) = ( x − 1) − ( x + 1) h) K ( x ) = 3x − + − x c) C ( x ) = ( x − )( − x + 1) i) M ( x ) = x − + ( x − 1) d) D ( x ) = 3x − x3 j) N ( x ) = x − 3x + e) E ( x ) = x3 + x k) P ( x ) = x − x − f) G ( x ) = x3 − x + x − l) Q ( x ) = x − 11x + Bài 8* (Dành cho HS giỏi) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức đại số: A = ( x + 2) B = ( x − 1) + ( y + ) + 2 C = x − 2014 + x − 2015 D = ( x2 − 9) + y − −1 b) Tìm giá trị lớn biểu thức: B = − ( x + 1) D= C = − x2 − x +2 c) Tìm giá trị nguyên biến x để: 1) A = có giá trị lớn 6− x 2) B = 8− x có giá trị nhỏ x−3 4/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Bài 9* (Dành cho HS giỏi) Tính giá trị biểu thức sau: a) A = Toán học đam mê 2a − 5b 4a + b a − biết = a − 3b 8a − 2b b b) B = ( x + y )( y + z )( x + z ) biết xyz = x + y + z = c) f ( x ) = x17 − 2015 x16 + 2015 x15 − 2015 x14 + + 2015 x − Tính f ( 2014 ) Bài 10 Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm a) Tam giác ABC tam giác gì? Vì sao? b) Kẻ AH vng góc với BC ( H  BC ) Gọi AD phân giác BAH ( D  BC ) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, lấy E cho AE = BD (E C phía AB) CMR: AB = DE c) CMR: ADC cân d) Gọi M trung điểm AD, I giao điểm AH DE CMR: C, I, M thẳng hàng Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, phân giác BD, kẻ DE vng góc với BC E Trên tia đối tia AB lấy F cho AF = CE CMR: a) ABD = EBD b) BD đường trung trực AE c) AD < DC d) E, D, F thẳng hàng BD ⊥ CF e) 2(AD + AF) > CF Bài 12 Cho ABC có A = 900 AC  AB Kẻ AH ⊥ BC Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HB Kẻ CE ⊥ AD kéo dài ( E thuộc tia AD ) Chứng minh: a) ABD cân b) DAH = ACB c) CB tia phân giác ACE d) Kẻ DI ⊥ AC ( I  AC ) , chứng minh đường thẳng AH , ID, CE đồng quy e) So sánh AC CD f) Tìm điều kiện ABC để I trung điểm AC 5/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê Bài 13 Cho ABC cân A ( A  90 ) Trên cạnh BC lấy điểm D , E cho BD = DE = EC Kẻ BH ⊥ AD, CK ⊥ AE ( H  AD, K  AE ) , BH cắt CK G Chứng minh rằng: a) ADE cân b) BH = CK c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh A, M , G thẳng hàng d) AC  AD e) DAE  DAB Bài 14 Cho ABC Tia phân giác góc B cắt AC M Từ A kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt BM , BC N , E Chứng minh: a) ANC cân b) NC ⊥ BC c) Xác định dạng tam giác BNE d) NC trung trực BE e) Cho AB = 10cm Tính diện tích BNE chu vi ABE Bài 15 Cho ABC có A = 900 ( AB  AC ), đường cao AH , AD phân giác AHC Kẻ DE ⊥ AC a) Chứng minh: DH = DE b) Gọi K giao điểm DE AH Chứng minh AKC cân c) Chứng minh KHE = CEH d) Cho BH = 8cm, CH = 32cm Tính AC e) Giả sử ABC có C = 300 , AD cắt CK P Chứng minh HEP Bài 16 Cho ABC có A = 60o Các tia phân giác góc B C cắt I , cắt cạnh AC , AB D E Tia phân giác góc BIC cắt BC F a) Tính góc BIC b) Chứng minh: ID = IE = IF c) Chứng minh: DEF d) Chứng minh: I giao điểm đường phân giác hai tam giác ABC DEF 6/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê Hướng dẫn giải: Bài a) x(−2 xy ).3xyz = −30 x3 y z ; Bậc b) (−2 x yz )2 (3x3 y z )3 = 12 x13 y8 z ; Bậc 30 3  27 10 c) (4 xy x)2  x yz  = x y z ; 4  1  d) − x  x y  25   Bậc 20   −1  y  = x y ;   36 2 Bậc 11     e)  − x3 y  x3 y  − xy  = x11 y11 ;     Bậc 11 2   f) 4abx  − xy  ( −ay ) = a3b.x5 y ;   Bậc 11 Bài a) Thu gọn tìm bậc: A = − x y − x y + xy + x − ; Bậc B = − x y − x y − xy + x + ; Bậc C = x y − 3xy + x − ; Bậc b) Tính: A + B + C = −7 x y + 5x − A + B − C = −4 x y − x y + xy + 3x + A − B + C = x y + x y + xy + 3x − 16 c) Tính giá trị biểu thức C với x = 2, y = −2 C = 2.22.(−2)2 − 3.2.(−2) + − = 42 Bài Tìm A a) A + (2 xy − 3x y + y ) = x y + x y + y  A = x y + x y + y − (2 xy − 3x y + y )  A = x y + x y + y − xy + 3x y − y  A = x y + x y + y − xy b) A − (4 xy − y ) = x − xy + y 7/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26  A = x − xy + y + xy − y Toán học đam mê  A = x − 3xy + y (25 x y − 13xy + x3 ) − A = 11x y − x3 c) A = (25 x y − 13xy + x3 ) − (11x y − x3 )  A = 25 x y − 13xy + x3 − 11x y + x3  A = 14 x y − 13xy + 3x3 d) (3x y − xy + x3 y ) − A =  A = 3x y − xy + x3 y Bài a) Thu gọn đa thức xếp theo lũy thừa giảm dần biến: P ( x ) = −5 x5 − x + x5 − x − + x = ( −5 x5 + x5 ) + ( −6 x + x ) − x − = −2 x − x − Q ( x ) = −2 x − x3 + 10 x − 17 x + x3 − + x3 = −2 x + (−5 x3 + x3 + x3 ) − 17 x + 10 x − = −2 x − 17 x + 10 x − b) Tính P ( x ) + Q ( x ) ; P ( x ) − Q ( x ) +) P ( x ) + Q ( x ) = −2 x − x − − x − 17 x + 10 x − P ( x ) + Q ( x ) = −2 x + ( −2 x − 17 x ) + ( −5 x + 10 x ) + ( −2 − ) P ( x ) + Q ( x ) = −2 x − 19 x + x − +) P ( x ) − Q ( x ) = −2 x − x − − ( −2 x − 17 x + 10 x − ) P ( x ) − Q ( x ) = −2 x − x − + x + 17 x − 10 x + P ( x ) − Q ( x ) = x + ( −2 x + 17 x ) + ( −5 x − 10 x ) + ( −2 + ) P ( x ) − Q ( x ) = x + +15 x − 15 x + 8/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê c) Chứng tỏ x = −2 nghiệm P ( x ) nghiệm Q ( x ) +) Thay x = −2 vào P ( x ) , ta có: P ( x ) = −2 x − x − Suy P ( −2 ) = −2 ( −2 ) − ( −2 ) −  P ( −2 ) = −8 + 10 −  P ( −2 ) = Hay x = −2 nghiệm P ( x ) +) Thay x = −2 vào Q ( x ) , ta có: Q( x) = −2 x − 17 x + 10 x − Suy Q ( −2 ) = −2 ( −2 ) − 17 ( −2 ) + 10 ( −2 ) −  Q ( −2 ) = −32 + 68 − 20 −  Q ( −2 ) = −11  Hay x = −2 nghiệm Q ( x ) Vậy x = −2 nghiệm P ( x ) nghiệm Q ( x ) Bài a) Thu gọn xếp theo lũy thừa giảm A(x)= 𝑥 (𝑥 + 2) − 5𝑥 + + 2𝑥 (𝑥 − 1) = 𝑥 +2𝑥 − 5𝑥 + + 2𝑥 − 2𝑥 =3𝑥 − 5𝑥 + B(x)= 2(𝑥 − 3𝑥 + 1) − (3𝑥 + 2𝑥 − 3𝑥 + 4) =2𝑥 − 6𝑥 + − 3𝑥 − 2𝑥 + 3𝑥 − =−3𝑥 − 3𝑥 − b) Tính A(x)+B(x); A(x)-B(x) + A(x)= 3𝑥 − 5𝑥 + B(x)= −3𝑥 − 3𝑥 − A(x)+B(x)= −8𝑥 + 9/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 − A(x)= Toán học đam mê 3𝑥 − 5𝑥 + B(x)= −3𝑥 − 3𝑥 − A(x)−B(x)= 6𝑥 − 2𝑥 + 11 c) Tìm nghiệm C(x)=A(x) +B(x) C(x)=−8𝑥 + 7=0 −8𝑥 = −7  x= Vậy nghiệm C(x)= −8𝑥 + x= d) Chứng tỏ H(x)=A(x)+5x vô nghiệm H(x)= 3𝑥 − 5𝑥 + + 5𝑥 = 3𝑥 + H(x)=0  3𝑥 + = 0 3𝑥 = −9  𝑥 = −3 (vơ lí) Nên khơng có giá trị x để H(x)=0 Vậy H(x) vô nghiệm Bài a) Thu gọn xếp A(x)=3(𝑥 + − 4𝑥) − 2x(x − 2) + 17 =3𝑥 + − 12𝑥 − 2𝑥 + 4x + 17 =𝑥 − 8𝑥 + 23 Hệ số cao nhất: 1, hệ số tự 23 B(x) = 3𝑥 − 7𝑥 + − 3(𝑥 − 2𝑥 + 4) = 3𝑥 − 7𝑥 + − 3𝑥 + 6𝑥 − 12 = −𝑥 − Hệ số cao nhất: -1, hệ số tự -9 10/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê b) N(x)-B(x)=A(x)  N(x)=B(x)+A(x) + A(x)= 𝑥 − 8𝑥 + 23 − 𝑥 −9 B(x) = N(x) = 𝑥 − 9𝑥 + 14 A(x)-M(x)=B(x)  M(x)=A(x)-B(x) − A(x)= 𝑥 − 8𝑥 + 23 −𝑥 − B(x) = M(x) = 𝑥 − 7𝑥 + 32 c) Chứng minh nghiệm N(x).Tìm nghiệm N(x) N(2)= 22−9.2 + 14 = − 18 + 14 = Vậy nghiệm N(x) N(x)= 𝑥 − 9𝑥 + 14 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 𝑎) 𝑥 − 9𝑥 + 14 = 𝑥 + (𝑎 − 2)𝑥 − 2𝑎 { −9 = 𝑎 − 𝑎 = −7 { (thỏa mãn) 14 = −2𝑎 𝑎 = −7 Vậy a=−7 nghiệm N(x) d) Tính giá trị A(x) x= 2 Thay x = vào biểu thức A(x)= 𝑥 − 8𝑥 + 23 2 Ta A (3)= (3)2 − + 23=9 − 16 + 23 = 163 Vậy x = giá trị biểu thức A(x) 163 12/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê  3x −  Vì  nên 3x − + − x   − x   x − = 3 x − =  x= Dấu “=” xảy  4 − x =  − x = Vậy nghiệm bất phương trình x = i) Ta có x − + ( x − 1) =  x −  Vì  nên x − + ( x − 1)  2 ( x − 1)  x =  x − = x −1 =     x =  x = Dấu “=” xảy  2 x − = x − =  ( )    x = −1  Vậy nghiệm đa thức x = j) Ta có: x − 3x + = 3 103  4x2 − x − x + + =0 2 16 16 3 3  103   2x  2x −  −  2x −  + =0 4 4  16    103    x −  x −  + =0   16   −103    2x −  = 4 16  2 3  Vì  x −   với x nên suy 4  3 103  vô nghiệm  2x −  = − 4 16  k) Ta có x − x − =  x + x − x − =  x ( x + 1) − ( x + 1) =  x = −1 x +1 =  ( x + 1)( x − ) =    x = − = x    9 Vậy tập nghiệm đa thức S = −1;   7 13/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê l) Ta có x − 11x + =  x − x − x + =  x ( x − 1) − ( x − 1) =  x −1 = x =  ( x − 1)( x − ) =    x − = x = Vậy tập nghiệm đa thức S = 1;6 Bài a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức đại số: +) A = ( x + ) Vì ( x + )  0, x ; dấu “=” xảy ( x + ) =  x + =  x = −2 2 Vậy GTNN A x = −2 +) B = ( x − 1) + ( y + ) + 2 Ta có: ( x − 1)  với x, ( y + )  với y 2 Suy ra: ( x − 1) + ( y + ) +  + + = 2  x = ( x − 1) = Dấu “=” xảy     y = −5  ( y + 5) = Vậy GTNN B x = 1; y = −5 +) C = x − 2014 + x − 2015 Ta có: C = x − 2014 + x − 2015 = x − 2014 + 2015 − x Mà: x − 2014 + 2015 − x  x − 2014 + 2015 − x = = Dấu “=” xảy ( x − 2014 )( 2015 − x )   2014  x  2015 Vậy GTNN C 2014  x  2015 +) E = ( x − ) + y − − Vì: ( x − )  ; y −  với x,y Suy ra: D = ( x − ) + y − −  + − = −1 14/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26  ( x − ) =  x = 3 Dấu “=” xảy khi:   y = − = y   Toán học đam mê Vậy GTNN D −1 ( x; y ) = ( 3; ) ( x; y ) = ( −3; ) b) Tìm giá trị lớn biểu thức: +) B = − ( x + 1) Vì: ( x + 1)   B = − ( x + 1)  với x, dấu “=” xảy khi: ( x + 1) 2 =  x = −1 Vậy GTLN B x = −1 +) C = − x − Vì: x −  x  C = − x −  − = với x Dấu “=” xảy khi: x − =  x − =  x =  x =  Vậy GTLN C x =  +) D = x +2 Vì x +   D = 1  với x x +2 2 Dấu “=” xảy khi: x =  x = Vậy GTLN D x = c) Tìm giá trị nguyên biến x để: 1) A = có giá trị lớn 6− x ĐK để A có nghĩa x  Với x   − x   A = 0 6− x 15/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Với x   − x   A = 0 6− x Tốn học đam mê Do đề A lớn A  trường hợp x  Mặt khác tử số A không đổi nên A lớn mẫu − x bé Suy x số nguyên lớn mà x  nên x = 2 = =2 6− x 6−5 Khi A = Vậy x = A đạt GTLN 2) B = 8− x có giá trị nhỏ x−3 ĐK để B có nghĩa x  Ta có: B = − x − ( x − 3) = = −1 ; x −3 x −3 x −3 Suy B nhỏ nhỏ x−3 Với x   x −   0 x −3 Với x   x −   0 x −3 Do đề 5  trường hợp x  nhỏ x −3 x−3 Mặt khác tử số 5 không đổi nên nhỏ mẫu x − lớn x−3 x−3 Suy x số nguyên lớn mà x  nên x = Khi B = 5 −1 = − = −6 x −3 2−3 Vậy x = B đạt GTNN −6 Bài 9* (Dành cho HS giỏi) a) Ta có a a b a b =  = Đặt = = k Suy a = 3k ; b = 4k b 4 16/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê Khi biểu thức A trở thành: A= 2.3k − 5.4k 4.3k + 4k 6k − 20k 12k + 4k −14k 16k 14 5 − = − = − = −1 = −1 = 3k − 3.4k 8.3k − 2.4k 3k − 12k 24k − 8k −9k 16k 9 Vậy A = b) Ta có x + y + z = , suy x + y = − z; y + z = − x x + z = − y Thay vào biểu thức B, ta được: B = ( − z )( − x )( − y ) = − xyz , mà xyz = nên B = −2 Vậy B = −2 c) Xét với x = 2014  x + = 2015 Khi ta f ( 2014 ) = x17 − ( x + 1) x16 + ( x + 1) x15 − ( x + 1) x14 + + ( x + 1) x − = x17 − ( x17 + x16 ) + ( x16 + x15 ) − ( x15 + x14 ) + + ( x + x ) − = x17 − x17 − x16 + x16 + x15 − x15 − x14 + + x2 + x − = x − = 2014 − = 2013 Vậy f ( 2014 ) = 2013 Bài 10 a) Do AB2 + AC = BC nên ABC vuông A C b) Do EAD = BDA(cgc) nên ED = AB c) AHD : ADH = 180o − ( HAD + AHD) = 90o − HAD CAD = 90o − DAB Mà AD phân giác BAH Nên HAD = DAB → CAD = ADH Vậy ADC cân C d) ADC cân C, M trung điểm AD nên CM ⊥ AD E A H I D M B 17/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê Do EAD = BDA(cgc) (c/m b) nên EDA = DAB → ED / / AB Mà AB ⊥ AC → DE ⊥ CA → I = AH  DE Do I trực tâm ADC → I  CM Vậy C, I, M thẳng hàng Bài 11 a) Vì BD phân giác ABC F Suy ABD = DBE Do ABD = EBD (góc nhọn – cạnh huyền) A b) Ta có: ABKI = EBK (c-g-c) H D K nên BD ⊥ AE = K K trung điểm AE Vậy BD đường trung trực AE B C E c) Ta có: ABD = EBD nên AD = DE mà EDC vuông E nên DE  DC → AD  DC d) Ta có: FAD = CED(c − g − c) Suy ra: FAD = CDE FAD + ADE = ADE + EDC Mà A, D, C thẳng hàng nên E, D, F thẳng hàng Trong BEC : CA ⊥ BE, FE ⊥ BC, CA  FE = D nên D trực tâm BEC → BD ⊥ CF e) Ta có: FAD : AF + AD  FD ECD : DE + EC  DC Mà AF = CE, AD = DE Suy ( AF + AD) + ( DE + EC )  FD + DC Hay 2( AD + AF )  FD + DC Xét DEFC : DF + DC  FC Do 2( AD + AF )  FC 18/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê Bài 12 a) Ta có: + AH ⊥ BC  AH đường cao ABD + HD = HB  AH trung tuyến ABD  ABD có AH vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên ABD cân A b) + ABD cân A nên: ADH = ABH (1) + ADH vuông H nên: DAH + ADH = 900 (2) + ABC vuông A nên: ACB + ABH = 900 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: DAH = ACB (đpcm) c) Ta có: + DCE vng E nên: DCE + CDE = 900 (4) + Mà: CDE = ADH (đối đỉnh) (5) Từ (2), (4), (5) suy ra: DCE = ACB  CB tia phân giác ACE d) Ta có: + AH ⊥ BC  AH ⊥ DC + ID ⊥ AC + CE ⊥ AD  AH , ID, CE đường cao BCD nên đồng quy điểm e) Vì AH ⊥ BC nên HB, HC hình chiếu AB, AC BC Mà: AC  AB (gt)  HC  HB (quan hệ đường xiên hình chiếu) Mà: HD = HB (điểm D tia HC ) Nên: điểm D thuộc đoạn thẳng HC Do đó: CD  CH Lại có: CH  AC (quan hệ đường xien đường vng góc) Vâỵ: CD  AC f) Nếu I trung điểm AC thì: DI đường trung tuyến ADC Mà: DI ⊥ AC 19/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê  ADC có DI vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên ADC cân D  DAC = DCA Lại có: ADB = DCA ( tính chất góc ngồi tam giác) Mà: ADB = ABC (vì ABD cân A ) Do đó: ABC = DCA Mà: ABC + DCA = 900 Suy ra: ABC = 600 ; DCA = 300 Vậy ABC có thêm điều kiện ABC = 600 (hoặc ACB = 300 ) I trung điểm AC Bài 13 a) Xét ABD ACE có: A + AB = AC ( ABC cân) + ABC = ACE ( ABC cân) D B E C M + BD = CE (Giả thiết)  ABD H K G ACE ( c.g.c ) F  AD = AE (2 cạnh tương ứng)  ADE cân (đpcm) b) Vì ABD ACE ( cmt )  BAH = CAK (2 góc tương ứng) Xét ABH ACK có:    ABH ACK ( ch − gn ) + AB = AC ( ABC can )    BH = CK ( canh tuong ung ) + BAH = CAK ( cmt )  + AHB = AKC ( = 90 ) c) Xét DBH ECK có: + DHB = EKC ( = 90 )    DBH ECK ( ch − cgv ) + BD = CE ( gt )    DBH = ECK ( goc tuong ung ) + BH = CK ( cmt )   GBC cân G , lại có GM trung tuyến  GM đường trung trực  G  đường trung trực BC (1) 20/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Tốn học đam mê Vì ABC cân A (gt)  A  đường trung trực BC ( 2) Do M trung điểm BC (gt)  M  đường trung trực BC ( 3) Từ (1) , ( ) ( 3)  A, M , G thẳng hàng d) Xét AME có: AEC = AME + MAE = 90 + MAE  90  AEC góc tù Xét ACE có: AC đối diện góc tù AEC  AC  AE (quan hệ góc cạnh đối diện) Mà AD = AE (cmt)  AC  AD (đpcm) e) Trên tia đối tia DA lấy điểm F cho DF = DA Xét ADE FDB có: + DE = DB ( gt )   ADE FDB ( c.g.c )  + ADE = FDB ( goc doi dinh )  + AE = BF ( canh tuong ung )    + DA = DF ( cach ve ) + DAE = DFB ( goc tuong ung )  Xét ABD có: ADB  ACE = ABD (t/c góc ngồi tam giác)  AB  AD (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) Mà AD = BF ( = AE ) nên  AB  BF Xét ABF có: AB  BF ( cmt )  AFB  DAB (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) Lại có AFB = DAE ( cmt )  DAE  DAB (đpcm) Bài 14 a) ABC (giả thiết) Mà BM phân giác ABC (giả thiết)  BM đường trung trực ABC  CM = MA; BM ⊥ AC (tính chất đường trung trực) CM = MA Trong CNA có:   NM ⊥ AC ( BM ⊥ AC ) 21/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Suy CNA cân N (đpcm)  ACN = NAC (tính chất tam giác cân)   BCA = BAC ( gt ) b) Ta có:    ACN = NAC ( cmt )  BCA + ACN = BAC + NAC  BCN = BAN Do BAN = 900 ( gt )  BCN = 900  NC ⊥ BC c) Xét BCN BAN có: BCN = BAN = 900 BN chung BC = BA( gt )  BCN = BAN (Cạnh huyền – Cạnh góc vng)  BNC = BNA (Góc tương ứng nhau) Trong BCN có: BCN = 900 (cmt )  BNC + CBN = 900 1 Mà: CBN = NBA = CBA = 600 = 300 (gt) 2  CNB = 900 − CBN = 900 − 300 = 600  CNB = BNA = 600 Ta có: CNB + BNA + CNE = 1800  CNE = 1800 − CNB − BNA = 1800 − 600 − 600 = 600  CNE = CNB = 600  NC tia phân giác BNE Mà NC ⊥ BC  BNE cân N d) Ta có: BNE cân N mà NC ⊥ BC hay NC đường cao BNE  NC đường trung trực BNE (t/c tam giác cân)  NC đường trung trực BE Toán học đam mê 22/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Tốn học đam mê e) Ta có : BAE = 900 AE = BE + AB  AE = BE + AB = 202 + 102 = 10 Ta lại có : BC = CE = 10cm  BE = 20cm Chu vi tam giác ABE : AB + BE + EA = 10 + 20 + 10 = 30 + 10 Đặt NA = x; NE = y  NB = y Ta có : NA + NE = AE  x + y = 10 Mà : BN = NA2 + AB  y = x + 10  y =  NE =  Suy   x =  NA = Ta có: S BNE = NC.BE.10 = 20 5(cm ) = NA.2.BC = NA.BC = Bài 15 a) Chứng minh: DH = DE K Cách 1: Xét AHD AED , có: B AHD = AED = 900 P H AD cạnh huyền chung D HAD = EAD ( AD phân giác HAC ) Do AHD =AED (Cạnh huyền – góc nhọn)A  DH = DE (2 cạnh tương ứng) Cách 2:  DH ⊥ AH Ta có:   DE ⊥ AE Mà D thuộc đường phân giác HAE  DH = DE (Tính chất điểm thuộc tia phân giác) E C 23/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê b) Chứng minh AKC cân Do D giao điểm hai đường cao KE CH nên D trực tâm AKC  AD ⊥ CK Xét AKC có AD đường cao đồng thời đường phân giác Do đó: AKC cân A c) Chứng minh KHE = CEH Xét AEK AHC có: AK = AC (Do AKC cân) A chung Do đó: AEK = AHC (Cạnh huyền – góc nhọn)  HKE = ECH (2 góc tương ứng) KE = HC (2 cạnh tương ứng) Lại có: +) AH = AE (Do AHD = AED ) +) AK = AC (Do AKC cân) +) AC = AE + EC +) K = AH + HK Suy HK = EC Xét KHE ΔCEH có: HK = EC (Chứng minh trên) HKE = ECH (Chứng minh trên) KE = HC (Chứng minh trên) Do đó: KHE = CEH ( c - g - c ) d) Tính AC Áp dụng định lí Py-ta-go cho ABC vng A có: AB + AC = BC (1) Áp dụng định lí Py-ta-go cho AHB vng H có: AB = AH + BH (2) Áp dụng định lí Py-ta-go cho AHC vng H có: AC = AH + CH (3) Từ (1), (2), (3) Suy ra: BC = AH + BH + CH  AH = BC − BH − CH 502 − 182 − 322 = = 576  AH = 24 2 Thay vào (3), ta tính AC = 30cm e) Chứng minh HEP 24/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê Khi BCA = 300  KAC = 600 Xét AKC cân A, có KAC = 600  AKC Do AK = AC = KC (4) Lại có: AD, KE , AP đường cao đồng thời trung tuyến  E, H , P trung điểm AC , AK , CK Xét AHC vuông H , trung tuyến HE ứng với cạnh huyền AC Suy HE = AC (5) (Tính chất trung tuyến tam giác vng) Tương tự ta có: HP = 1 AK (6) EP = CK (7) 2 Từ (4), (5), (6), (7) suy ra: HE = HP = EP Vậy HEP (Điểu phải chứng minh) Bài 16 a) Xét  ABC có: B ABC + ACB + BAC = 180 o F E o ABC + ACB + 60 = 180 o  ABC + ACB = 120o I 60° A Ta có: CI tia phân giác góc ACB  BCI = ACI = ACB BI tia phân giác góc ABC  CBI = ABI = ABC 1 1  BCI + CBI= ACB+ ABC= (ACB + ABC)= 120o =60o 2 2 Xét  BIC có: D C 25/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 Toán học đam mê BIC + CBI + BIC = 180o 60o + BIC = 180o  BIC = 120o b) Ta có: EIB + BIC = 180o  EIB + 120o = 180o  EIB = 60o Ta có: DIC + BIC = 180o  DIC + 120o = 180o  DIC = 60o Ta có: IF tia phân giác BIC  BIF = FIC = 60 O Xét IFC IDC có: ICF = ICD (vì CI phân giác BCA ) Cạnh CI chung CIF = CID ( = 60O )  ΔIFC = ΔIDC (g-c-g)  IF = ID (1) Xét IFB IEB có: IBF = IBE (vì BI phân giác CBA ) Cạnh IB chung BIF = BIE ( = 60O )  IFB = IEB ( g − c − g )  IF = IE (2) Từ (1) (2)  IF = IE = ID 26/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 26 c) Ta có: EIF = EIB + FIB = 60o + 60o = 120o Toán học đam mê DIF = DIC + FIC = 60o + 60o = 120o Xét EIF DIF có IF cạnh chung EIF = DIF ( = 120o ) IE = ID (cmt)  EIF = DIF (c-g-c)  EF = DF (3) Chứng minh tương tự: EIF = EID  EF = ED (4) TỪ (3) VÀ (4) ta có: EF = DE = DF  DEF tam giác d) EIF = DIF  IFE = IFD  FI phân giác EFD EIF = EID  IEF = IED  EI phân giác FED  I giao điểm đường phân giác tam giác DEF Tam giác ABC có: CI phân giác ACB BI phân giác ABC  I giao điểm đường phân giác tam giác ABC Vậy I giao điểm đường phân giác hai tam giác ABC tam giác DEF ... = ? ?2 vào Q ( x ) , ta có: Q( x) = ? ?2 x − 17 x + 10 x − Suy Q ( ? ?2 ) = ? ?2 ( ? ?2 ) − 17 ( ? ?2 ) + 10 ( ? ?2 ) −  Q ( ? ?2 ) = − 32 + 68 − 20 −  Q ( ? ?2 ) = −11  Hay x = ? ?2 nghiệm Q ( x ) Vậy x = ? ?2. .. − 20 14 + x − 20 15 Ta có: C = x − 20 14 + x − 20 15 = x − 20 14 + 20 15 − x Mà: x − 20 14 + 20 15 − x  x − 20 14 + 20 15 − x = = Dấu “=” xảy ( x − 20 14 )( 20 15 − x )   20 14  x  20 15 Vậy GTNN C 20 14... xếp A(x)=3(