Bµi 3: Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E & AB cắt CD tại F, Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn là: EA.ED + FA.FB = EF2.. chø[r]
(1)Sở giáo dục và đào tạo Hng yªn kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt chuyªn N¨m häc 2009 – 2010 M«n thi: To¸n đề chính thức (Dµnh cho thÝ sinh thi vµo c¸c líp chuyªn To¸n, Tin) Thêi gian lµm bµi: 150 phót Bµi 1: (1,5 ®iÓm) Cho a : 1 1 Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - là nghiệm Bµi 2: (2,5 ®iÓm) x 16 xy y a) Giải hệ phương trình: xy y x b) Tìm m để phương trình x 2x 3x 6x m có nghiệm phân biệt Bµi 3: (2,0 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu sè nguyªn k lín h¬n tho¶ m·n k vµ k 16 lµ c¸c sè nguyªn tè th× k chia hÕt cho b) Chứng minh a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có p là nửa chu vi thì p a p b p c 3p Bµi 4: (3,0 ®iÓm) Cho ®êng trßn t©m O vµ d©y AB kh«ng ®i qua O Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB nhỏ D là điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B) DM cắt AB C Chứng minh r»ng: a) MB.BD MD.BC b) MB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD c) Tổng bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi Bµi 5: (1,0 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD LÊy E, F thuéc c¹nh AB; G, H thuéc c¹nh BC; I, J thuéc c¹nh CD; K, M thuéc c¹nh DA cho h×nh c¹nh EFGHIJKM cã c¸c gãc b»ng Chøng minh độ dài các cạnh hình cạnh EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ HÕt -Hä vµ tªn thÝ sinh:…………………… ……….…… Sè b¸o danh: ….….………Phßng thi sè: … … Ch÷ ký cña gi¸m thÞ …………… ….…… … Lop10.com (2) ĐỀ THI CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH 2009-2010 VÒNG 1(120 phút) Câu : Cho phương trình x2 – (2m – 3)x + m(m – 3) = ,với m là tham số 1, Với giá trị nào m thì phương trình đã cho có nghiệm phân biệt 2, Tìm các giá trị để phương trình đã cho có nghiệm u, v thỏa mãn hệ thức u2 + v2 = 17 Câu : x y x y 23 1, Giải hệ phương trình x y xy 11 2,Cho các số thực x, y thõa mãn x ≥ 8y > 0,Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức : P x y x 8y Câu : Cho đường tròn (O1; R1) và (O2; R2) cắt hai điểm I, P.Cho biết R1 < R2 và O1, O2 khác phía đường thẳng IP Kẻ đường kính IE,IF tương ứng (O1; R1) và (O2; R2) 1, Chứng minh : E, P, F thẳng hàng 2, Gọi K là trung điểm EF, Chứng minh O1PKO2 là tứ giác nội tiếp 3, Tia IK cắt (O2; R2)tại điểm thứ hai là B,đường thẳng vuông góc với IK I cắt (O1; R1) điểm thứ hai là Chứng minh IA = BF SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2008-2009 KHÓA NGÀY 18-06-2008 Lop10.com (3) ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4 điểm): a) Tìm m để phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m – 4) = có hai nghiệm x1, x2 thoả |x1 – x2| = 17 2x m b) Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm mx Câu 2(4 điểm): Thu gọn các biểu thức sau: a b c a) S = (a, b, c khác đôi một) (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) b) P = x x 1 x x 1 x 2x x 2x (x ≥ 2) Câu 3(2 điểm): Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c Chứng minh rằng: a) a2 + b2 + c2 + d2 là tổng ba số chính phương b) bc ≥ ad Câu (2 điểm): a) Cho a, b là hai số thực thoả 5a + b = 22 Biết phương trình x2 + ax + b = có hai nghiệm là hai số nguyên dương Hãy tìm hai nghiệm đó b) Cho hai số thực cho x + y, x2 + y2, x4 + y4 là các số nguyên Chứng minh x3 + y3 là các số nguyên Câu (3 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB Từ điểm C thuộc đường tròn (O) kẻ CH vuông góc với AB (C khác A và B; H thuộc AB) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường tròn (O) D và E Chứng minh DE qua trung điểm CH Câu (3 điểm): Cho tam giác ABC có cạnh Trên cạnh AC lấy các điểm D, E cho ABD = CBE = 200 Gọi M là trung điểm BE và N là điểm trên cạnh BC BN = BM Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN Câu (2 điểm): Cho a, b là hai số thực cho a3 + b3 = Chứng minh < a + b ≤ -oOo - Gợi ý giải đề thi môn toán chuyên Câu 1: a) = (4m + 1)2 – 8(m – 4) = 16m2 + 33 > với m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Ta có: S = –4m – và P = 2m – Do đó: |x1 –x2| = 17 (x1 – x2)2 = 289 S2 – 4P = 289 (–4m – 1)2 – 4(2m – 8) = 289 16m2 + 33 = 289 Lop10.com (4) 16m2 = 256 m2 = 16 m = Vậy m thoả YCBT m = (a) 2x m b) (b) mx m 1 Ta có: (a) x ≥ Xét (b): * m > 0: (b) x ≥ m * m = 0: (b) 0x ≥ (VN) * m < 0: (b) x ≤ m m m Vậy hệ có nghiệm m m = –1 m m m Câu 2: a b c (a, b, c khác đôi một) (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a(c b) b(a c) c(b a) ac ab ba bc cb ca = = = (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) a) S = b) P = = = = x x 1 x x 1 (x ≥ 2) x 2x x 2x ( x 1)2 ( x 1)2 2x 2x 2x 2x x 1 1 x 1 1 ( 2x 1)2 ( 2x 1)2 x 1 1 x 1 1 2x 2x = x x 1 = x 1 2x ( 2x 1) (vì x ≥ nên x và 2x ≥ 1) Câu 3: Cho a, b, c, d là các số nguyên thoả a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c a) Vì a ≤ b ≤ c ≤ d nên ta có thể đặt a = b – k và d = c + h (h, k N) Khi đó a + d = b + c b + c + h – k = b + c h = k Vậy a = b – k và d = c + k Do đó: a2 + b2 + c2 + d2 = (b – k)2 + b2 + c2 + (c + k)2 = 2b2 + 2c2 + 2k2 – 2bk + 2ck = b2 + 2bc + c2 + b2 + c2 + k2 – 2bc – 2bk + 2ck + k2 Lop10.com (5) = (b + c)2 + (b – c – k)2 + k2 là tổng ba số chính phương (do b + c, b – c – k và k là các số nguyên) b) Ta có ad = (b – k)(c + k) = bc + bk – ck – k2 = bc + k(b – c) – k2 ≤ bc (vì k N và b ≤ c) Vậy ad ≤ bc (ĐPCM) Câu 4: a) Gọi x1, x2 là hai nghiệm nguyên dương phương trình (x1 ≤ x2) Ta có a = –x1 – x2 và b = x1x2 nên 5(–x1 – x2) + x1x2 = 22 x1(x2 – 5) – 5(x2 – 5) = 47 (x1 – 5)(x2 – 5) = 47 (*) Ta có: –4 ≤ x1 – ≤ x2 – nên x x (*) x 47 x 52 Khi đó: a = – 58 và b = 312 thoả 5a + b = 22 Vậy hai nghiệm cần tìm là x1 = 6; x2 = 52 b) Ta có (x + y)(x2 + y2) = x3 + y3 + xy(x + y) (1) 2 x + y = (x + y) – 2xy (2) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 (3) 2 Vì x + y, x + y là số nguyên nên từ (2) 2xy là số nguyên Vì x2 + y2, x4 + y4 là số nguyên nên từ (3) 2x2y2 = (2xy)2 là số nguyên (2xy)2 chia hết cho 2xy chia hết cho (do là nguyên tố) xy là số nguyên Do đó từ (1) suy x3 + y3 là số nguyên Câu 5: Ta có: OC DE (tính chất đường nối tâm CKJ và COH đồng dạng (g–g) CK.CH = CJ.CO (1) 2CK.CH = CJ.2CO = CJ.CC' mà CEC' vuông E có EJ là đường cao CJ.CC' = CE2 = CH2 2CK.CH = CH2 2CK = CH K là trung điểm CH C E K J D A B O H C' Câu 6: Kẻ BI AC I là trung điểm AC Ta có: ABD = CBE = 200 DBE = 200 (1) ADB = CEB (g–c–g) BD = BE BDE cân B I là trung điểm DE mà BM = BN và MBN = 200 BMN và BDE đồng dạng A D I E M Lop10.com B N C (6) S BM BMN S BED BE SBNE = 2SBMN = S BDE = SBIE Vậy SBCE + SBNE = SBCE + SBIE = SBIC = S ABC Câu 7: Cho a, b là hai số thực cho a3 + b3 = Chứng minh < a + b ≤ Ta có: a3 + b3 > a3 > –b3 a > – b a + b > (1) (a – b)2(a + b) ≥ (a2 – b2)(a – b) ≥ a3 + b3 – ab(a + b) ≥ a3 + b3 ≥ ab(a + b) 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b) 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 ≥ (a + b)3 a + b ≤ (2) Từ (1) và (2) < a + b ≤ oOo -ĐỀ THI VÀO LỚP 10 PTNK 2008 - 2009 MÔN TOÁN AB (chung cho các lớp Toán, Tin, Lý, Hoá, Sinh) x mx 2m 2m 1x x 2m a)Giải phương trình (1) m = -1 b)Tìm tất các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu Cho phương trình: (1) 2x – – x – 1 2x – x 2y 4xy b)Giải hệ phương trình: x 2xy Câu a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x ( với x > 1): Câu a) Giải phương trình: A= x x 4x x x x – x 1x x x x x 3 b) Cho a, b, c là các số thực khác và thoả mãn điều kiện: a + 2b – 3c = bc + 2ac – 3ab = Chứng minh rằng: a = b = c Câu Cho tứ giác nội tiếp ABCD có góc A nhọn và hai đường chéo AC, BD vuông góc Gọi M là giao điểm AC và BD, P là trung điểm CD và H là trực tâm tam giác ABD a) Hãy xác định tỉ số PM:DH b) Gọi N và K là chân đường cao kẻ từ B và D tam giác ABD; Q là giao điểm hai đường thẳng KM và BC Chứng minh MN = MQ c) Chứng minh tứ giác BQNK nội tiếp Câu Một nhóm học sinh cần chia lượng kẹo thành các phần quà để tặng cho các em nhỏ đơn vị nuôi trẻ mồ côi Nếu phần quà giảm viên kẹo thì các em có thêm phần quà nữa, Lop10.com (7) còn phần quà giảm 10 viên kẹo thì các em có thêm 10 phần quà Hỏi nhóm học sinh trên có bao nhiêu viên kẹo? GIAÛI x x2 3x ÑK : x Câu 1: Vơi m = - thì (1) trở thành: x2 x + = - 3x + (vì x2 – x – = (x + 1)(x – 2)) x = (thoûa) b) ÑK: x ≠ - 2m, (1) coù theå vieát: x m x 2m x 2m 2m 1x x – m = (2m – 1)x + 2(1 – m)x = + m (2) (1) coù nghieäm (2) coù nghieäm khaùc – 2m 1 m m m x m 2m 3 2m 2m m m m Caâu 2: a) Phöông trình coù theå vieát laïi: được: 2x x ñk :x Bình phöông veá , thu goïn 2x x Điều kiện x ≥ 2, bình phương vế phương trình 2x – = x2 – 4x + hay x2 – 6x + = x = 1(loại) x = (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm x = b) Phân tích phương trình thành (x – 2y)(2x – 1) = x = 2y 2x – = x 2y 2x Giaûi heä x 2xy x 2xy x 1 x x y x 2y 2 2 x 4y 4y y 15 y 15 y 2 15 Vậy hệ đã cho có nghiệm: 2; ; 2; ; ; Câu 3: a) với x > 1: x x x 3x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 A 1 x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x b) a + 2b – 3c = a – c = 2(c – b) (1) bc + 2ac – 3ab = bc – ab + 2ac – 2ab = b (c – a) + 2a( c – b) = (2) (1), (2) b( c – a) + a(a – c) = (c – a)(b – a) = c = a a = b Neáu c = a thì (1) c = b Vaäy a = b = c Neáu a = b thì (1) 3b – c = b = c Vaäy a = b = c Q C / Lop10.com B M P D (8) Caâu 4: A A A ; BDH A A A A A a) CDB CAB cuøng chaén BC CAB cuøng phuï ABD CDB BDH CDH có DM là đường cao vừa là đường phân giác nên là cân DM cuõng laø trung tuyeán MC = MH, maø PC = PD MP là đường trung bình CHD PM:DH = ½ A A A b) ABCD noäi tieáp QCD (1) BAD cuøng buø BCD A A A AKHN noäi tieáp BAD (2) NHD cuøng buø KHN A A DCH caân DCM (3) MHD A A (1), (2), (3) QCM MHN (*) A A A A ABMN noäi tieáp ABN ; BKHM noäi tieáp ABN AMN KMH A A A KMH (**) HMN CMQ MC = MH (***) (*), (**), (***) MCQ = MHN (g.c.g) MQ = MN A A A A A A A c) AKHN noäi tieáp BAH BQNK noäi tieáp KNH,maø BAH BNM KNB BNM BQM Caâu 5: Goïi x laø soá vieân keïo cuûa moãi phaàn quaø ÑK: x > 10, x nguyeân y laø soá phaàn quaø maø nhoùm hs coù , y nguyeân döông Toång soá vieân keïo cuûa nhoùm laø xy (vieân) x y 5 xy 5x 6y 30 x 30 Ta coù heä phöông trình: 5x 5y 50 y 20 x 10 y 10 xy Vaäy nhoùm hoïc sinh coù 30 20 = 600 vieân keïo §Ò thi tuyÓn sinh *Trường THPT Nguyễn Trãi ( Hải Dương 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiên) Thêi gian: 150 phót Bµi (3 ®iÓm) Cho biÓu thøc A= x x x x 4 1 x2 x 1) Rót gän biÓu thøc A 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là số nguyên Lop10.com (9) Bµi 2.( ®iÓm) 1) Gọi x và x là hai nghiệm phương trình x2 -(2m-3)x +1-m = Tìm các giá trị m để: x 2+ x 2 +3 x x (x + x ) đạt giá trị lớn 2) Cho a,b lµ c¸c sè h÷u tØ tho¶ m·n: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003 Chứng minh phương trình: x2 +2x+ab = có hai nghiệm hữu tỉ Bµi ( ®iÓm) 1) Cho tam gi¸c c©n ABC, gãc A = 1800 TÝnh tØ sè BC AB 2) Cho h×nh qu¹t trßn giíi h¹n bëi cung trßn vµ hai b¸n kÝnh OA,OB vu«ng gãc víi Gäi I lµ trung ®iÓm cña OB, ph©n gi¸c gãc AIO c¾t OA t¹i D, qua D kÎ ®êng th¼ng song song víi OB c¾t cung ë C TÝnh gãc ACD Bµi ( ®iÓm) Chứng minh bất đẳng thức: | a b a c | | b-c| víi a, b,c lµ c¸c sè thùc bÊt k× Trường khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150’) Bµi ( ®iÓm) cho biÓu thøc: P(x) = 2x x 3x x 1) Tìm tất các giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 2) Chøng minh r»ng nÕu x > th× P(x).P(-x) < Bµi ( ®iÓm) 1) cho phương trình: x 2(2m 1) x 3m 6m (1) x2 a) Giải phương trình trên m = b) Tìm tất các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x và x thoả mãn x +2 x =16 Lop10.com (10) 2) Giải phương trình: 2x 1 2 1 x 2x Bµi (2 ®iÓm) 1) Cho x,y lµ hai sè thùc tho¶ m·n x2+4y2 = Chøng minh r»ng: |x-y| 2) Cho ph©n sè : A= n2 n5 Hái cã bao nhiªu sè tù nhiªn tho¶ m·n n 2004 cho A lµ ph©n sè cha tèi gi¶n Bµi 4( ®iÓm) Cho hai ®êng trßn (0 ) vµ (0 ) c¾t t¹i P vµ Q TiÕp tuyÕn chung gÇn P h¬n cña hai ®êng trßn tiÕp xóc víi (0 ) t¹i A, tiÕp xóc víi (0 ) t¹i B TiÕp tuyÕn cña (0 ) t¹i P c¾t (0 ) t¹i ®iÓm thø hai D kh¸c P, ®êng th¼ng AP c¾t ®êng th¼ng BD t¹i R H·y chøng minh r»ng: 1)Bèn ®iÓm A, B, Q,R cïng thuéc mét ®êng trßn 2)Tam gi¸c BPR c©n 3)§êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c PQR tiÕp xóc víi PB vµ RB Bµi (1 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC cã BC < CA< AB Trªn AB lÊy D, Trªn AC lÊy ®iÓm E cho DB = BC = CE Chøng minh r»ng kho¶ng c¸ch gi÷a t©m ®êng trßn néi tiÕp vµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC b»ng b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ADE Trường Trần Đại Nghĩa - TP HCM (n¨m häc: 2004- 2005 thêi gian: 150 phót ) Câu Cho phương trình x +px +1 = có hai nghiệm phân biệt a , a và phương trình x2 +qx +1 = cã hai nghiÖm ph©n biÖt b ,b Chøng minh: (a - b )( a - b )( a + b b +b ) = q2 - p2 C©u 2: cho c¸c sè a, b, c, x, y, z tho¶ m·n x = by +cz y = ax +cz z = ax +by ; víi x + y+z Chøng minh: 1 2 1 a 1 b 1 c 10 Lop10.com (11) C©u 3: a) T×m x; y tho¶ m·n 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= b) Cho các số dương x;y;z thoả mãn x3+y3+z3 =1 Chøng minh: x2 1 x2 y2 1 y2 z2 1 z2 2 Câu Chứng minh không thể có các số nguyên x,y thoả mãn phương trình: x3-y3 = 1993 Chuyªn Lª Quý §«n _ tØnh B×nh §Þnh (n¨m häc 2005-2006, m«n chung, thêi gian:150’) C©u 1(1®): tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A= 1 1 víi a= vµ b= a 1 b 1 2 2 C©u 2(1.5®): Gi¶i pt: x 4x x C©u 3(3®): Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) và hai điểm A,B thuộc (P) có hoành độ là -1 và a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho tam giác MAB cã diÖn tÝch max C©u4(3,5®): 11 Lop10.com (12) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) vµ cã trùc t©m H Ph©n gi¸c cña gãc A c¾t ®êng trßn (O) t¹i M KÎ ®êng cao Ak cña tam gi¸c.Chøng minh: a) ®êng th¼ng OM ®i qu trung ®iÓm N cña BC b) c¸c gãc KAM vµ MAO b»ng c) AH=2NO C©u (1®): tÝnh tæng: S= 1.2 +2.3 + 3.4 + …+n(n+1) Đề thi vào chuyên 10( Hải Dương) thêi gian: 150’ Bài 1(3) Giải phương trình: 1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27 2) 1 x( x 2) ( x 1) 20 Bài 2(1) Cho số thực dương a,b,c và ab>c; a3+b3=c3+1 Chứng minh a+b> c+1 Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau: x+y=a, x3+y3=b3,x5+y5=c5 Tìm đẳng thức liên hệ a,b,c không phụ thuộc x,y Bài 4(1,5) Chứng minh phương trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm là số hữu tØ víi mäi sè nguyªn n Bµi 5(2,5) Cho ®êng trßn t©m O vµ d©y AB( AB kh«ng ®i qua O) M lµ ®iÓm trªn ®êng trßn cho tam gi¸c AMB lµ tam gi¸c nhän, ®êng ph©n gi¸c cña gãc MAB vµ gãc MBA c¾t đường tròn tâm O P và Q Gọi I là giao điểm AP và BQ 12 Lop10.com (13) 1) Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ 2) Chøng minh tiÕp tuyÕn chung cña ®êng trßn t©m P tiÕp xóc víi MB vµ ®êng trßn t©m Q tiếp xúc với MA luôn song song với đường thẳng cố định M thay đổi *Chuyªn tØnh Bµ §Þa · Vòng Tµu (2004-2005) thêi gian:150 phót Bµi 1: 1/giải phương trình: x x 2x 4 2x 2/chøng minh kh«ng tån t¹i c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n: x3+y3+z3 =x +y+z+2005 Bµi 2: Cho hệ phương trình: x +xy = a(y – 1) y +xy = a(x-1) 1/ gi¶i hÖ a= -1 2/ tìm các giá trị a để hệ có nghiệm Bµi 3: 13 Lop10.com (14) 1/ cho x,y,z lµ sè thùc tho¶ m·n x2+ y2+z2 =1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =2xy +yz+ zx 2/ Tìm tất các giá trị m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0 Bµi 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , D là điểm trên cung BC không chứa đỉnh A Gọi I,K và H là hình chiếu cuả D trên các đường thẳng BC,AB,và AC Đường thẳng qua D song song víi BC c¾t ®êng trßn t¹i N ( N# D); AN c¾t BC t¹i M Chøng minh: 1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM 2/ BC AB AC DI DK DH Chuyªn to¸n- tin tØnh Th¸i B×nh (2005-2006,150 phót) Bµi (3®): Gi¶i pt: x 3x x Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đường thẳng y= 2x +1 điểm M(x;y) thoả m·n ®iÒu kiÖn: y2 – 5y x +6x = Bµi 2(2,5®): Cho pt: (m+1)x2 – (m-1)x +m+3 = (m lµ tham sè) tìm tất các giá trị m dể pt có nghiệm là số nguyên Cho ba số x,y,z Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz Chứng minh các phương trình sau có nghiệm: t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0 Bµi 3(3®) Cho tam gi¸c ABC Gọi M là trung điểm AC Cho biết BM = AC Gọi D là điểm đối xứng B qua A, E là điểm đối xứng M qua C chứng minh: DM vuông góc với BE LÊy mét ®iÓm O bÊt kú n»m tam gi¸c ABC C¸c tia AO,BO,CO c¾t c¸c c¹nh BC,CA,AB theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm D,E,F chøng minh: a) OD OE OF =1 AD BE CF 14 Lop10.com (15) AD BE CF b) 1 1 1 64 OD OE OF Bµi 4(0.75®) xÐt c¸c ®a thøc P(x)= x3+ ax2 +bx +c Q(x)=x2 +x + 2005 Biết phương trình P(x)=0 có nghiệm phân biệt, còn pt P(Q(x)) =0 vô nghiệm Chøng minh r»ng P(2005)>1/64 Bµi (0,75®) Cã hay kh«ng 2005 ®iÓm ph©n biÖt trªn mÆt ph¼ng mµ bÊt kú ba ®iÓm nµo chóng tạo thành tam giác có góc tù Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Hải Dương (2004-2005) thêi gian :150’ Bµi 1: (3®) Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*) 1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm: a) A(-1;3), b) B( ; -1), c) C(1/2; 5) 2/ thay m=0 Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (*) với đồ thị hàm số y= x+1 Bµi 2: (3®) Cho hệ phương trình: (m-1)x + y = m x + (m-1)y =2 gọi nghiệm hệ phương trình là (x;y) 1/ Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào m 2/ T×m gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 2x2 -7y =1 3/ Tìm các giá trị m để biểu thức 2x 3y nhËn gi¸ trÞ nguyªn x y Bµi (3®) 15 Lop10.com (16) Cho tam gi¸c ABC ( Aˆ 90 ) Tõ B dùng ®o¹n th¼ng BD vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c ABC cho BC=BD vµ ABˆ C CBˆ D ; gäi I lµ trung ®iÓm cña CD; AI c¾t BC t¹i E Chøng minh: CAˆ I DBˆ I ABE lµ tam gi¸c c©n AB.CD = BC.AE Bµi 4: (1®) tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A= x x 3x x4 x 11 víi x x x 1 Trường Chu Văn An và HN ã AMSTERDAM(2005 – 2006) (dµnh cho chuyªn To¸n vµ chuyªn Tin; thêi gian :150’) Bµi 1: (2®) Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) – abc víi a,b,c lµ c¸c sè nguyªn Chøng minh nÕu a +b +c chia hÕt cho th× P chia hÕt cho Bµi 2(2®) Cho hệ phương trình: (x+y) +13 = 6x2y2 + m xy(x 2+y2)=m GiaØ hÖ víi m= -10 Chứng minh không tồn giá trị tham số m để hệ có nghiệm nhất./ Bµi (2®): Ba số dương x, y,z thoả mãn hệ thức , xÐt biÓu thøc P = x + y2+ z3 x y z Chøng minh P x+2y+3z-3 2.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Bµi (3®): Cho tam gi¸c ABC, lÊy ®iÓm D,E,F theo thø tù trªn c¸c c¹nh BC,CA,AB cho AEDF lµ tø gi¸c néi tiÕp Trªn tia AD lÊy ®iÓm P (D n»m gi÷a A&P) cho DA.DP = DB.DC 16 Lop10.com (17) chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp và tam giác DEF, PCB đồng dạng s ' EF gọi S và S’ là diện tích hai tam giác ABC & DEF, chứng minh: s AD Bµi 5(1®) Cho hình vuông ABCD và 2005 đường thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện: Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vuông Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai phần có tỷ số diện tích là 0.5 Chứng minh 2005 đường thẳng trên có ít 502 đường thẳng đồng quy §Ò thi HS giái TP H¶i Phßng (2004-2005) (to¸n – b¶ng B – thêi gian: 150’) Bµi a) Rót gän biÓu thøc: P= x 2y ( x y) xy x y b)Giải phương trình: x2 x y y (5 (5 10 x x Bµi a) Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông là nghiệm phương trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0 Hãy xác định giá trị m để số đo đường cao ứng với cạnh huyền cña tam gÝac lµ b) T×m Max & Min cña biÓu thøc y= 4x x2 1 Bµi Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O, cã gãc C=450 §uêng trßn ®êng kÝnh AB c¾t các cạnh AC & BC M& N a> chøng minh MN vu«ng gãc víi OC 17 Lop10.com (18) b> chøng minh MN = AB Bµi 4: Cho h×nh thoi ABCD cã gãc B= 600 Mét ®êng th¼ng qua D kh«ng c¾t h×nh thoi, nhng c¾t các đường thẳng AB,BC E&F Gọi M là giao AF & CE Chứng minh đường th¼ng AD tiÕp xóc víi ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MDF Trường Chu Văn An & HN ã AMSTERDAM ( 2005-2006) (dành cho đối tượng , thời gian: 150’) Bµi 1(2®): Cho biÓu thøc P= x x 1 x x x x 1 x x x 1 x 1.Rót gän P T×m x biÕt P= 9/2 Bài 2(2đ): Cho bất phương trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m là tham số) Gi¶i bpt víi m= 1- 2 Tìm m để bpt nhận giá trị x >1 là nghiệm Bµi 3(2®): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d):2x – y –a2 = và parabol (P):y= ax2 (a là tham số dương) Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A&B Chứng minh đó A&B nằm bên ph¶i trôc tung Gọi xA&xB là hoành độ A&B, tìm giá trị Min biểu thức T= x A xB x A xB Bµi 4(3®): Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính cung lớn AB Lấy ®iÓm M bÊt kú trªn cung lín AB, dùng tia Ax vu«ng gãc víi ®êng th¼ng MI t¹i H vµ c¾t tia BM t¹i C Chøng minh c¸c tam gi¸c AIB & AMC lµ tam gÝac c©n 18 Lop10.com (19) Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển trên cung tròn cố định Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMC đạt Max Bµi 5(1®): Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc ACB = ,gãc AMB = Chøng minh r»ng: (sin +cos )2= 1+ sin Thi häc sinh giái TP H¶i Phßng (2004-2005) (To¸n – b¶ng A- thêi gian:150’) Bµi 1: a Rót gän biÓu thøc: P = b Giải phương trình: x y 2 x2 y2 xy 2 x 2 x x y x2 x 2 x 2 x y y Bµi 2: a ( đề bảng B) b Vẽ các đường thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 trên cùng hệ trục toạ độ Chứng minh r»ng h×nh ch÷ nhËt giíi h¹n b¬Ø c¸c ®êng th¼ng trªn kh«ng cã ®iÓm nguyªn nµo thuéc ®êng th¼ng 3x + 5y = Bµi 3: Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC E & AB cắt CD F, Chứng minh điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn là: EA.ED + FA.FB = EF2 Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC c©n ë A, AB =(2/3).BC, ®êng cao AE §êng trßn t©m O néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi AC t¹i F a chøng minh r»ng BF lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ECF b Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF víi (O) Chøng minh: BMOC lµ tø gi¸c néi tiÕp 19 Lop10.com (20) Thi học sinh giỏi tỉnh Haỉ Dương (2004-2005) ( líp 9, thêi gian: 150’) Bµi 1(3,5®): Gọi x1, x2 la nghiệm phương trình x2 + 2004x + = và x3, x4 là nghiệm phương tr×nh x2 + 2005 x +1 =0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: ( x1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2-x4) Cho a,b,c là các số thực và a2 + b2 < Chứng minh:phương trình (a2+b2-1)x2 -2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 lu«n cã nghiÖm Bµi (1,5®): m 1 n 1 lµ sè nguyªn chøng minh r»ng: íc n m mn Cho hai sè tù nhiªn m vµ n tho¶ m·n chung lín nhÊt cña m vµ n kh«ng lín h¬n Bµi (3®): Cho hai ®êng trßn (O1), (O2) c¾t t¹i A & B TiÕp tuyÕn chung gÇn B cña hai ®êng tròn tiếp xúc với (O1), (O2) C & D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD, cắt (O1), (O2) M & N Các đường thẳng BC,BD cắt đường thẳng MN P & Q; c¸c ®ßng th¼ng CM, DN c¾t t¹i E Chøng minh: a §êng th¼ng AE vu«ng gãc víi ®êng th¼ng CD b Tam gi¸c EPQ lµ tam gi¸c c©n Bµi (2®): Giải hệ phương trình: x+y = x + y5 =11 20 Lop10.com (21)