Suy ra ΔAHI ∪∩ ΔAPD c.g .c ⇒n AHI = n APD Suy ra tứ giác DHIP nội tiếp góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện c Chứng minh trung trực của OH đi qua một điểm cố định p và đường trun[r]
(1)Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN Bài Cho phương trình mx + ( − 8m ) x + m ( x + 1) x (1) =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = Giải phương trình với giá trị m vừa tìm b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài a) Giải bất phương trình x − < x − x + ⎧⎪ x + y = b) Giải hệ phương trình ⎨ ⎪⎩ y + x = Bài Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung BC = R A là điểm di động trên cung lớn BC cho tam giác ABC là tam giác nhọn Đường cao AD, BE , CF cắt H ( D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB ) AO cắt ( O ) P và cắt EF I n a) Tính BAC b) Chứng minh tứ giác DHIP nội tiếp c) Chứng minh đường trung trực OH luôn qua điểm cố định A thay đổi Bài a) Cho x − y + y − x = Tính x + y b) Giải phương trình x + 26 − x + x 26 − x = 21 Bài Ba bạn nhỏ An, Bình và Liên giải 100 bài toán, biết bạn giải 60 bài Ta gọi bài toán là khó có bạn giải bài đó Ta gọi bài toán là dễ ba bạn giải nó Tính hiệu số số bài toán khó và số bài toán dễ Hướng dẫn giải Bài a) mx + ( − 8m ) x + m ( x + 1) x =0 (1) Ta có x = là nghiệm phương trình và m.12 + ( − 8m ) + m (1 + 1) Với m = = ⇔ − 6m = ⇔ m = , phương trình trở thành Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk Lop10.com (2) Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 ⎛ 8.5 ⎞ x + ⎜5 − ⎟x+ x − 10 x + 6 ⎠ ⎝ =0 ⇔ = (2) (điều kiện x > ) ( x + 1) x ( x + 1) x Với điều kiện trên ta có ( ) ⇔ x − 10 x + = ⇔ x = ( n ) Vậy phương trình có nghiệm x = b) mx + ( − 8m ) x + m ( x + 1) x =0 (1) Điều kiện x > Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và phương trình: mx + ( − 8m ) x + m = có hai nghiệm phân biệt dương Điều này tương đương với ⎧m ≠ ⎧ ⎪ 2 ⎪m ≠ ⎪Δ = ( − 8m ) − 4m > ⎪ ⎪ ⇔ ⎨( − 10m )( − 6m ) > ⎨ S = − − 8m > ⎪ ⎪ 8m − m ⎪ ⎪ >0 m ⎩ m ⎪P = = > m ⎩ ⎧⎡ ⎪⎢m < ⎪⎢ ⎡m < ⎪⎢m > ⎪⎢ 6⇔⎢ ⇔ ⎨⎣ ⎢m > ⎪⎡m < ⎣ ⎪⎢ ⎪⎢ > m ⎪⎩ ⎣ Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt và m thỏa m < m > Bài a) Ta có: x − < x − 3x + ⇔ ( x − ) < x − 3x + 2 ⇔ x − x + < x − 3x + ⇔x>2 Vậy nghiệm bất phương trình là x > Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk Lop10.com (3) Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 (1) ⎪⎧ x + y = b) ⎨ ( 2) ⎪⎩ y + x = Lấy (1) trừ (2) ta có: ⎡x = y x − y + y − x = ⇔ ( x − y )(1 − x − y ) = ⇔ ⎢ ⎣x = 1− y ⎡ −1 + 21 −1 + 21 ⇒x= ⎢y = 2 Với x = y vào (1) ta có: y + y − = ⇔ ⎢ ⎢ −1 − 21 −1 − 21 ⇒x= ⎢y = ⎣ 2 Với x = − y vào (2) ta có: ⎡ + 17 − 17 ⇒x= ⎢y = 2 y2 +1− y = ⇔ y2 − y − = ⇔ ⎢ ⎢ − 17 + 17 ⇒x= ⎢y = ⎣ 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) là ⎛ −1 + 21 −1 + 21 ⎞ ⎛ −1 − 21 −1 − 21 ⎞ ⎛ − 17 + 17 ⎞ ⎛ + 17 − 17 ⎞ , , , , ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ và ⎜⎜ ⎟ 2 2 2 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Bài A E I F O H B D C P M Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk Lop10.com (4) Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 n a) Tính góc BAC n = BB n p) ′C (góc nội tiếp cùng chắn cung BC Vẽ đường kính BB′ Khi đó ta có BAC n′ = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Và BCB Trong tam giác vuông BCB′ ta có sin BB′C = BC R 3 n n = 60o ′C = 60o ⇒ BAC = = ⇒ BB BB′ R b) Chứng minh DHIP nội tiếp n = BFC n = 90o , suy BFEC nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn cạnh góc Ta có BEC vuông) AEF = n ABC hay n AEI = n ABC Suy n ABC = n APC (góc nội tiếp cùng chắn cung p AC ) Mặt khác ta có n AEI = n APC Suy n Xét ΔAEI và ΔAPC có • Góc I chung • n AEI = n APC ( cmt ) Suy ΔAEI Suy ∪∩ ΔAPC ( g − g ) AE AI = ⇒ AI AP = AE AC AP AC (1) Ta có: ΔAHE ∪∩ ΔACD ( g.g ) AH AE = ⇒ AH AD = AE AC ( ) AE AD AI AH = Từ (1) và (2) ta có AI AP = AH AD ⇒ AD AP ⇒ Suy ΔAHI ∪∩ ΔAPD ( c.g c ) ⇒n AHI = n APD Suy tứ giác DHIP nội tiếp (góc ngoài góc đỉnh đối diện) c) Chứng minh trung trực OH qua điểm cố định p và đường trung trực HO Gọi M là giao điểm cung nhỏ BC n=n n = PAC n ABD = n ACP = 90o , suy ΔABD ∪∩ ΔAPC ( g.g ) ⇒ BAD Ta có BAD APC ( cmt ) n ( 3) AH AE = BC BE AE = cot BAE = cot 60o = Trong tam giác vuông ABE có BE Ta có ΔAHE ∪∩ ΔBCE ( g g ) ⇒ Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk Lop10.com (5) Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 AH BC R = ⇒ AH = = = R = AO BC 3 Suy tam giác AHO cân A Suy đường trung trực HO chính là đường phân giác n hay MAH n = MAO n ( 4) góc HAO Suy n = CAM n , suy BM q = CM q hay M là trung điểm cung BC p nên cố định Từ (3) và (4) ta có BAM p Vậy đường trung trực HO luôn qua điểm cố định, điểm đó là trung điểm cung nhỏ BC đường tròn ( O ) Bài a) Ta có x − y + y − x2 = ⇒ x ( − y ) + xy ( − y )( − x ) + y ( − x ) = 16 ⇒ x + y − x y + xy ( − y )( − x ) − 16 = ⇒ x y − x − y + 16 − xy ( − x )( − y ) = ⇒ ( − x )( − y ) − xy ( − x )( − y ) + x y = 2 2 ⇒ ( 2 2 2 2 2 2 ( − x )( − y ) − xy ) 2 2 2 2 =0 ( − x )( − y ) = xy ⇒ ( − x )( − y ) = x y ⇒ 2 2 2 ⇒ 16 − x − y + x y = x y ⇒ x2 + y2 = b) x + 26 − x + x 26 − x = 21 (2) Điều kiện: ⎡ x ≤ − 26 26 − x ≥ ⇔ ⎢ ⎢⎣ x ≥ 26 Đặt t = x + 26 − x ( Điều kiện t ≥ ) Khi đó: t = x + 26 − x + x 26 − x = 26 + x 26 − x ⇒ x 26 − x = t − 26 Phương trình (2) trở thành: Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk Lop10.com (6) Trung tâm BDKT QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11 t+ ( t − 26 ) ⎡t = = 21 ⇔ 3t + 2t − 120 = ⇔ ⎢ −20 ⎢t = ⎢⎣ (n) (l ) Với t = ta có: x + 26 − x = ⇔ 26 − x = − x ⇔ 26 − x = ( − x ) ( dk x ≤ 6) ⇔ x − 12 x + 10 = ⎡x = ⇔⎢ ⎣x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = và x = Bài Gọi x là số bài toán khó, y là số bài toán dễ, z là số bài toán không khó không dễ (bài có hai người làm được) Vì số bài toán giải là 100 bài nên ta có x + y + z = 100 (1) Số bài khó bạn giải được, số bài dễ bạn giải được, số bài còn lại là hai bạn giải Và bạn giải 60 bài nên ta có: x + z + y = 60 × = 180 Lấy (2) trừ (1) ta có z + y = 80 ( 2) ( 3) Lấy (1) trừ (3) ta có x − y = 20 Vậy số bài toán khó nhiều số bài toán dễ là 20 bài y Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://tangvu.tk Lop10.com (7)