Tứ giác BFEC có BFC = BEC BE và CF là hai đường cao của tam giác ABC nên là tứ giác nội tiếphai đĩnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau Ta có BEC = 90o nên suy ra BC chính là đ[r]
(1)TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC CÁC BÀI TOÁN ÔN THI HKII VÀ THI VÀO LỚP 10 Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B Vẽ đường kính AC và AD (O) và (O’) Tia CA cắt đường tròn (O’) F, tia DA cắt đường tròn (O) E CE và DF cắt M a) Chứng minh: EFC = EDC b) Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp c) Qua A kẻ đường thẳng song song với OO’ cắt CE và DF M và K Chứng minh HEFK nội tiếp d) Gọi I là trung điểm CD và N là điểm đối xứng A qua I Chứng minh N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD Hướng dẫn giải: a) Chứng minh FED = FCD Ta có: + CED = 900 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) + CFD = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)) Suy ra: CED = CFD ( = 900 ) ⇒ Tứ giác CEFD nội tiếp (2 đỉnh kề cùng nhìn cạnh hai góc nhau) ⇒ EFC = EDC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC đt (CEFD)) @ b) Chứng minh OEFO’ nội tiếp Ta có: + O là trung điểm AC (AC là đk (O)) + O’ là trung điểm AD (AD là đk (O’)) Suy OO’ là đường trung bình tam giác ACD ⇒ OO′ // CD ⇒ EO′O = EDC (đồng vị) Mà EFC = EDC ( cmt ) , nên EO′O = EDC Suy tứ giác OEFO’ nội tiếp (góc ngoài góc đối diện) @ GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (2) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC c) Chứng minh tg HEFK nội tiếp Vì HK // OO’(gt) và OO’ //CD (cmt) nên KH // CD, suy EHK = ECD (1) (đồng vị) Tứ giác EFDC nội tiếp (cmt) ta có: EFK + ECD = 180o (2) Từ (1) và (2), suy ra: EHK + EFK = 180o ⇒ tứ giác EFKH nội tiếp (hai góc đối bù nhau) @ d) Chứng minh N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD Vì N là điểm đối xứng A qua I nên I là trung điểm AN Tứ giác ADNC có hai đường chéo AN và CD cắt trung điểm I đường nên là hình bình hành Suy ND // CA và NC // AD ( ) ( Mà CA ⊥ MD CFD = 90o , AD ⊥ MC DEC = 90o ) Nên ta có: ND ⊥ MD, NC ⊥ MC ⇒ MCN = MDC = 90o Tứ giác MCND có MCN + MDN = 90o + 90o = 180o nên là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau) Suy N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD @ Bài 2: Cho đường tròn (O; R) có dây BC = R Vẽ đường tròn (M) đường kính BC Lấy điểm A ∈ ( M ) ( A ngoài (O)) AB, AC cắt (O) D và E Vẽ đường cao AH tam giác ABC, AH cắt DE I a) Chứng minh AD AB = AE AC b) Chứng minh I là trung điểm DE c) AM cắt DE K Chứng minh IKMH nội tiếp AH d) Tính DE và tỉ số theo R AK e) Tìm vị trí A để diện tích tam giác ADE lớn Hướng dẫn giải: a) Chứng minh AD AB = AE AC Ta có tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn (O) nên ADE = ACB Xét ΔADE và ΔACB có: + ADE = ACB ( cmt ) GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (3) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC + Góc A chung Suy ΔADE ∼ ΔACB ( g g ) AD AE = ⇒ AD AB = AE AC AC AB b) Chứng minh I là trung điểm DE ⇒ Ta có : BAC = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (M)) Và AHB = 90o ( AH ⊥ BC ) Suy DAI = ACB ( cùng phụ với ABC ) Mà ADI = ACB ( cmt ) Suy ADI = DAI ⇒ tam giác ADI cân I Suy ID = IA.(1) Chứng minh tương tự ta có IE = IA (2) Từ (1) và (2) suy ID = IE hay I là trung điểm DE c) Chứng minh tứ giác IKMH nội tiếp Ta có MA = MC ( A, C thuộc (M)) suy tam giác MAC cân M ⇒ MAC = ACM Ta có AEK = ABC Từ đó: KAE + AEK = ABC + ACB = 900 ⇒ AKE = 90o ⇒ IKM = 90o Xét tứ giác IKMH có IHM + IKM = 900 + 90o = 180o nên là tứ giác nội tiếp (2 góc đối bù nhau) AK d) Tính DE và AH Vẽ đường kính CF đường tròn (O), đó ta có FBC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Trong tam giác vuông BCF ta có: sin BFC = BC R 3 = = ⇒ BFC = 60o CF 2R Tứ giác BDCE nội tiếp đường tròn (O) nên ta có ADC = BFC = 60o DE AD AD Ta có ΔADE ∼ ΔACB ( cmt ) ⇒ = ⇒ DE = BC BC AC AC AD = cot g ADC = cot g 60o = Trong tam giác vuông ADC có AC 1 = R = R 3 Xét tam giác ADK và tam giác ACH có : Suy ra: DE = BC GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (4) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC ⎧ ADK = ACH ( cmt ) ⎪ ⎨ o ⎪⎩ DKA = AHC ( = 90 ) Suy ΔADK ∼ ΔACH ( g g ) AK AD = = AH AC e) Tìm vị trí A để diện tích tam giác ADE lớn nhât ⇒ S ⎛ AD ⎞ Ta có ΔADE ∼ ΔACB ⇒ ADE = ⎜ ⎟ = ⇒ S ADE = S ABC S ACB ⎝ AC ⎠ 3 1 R 3R AH BC ≤ AM BC = R = 2 2 Nên S ADE ≤ R Dấu “ = “ xảy AH = AM ⇔ H ≡ M ⇔ A là điểm chính cung BC đường tròn (M) Vậy diện tích tam giác ADE lớn R A là điểm chính cung BC đường tròn (M) Mà S ABC = Bài 3: Cho hình vuông ABCD cố định E là điểm di động trên cạnh CD ( khác C và D) Tia AE cắt đường thẳng BC F Tia Ax vuông góc với AE A cắt đường thẳng DC K BD cắt KF I a) Chứng minh: CAF = CKF Chứng minh: IDF = IEF Chứng minh tamg giác KAF vuông cân Chứng minh I là trung điểm KF Gọi M là giao điểm BD và AE Chứng minh IMCF nội tiếp ID f) Chứng minh điểm E thay đổi trên cạnh CD thì tỉ số không đổi Tính tỉ số đó CF Hướng dẫn giải: b) c) d) e) a) Chứng minh: CAF = CKF Ta có KAF = 90o ( AK ⊥ AF ) KCF = 90o (ABCD là hình vuông), GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com và (5) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC suy KAF = KCF ( = 90o ) ⇒ tứ giác ACFK là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh hai góc nhau) Do đó: CKF = CAF b) Chứng minh: IDF = IEF Tứ giác ACKF nội tiếp nên ta có: AFK = ACK mà ACK = 45o , BDC = 45o (ABCD là hình vuông) suy ra: AFK = BDC ( = 45o ) Do đó tứ giác IDEF là tứ giác nội tiếp (góc ngoài góc đỉnh đối diện), suy IDF = IEF c) Chứng minh tamg giác KAF vuông cân Tam giác AKF vuộng A (gt) có AFK = 45o ⇒ AKF = 45o nên là tam giác vuông cân A d) Chứng minh I là trung điểm KF Xét tứ giác ABFI có: + AFI = 450 ( cmt ) + ABI = 45o (ABCD là hình vuông) Suy ABFI là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh hai góc nhau) Khi đó: AFI + ABI = 180o ⇒ AFI = 180o − ABI = 180o − 90o = 90o ⇒ AI ⊥ KF Tam giác AKF cân có AI là đường cao nên là trung tuyến, suy I là trung điểm KF e) Chứng minh IMCF nội tiếp Xét tam giác BAM và tam giác BCM có: + AB = BC (ABCD là hình vuông) + ABM = CBM (ABCD là hình vuông) + BM chung Suy ΔBAM = ΔBCM ( c.g c ) BAM = BCM Mà BAM = BIF (ABFI nội tiếp) Nên BCM = BIF Suy tứ giác IMCF nội tiếp (Góc ngoài góc đỉnh đối diện) ID f) Chứng minh tỉ số không đổi CF Ta có: GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (6) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC ⎧⎪ ADB = 45o ⇒ ADI = 180o − ADB = 135o ⎨ o o o ⎪⎩ ACB = 45 ⇒ ACF = 180 − ACF = 135 ⇒ ADI = ACF Xét tam giác ADI và tam giác ACF có: + ADI = ACF + AID = AFC (ABFI nội tiếp) DI AD = CF AC AD Trong tam giác vuông cân ADC có : = sin ACD = sin 45o = AC Suy ΔADI ~ ΔACF ( g.g ) ⇒ Do đó: DI = không đổi CF Bài 4: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là hai tiếp điểm) Vẽ CD ⊥ AB D cắt (O) E Vẽ EF ⊥ BC F và EH ⊥ AC H Gọi M là giao điểm DF và BE, N là giao điểm HF và CE a) Chứng minh tứ giác EFCH, EGBD nội tiếp b) Chứng minh EF = ED.EH c) Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp d) Chứng minh MN ⊥ EF Hướng dẫn giải: a) Chứng minh tứ giác EFCH, EGBD nội tiếp Ta có: o ⎪⎧ EFC = 90 ( EF ⊥ BC ) ⎨ o ⎪⎩ EHF = 90 ( EH ⊥ AC ) ⇒ EFC + EHC = 180o Suy tứ giác HEFC nội tiếp (hai góc đối bù nhau) Chứng minh tương tự ta có tứ giác EFBD nội tiếp GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (7) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC b) Chứng minh EF = ED.EH Ta có: + EFH = ECH (1) (Tứ giác EFCH nội tiếp) + EDF = EBF (2) (Tứ giác EFBD nội tiếp) + ECH = EBF (3) (Góc tia tiếp tuyến và dây cung góc nội tiếp chắn cung đó) ( Từ (1), (2) và (3) ta có: EFH = EDF = EFH = EDF ( ) Chứng minh tương tự ta có: EFD = EHF = ECF = EBD ) Xét tam giác EHF và tam giác EFD ta có: ⎧⎪ EHF = EFD ( cmt ) ⎨ ⎪⎩ EFH = EDF ( cmt ) EH EF = ⇒ EF = ED.EH EF ED c) Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp Theo câu b ta có: ⇒ ΔEHF ~ ΔEFD ( g g ) ⇒ ⎧⎪ EFN = EBC ⎨ ⎪⎩ EFM = ECB ⇒ EFN + EFM + MEN = EBC + ECB + MEN ⇔ MFN + MEN = 180o Suy tứ giác EMFN nội tiếp (hai góc đối bù nhau) d) Chứng minh MN ⊥ EF Tứ giác EMFN nội tiếp nên ta có: EMN = EFN Mà EFN = EBC ( cmt ) ⇒ EMN = EBC mà hai góc này đồng vị nên ta có MN // BC Mà EF ⊥ BC ( gt ) ⇒ EF ⊥ MN Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ đường kính CD ( không vuông góc với AB) AC và AD cắt tiếp tuyến B (O) M và N Gọi I là trung điểm AD a) Chứng minh tứ giác OINB nội tiếp GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (8) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC b) Chứng minh AI AN = R c) Chứng minh CDM = CNM d) Gọi K là trung điểm MN Chứng minh AK ⊥ CD e) Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Tính KF theo R Suy F luôn thuộc đường thẳng cố định đường kính CD thay đổi Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác OINB nội tiếp Ta có I là trung điểm dây cung AD, suy OI ⊥ AD (liên hệ đk và dây cung) ⇒ OIN = 90o MN là tiếp tuyến (O) B, suy OB ⊥ MN ⇒ OBN = 90o Tứ giác OINB có OIN + OBN = 180o nên là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau) b) Chứng minh AI AN = R Xét tam giác AIO và tam giác ABN có: + Góc BAN chung + AIO = ABN ( = 90o ) Suy ΔAIO ~ ΔABN ⇒ AI AO = ⇒ AI AN = AO AB = R AB AN c) Chứng minh CDM = CNM Ta có ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra: ABC = CMN (cùng phụ với CBM ) Mà ABC = ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) Nên ta có: ADC = CMN Do đó tứ giác CDNM nội tiếp (góc ngoài góc đối diện) d) Chứng minh AK ⊥ CD MN Gọi P là giao điểm AK và CD Ta có MAN = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (9) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC Tam giác AMN vuông A ( MAN = 90o ) có AK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MN nên ta có: AK = MN = KN Suy tam giác KAN cân K ⇒ KAN = ANK Ta có ADC = AMN (cmt) Do đó: KAN + ADC = AMN + ANM = 90o , suy APD = 90o ⇒ AK ⊥ CD e) Tính KF theo R Suy F luôn thuộc đường thẳng cố định đường kính CD thay đổi Tứ giác CDNM là nội tiếp đó điểm C, D, N, M cùng nằm trên đường tròn Mà (F) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CNM,do đó C, D, N, M cùng thuộc (F) Ta có K là trung điểm MN, O là trung điểm CD suy FK ⊥ MN , FO ⊥ CD Tứ giác AOFK có: + AO // FK (cùng vuông góc với MN) + AK // OF (cùng vuông góc với CD) Suy AOFK là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song), suy FK = AO = R Vì KF ⊥ MH (tại K) và FK = R nên F thuộc đường thẳng d song song với MN và cách MN khoảng R (d khác phía A đt MN) Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đường cao AH Vẽ đường tròn tâm B bán kính BA cắt AH D a) Chứng minh BC là trung trực AD Suy CD là tiếp tuyến (B) b) Gọi I là điểm đối xứng B qua AH Đường thẳng AI cắt CD E Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp c) Gọi F là hình chiếu A lên BD Chứng minh BD DF = DE DC Suy CEBF là tứ giác nội tiếp d) Cho AB = a, AC = 2a Tính diện tích tam giác DEH theo a Hướng dẫn giải: a) Chứng minh BC là trung trực AD Suy CD là tiếp tuyến (B) Ta có BA = BD (A, D thuộc (B)) suy tam giác BAD cân B Mà BH là GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (10) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC đường cao nên là đường trung trực AD Do đó BC là đường trung trực AD Xét ΔBDC và ΔBAC có: + BD = BA + BC chung + CD = CA (C thuộc đường trung trực AD) Suy ΔBDC = ΔBAC ( c.c.c ) ⇒ BDC = BAC = 90o ⎧⎪CD ⊥ BD suy CD là tiếp tuyến đường tròn (B) Ta có: ⎨ ⎪⎩ D ∈ ( B ) b) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp Xét tứ giác ABDI có: + H là trung điểm AD + I là trung điểm BI (I đối xứng với B qua H) Suy ABHI là hình bình hành, từ đó ta có AI //BD ⇒ AEC = BDC = 90o Tứ giác AHEC có AHC = AEC ( = 90o ) nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh hai góc nhau.) c) Chứng minh BD DF = DE DC Suy CEBF là tứ giác nội tiếp Xét ΔDBH và ΔDAF có: + Góc ADB chung + BHD = AFD ( = 90o ) Suy ΔDBH ~ ΔDAF ( g g ) ⇒ BD DH = ⇒ BD.DF = DH DA (1) DA DF Xét ΔDEA và ΔDHC có: + Góc ADE chung + DHC = AED ( = 90o ) DE DA = ⇒ BE.DC = DH DA (2) DH DC Từ (1) và (2) suy DB.DF = DE.DC Xét tam giác BDE và tam giác BCF có : + Góc BDE chung BD DE = + ( DB.DF = DE.DC ) DC BF Suy ΔDEA ~ ΔDHC ( g g ) ⇒ ⇒ ΔBDE ~ ΔBCF ( c.g c ) ⇒ DEB = BFC GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn 10 Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (11) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC Suy tứ giác BECD nội tiếp (góc ngoài góc đối diện) d) Tính diện tích tam giác DEH theo a Xét tam giác DHE và DCA có : + Góc HDE chung + DHE = DCA (Tứ giác AHEC nội tiếp) S ⎛ DH ⎞ Suy ΔDHE ~ ΔDCA ⇒ DHE = ⎜ ⎟ S DAC ⎝ CD ⎠ Trong tam giác vuông ABC ta có: + BC = AB + AC = a + 4a = 5a ⇒ BC = a + AH BC = AB AC ⇒ AH = AB AC 2a 2a 4a , AD = = ⇒ HD = BC 5 AC 4a = + HC.BC = AC ⇒ HC = BC 2 Khi đó ta có S DAC Từ đó ta có S DHE ⎛ 2a ⎞ 2 1 a a 8a ⎛ DH ⎞ ⎜ ⎟ = CH AD = = và ⎜ ⎟ = ⎟ =⎜ 2 5 ⎝ CD ⎠ ⎜ 2a ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 8a 8a = S ADC = = 5 25 Bài 7: Cho hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc ngoài A Một đường thẳng d quay quanh A (d khác đường thẳng IO) cắt (O) và (I) B và C a) Chứng minh OB // IC b) Vẽ đường kính BD và CE (O) và (I) Chứng minh A, D, E thẳng hàng c) Tiếp tuyến C đường tròn (I) cắt BD F Chứng minh tứ giác DACF nội tiếp Xác định tậm K đường tròn d) Khi d quay quanh A thì K di động trên đường nào Hướng dẫn giải a) Chứng minh OB // IC GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn 11 Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (12) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC Ta có OA = OB (A, B thuộc (O)) suy tam giác OAB cân O ⇒ OBA = OAB Ta có IC = ID (C, D thuộc (I)) suy tam giác ICD cân I ⇒ ICA = IAC Mà OAB = IAC (đối đỉnh) Dó đó: OBA = ICA mà hai góc này vị trí đồng vị nên OB //IC b) Chứng minh A, D, E thẳng hàng Ta có: DAB = 90o (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) ⇒ DAC = 180o − DAB = 90o Ta có: CAE = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I)) Từ đó ta có: DAE = DAC + DAE = 90o + 90o = 180o Suy điểm D, A, E thẳng hàng c) Chứng minh tứ giác DACF nội tiếp Ta có IC ⊥ CF (CF là tiếp tuyến (I)) mà IC // OF (cmt) suy CF ⊥ DF ⇒ DFC = 90o Tứ giác DFCA có BAD = DFC ( = 90o ) nên là tứ giác nội tiếp (góc ngoài góc đỉnh đối) Vì DFC = 90o nên DC chính là đường kính (DFCA) suy tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác DFCA là trung điểm CD d) Khi d quay quanh A thì K di động trên đường nào Xét tam giác ODK và tam giác OAK có: + OD = OA (D, A thuộc (O)) + KD = KA (A, D thuộc (K)) + OK chung Suy ODK = AKO = DKA Chứng minh tương tự ta có IKA = IKC = CKA GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn 12 Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (13) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC ( ) 1 DKA + CKA = DKC = 90o 2 Do đó K thuộc đường tròn đường kính OI Từ đó ta có: OKI = AKO + IKA = Bài 8: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn cho ) OA = 3R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm a) Chứng minh tứ giác OBAC là tứ giác nội tiếp b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn (O) điểm D khác B Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) E khác D Chứng minh AB = AE AD c) Chứng minh: BC CE = AC BE (X) d) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD và AC theo R Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác OBAC là tứ giác nội tiếp Ta có OB ⊥ AB, OC ⊥ AC (AB, AC là tiếp tuyến đường tròn (O)) Suy ra: OBA = OCA = 90o Tứ giác OBAC có OBA + OCA = 90o + 90o = 180o nên là tứ giác nội tiếp (hai góc đối bù nhau) b) Chứng minh AB = AE AD Xét ΔABE và ΔADB có: GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn 13 Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (14) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC + góc BAD chung + ABE = ADB (góc tia tiếp tuyến và dây cung góc nội tiếp cùng chắn cung đó) AB AE Suy ΔABE ~ ΔADB ⇒ = ⇒ AB = AD AE AD AB c) Chứng minh: BC CE = AC BE Ta có ECB = BDA (góc nội tiếp cùng chắn cung BE) Và EAC = BDA (so le trong) Suy EAC = ECB Xét tam giác ACE và tam giác CBE có: + EAC = ECB (cmt) + ACE = CBE (góc tia tiếp tuyến và dây cung góc nội tiếp cùng chắn cung đó) AC CE = ⇒ AC.BE = CB.CE Suy ΔACE ~ ΔCBE ⇒ CB BE d) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD và AC theo R Gọi K là giao điểm CO và BD, H là giao điểm OA và BC Ta có BD // AC và BD // AC , OC⊥ AC ⇒ CO ⊥ BD K, đó CK là khoảng cách hai đường thẳng BD và AC Ta tính CK Vì AB, AC là hai tiếp tuyến (O) nên ta có OA vuông góc với BC H và H là trung điểm BC Tam giác ABO vuông B có: AB = OA2 − OB = R − R = R ⇒ AB = 2.R OB AB 2 = R ⇒ BC = BH = R OA 3 Xét tam giác COH và CBK có: + Góc OCH chung AH AO = OB AB ⇒ AH = + CHO = CKB ( = 90o ) 2 R R CH CO CH CB 16 3 = ⇒ CK = = = R Suy ΔCHO ~ ΔCBK ( g.g ) ⇒ CK CB CO R Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BD và CE cắt H a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn Xác định tâm K đường tròn đó b) Chứng minh OA ⊥ DE 14 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ http://truonglangtoi.wordpress.com Sưu tầm và biên soạn Lop10.com (15) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC c) Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) M và N, cắt đường thẳng BC F (D nằm E và M) Chứng minh FE FD = FN.FM d) Cho BAC = 60o Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn Xét tứ giác BEDC có: BEC = BDC (90o vì CE và BD là hai đường cao tam giác ABC) nên BEDC là tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh hai góc nhau) b) Chứng minh OA ⊥ DE Vẽ tia tiếp tuyến Ax đường tròn (O) Khi đó ta có: xAB = ACB (góc tia tiếp tuyến và dây cung góc nội tiếp cùng chắn cung đó) Mặt khác AED = ACB (BEDC nội tiếp) Do đó xAB = AED mà hai góc này vị trí đồng vị nên Ax//ED Hơn OA ⊥ Ax (Ax là tiếp tuyến (O)) Suy OA ⊥ DE c) Chứng minh FE FD = FN.FM Xét ΔFBE và ΔFDC có: + AEB = ACD (tứ giác BEDC nội tiếp) + Góc BFE chung Suy ΔFBE ~ ΔFDC ( g g ) ⇒ FB FE = ⇒ FE.FD = FB.FC (1) FD FC Vì tứ giác BNMC nội tiếp (O) nên ta có FBN = FMC Xét ΔFBN và FMC có: + Góc BFN chung + FBN = FMC (cmt) FB FN = ⇒ FM FN = FB.FC (2) FM FC Từ (1) và (2) ta có FE.FD = FN FM Suy ΔFBN ~ ΔFMC ( g g ) ⇒ d) Cho BAC = 60o Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo R GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn 15 Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (16) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC Tứ giác ADHD có: EHD + AEH + ADH + EAD = 360o ⇔ EHD + 60o + 90o + 90o = 360o ⇒ EHD = 120o ⇒ BHC = EHD = 120o Ta có: BOC = 2.BAC (góc tâm hai lần góc nội tiếp cùng chắn cung) = 120o Tứ giác BHOC có BHC = BOC ( = 120o ) nên là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh cùng nhìn cạnh hai góc nhau) Suy hình tròn ngoại tam giác BHC là hình tròn ngoại tiếp tam giác BOC Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp (BHOC) Ta có IO = IB = IC suy ΔIBO = ΔICO ( c.c.c ) ⇒ IOB = IOC Mà IOB + IOC = BOC = 120o ⇒ IOB = 60o Tam giác BIO cân I có góc IOB = 60o nên là tam giác đều.Suy IB = OB = R Vậy diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng: S( I ) = π IB = π R Bài 10: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BE và CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn đó b) Hai tia BE và CF cắt đường tròn (O) M và D Chứng minh OA ⊥ NM và EF //MN c) Gọi D là điểm đối xứng H qua I chứng minh D thuộc đường tròn (O) d) Chứng minh diện tích tam giác AHI hai lần diện tích tam giác AOI Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn Tứ giác BFEC có BFC = BEC (BE và CF là hai đường cao tam giác ABC) nên là tứ giác nội tiếp(hai đĩnh kề cùng nhìn cạnh hai góc nhau) Ta có BEC = 90o nên suy BC chính là đường kính (BFCE), đó tâm I đường tròn này chính là trung điểm BC GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn 16 Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (17) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC b) Chứng minh OA ⊥ NM và EF //MN Vẽ tia tiếp tuyến Ax (O)suy OA ⊥ Ax và xAN = ACN (1)(góc tia tiếp tuyến và dây cung góc nội tiếp cùng chắn cung đó) Ta có ANM = ABM (góc nội tiếp cùng chắn cung AM) Và ABM = ACN (góc nội tiếp cùng chắn cung EF (BFEC)) Suy ANM = ACN (2) Từ (1) và (2) ta có xAN = ANM mà hai góc này vị trí so le nên Ax // MN, OA ⊥ Ax nên suy OA ⊥ MN Ta có MNC = MBC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) Và EFC = MBC (tứ giác BFEC nội tiếp) Suy MNC = EFC mà hai góc này vị trí đồng vị nên ta có MN//EF c) Chứng minh D thuộc đường tròn (O) Tứ giác HCDB có I là trung điểm BC (cmt) và I là trung điễm HD (D là điểm đối xứng H qua I) nên HCDB là hình bình hành Do đó: CD //BH và BD //CE Suy ACD = AEB (đồng vị) = 90o Và ABD = AFC (đồng vị ) = 90o Tứ giác ABDC có ABD + ACD = 90o + 900 = 1800 nên là tứ giác nội tiếp (Hai góc đối bù nhau) Do đó D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay D thuộc (O) d) Chứng minh diện tích tam giác AHI hai lần diện tích tam giác AOI Ta có ACD = 90o nên AD là đường kính (O) suy O là trung điểm AD S AD Ta có AID = (cùng chiều cao hạ từ I) S AIO AO Và S AHI =2 = S ADI (cùng chiều cao hạ từ A và đáy HI = IH) Do đó ta có S AHI = S AIO Bài 11: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BD và CE cắt H a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp Xác định tâm I đường tròn b) Chứng minh AE AB = AD AC GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn 17 Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (18) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC c) Vẽ phân giác BAC cắt BC F, cắt (O) M Chứng minh AH // OM d) Tiếp tuyến A đường tròn cắt đường thẳng BC K Chứng minh: KF = KB.KC e) Đường thẳng DE cắt KC N Chứng minh CN AK = CK.ND f) Cho BAC = 60o và ACB = 45o Tính AD, AC theo R Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp Tứ giác BEDC có BEC = BDC (BD và CE là hai đường cao tam giác ABC) nên là tứ giác nội tiếp(hai đĩnh kề cùng nhìn cạnh hai góc nhau) Ta có BEC = 90o nên suy BC chính là đường kính (BEDE), đó tâm I đường tròn này chính là trung điểm BC b) Chứng minh AE AB = AD AC Xét ΔAEC và ΔADB có: + Góc BAC chung + AEC = ADB ( = 90o ) Suy ΔAEC ~ ΔADB ( g g ) ⇒ AE AB = ⇒ AE AB = AD AC AD AC c) Chứng minh AH // OM Ta có BAM = CAM ( gt ) ⇒ BM = CM ⇒ MB = MC Hơn ta có OB = OC Do đó OM là đường trung trực BC, suy OM ⊥ BC (1) Vì H là giao điểm hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm tam giác ABC, suy AH là đường cao tam giác ABC, đó: AH ⊥ BC (2) Từ (1) và (2) ta có AH//OM d) Chứng minh: KA2 = KB.KC Xét tam giác KAB và tam giác KCA có: + Góc AKC chung GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn 18 Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (19) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC + KAB = KCA (Góc tia tiếp tuyến và dây cung góc nội tiếp cùng chắn cung BC) KA KB = ⇒ KA2 = KB.KC Suy ra: ΔKAB ~ ΔKCA ( g g ) ⇒ KC KA e) Chứng minh CN AK = CK.ND Ta có AED = ABC (tứ giác BEDC nội tiếp) và KAB = ACB (cmt) suy AED = KAB mà hai góc này vị trí so le trong, đó ta có AK // ND Ta có DN //AK, áp dụng hệ định lý Thalet cho tam giác CAK ta có: CN DN = ⇒ CN AK = DN CK CK AK f) Cho BAC = 60o và ACB = 45o Tính AD, AC theo R Ta có AOB = ACB = 90o (góc tâm lần góc nội tiếp cùng chắn cung) Suy tam giác AOB vuông cân O ⇒ AB = OA2 + OB = R ⇒ AB = R Tam giác ADB vuông cân D nên ta có: AD 1 R = cos BAD = cos 60o = ⇒ AD = AB = AB 2 BD AB R = sin BAD = sin 60o = ⇒ BD = = AB 2 Tam giác BDC có BDC = 90o và DCB = 45o suy DBC = 45o ⇒ ΔBDC vuông cân D ⇒ DC = DB = Từ đó ta có: AC = AD + DC = R R R + = 2 ( R 2+ ) Bài 12: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C là điểm chính cung AB, M là điểm di động trên cung BC AM cắt BC K Vẽ CI vuông góc với AM I cắt AB D a) Chứng minh tứ gíc ACIO nội tiêp Suy số đo góc OID b) Chứng minh OI là tia phân giác góc COM OI MB d) Khi M là điểm chính cung BC Tính diện tích tứ giác ACIO theo R AM e) Nếu K là trung điểm BC Tính BM c) Chứng minh hai tam giác CIO và CMB đồng dạng Tính tỉ số: GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn 19 Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (20) TTBDKT QUANG MINH 243/27/15 LẠC LONG QUÂN ÔN THI HỌC KỲ II - HÌNH HỌC Hướng dẫn giải a) Chứng minh tứ gíc ACIO nội tiếp Ta có AC = BC ( gt ) suy CA = CB, đó tam giác ACB cân C Mặt khác có CO là trung tuyến nên là đường cao, suy COA = 90o Xét tứ giác ACIO có COA = CIA ( = 90o ) nên là tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh kể cùng nhìn cạnh góc vuông) Suy OID = CAO Ta giác OAC có OC = OA và COA = 90o nên là tam giác vuông cân, suy CAO = 45o Vậy OID = 45o b) Chứng minh OI là tia phân giác góc COM Ta có: COI = CAI (tứ giác ACIO nội tiếp) Và CAI = COM (góc nội tiếp nửa góc tâm cùng chắn cung CM) Suy ra: COI = COM , đó OI là phân giác góc COM OI c) Chứng minh hai tam giác CIO và CMB đồng dạng Tính tỉ số: MB Ta có CBM = CAM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CM) Và CAI = COI (ACIO nội tiếp) Suy CBM = COI Chứng minh tương tự ta có: BCM = OCI Xét ΔCIO và ΔCBM có: ⎧⎪COI = CBM ( cmt ) ⎨ ⎪⎩OCI = BCM ( cmt ) ΔCIO ~ ΔCMB ( g g ) d) Khi M là điểm chính cung BC Tính diện tích tứ giác ACIO theo R GV: NGUYỄN TĂNG VŨ Sưu tầm và biên soạn 20 Lop10.com http://truonglangtoi.wordpress.com (21)