a 0 a 0 m O A B O O A B C D A B C D 1 2 0 5 5 1 0 O M A B 1 6 0 2 3 D E O A B C CH Ủ ĐỀ 4 Tiết 1 : GÓC Ở TÂM-SỐ ĐO DỘ CỦA CUNG – SO SÁNH CUNG A-LÝ THUYẾT : a) Góc ở tâm : Là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn AOB : Góc ở tâm AmB : Cung bò chắn của góc ở tâm AOB b) Số đo độ của cung Cung tròn AmB và góc ở tâm chắn cung đó có cùng số đo độ c) So sánh cung . 1- Cung bằng nhau 2- Cung không bằng nhau AB =CD <=> AOB = COD AB > CD <=> AOB > COD AB = CD <=> sđAB = sđCD AB > CD <=> sđAB > sđCD B/PHƯƠNG PHÁP CHUNG Tính các góc ở tâm , tính số đo các cung , so sánh các cung , ch. minh đẳng thức về số đo các cung . C/BÀI TẬP Bài 1: Cho đường tròn (O;5cm)và điểm M ngoài đường tròn với OM = 10cm .Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A,B là hai tiếp điểm ).Tính các góc ở tâm do hai tia OA ,OB xác đònh . H.dẫn : * OA MA (T/c tiếp tuyến ) * Tam giác vuông OAM có OA = ½ OM. Suy ra AMO = 30 0 và AOM = 60 0 *Vậy AOB = 2AOM = 2.60 0 = 120 0 * OA , OB xác đònh hai góc ở tâm có số đo 120 0 và 240 0 Bài 2 : Cho tam giác đều ABC .Vẽ đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB tại D , cắt cạnh AC tại E .So sánh các cung BD ,DE và EC . Hướng dẫn : *Ta có : OB = OD và OBD = 60 0 Tam giác OBD đều Do đó BOD = 60 0 *Tương tự tam giác COE đều COE = 60 0 và DOE = 60 0 * Ba góc O 1 = O 2 = O 3 = 60 0 (ở tâm ) Vậy BD = DE = EC D/BÀI TẬP TỰ LUYỆN Cho hai đường tròn (O;R) và (O,r) đồng tâm ở O .Điểm M ngoài (O;R) .Qua M vẽ hai tiếp tuyến với (O,r) , một cắt (O,R) tại A và B (A nằm giữa M và B ) một cắt (O,R) tại C và D (C nằm giữa D và M) .Chứng minh AB = CD ********* 1 O A B C D M N m O B A H Tiết 2 : LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY A- LÝ THUYẾT : O D O D B A C C B A B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG : vận dụng sự liên hệ giữa cung và dây cung để so sánh độ lớn của các cung . C- BÀI TẬP : Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB . Từ A và B vẽ hai dây AC song song BD . Qua O vẽ đường vuông góc với AC tại M và BD tại N . So sánh hai cung AC và BD . H.dẫn : * Chứng minh ∆ AMO = ∆ BNO . * Suy ra : OM = ON . * Từ đó : AC = BD . * Vậy AC = BD Bài 2 : Dây cung AB chia đường tròn tâm O thành 2 cung AmB = 1/3 AnB . a) Tính mỗi cung ( theo độ ) . b) CMR : Khoảng cách OH từ tâm O đến dây bằng AB/2 . H.dẫn: * Sđ AmB = 360 0 /4 = 90 0 . * Sđ AnB = 3.90 0 = 270 0 . * Tam giác OAB vuông tại O (góc AOB = 90 0 ). * OH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên OH = AB/2 D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB = 2CD . Chứng minh AB < 2 CD . H.dẫn : * Vẽ cung DD’ = cung CD về phía D .Ta có CD’ = 2 CD = AB Suy ra CD’ = AB .Xét bất đẳng thức về cạnh của tam giác CDD’ có CD’ < CD + DD’ . Do đó AB < 2CD ******* 2 AB = CD ⇔ AB = CD AB < CD ⇔ AB < CD O B A C E O B A C D Tiết 3 GÓC NỘI TIẾP . A- LÝ THUYẾT : O O O B A C M B N A C B C A H1: * BAC = ½ BOC H2: MAN = MBN = MCN H3: BAC = 1V * BAC = ½ sđ BC B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG : Vận dụng góc nội tiếp để tính các góc , số đo của các cung , chứng minh hệ thức , chứng minh sự thẳng hàng C- BÀI TẬP : Bài 1 : Cho đường tròn (O) . Hai bán kính OA ⊥ OB và sđ AC : sđ BC = 4/5 . Tính các góc của tam giác ABC . H.dẫn : * Góc AOB = 90 0 => sđ AB = 90 0 . * Góc ACB = sđ AC + sđ CB = 360 0 – 90 0 = 270 0 . * Theo giả thiết thì sđ AC : sđ BC = 4/5 Hay (sđ AC + sđ BC ) : sđ BC = 9/5 . Suy ra sđ BC = 150 0 . Và sđ AC = 270 0 – 150 0 = 120 0 Vậy A = 75 0 ; B = 60 0 ; C = 45 0 Bài 2 : Cho đường tròn (O) đường kính AB vuông góc dây CD tại E .Chưng minh CD 2 = 4AE.BE . H.dẫn : * AB ⊥ CD => EC = ED . * Góc ACB = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) . * Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CAB có CE 2 = AE.EB . Mà CE = ½ CD. Suy ra : CE 2 =(½ CD) 2 = ¼ CD 2 Hay 4CE 2 = CD 2 .Vậy CD 2 = 4 AE.BE . D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Cho tam giác ABC cân tại A và góc A = 50 0 . Nửa đường tròn đường kính AC cắt AB tại D và cắt BC tại H . Tính số đo các cung AD ; DH và HC . ******* 3 x O A B O M A B C M C A B D I Tiết 4 GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG . A-LÝ THUYẾT : B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG Vận dụng để so sánh độ lớn của các góc với nhau , tính góc , tính độ dài của đoạn thẳng hoặc để chứng minh đẳng thức về góc . D- BÀI TẬP . Bài 1 : Cho đường tròn tậm O . Ba điểm A,B,C trên (O) .Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến tại A ở M . So sánh AMC với ABC và ACB ? H.dẫn : * ABC = BAM + AMC (góc ngoài tam giác) . * ACB = BAM (góc nội tiếp chắn cung BA) . * Suy ra AMC = ABC – ACB . Bài 2 : Cho đường tronø (O,R) .Hai đường kính AB và CD vuông góc nhau .Gọi I là một điểm trên cung AC , vẽ tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài tại M sao cho IC = CM . a) Tính AOI . b) Tính độ dài đoạn OM . H.dẫn : a) Tính AOI . * CI = CM (gt) ⇒ ∆ CMI cân tại C và CIM = CMI .(1) * AOI = CMI (góc có cạnh tương ứng vuông góc ) (2) * Từ (1) và (2) ⇒ AOI = CIM . * AOI = sđAI và CIM = ½ sđCI ⇒ sđ CI = 2sđAI . * Vậy sđAI = 1/3 sđ AC = 30 0 .Do đó AOI = 30 0 . b) Tính OM *Ta co ù IOM = 90 0 – AOI = 60 0 . * Tam giác vuông IOM có góc 60 0 là nửa tam giác đều . Vậy OM = 2OI = 2R E- BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Cho hai đường tròn (O) > (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A .Qua A vẽ cát tuyến BD và CE (B,C ∈ (O’) ; D,E ∈ (O)).Chứng minh ABC = ADE . H.dẫn : * Vẽ tiếp tuyến chung xy qua A . * xAC = yAE(đối đỉnh) . * xAC = ABC = ½ sđAC và yAE = ADE = ½ sđAE. * Suy ra ABC = ADE . 4 BAx = ½ BOA = ½ sđ AB I O D C A B 4 0 I B A O M C D x 4 0 7 0 E A B O M C D Tiết 5 GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG HAY BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN . A-LÝ THUYẾT : 1) Đỉnh bên trong đường tròn : 2) Đỉnh bên ngoài đường tròn . I D B B O O O M M M A C A D B A M = ½ Sđ(BD – AC) M = ½ sđ(AD – AB) M = ½ sđ ( AIB – AnB) B-PHƯƠNG PHÁP CHUNG . Vận dụng số đo của các góc , các cung , so sánh các góc , các cung . C-BÀI TẬP . Bài 1 : Cho 4 điểm A,B,C,D theo thứ tự trên đường tròn tâm (O) sao cho sđ AB = 40 0 , sđCD = 120 0 . Gọi I là giao điểm của AC và BD ; M là giao điểm của DA và CB kéo dài . Tính CID và ANB . H.dẫn : * CID = ½ sđ (AB + CD ).= ½ (40 0 +120 0 ) = 80 0 . * AMB = ½ sđ (CD - AB ).= ½ (120 0 -40 0 ) = 40 0 Bài 2 : Cho đường tròn (O) . Từ một điểm M ngoài (O) ta vẽ cát tuyến MAC và MBD sao cho góc CMD = 40 0 . Gọi E là giao điểm AD và BC .Biết góc AEB = 70 0 .Tính số đo AB và CD . H.dẫn :* Đặt sđ AB = x và sđCD = y . * AEB = ½ (x+y ) ⇒ x + y = 140 0 (1) *CMD = ½ (y – x) ⇒ y – x = 80 0 (2) . Giải hệ pt gồm (1) và (2) ta được : x = 30 và y = 110 *Vậy sđAB = 30 0 ; sđ CD = 110 0 . D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Cho đường tròn (O) và điểm M ngoài (O) . Vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC đi qua O (B nằm giữa M và C ) . Đường tròn đường kính MB gặp MA tại E .Chứng minh : sđ AnC = sđBIA +sđBKE . H.dẫn :* Với (O) thì M = ½ sđ (AnC – AIB) (1) *Với (O’) thì M = ½ sđ BKE (2) . 5 BID = ½ sđ (BD + AC) * So saùnh (1) vaø (2) ⇒ sñ AnC = sñBIA +sñBKE 6 O A B D C I B C A H K F x y 1 2 O B A C D B O M A C I Tiết 6 TỨ GIÁC NỘI TIẾP . A- LÝ THUYẾT . 1) Thuận : Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇒ A + C = 180 0 . B + D = 180 0 . 2) Đảo : Tứ giác ABCD có A + C = 180 0 . Hoặc B + D = 180 0 ⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn . 3) Các tứ giác nội tiếp được đường tròn . O O O A B D C A B D C A D B C B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG Vận dụng tính chất thuận , đảo của tứ giác nội tiếp và các tứ giác đặc biệt đã học để chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn . C- BÀI TẬP . Bài 1 : Cho tam giác ABC (AB > AC) .Vẽ 3 đường cao AH ,BK,CF và I là trực tâm .Nêu tên các tứ giác nội tiếp đường tròn khi nối KH,HF và FK . H.dẫn : Các tứ giác AFIK ; CHIK ; BHKA ; BHIF ; AFHC; BFKC. Nội tiếp được trong đường tròn Bài 2 : Cho góc nhọn xOy . Trên cạnh Ox lấy hai điểm A,B sao cho OA = 2cm ; OB = 6cm .Trên cạnh Oy lấy hai điểm C,D sao cho OC = 3cm , OD = 4cm .Nối BD và AC . Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn . H.dẫn : * Xét ODBOAC ∆≈∆ vì góc O chung . 2 1 6 3 2 1 4 2 ==== OB OC va OD OA Do đó B = C 1 Mà C 1 +C 2 = 180 0 Suy ra C 2 + B = 180 0 Vậy tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN . Cho đường tròn tâm O và điểm A thuộc (O) . Từ M trên tiếp tuyến tại A vẽ cát tuyến MBC .Gọi I là trung điểm dây BC .Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp đường tròn . H.dẫn : Nối OI .Ta có OI ⊥ BC (tính chất đường kính qua trung điểm dây cung) .Suy ra OIM = 90 0 . Vậy tứ giác AMOI là tứ giác nội tiếp . *** 7 R r G A F E B C D H k R r O B A C I K H Tiết 7 ĐA GÍAC ĐỀU NỘI VÀ NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN A-LÝ THUYẾT . 1) Tính chất : Bất kỳ đa giác đều nào cũng có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp . Hai đường tròn này đồng tâm . 2) * Tâm O còn gọi là trâm của đa giác đều . * OH : bán kính đtnội tiếp(trung đoạn của đa giác đều) . 3) + Chu vi đa giác đều : 2p = n.a (p : nửa chu vi ; n: số cạnh đa giác đều; a: độ dài cạnh đa giác đều) + Bán kính R của đt ngoại tiếp : + Bán kính r của đt nội tiếp R = n a 0 180 sin2 + r = n tg a 0 180 2 4) Tam giác đều , tứ giác đều , lục giác đều nội tiếp . R r R R R r O O O B C A H A C B D H A B C D E F H a= R 3 a = R 2 a = R r = 2 R r = 2 2R r = 2 3R B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG Vận dụng tính chất đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn để vẽ hình , tính bán kính đt nội tiếp và ngoại tiếp ; chứng minh được đa giác đều , tính cạnh và góc của đa giác đều . C- BÀI TẬP . Cho tam giác đều ABC có cạnh 6cm . a) Vẽ đt ngoại tiếp tam giác ABC . b) Vẽ đt nôïi tiếp tam giác ABC . c) Tính bán kính R của đt ngoại tiếp và bán kính r của đt nội tiếp H.dẫn : a) Tâm O (tâm của đt ngoại tiếp tam giác ABC ) là giao điểm 3 trung trực của 3 cạnh b) Tââm O (Tâm đt nôïi tiếp tam giác ABC ) là giao điểm 3 đường phân giác trong Tâm O là tâm chung của cả 2 đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp . c) OA = R = 2/3 AH = 2/3. 32 2 36 = cm . OH = r = 1/3AH = 1/3. 3 2 36 = cm . D-BÀI TẬP TỰ LUYỆN . Cho đường tròn (O,R) . 8 a) Nêu cách vẽ hình vuông nội tiếp . b) Tính trung đoạn hình vuông theo R . H.dẫn : a) Vẽ 2 đường kính AC BD , nối các đầu đường kính với nhau ; ABCD là hình vuông cần vẽ . b) Trung đoạn OH = R 2 2 ******************************** Tiết 8 KIỂM TRA CHỦ ĐỀ IV Bài 1 :(4điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây CD .Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD , cắt AB tại I .Các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt đường thẳng CD theo thứ tựtại E và F . Chứng minh rằng : a) Các tứ giác AECI và BFCI nội tiếp được . b) ∆ IEF = ∆ CAB , từ đó suy ra ∆ IEF vuông . Bài 2 :(6 điểm) Từ một điểm M ở bên ngoài (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn .Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C .Vẽ CD ⊥ AB ,CE ⊥ MA , CF ⊥ MB .Gọi I là giao điểm của AC và DE , K là giao điểm của BC và DF .Chứng minh rằng : a) Các tứ giác AECD , BFCD nội tiếp được . b) CD 2 = CE.CF. c) Tứ giác ICKD nội tiếp được . d) IK ⊥ CD . ****************** 9 . AmB = 360 0 /4 = 90 0 . * Sđ AnB = 3 .90 0 = 270 0 . * Tam giác OAB vuông tại O (góc AOB = 90 0 ). * OH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên OH = AB/2. = 90 0 => sđ AB = 90 0 . * Góc ACB = sđ AC + sđ CB = 360 0 – 90 0 = 270 0 . * Theo giả thiết thì sđ AC : sđ BC = 4/5 Hay (sđ AC + sđ BC ) : sđ BC = 9/ 5