Các dạng bài toán vectơ trong hình học phẳng

Chứng minh: PQRS là hình chữ nhật 3/ Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là trung điểm của AB, AC.. Chứng minh: a/ I là trung điểm AB.[r]

GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com Các dạng bài toán vectơ hình học phẳng A/ Kiến thức cần nhớ - Một số qui tắc    1/ I là trung điểm AB  IA  IB         3/ G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC      4/ G là trọng tâm tam giác ABC, với điểm M  MA  MB  MC  MG       5/ Qui tắc điểm ( Qui tắc tam giác)  AB  BC  AC hay AB  MB  MA        6/ Qui tắc hình bình hành : ABCD là hình bình hành  AB  AD  AC hay AD  BC hay AB  DC        7/ Hai vectơ a; b không cùng phương và vectơ c   !k , l (k  l  0) cho c  ka  lb 2/ I là trung điểm AB, với điểm M  MA  MB  MI Giải hệ phương trình tìm số k, l     8/ Hai vectơ a; b cùng phương  ! k  cho a  kb ( đó k>0: hai vectơ cùng hướng; k<0: hai vectơ ngược hướng) 9/ Chứng minh hệ thức vectơ cho trước dùng phương pháp chèn nhiều điểm vào đẳng thức vectơ và dùng các qui tắc trên để biến đổi thành đẳng thức đúng VD: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm là G và G’ Chứng minh:     AA '  BB '  CC '  3GG ' Giải: Chèn G và G’ vào vế trái Ta có: VT = (ĐPCM)        (Do AG  BG  CG  (GA  GB  GC )  vì G là trọng tâm tam giác ABC;     Do G ' A '  G ' B '  G ' C '  vì G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’) 10/ Tìm vectơ và độ dài chúng: + Dựa vào các qui tắc để biểu diễn vectơ cần tìm theo các vectơ đã biết + Dùng các qui tắc, công thức hình học phẳng để tính độ dài chúng   a; b cung huong     11/ Dùng định nghĩa a  b   a b        12/ Nếu a  b và b  c thì a  c   B/ Cho u   u1 ; u2  , v   v1 ; v2  Khi đó:   u  v   u1  v1; u2  v2    u  v   u1  v1 ; u2  v2   ku   ku1 ; ku2  ; k      u1  v1 uv u2  v2 C/ Cho đểm A  x A ; y A  ; B  xB ; yB  ; C  xC ; yC  ; D  xD ; yD   1/ Tọa độ vectơ AB   xB  x A ; y B  y A  x A  xB   xI  2/ Tọa độ I là trung điểm AB:  ; I ( xI ; y I )  y  y A  yB  I Lop10.com GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com x A  xB  xC  x  G  ; G ( xG ; yG ) 3/ Tọa độ G là trọng tâm tam giác ABC:  y  y  y A B C y   G   4/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng  A, B, C lập thành tam giác  AB; AC không cùng phương:   x  x A yB  y A AB  k AC ; k  B  xC  x A yC  y A   5/ Chứng minh A, B, C thẳng hàng  đường thẳng qua A, B qua C  AB; AC cùng phương:   x  x A yB  y A hay tìm B để A, B, C thẳng hàng   k   : AB  k AC  B  xC  x A yC  y A 6/ Tọa độ điểm M  Ox  M (a; 0) Tọa độ điểm M  Oy  M (0; b) Tọa độ điểm M tổng quát M ( xM ; yM ) 7/ a/ Đường thẳng qua A, B và cắt Ox M, tìm tọa độ M : xM  xA yM  y A a  xA  yA    xB  xA yB  y A xB  x A yB  y A Mà M thuộc đường thẳng qua A; B  A, M, B thẳng hàng  Tìm a  M (a;0) b/ Đường thẳng qua A, B và cắt Oy N, tìm tọa độ N : Mà N thuộc đường thẳng qua A; B  A, N, B thẳng hàng  Do M  Ox  M (a; 0) Do M  Oy  M (0; b) xN  x A y N  y A  xA b  yA    xB  x A yB  y A xB  x A yB  y A Tìm b  M (0; b) c/ Đường thẳng qua A, B cắt đường thẳng qua C, D M, tìm tọa độ M: Gọi M ( xM ; yM ) xM  xA yM  y A   ( y B  y A ) xM   xB  x A  yM   y B  y A  x A   xB  x A  y A 1 xB  x A yB  y A x  xC yM  yC + C, M, D thẳng hàng  M   ( yD  yC ) xM   xD  xC  yM   y D  yC  xC   xD  xC  yC   xD  xC yD  yC Giải hệ phương trình (1) và (2) Tìm tọa độ M ( xM ; yM ) + A, M, B thẳng hàng     xD  x A  xC  xB  D ( xD , yD )  yD  y A  yC  yB     9/ Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức vectơ   MA   MB   MC   x A   xB   xC  x  M        ( x A  xM )   ( xB  xM )   ( xC  xM )     M ( xM ; yM )   ( y A  yM )   ( yB  yM )   ( yC  yM )   y   y A   y B   yC  M    8/ Tìm tọa độ D cho ABCD là hình bình hành  AD  BC   10/ Chứng minh hai đường thẳng qua A, B và đường thẳng qua C, D song song hay ABCD là hình thang, ta chứng  xD  xC yD  yC x x  y  y      B A B A minh AB; CD cùng phương và AB; AC không cùng phương hay   xC  x A  yC  y A  xB  x A yB  y A 11/ Cho điểm M  x0 , y0  Ta có A   x0 , y0  đối xứng M qua Ox; B  x0 ,  y0  đối xứng M qua Oy; C   x0 ,  y0  đối xứng M qua O Lop10.com GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com BÀI TẬP    1/ Cho hình bình hành ABCD và ABEF, dựng các vectơ EH ; FG vectơ AD CMR: CDGH là hình bình hành 2/ Cho hình bình hành ABCD Gọi P, Q, R, S là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA a/ Chứng minh: PQRS là hình bình hành b/ Cho AB = BC Chứng minh: PQRS là hình chữ nhật 3/ Cho tam giác ABC, M và N là trung điểm AB, AC Vẽ ME  BC ; NF  BC   Chứng minh: ME  NF 4/ Cho tứ giác ABCD không phải là hình bình hành, AC cắt BD O, OB = OD Gọi M và N   là trung điểm AB và CD; cắt AC I Chứng minh: MI  IN   5/ Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD với AB = 2CD Từ C vẽ CI  DA Chứng minh: a/ I là trung điểm AB   b/ BC  ID 6/ Cho tam giác ABC Gọi H là trực tâm và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A’ là điểm đối xứng A qua I Chứng minh:   a/ BH 'C   A  b/ BA '  HC 7/ Cho tam giác ABC cân A, trên AB lấy điểm D không trùng với A, B Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE, DE cắt BC F Chứng minh: DF  FE   8/ Cho hai tam giác ABC và AEF có chung trung tuyến AM Chứng minh: CE  FB NC 9/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  tâm O Gọi H là trực tâm tam giác ABC và B’ là điểm   đối xứng với B qua tâm O Chứng minh: AH  B ' C '; AB '  HC         10/ Chứng minh với hai vectơ a, b không cùng phương Ta có a  b  a  b  a  b (HD: áp dụng bất đẳng thức tam giác) 11/ Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác Kéo dài GM đoạn     MD = GM Chứng minh: BD  GC ; BG  DC 12/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H là trực tâm tam giác AH cắt BC I và cắt đường tròn M khác A   a/ Chứng minh: HI  IM   b/ Gọi K là trung điểm BC Chứng minh AM ; OK cùng phương     c/ HK cắt đường tròn D, chứng minh BH  DC và BD  HC Lop10.com GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com 13/ Cho  ABC Tìm M cho    a/ MA  2MB  3MC      b/ MA  MB  3MC  14/ Cho tứ giác ABCD Tìm M cho      a/ MA   2MB   MC  MD   b/ MA  2MB  5MC  2MD    15/ Cho vectơ a, b không cùng phương a/ Chứng minh       1/ u  2a  b ; v  3a  4b       2/ u  a  b ; v  a b       3/ u  2a  b ; v  a  2b   b/ Tìm x để hai vectơ u, v :       v  (2 x  1)a  b 1/ u  ( x  2)a  b ;       2/ u  a  (2 x  1)b ; v  xa  b    3/ u  3a  xb ; cùng phương cùng hướng   2 v  (1  x)a  b ngược hướng Hệ trục tọa độ Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;-2); B(3;2); C(0;4) Tìm tọa độ M trường hợp sau:    a/ CM  AB AC    b/ AM  BM  4CM c/ ABCM là hình bình hành Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;4); B(3;1); C(-1;2).Tìm tọa độ M trường hợp sau:    a/ AM  BM  5CM    b/ 2MA  3MB  c/ ABMC là hình bình hành Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(1;1); B(2;4); C(3;2) a/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P là trung điểm các cạnh BC, AB, AC Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(6;-3); B(1;0); C(3;2) a/ Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P là trung điểm các cạnh BC, AB, AC c/ Tìm D để ABCD là hình bình hành Tìm tọa độ tâm I hình bình hành đó Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2;1); B(0;2); C(4;4) a/ Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng b/ Tìm tọa độ giao điểm D đường thẳng AB và trục Ox c/ Tìm tọa độ giao điểm E đường thẳng AB và trục Oy Lop10.com GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com Trong mặt phẳng Oxy cho A(3;4); B(2;5) a/ Tìm a để C(a;1) thuộc đường thẳng AB b/ Tìm M để C là trung điểm AM Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;3); B(0;1); C(0;3); D(2;7) Chứng minh AB // CD Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1;1); B(1;3); C(-2;0) a/ Chứng minh C nằm trên đường thẳng qua A, B b/ Tìm giao điểm đường thẳng AB và trục Oy c/ Chứng minh: A, B, O không thẳng hàng Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;-1); B(3;1); C(y;2) a/ Tìm y để A, B, C thẳng hàng b/ Tìm giao điểm AB và Ox c/ Tìm giao điểm AB và Oy 10 Trong mặt phẳng Oxy cho B(4;5); C(-2;1) a/ Tìm tọa độ trung điểm I đoạn BC b/ Chứng minh: O, B, C không thẳng hàng c/ Tìm M để OBMC là hình bình hành 11 Cho A(-1;5) , B(3;-3) a/ Tìm tọa độ trung điểm M AB b/ Tìm tọa độ N cho A là trung điểm NB c/ Tìm tọa độ P cho B là trung điểm AP d/ Đường thẳng qua A, B cắt Ox K Tìm tọa độ K e/ Đường thẳng qua A, B cắt Oy L Tìm tọa độ L  f/ Tìm tọa độ điểm C  cho OC  AB    g/ Tìm tọa độ D cho DA  3DB  AB 12 Cho A(1,2); B(2; 4); C(3,-3) a/ Chứng minh A, B, C lập thành tam giác b/ Xác định trọng tâm G tam giác ABC c/ Tìm tọa độ E cho O là trọng tâm tam giác ABE d/ Tìm tọa độ D để ABCD là hình bình hành e/ Tìm tọa độ F cho OABF là hình bình hành f/ Cho H(a, 1) Xác định tọa độ H để B, C, H thẳng hàng g/ Xác định K  Ox để ABKC là hình thang h/ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng qua A,B và đường thẳng qua O,C 13 Cho các điểm A’(-2;1); B’(4;2); C’(-1;-2) là trung điểm các cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Tìm tọa độ các định tam giác ABC Chứng minh trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ trùng      14 Cho a  (3;1) ; b  (1; 1) Hãy biểu diễn vectơ c  (6; 2) theo hai vectơ a; b    15 Cho a  (2; 3); b  (5;1); c  ( 3; 2)     a/ Tìm tọa độ vectơ u  2a  3b  4c      b/ Tìm tọa độ vectơ x cho x  2a  b  c    c/ Tìm các số h và k cho c   kb Lop10.com