Trường THPT Chiêm Thành Tấn Từ phương trình tham số của , ta có thể suy ra phương trình tổng quát bằng cách khử tham số t giữa hai phương trình.. BÀI TẬP Bài 1:Lập phương trình tổng [r]
(1)Trường THPT Chiêm Thành Tấn PHẦN ĐẠI SỐ A LÝ THUYẾT I Kiến thức bản: Bất đẳng thức, bất phương trình 1.1 Tính chất bất đẳng thức Điều kiện Nội dung a < b và b < c a < c a<b a+c<b+c c>0 c<0 a > 0, c > n nguyên dương Tên gọi Bắc cầu Cộng hai vế bất đẳng thức với số Nhân hai vế bất đẳng thức với a < b ac < bc số a < b ac > bc a < b và c < d a + c < b + d Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều a < b và c < d ac < bd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều n 1 n 1 Nâng hai vế bất đẳng thức a<b a b 2n 2n lên luỹ thừa 0< a < b a b a>0 Khai hai vế bất a<b a b đẳng thức a<b a 3 b 1.2 Các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối x 0, x x, x x x a a x a (a > 0) x a x a x a a b ab a b 1.3 Bất đẳng thức Cô-si ab Đẳng thức ab (a 0, b 0) ab ab xảy a = b 2 Bất phương trình và hệ bất phương trình ẩn Các phép biến đổi bất phương trình Kí hiệu D là tập các số thực thoả mãn điều kiện bất phương trình P(x) < Q(x) a Phép cộng Nếu f(x) xác định trên D thì P(x) < Q(x) P(x) + f(x) < Q(x) + f(x) b Phép nhân Nếu f(x) > 0, x D thì P(x) < Q(x) P(x).f(x) < Q(x).f(x) Nếu f(x) < 0, x D thì P(x) < Q(x) P(x).f(x) > Q(x).f(x) c Phép bình phương Nếu P( x) và Q( x) , x D thì P(x) < Q(x) P ( x) Q ( x) Dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b Lop10.com (2) Trường THPT Chiêm Thành Tấn x f(x)=ax + b Trái dấu với a b a Cùng dấu với a Bất phương trình bậc Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình ax by c(a b 0) Bước 1: Vẽ : ax by c Bước 2: Lấy điểm M ( x0 ; y ) ( thường là gốc toạ độ O) Bước 3: So sánh ax0 by với c Bước 4: Kết luận Nếu ax0 by < c thì nửa mặt phẳng bờ chứa M là miền nghiệm ax by c Nếu ax0 by > c thì nửa mặt phẳng bờ không chứa M là miền nghiệm ax by c Dấu tam thức bậc hai f ( x) ax bx c(a 0) thì với x , f(x) có cùng dấu với hệ số a thì f(x) = với x b b , và với x , f(x) luôn cùng dấu với 2a 2a hệ số a thì f(x) có nghiệm x1 , x ( x1 < x ) và f(x) trái dấu với hệ số a với x thuộc (; x1 ) hay ( x ;) Ta có thể xét dấu tam thức bậc hai trường hợp sau: x f ( x) ax bx c x1 x2 Cùng dấu với a Trái dấu với a Cùng dấu với a Các số đặt trưng 6.1 Số trung bình cộng ( x ) Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ( x1 n1 x n2 x k nk ) f x1 f x f k x k N đó ni , f i là tần số, tần suất giá trị xi x N là các số liệu thống kê ( n1 n2 nk N ) Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp x (c1 n1 c n2 c k nk ) f 1c1 f c f k c k N đó ci , ni , f i là giá trị đại diện, tần số, tần suất lớp thứ i N là các số liệu thống kê ( n1 n2 nk N ) 6.2 Mốt ( M ) Trong bảng phân bố tần số, giá trị có tần số lớn ta gọi là mốt mẫu và kí hiệu M Lop10.com (3) Trường THPT Chiêm Thành Tấn 6.3 Số trung vị ( M e ) Sắp sếp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm ( không tăng): N 1 gọi là số trung vị N N Nếu N chẵn thì trung bình giá trị đứng thứ và là số trung vị 2 6.4 Phương sai ( S x ) Nếu N lẻ thì giá trị đứng thứ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất n1 ( x1 x) n2 ( x x) nk ( x k x) f ( x1 x) f ( x x) f k ( x k x) N đó ni , f i là tần số, tần suất giá trị xi ; N là các số liệu thống kê ( S x2 n1 n2 nk N ); x là số trung bình cộng các số liệu đã cho Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp n1 (c1 x) n2 (c x) nk (c k x) f (c1 x) f (c x) f k (c k x) N đó ci , ni , f i là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i ; N là các S x2 số liệu thống kê ( n1 n2 nk N ); x là số trung bình cộng các số liệu đã cho 6.5 Độ lệch chuẩn ( S x ) S x S x2 II Phương pháp giải các bài toán thường gặp B BÀI TẬP Bài 1: Xét dấu các biểu thức: a f ( x) 2x 4x c f ( x) x x 2x 3x 2 x 3x 1 d f ( x) x2 b f ( x) Bài 2: Giải các bất phương trình: a x c x e 3x x Bài 3: Giải các bất phương trình: b 3x d x x f x a b 3x 2 2x x 1 x c x x2 x2 3x x d (2 x 3) x 3x x Bài 4: Giải các bất phương trình: a x 2x b 1 x ( x 1) c x x4 x3 d x 3x 1 x2 1 Lop10.com (4) Trường THPT Chiêm Thành Tấn Bài 5: Giải các bất phương trình: a x 3x c 16 x 3x e x 2006 x 2005 Bài 6: Giải các bất phương trình: 5x x 1 3x x c ( x 3)( x 3x 2) a b 3x x d x 12 x f 1938 x 68 x 2006 x 2x 0 2x d ( x 1)( x x 5) b Bài 7: Giải hệ bất phương trình: 6 x x a 8x x 2 x 15 x b x 14 2( x 4) Bài 8: Giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn: x y a 2( x 1) y x y c x y 2 x 0, 2 x y 18 b x y x 0, y 2 x y x y d Bài 9: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm trái dấu a x 2(m 4)x - 3m + = b x 3(m 7) x 2m c (m 2) x 2mx 3m Bài 10: Tìm các giá trị tham số m để các phương trình sau vô nghiệm a x 2(m 1) x 2m 3m b x ( 3m 1) x m 3m c (m 4) x (m 1) x 2m Bài 11: Tìm các giá trị tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt a (3m 1) x (3m 1) x m b x 2(m 1) x 2m c (m 1) x (3m 2) x 2m THỐNG KÊ Bài 1: Cho tập hợp các số liệu thống kê sau: 0; 5; 3; 2; 10; 7; 3; 5; 3; 6; 7; 9; 9; 10; 3; 10 a Lập bảng phân bố tần số b Tìm các số trung bình, mốt, số trung vị c Tìm độ lệch chuẩn Bài 2: Thống kê số hàng bán hàng ngày tháng cửa hàng bán giày dép cho bảng sau (đơn vị: đôi) Lop10.com (5) Trường THPT Chiêm Thành Tấn 22 20 19 21 20 24 19 18 22 23 19 18 20 21 22 24 26 20 19 23 20 17 19 22 24 23 24 25 20 21 a Lập bảng phân bố tần số, tần suất b Tính số trung bình cộng c Tính phương sai và độ lệch chuẩn Bài 3: Cho bảng số liệu thống kê Năng suất lúa hè thu ( tạ /ha) năm 1998 31 tỉnh từ Nghệ An trở vào 30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 35 25 45 30 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40 40 35 35 35 35 a Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất b Tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt c Tính độ lệch chuẩn Bài 4: Cho bảng số liệu thống kê Thời gian (phút ) hoàn thành bài tập Toán học sinh lớp 10CB 20,8 20,7 23,1 20,7 20,9 20,9 23,9 21,6 25,3 21,5 23,8 20,7 23,3 19,8 20,9 20,1 21,3 24,2 22,0 23,8 24,1 21,1 22,8 19,5 19,7 21,9 21,2 24,2 24,3 22,2 23,5 23,9 22,8 22,5 19,9 23,8 25,0 22,9 22,8 22,7 a Hãy lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp, với các lớp sau: 19,5;20,5; 20,5;21,5; 21,5;22,5; 22,5;23,5; 23,5;24,5; 24,5;25,5 b.Tính số trung bình cộng c Tính độ lệch chuẩn Bài 5: Điều tra số đĩa CD 80 gia đình, điều tra viên thu bảng tần số - tần suất sau: Lớp Tần số Tần suất 1;10 11;20 29 21 21;30 16 31;40 41;50 51;60 Cộng N=80 a Điền các số vào chổ trống ( ) cột tần suất b Vẽ biểu đồ hình cột tần suất c Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số d Tính số trung bình cộng Bài 6: Theo dõi trọng lượng trẻ sơ sinh bệnh tuần lễ người ta bảng số liệu sau: Trọng lượng(kg) 2,0;2,3 Lop10.com Số em nhóm (6) Trường THPT Chiêm Thành Tấn 2,3;2,6 2,6;2,9 2,9;3,2 3,2;3,5 3,5;3,8 3,8;4,1 4,1;4,4 13 25 35 30 20 16 Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn PHẦN HÌNH HỌC B LÝ THUYẾT I PHẦN 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Kiến thức bản: Định lí Cosin tam giác Trong tam giác ABC đặt BC= a, CA= b, AB=c ta luôn có: a b c 2bc cos A b a c 2ac cos B c a b 2ab cos C Từ định lí trên ta có các hệ sau: b2 c2 a2 2bc a c2 b2 cos B 2ac a b2 c2 cos C 2ab cos A Công thức tính độ dài trung tuyến tam giác 2(b c ) a 2(a c ) b mb2 2 ( a b2 ) c2 m c2 m a2 Định lí sin tam giác Với tam giác ABC, ta luôn có: a b c 2R sin A sin B sin C (R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Diện tích tam giác Lop10.com (7) Trường THPT Chiêm Thành Tấn Kí hiệu: , hb , hc là đường cao tam giác ABC ứng với các cạnh a, b, c R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác p abc là nửa chu vi tam giác Diện tích tam giác tính theo các công thức sau: 1 aha bhb chc 2 1 S ab sin C bc sin A ac sin B 2 abc S ; S p.r 4R S p ( p a )( p b)( p c) S II Phương pháp giải các bài toán thường gặp B BÀI TẬP Bài 1: Cho ABC có A = 75 , B = 60 , a=15 Tính ( chính xác đến 0,01) a Độ dài các cạnh b, c b Dieän tích ABC vaø trung tuyeán ma 0 Bài 2: Giaûi ABC bieát c=24, B = 60 , C = 50 Bài 3: Cho ABC có độ dài cạnh là 9, 15, 18 Tính bk đtròn ngoại (nội) tiếp tam giaùc Bài 4: Cho ABC coù c=24, b=32, a=40 Tính a Caùc goùc cuûa tam giaùc b Chu vi tam giác c Dieän tích S cuûa tam giaùc vaø trung tuyeán mb 0 Bài 5: Cho ABC a Giaûi ABC bieát a=24, B = 40 , C = 50 b Tính S, ma , ,R.r 0 Bài 6: Cho ABC coù BC= 20, AC=18, AB=12 a Tính diện tích tam giaùc b Tính bk đtròn ngoại ( nội) tiếp tam giác Bài 7: Cho tam giác ABC, biết a = 37, b = 20, c = 19 a Tính các góc tam giác b Tính độ dài trung tuyến AM c Tính S, , R, r PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I Kiến thức bản: Các dạng phương trình đường thẳng: Lop10.com (8) Trường THPT Chiêm Thành Tấn 1.1 Phương trình tham số đường thẳng Giả sử đường thẳng có vectơ phương u (u1 ; u ) và qua M ( x0 ; y ) thì: a) Phương trình tham số đường thẳng : x x0 u1t (t , u12 u 22 0) y yo u 2t b) Phương trình chính tắc đường thẳng : x x0 y y (u1 , u 0) u1 u2 1.2 Phương trình tổng quát đường thẳng + Phương trình tổng quát đường thẳng là: ax + by + c = ( a b 0) đó : Vectơ pháp tuyến : n (a; b) Vectơ phương : u (b; a) hay u (b;a) + Phương trình tổng quát đường thẳng qua M ( x0 ; y ) và nhận vectơ n (a; b) làm vectơ pháp tuyến là: a( x x0 ) b( y y ) 1.3 Một số dạng khác 1.3.1 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc Phương trình đường thẳng qua M ( x0 ; y ) và có hệ số góc k là: y y k ( x x0 ) Nếu có vectơ phương u (u1 ; u ) với u1 thì hệ số góc là: k u2 u1 Nếu có hệ số góc là k thì có vectơ phương là: u (1; k ) 1.3.2 Phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt A( x A ; y A ); B ( x B ; y B ) Phương trình chính tắc đường thẳng AB là: x xA y yA xB x A yB y A 1.3.3 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Nếu đường thẳng cắt Ox ,Oy A(a; 0) và B(0;b) thì phương trình x y 1 a b là: (Phương trình theo đoạn chắn) Vị trí tương đối hai đường thẳng Vị trí tương đối hai đường thẳng : a1 x b1 y c1 : a x b2 y c tương đương với việc có nghiệm, vô nghiệm hay vô số nghiệm hệ phương trình bậc hai ẩn: a1 x b1 y c1 a x b2 y c Với a b2 c thì: a) b) a1 b1 cắt a b2 a b c Nếu 1 // a b2 c Nếu Lop10.com (9) Trường THPT Chiêm Thành Tấn c) Nếu a1 b1 c1 1 a b2 c Góc hai đường thẳng Góc đường thẳng : a1 x b1 y c1 : a x b2 y c có vectơ pháp tuyến n1 (a1 ; b1 ); n2 (a ; b2 ) tính công thức: cos( , ) cos(n1 , n2 ) n1 n2 n1 n2 a1 a b1b2 a12 b12 a 22 b22 Khoảng cách 4.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho hai điểm A( x A ; y A ), B( x B ; y B ) AB ( x B x A ) ( y B y A ) 4.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y ) đến đường thẳng : ax by c cho công thức: d ( M ; ) ax0 by c a2 b2 II Phương pháp giải các bài toán thường gặp * Viết phương trình tham số đường thẳng : Tìm vectơ phương : u (u1 ; u ) Tìm điểm M ( x0 ; y ) x x0 u1t y yo u 2t Phương trình tham số đường thẳng là: * Viết phương trình tổng quát đường thẳng + Cách 1: Tìm vectơ pháp tuyến : n (a; b) Phương trình đường thẳng có dạng: ax + by + c = Tìm điểm M ( x0 ; y ) Tìm c Kết luận + Cách 2: Tìm vectơ pháp tuyến : n (a; b) Tìm điểm M ( x0 ; y ) Viết phương trình theo công thức: a( x x0 ) b( y y ) Chú ý: Nếu // ' thì phương trình đường thẳng ' : ax by c ' Nếu ' thì phương trình đường thẳng ' : bx ay c ' hay ' : bx ay c ' Trục Ox có phương trình : y = Trục Oy có phương trình: x = Lop10.com (10) Trường THPT Chiêm Thành Tấn Từ phương trình tham số , ta có thể suy phương trình tổng quát cách khử tham số t hai phương trình B BÀI TẬP Bài 1:Lập phương trình tổng quát đường thẳng d các trường hợp: a Qua A(2,3) có vectơ pháp tuyến n (1,-2) b Qua B( 3; -2) và có vectơ phương u (4;3) c Qua C( 2;1) và song song với đường thẳng (d): 3x - 2y + = x t y 3 2t d Qua D(-1; 1) và vuông góc với đường thẳng : e Qua M(2,2) và N(4,3) Bài 2: Viết phương trình tham số đường thẳng trường hợp sau: a qua điểm M(2; 1) và có vectơ phương u (3;4) b qua điểm N(5; -2) và có vectơ pháp tuyến n (4;3) c qua điểm P( 5; 1) và có hệ số góc k = d qua hai điểm A( 3; 4) và B(4; 2) Bài 3: Cho A(2,1); B(-3,5) a Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB b Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ( với O là gốc tọa độ) Bài 4: a Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1,2), B(3,-4) b Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d: 3x-4y+4=0 Bài 5: Cho A(-4,2), B(2,-2), C(1,1) a Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua A và song song với đường thẳng BC b Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC Bài 6: Cho điểm A(1; -2) và đường thẳng : 3x y a Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với b Viết phương trình đường thẳng d ' qua A và vuông góc với Bài 7: Cho tam giác ABC, biết các đỉnh A(2; 4), B(8; 8), C(13; 2) a Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh tam giác b Tính chu vi và diện tích tam giác c Viết phương trình tổng quát đường cao AH và đường trung tuyến AM Bài 8: Cho d : x-3y+10=0 và d : 2x+y-1=0 a Tìm giao điểm d và d b Tính góc d và d Bài 9: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳ sau: d2 : x y a d1 : x 10 y và d : 2x y b d1 : 12 x y 10 và c d1 : x 10 y 12 x 6 5t d2 : y 4t và Bài 10: Tính khoảng cách các điểm đến các đường thẳng tương ứng sau đây: Lop10.com (11) Trường THPT Chiêm Thành Tấn : 4x 3y a A(3; 5) và : 3x y b B( 1;2) và : 3x y c C(-2;1) và : 2x 3y d D(-1; 3) và PHẦN 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN I Kiến thức bản: Đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R có phương trình là: (C ) : ( x a ) ( y b) R 2 Phương trình đường tròn dạng khai triển là: (C ) : x y 2ax 2by c 0(a b c 0) (C) có tâm I(a; b) Bán kính R a b c Phương trình tiếp tuyến đường tròn Tiếp tuyến M ( x0 ; y ) đường tròn (C) tâm I(a; b) có phương trình : ( x0 a )( x x0 ) ( y b)( y y ) II Phương pháp giải các bài toán thường gặp Nhận dạng phương trình bậc hai là phương trình đường tròn Tìm tâm và bán kính + Cách 1: Đưa phương trình dạng : x y 2ax 2by c (1) Xét dấu biểu thức m = a b c Nếu m > thì (1) là phương trình đường tròn tâm I( a; b), bán kính R a2 b2 c + Cách 2: Đưa dạng: ( x a) ( y b) m (2) Nếu m > thì (2) là phương trình đường tròn tâm I( a; b), bán kính R m Lập phương trình đường tròn * Viết phương trình đường tròn (C) Tìm toạ độ tâm I(a; b) đường tròn (C); Tìm bán kính R (C) Viết phương trình đường tròn ( C) theo dạng ( x a) ( y b) R Chú ý + (C) qua A,B IA IB R + (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và d ( I , 1 ) d ( I , ) R * Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) và qua điểm A Phương trình đường tròn có dạng ( x a) ( y b) R Đường tròn cần tìm có bán kính R = IA Kết luận * Viết phương trình đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C Phương trình đường tròn có dạng (C ) : x y 2ax 2by c Lop10.com (12) Trường THPT Chiêm Thành Tấn x A2 y A2 2ax A 2by A c Đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C x B2 y B2 2ax B 2by B c 2 xC y C 2axC 2by C c Giải hệ tìm a, b, c Kết luận * Viết phương trình đường tròn đường kính AB Gọi I là trung điểm AB x A xB x I y y A yB I I( ; ) Đường tròn cần tìm có tâm là I và bán kính R 1 AB ( xB x A ) ( yB y A ) 2 Kết luận * Viết phương trình đường tròn có tâm I ( x I ; y I ) và tiếp xúc với đường thẳng : ax by c Đường tròn cần tìm có tâm là I và bán kính R d ( I , ) ax I by I c a2 b2 Kết luận * Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục Ox, Oy và qua A( x A ; y B ) Gọi I(a; b) làm tâm đường tròn Ta có: a b a b(1) 2 AI a (a x A ) (b y A ) a (2) Thay b = a vào (2) Giải phương trình tìm a b Thay b = - a vào (2) Giải phương trình tìm a Kết luận phương trình đường tròn Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn a Lập phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y ) thuộc đường tròn ( C) Tìm toạ độ tâm I(a; b) (C) Phương trình tiếp tuyến với (C) M ( x0 ; y ) có dạng: ( x0 a )( x x0 ) ( y b)( y y ) b Lập phương trình tiếp tuyến với (C) chưa biết tiếp điểm: Dùng điều kiện tiếp xúc để xác định : tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R d ( I , ) R B BÀI TẬP Bài 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình đường tròn?Tìm tâm và bán kính a x y x y 100 (1) 2 b x y x y 12 (2) Lop10.com (13) Trường THPT Chiêm Thành Tấn c x y x y (3) Bài 2: Xác định tâm và bán kính các đường tròn: a x y x y b x y 16 x 12 y Bài 3: Lập phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau: a (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với d: x - 2y + = b (C) có đường kính AB với A( 1; 1), B( 7; 5) c (C) qua điểm A(1; 2), B( 5; 2), C(1;-3) d (C) có tâm là điểm I(2; 3) va qua điểm M(3; 6) Bài 5: : Lập phương trình đường tròn (C) các trường hợp sau: a (C) có tâm I(2; 1) và tiếp xúc với d: 5x - 12y + 15 = b (C) có đường kính AB với A( 2; 1), B( 0; 2) c (C) có tâm là điểm I(-2; 4) va qua điểm M(2; 5) Bài 6: Viết phương trình đường tròn qua điểm: a A(1; -4); B( 3; -2); C(-1;-2) b M(-1; 1); N( 2; -1); Q(1;3) c E(0; 7); F( 2; 3); G(-4;1) Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) : ( x 1) ( y 2) 25 điểm M (4;2) Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) : x y x y , biết tiếp tuyến qua điểm A(3; -2) Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) : ( x 1) ( y 3) 16 , biết tiếp tuyến qua điểm A(8; 10) Bài 10: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : x y x y , biết song song với đường thẳng d: 3x - 2y + 2009 = Lop10.com (14)