tài liệu trang web lớp đ5h13b đại học điện lực

[r]

(1)

1 BÀI GIẢNG

LÝ THIẾT

ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG GVTH: Võ Văn Định

(2)

CHƯƠNG 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC

2.1 Khái niệm

2.2 Hàm truyền đạt và đại số sơ đồ khối 2.3 Sơ đồ dòng tín hiệu

(3)

3

2.1 KHÁI NIỆM

Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết điều khiển là rất đa dạng và có bản chất vật lý khác hệ thống điều khiển động cơ, lò nhiệt, máy bay, phản ứng hóa học …

Tổng quát quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu của hệ thống tuyến tính có thể biểu diễn bằng phương trình vi phân bậc cao Việc khảo xác hệ thống dựa vào phương trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khó khắn

(4)

2.1 KHÁI NIỆM

Có hai phương pháp mô tả toán học hệ thống tự động giúp cho việc khảo sát hệ thống dễ dàng là:

- Phương pháp hàm truyền đạt

- Phương pháp không gian trạng thái

Phương pháp hàm truyền đạt chuyển quan hệ phương trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace, đó phương pháp không gian trạng thái biến đổi phương trình vi phân bậc cao thành hệ phương trình vi phân bậc nhất bằng cách đặt các biến phụ (biến trạng thái)

(5)

5

Cho f(t) là hàm xác định với mọi t 0, biến đổi Laplace của f(t) là:

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI

2.2.1 Phép biến đổi Laplace

 ( ) ( ) (2.1)

) (

0









 f t f t e dt s

F L st

Trong đó:

s: là biến phức (biến Laplace) s =  + j

L : là toán tử biến đổi Laplace

F(s): là ảnh của hàm f(t) qua phép biến đổi laplace

Biến đổi Laplace tồn tại tích phân ở biểu thức ở biểu thức định nghĩa (2.1) hội tụ

(6)

 Tính tuyến tính

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỜ KHỚI

2.2.1 Phép biến đởi Laplace

 a1 f1(t)  a 2 f2(t) a1 F1(s)  a 2 F2(s) (2.2)

L

b Tính chất của phép biến đổi Laplace

(7)

7

 Ảnh của đạo hàm

(2.3)

) 0 ( )

( )

( 

 

   



 sF s f

dt t df

L

Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì:

Trong đó f(o+) là điều kiện đầu

Nếu điều kiện đầu bằng thì:

(2.4)

) ( )

(

s sF dt

t df

    

 

(8)

 Ảnh của tích phân

(2.5)

) ( )

(

0 s

s F d

f

t

    

 

  

L

(9)

9

 Định lý chậm trê

 f (t T ) e Ts  f (t) e Ts.F(s) (2.6)

 

 L

L

Nếu f(t) được làm trễ một khoảng thời gian T, ta có f(t-T), đó:

f(t)

t

f(t-T)

T

(10)

 Định lý giá trị cuối

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỚ SƠ ĐỜ KHỚI

(2.7)

) ( lim

0 sF s

t f

s

t   

(11)

11

c Biến đổi Laplace của một số hàm bản

Khi khảo sát hệ thống tự động người ta thường đặt tín hiệu vào là các tín hiệu bản

(12)

 Hàm xung đơn vi (hàm dirac)

Hàm xung đơn vị thường được sử dụng để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống

  

 

 

0

0 )

(

t khi

t khi t

  ( ) 1



 

dt t

 thỏa

(t)

0

(13)

13

 Hàm xung đơn vi (hàm dirac)

Hàm xung đơn vị thường được sử dụng để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống

  

 

 

0

)

(

t khi

t khi t

  ( ) 1 (2.8)

  

dt t



thỏa

(t)

0

t

Theo định nghĩa:

 ( ) ( ). ( ). ( ). 1 (2.9)

0

dt

e t dt

e t

t  st  st 

 

 



  





 

L

 ( ) 1

(14)

 Hàm nấc đơn vi

Trong các hệ thống điều khiển ổn định hóa, tín hiệu vào có dạng hàm nấc đơn vị

(2.10) 0 ) (       t khi t khi t u

Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:

 ( ) ( ). 1 (2.11)

0

0 s s

e s e s e dt e dt e t u t u st st st                         L   s

u(t)  1

 L

u(t)

0

(15)

15

 Hàm dốc đơn vi

Hàm dốc đơn vị thường sử dụng làm tín hiệu vào để khảo sát hệ thống điều khiển theo dõi

(2.12) 0 ) ( ) (        t khi t khi t t u t t f

  2

0 0 1 . . ). ( ) ( s s e s e t dt e t dt e t f t f st st st st                     L

  12 (2.13)

(16)

 Hàm mu

(2.15) 0 ) ( ) (          t khi t khi e t u e t f at at

  a s a s e dt e dt e e t f t s a t s a st at                       

 . 1

) ( ) ( ) ( L

  1 (2.16)

(17)

17

 Hàm sin

(2.17) 0 t sin ) ( ) (sin ) (        t khi t khi t u t t

f  

Theo định nghĩa ta có:

  2 2

0 1 1 2 1 . 2 ) ( ). (sin                         s j s j s j dt e j e e t u t st t j t j L

  2 2 (2.18)

     s f(t) L

Từ công thức Euler ta có: t e ej

(18)

2.2.2 Hàm truyền đạt a Định nghĩa:

1

0 1

1

0 1

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) (2.19)

n n

m m

d c t d c t dc t

a a a a c t

dt dt dt

d r t d r t dr t

b b b b r t

dt dt dt



 



 

    

    

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu của hệ thống tuyến tính bất biến lên tục đều có thể mô tả bởi phương trình vi phân hệ số hằng:

Hệ thống

r(t) c(t)

(19)

19

Hệ thống được gọi là hợp thức nếu n  m, hệ thống được gọi là không hợp thức nếu n < m chỉ có các hệ thống mới tồn tại thực tế

Trong đó các hệ số ai = (0n) và bj= (0m) là thông số của hệ thống (a0 0; b0  0); n là bậc của hệ thống

(20)

) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 s R b s b s b s b s C a s a s a s a m m m m n n n n              

Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.19) ta được:

(21)

21

0 1

1

0 1

( ) ( ) ( ) ( ) n n n n m m m m

a s a s a s a C s

b s b s b s b R s

              n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C               1 1 1 ) ( ) (

0 1

1

0 1

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) (2.19)

n n n n n n m m m m m m

d c t d c t dc t

a a a a c t

dt dt dt

d r t d r t dr t

b b b b r t

dt dt dt

(22)

Đặt: (2.20)

)

( ) ( )

(

1

n n

m m

a s

a

b s

R s C s

G

 

 

 

G(s) là hàm truyền của hệ thống

Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu và biến đổi Laplace của tín hiệu vào điều kiện

ban đầu bằng 0

(23)

23

2.2.2 Hàm truyền đạt

b Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh:

Trong hệ thống tự động các khâu hiệu chỉnh là các bộ điều khiển đơn giản được sử dụng để biến đổi hàm truyền đạt của hệ thống nhằm mục đích tăng tính ổn định, cải thiện đáp ứng và giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu lên chất lượng của hệ

thống

Thường khâu hiệu chỉnh là các mạch điện

Có hai loại mạch hiệu chỉnh: mạch hiệu chỉnh thụ động và mạch hiệu chỉnh tích cực

Mạch hiệu chỉnh thụ động có độ lợi 

(24)

b Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b1 Khâu hiệu chỉnh thụ động

Quan hệ dòng điện và điện áp tụ C cho ta:

Khâu tích phân bậc 1

vi(t) i(t) C vo(t)

R

dt t dv C dt

t dv C t

i( ) c( ) 0( )

(25)

25

Theo định luật Kirchoff ta có:

vi(t) i(t) C vo(t)

R

(2.21)

) ( )

( )

( .

) ( )

( )

(

0

0 v t v t

dt t dv RC t

v t

i R

t v t

v t

v

i i

C

i C

R

 

 

 

(26)

Biểu thức (2.21) chính là phương trình vi phân mô tả khâu tích phân bậc một

1 1

) ( )

( )

(

 

 

 

RCs V

V s

G s

V s

RCsV

i o i

o o

(27)

27

(2.22)

1 1 )

(

 

Ts s

G

(28)

Khâu vi phân bậc 1

(2.23)

1 )

(

 

Ts Ts s

G

Chứng minh tương tự khâu tích phân bậc ta có:

Với: T = RC

vi(t) i(t) vo(t)

(29)

29

Khâu sớm pha

(2.24)

1 1 )

(

  

Ts Ts K

s

G C 

Trong đó:

2

R R

R

KC



 và

2

R R

C R R T

 

2

R R

R 



 và T R1C

vi(t) i(t) vo(t)

R2 C

(30)

Khâu trễ pha

(2.25)

1 1 )

(

  

Ts Ts K

s

G C 

Trong đó:

1



C

K và T (R1  R2)C

1

R R

R 

 T R C

2





vi(t) vo(t)

i(t)

C R1

(31)

31

b Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b2 Khâu hiệu chỉnh tích cực

Khâu tỉ lệ P (Proportional)

(2.26)

)

(s KP

G 

Khâu tỉ lệ có đặc điểm tín hiệu tỉ lệ với tín hiệu vào

Trong đó:

1

R R

KP  vi v

o

R1

(32)

Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral)

(2.27)

s K K

G(s) I

P 



Khâu tỉ lệ có đặc điểm tín hiệu tỉ lệ với tín hiệu vào

Trong đó:

C R K

R R

KP I

1

2 ;  1

 

vi

vo R1

(33)

33

Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral)

(2.28)

) ( )

( )

(

0



 

t i I

i P

o t K v t K v d

v  

(34)

Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative)

(2.29)

. )

(s K K s

G  P  D

Khâu vi phân tỉ lệ PD có đặc điểm tín hiệu tỉ lệ với tín hiệu vào và vi phân của tín hiệu vào

Trong đó:

C R K

R R

KP  ; D  2

vi

vo R1

R2

(35)

35

Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative)

(2.30)

dt (t) dv )

( )

( i

D i

P

o t K v t K

v  

(36)

Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative)

(2.31)

. )

( K s

s K K

s

G I D

P  



Khâu vi tích phân tỉ lệ PID có đặc điểm tín hiệu tỉ lệ với tín hiệu vào, vi phân của tín hiệu vào và tích phân của tín hiệu vào

Trong đó:

1 2

2

1 ; ; 1 C R K

C R K

C R

C R C

R

KP   D  I 

vi

vo R1

R2

C1

(37)

37

Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative)

(2.32)

dt (t) dv )

( )

( i

0

D t

i I

i P

o t K v t K v d K

v      

(38)

c Ví dụ tính toán hàm truyền

Động một chiều kích từ độc lập

Sơ đồ nguyên lý của động điện một chiều:

Uư

Lư Rư

Eư

KT



(39)

39

c Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển

Trong đó:

Lư - điện cảm phần ứng Rư - điện trở phần ứng Uư - điện áp phần ứng Eư - sức phản điện động

 - tốc độ góc

Mt - moment tải B - hệ số ma sát

(40)

Theo định luật Kirchoff ta có phương trình cân bằng điện áp ở mạch điện phần ứng:

(2.33)

) ( )

( ).

( (t)

U E t

dt t di L

R t

iö ö  ö ö  ö



ö

Trong đó: Eư(t) - sức phản điện phần ứng Eư(t) = K(t) (2.34)

K - là hệ số

(41)

41

Áp dụng định luật Newton cho chuyển động quay, ta có phương trình cân bằng moment trục động cơ:

(2.35)

) ( )

( )

( (t)

M

dt t d

J t

B t

M t    



d

(42)

Biến đổi Laplace các phương trình (2.33), (2.34), (2.35), (2.36) ta có:

(2.37)

) ( )

( ).

( (s)

Uö Iö s Rö  LösIö s  Eö s

(2.39)

) ( )

( )

( (s)

Mñ Mt s  B s  Js s

(2.40)

) ( (s)

Mđ KIư s

(2.38)

) ( (s)

(43)

43

Đặt :

ö ö ö

R L

T  Là hằng số thời gian điện từ động

B J

(44)

Ta có thể viết lại (2.37) và (2.39) sau:

(45)

45

Từ các biểu thức (2.38), (2.40), (2.41), (2.42) ta có sơ đồ cấu trúc của động một chiều sau:

Uư(s) Iư(s) Mđ(s) (s)

K

Mt(s)

s T

R

ö



1

s T

B

c



1

(46)

2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỚI

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới a Sơ đồ khối

Ở mục 2.2.2 chúng ta đã dẫn được hàm truyền của các phần tử bản hệ thống điều khiển Trong thực tế hệ thống gồm nhiều phần tử bản kết nối với Một cách đơn giản hiệu quả rất nhiều việc biểu diễn các hệ thống phức tạp là dùng sơ đồ khối

(47)

47

2.2.3 Đại số sơ đồ khối a Sơ đồ khối

Khối chức năng: tín hiệu của khối chức bằng tích tín hiệu vào và hàm truyền

Điểm rẽ nhánh: tại điểm rẽ nhánh các tín hiệu đều bằng

Bộ tổng: tín hiệu của bộ tổng bằng tổng các tín hiệu vào

G

x y

y = xG a)

x = y = z b)

x y

z

y = x - z c)

x y

z

(48)

48

2.2.3 Đại số sơ đồ khối

b Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diên bằng sơ đồ khối

Hệ thống nối tiếp

Hàm truyền tương đương của hệ thống nối tiếp:

G1(s) R(s)

G2(s) Gn(s)

R2(s)

Rn(s)

C(s) R1(s) C1(s)

C2(s)

Cn(s)

(49)

49

Hệ thống song song

G1(s) R1(s)

G2(s)

Gn(s)

C1(s)

R2(s) C2(s)

Rn(s) Cn(s)

R(s) C(s) (2.45) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1             n i i n n n s G s R s C s R s C s R s C s R s C s C s C R(s) C(s) G(s)

(50)

Hệ hồi tiếp một vòng

a) Hồi tiếp âm

G(s) R(s)

H(s)

C(s) Cht(s)

E(s)

G(s) R(s)

H(s)

C(s) Cht(s)

E(s)

(51)

51

2.2.3 Đại sớ sơ đồ khối

Hàm truyền hồi tiếp âm:

G(s) R(s)

H(s)

C(s) Cht(s)

E(s) ) ( ) ( ) ( s R s C s

Gk 

(52)

Hàm truyền hồi tiếp âm:

(2.46)

) ( ). ( 1

) ( )

(

s H s

G

s G s

Gk

 

Lập tỷ số giữa C(s) và R(S) ta có:

Trường hợp đặc biệt H(s) = ta có hệ thống hồi tiếp âm đơn vị Trong trường hợp này (2.46) trở thành:

(2.47)

) ( 1

) ( )

(

s G

s G s

Gk

 

G(s) R(s)

H(s)

C(s) Cht(s)

(53)

53

Hàm truyền hồi tiếp dương:

) (

) ( )

(

s R

s C s

Gk 

) E(s).G(s) C(s)

(do H(s) E(s).G(s).

E(s)

) C(S).H(s) (S)

C (do C(s).H(s)

E(s)

) (s) C

R(s) E(s)

(do

(s) C

E(s) R(s)

E(s).G(s) C(s)

ht

ht ht

 



 



 

 



Ta có:

G(s) R(s)

H(s)

C(s) Cht(s)

(54)

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khới

Hàm truyền hồi tiếp dương:

(2.48)

) ( ). ( 1

) ( )

(

s H s

G

s G s

Gk

 

Lập tỷ số giữa C(s) và R(S) ta có:

G(s) R(s)

H(s)

C(s) Cht(s)

(55)

55

Hệ hồi tiếp nhiều vòng

Đối với các hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp, ta thực hiện các phép biến đổi tương đương với sơ đồ khối để là xuất hiện các dạng kết nối đơn giản (nối tiếp, song song, hồi tiếp một vòng) và tính hàm truyền tương đương theo thứ tự từ ngoài

Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nếu hai sơ đồ

(56)

Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:

 Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía trước phía sau:

x1 = x2 ; x3 = x1.G(s) x3 = x1.G(s);

G(s) x2

x1 x3

G(s) x2

x1 x3

(57)

57

 Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía sau phía trước :

x3 = x1.G(s);

x2 = x3 = x1.G(s)

x3 = x1.G(s); x2= x1.G(s)

G(s) x2

x1 x3

G(s) x2

x1 x3

(58)

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khối

 Chuyển bộ tổng từ phía trước phía sau:

x2 = (x1- x3) G(s) x

2 = x1.G(s) - x3.G(s)

G(s)

x1 x2

x3

G(s)

x1 x2

(59)

59

2.2.3 Đại sớ sơ đờ khối

 Chuyển bộ tổng từ phía sau phía trước:

x2 = x1.G(s) - x3 x

2 = (x1 - x3.[1/G(s)]).G(s)

= x1.G(s) - x3

G(s)

x1 x2

x3

G(s)

x1 x2

(60)

 Chuyển vị trí hai bộ tổng:

x4 = (x1 - x2)+ x3 x4 = (x1 + x3)- x2

x1

x2 x3

x4 x1

x2 x3

(61)

61

Tách một bộ tổng thành hai bộ tổng:

x4 = x1 - x2 + x3 x4 = (x1 – x2)+ x3

x1

x3

x2

x4 x1

x3

x2

(62)

Chú y: Hai cách biến đổi sơ đồ khối sau rất hay bị nhầm lẫn là biến đổi tương đương:

x4 = x1 - x2

x = x = x - x

x4 = x1 - x2 x = x

 Chuyển vị trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng

x1

x3

x2

x4 x1

x3

x2

(63)

63

Chú y: Hai cách biến đổi sơ đồ khối sau rất hay bị nhầm lẫn là biến đổi tương đương:

x4 = x1 - x2

x5 = (x1 - x2) + x3

x4 = x1 + x3

x5 = (x1 + x3) - x2

x1

x4

x2

x5

x3

x1

x4

x3

x5

x2

 Chuyển vị trí hai bộ tổng giữa hai bộ tổng đó có điểm

(64)

c Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống

Tính hàm truyền tương đương của hệ thống

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

R(s) C(s)

(65)

65

Biến đổi tương đương sơ đồ khối sau:

G1(s)

G2(s)

GA(s)

R(s) C(s)

1

- Chuyển vị trí hai bộ tổng 1 và 2, đặt GA(s) = [G3(s)//G4(s)],

(66)

- GB= [G1(s) // hàm truyền đơn vị] - GC(s) = vòng hồi tiếp [G2(s), GA(s)]

GC(s)

R(s) C(s)

GB(s)

(67)

67

- Hàm truyền tương đương của hệ thống:

GC(s)

R(s) C(s)

GB(s)

)] ( )

( ).[

( 1

) ( )].

( 1

[ )

(

) ( ).

( )

(

4

2

s G s

G s

G

s G s

G s

G

s G

s G s

G

ht

C B

ht

 

 



(68)

Nhận xét:

Phương pháp biến đổi sơ đồ khối là một phương pháp đơn giản và trực quan dùng để tìm hàm truyền tương đương của hệ thống

(69)

69

Nhận xét:

(70)

2.3 SƠ ĐỜ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.1 Sơ đờ dòng tín hiệu và công thức Mason

a Định nghĩa:

Để biểu diễn hệ thống tự động, ngoài phương pháp sử dụng sơ đồ khối ta còn có thể sử dụng phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu

So sánh sơ đồ khối và sơ đồ dòng tín hiệu của hệ thống hình:

G(s) R(s)

H(s)

C(s)

a)

R(s) E(s) G(s) C(s)

-H(s)

1

b)

(71)

71

2.3 SƠ ĐỒ DÒNG TÍN HIỆU

2.3.1 Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason

a Định nghĩa: Định nghĩa:

Sơ đồ dòng tín hiệu là một mạng gồm các nút và nhánh

- Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu hệ thống

- Nhánh: là đường nối trực tiếp giữa hai nút, mỗi nhánh có mũi tên chỉ chiều truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ tín hiệu giữa hai nút

- Nút nguồn: là nút chỉ có các nhánh hướng

(72)

- Nút hỗn hợp: nút có tất cả các nhánh và các nhánh vào Tại nút hỗn hợp, tất cả các tín hiệu đều bằng và bằng tổng đại số của các tín hiệu vào

- Độ lợi của một đường tiến: tích của các hàm truyền của các nhánh đường tiến đó

(73)

73

- Vòng kín: đường khép kín gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu và chỉ qua mỗi nút một lần

(74)

b Công thức Mason:

Hàm truyền tương đương của hệ thống tự động biểu diễn bằng sơ đồ dòng tín hiệu có thể tính theo công thức sau:

(2.49)

1

  



k

k k P

G

Trong đó: Pk - độ lợi của đường tiến thứ k.

 - định thức của sơ đồ dòng tín hiệu

(2.50)

1

, , ,

 



   

m j i

m j i j

i

j i i

i L L L L L

(75)

75

- Tổng độ lợi vòng của các vòng kín có sơ đồ dòng tín hiệu





i

L





j i

j iL

L

,

- Tổng các tích độ lợi vòng của hai vòng không dính





m j i

m j iL L

L

, ,

- Tổng các tích độ lợi vòng của ba vòng

không dính

k



 - Định thức của sơ đồ dòng tín hiệu, k được

suy từ  bằng các bỏ các vòng kín có dính

(76)

- “Không dính” = không có nút chung nào - “Dính” = có ít nhất một nút chung

(77)

77

2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng công thức Mason

Bài ví dụ:

Tính hàm truyền tương đương của hệ thống mô tả bởi sơ đồ dòng tín hiệu sau:

G1 G2 G3 G4 G5 C(s)

R(s)

G6 G7

(78)

Giải:

- Độ lợi của các đường tiến:

G1 G2 G3 G4 G5 C(s)

R(s)

G6 G7

-H1 -H2

P1 = G1.G2.G3.G4.G5 ; P2 = G1.G4.G5 G6; P3= G1.G2.G7

- Độ lợi của các vòng kín:

(79)

79

Giải:

- Định thức của sơ đồ dòng tín hiệu;

 = – (L1 + L2 + L3 + L4) + L1.L2

- Các định thức con:

1 = ; 2 = ; 3 = - L1

Hàm truyền tương đương của hệ thống là:

) .Δ P .Δ P .Δ (P Δ

G 1 1 1  2 2  3 3

(80)

Trong trường hợp hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng công thức Mason, trước tiên ta phải chuyển sơ đồ khối sang sơ đồ dòng tín hiệu

Khi từ sơ đồ khối sang sơ đồ dòng tín hiệu cần chú ý: - Có thể gộp hai bộ tổng liền thành một nút

- Có thể gộp một bộ tổng và một điểm rẽ nhánh liền sau nó thành một nút

(81)

81

2.4 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

2.4.1 Khái niệm

Như ta đã biết, quan hệ giữa ngõ vào và ngõ của hệ thống liên tục bất kỳ có thể mô tả bằng phương trình vi phân bậc n

Nghiên cứu hệ thống dựa phương trình vi phân bậc n rất khó khăn, đó cần mô tả toán học khác giúp cho việc nghiên cứu hệ thống dễ dàng

(82)

Nghiên cứu hệ thống mô tả bằng hàm truyền thuận lợi bằng phương trình vi phân, nhiên hàm truyền có một số khuyết điểm sau:

- Chỉ áp dụng được điều kiện ban đầu bằng

- Chỉ áp dụng được cho hệ thống tuyến tính bất biến, không thể áp dụng mô tả hệ phi tuyến hay hệ biến đổi theo thời gian

(83)

83

Một phương pháp khác được sử dụng để khảo sát hệ thống tự động là phương pháp không gian trạng thái

Phương pháp không gian trạng thái chuyển phương trình vi phân bậc n thành n phương trình vi phân bậc nhất bằng các đặt n biến trạng thái

(84)

2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái

 Trạng thái

Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm t0 và biết các tín hiệu vào ở thời điểm t  t0 ta

hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t  t0.

Hệ thống bậc n có n biến trạng thái Các biến trạng thái có thể chọn là biến vật lý hay không phải là biến vật lý

(85)

85

 Véctơ trạng thái

n biến trạng thái hợp thành véctơ cột gọi là véctơ trạng thái, ký hiệu:

Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển phương trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ n

phương trình vi phân bậc nhất viết dưới dạng ma trận sau:

 x1 x2 xn  T (2.51)

x 

(2.52)

Dr(t)

Cx(t) c(t)

Br(t) Ax(t)

(t) x   

 

(86)

Trong đó :

             nn n n n n a a a a a a a a a A        2 22 21 12 11              n b b b B 

c c c 

C   D d1

(87)

87

Phương trình (2.52) được gọi là phương trình trạng thái của hệ thống Nếu A là ma trận thường, ta gọi (2.52) là phương trình trạng ở thái thường; nếu A là ma trận chéo, ta gọi (2.52) là hệ phương trình trạng thái ở dạng chính tắc

(88)

Hệ thống mô tả bởi hệ phương trình trạng thái (2.52) có thể biểu diễn dưới dạng sơ đồ trạng thái sau:

D

B C

A

r(t) c(t)



(89)

89

2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân

Cho hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân:

 Vế phải phương trình vi phân mơ tả hệ thớng

khơng có chứa đạo hàm tín hiệu vào

(2.53)

) ( )

( )

(

) ( )

(

0

1

1 a c t b r t

dt t dc a

dt t c d

a dt

t c d

n n

n n n

n

 

 

  



Để ý rằng phương trinh (2.53) hệ số a0 = Nếu a0  ta

(90)

• Quy tắc đặt biến trạng thái

) ( )

(

1 t c t

x 

- Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra:

) ( )

(t x 1 t

xi  i

- Biến trạng thái thứ i (i =  n) đặt theo quy tắc: biến sau

bằng đạo hàm biến trước:

(91)

91

n n n n n n n n dt t c d t x dt t c d t x t x t x t c t x t x t x t c t x t x t x t c t x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 3 2                      

(92)

Thay các biến trạng thái vào phương trình (2.53) ta được:

) ( )

( )

(

) ( )

(t a1x t a 1x2 t a x1 t b0r t

(93)

93

Kết hợp phương trình với quan hệ giữa các biến trạng thái ta được hệ phương trình sau:

(94)

) ( . 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 t r b t x t x t x t x a a a a t x t x t x t x n n n n n n n                                                                                         

(95)

95

 

     

 

     

 

 



) (

) ( 0

0 0

1 )

( )

(

1

t x

t x t

x t

c

n n

 

(96)

Vậy hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

(2.55)

  



 

Cx(t) c(t)

Br(t) Ax(t)

(97)

97

Trong đó:                   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t x t x t x t x t x n n                       

1

(98)

Trong đó:

     

 

     

 



0

0 0 0

b

B  C 1 0  0 0 

    

 

     

 



0

0 0 0

b

(99)

99

• Ví dụ:

Cho hệ thống điều khiển có quan hệ tín hiệu vào - tín hiệu mô tả bằng phương trình vi phân sau:

) ( )

( 10 )

( 6 )

( 5 )

(

(100)

• Giải:

Chia hai vế phương trình vi phân cho 2, ta được:

) ( 5 , 0 )

( 5 )

( 3 )

( 5 , 2 )

(t c t c t c t r t

c       

Đặt các biến trạng thái sau:

) (

; ) (

; )

( 2 1 3 2

1 c t x x t x x t

(101)

101

• Giải:

Áp dụng công thức (2.55), ta có hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống sau:

  



 

Cx(t) c(t)

Br(t) Ax(t)

(102)

• Giải:

Với:            ) ( ) ( ) ( ) ( t x t x t x t x                             5 , 2 3 5 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0

3 a a

(103)

103

• Giải:

Với:

1 0 0



C

  

 

  

     

 

  

  

5 , 0

0 0 0

0

b

(104)

Xét bài toán xây dựng hệ phương trình trạng thái cho hệ thống:

 Vế phải phương trình vi phân mơ tả hệ thớng có

chứa đạo hàm tín hiệu vào

(2.56) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 t r b dt t dr b dt t r d b dt t r d b t c a dt t dc a dt t c d a dt t c d m m m m m m n n n n n n                

(105)

105

) ( )

(

1 t c t

x 

- Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra:

) ( )

( )

(t x 1 t 1r t

xi i  i

(106)

Với quy tắc đặt biến trạng thái trên, hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

  



 

Cx(t) c(t)

Br(t) Ax(t)

(107)

107

Trong đó :

                     

1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a a a a A n n n                           n n B     

1 0  0 0



(108)

Với :

  

   

 

 

 

 

   

 

1 1 1

1 2

1

3

1 1

2

0



 



 



n n

n

n b a a

a a

b

a b

b

(109)

109

• Sau ta chứng minh các kết quả cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy tương tư

Xét hệ bậc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu qua phương trình vi phân sau:

(2.57)

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

2

3

1

t r b dt

t dr b

dt t r d b

t c a dt

t dc a

dt t c d a dt

t c d

n n

 



 



(110)

Đặt các biên trạng thái sau:

(111)

111

Với cách đặt biến trạng thái ta có:

(112)

Thay (2.58), (2.61), (2.62) và (2.63) vào phương trình (2.57) ta được:

     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 3 t r b t r b t r b t x a t r t x a t r t r t x a t r t r t x                        (2.64) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 3 1 2 1 1 3 0 1

3 t r a a b t r a b t r b t x a t x a t x a t

x       





(113)

113

Chọn 1, 2 cho đạo hàm của tín hiệu vào biểu

thức (2.64) bị triệt tiêu:

  

   

  

 



 

1 1

2

0

1

0

0 0

 

a b

b a

b b

(114)

Thay vào (2.64) ta được:

(2.65) ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 3 1 2 2 1 3 3

3 t a x t a x t a x t r t

x     

Kết hợp (2.59), (2.60) và (2.65) ta được hệ phương trình:

(115)

115

Viết lại dưới dạng ma trận:

(116)

Trong đó:

    

 

   

1 2

1

3

1 1

2

0

 



 



a a

b

a b

(117)

117

Đáp ứng của hệ thống:

 

  

 

  

   



) (

) ( 0

0 1

) ( )

(

3 1

t x

t x t

x t

(118)

• Ví dụ áp dụng:

) ( 20 )

( 10 )

( 6 )

( 5 )

(t c t c t c t r t r t

c         

(119)

119

• Giải :

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

(

2

3

1

2

t r t

x t

x

t r t

x t

x

t c t

x

 

 



 

(120)

• Giải :

Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

(121)

121

• Giải :

Trong đó:

    

  

  

 

 

 

 

 

30 0

6 10

5 20

10 0

5 10

0

1 2

1

3

1 1

2

0

 



 



a a

b

a b

(122)

• Giải :

(123)

123

• Giải :

 

  

 

  

   



) (

) ( 0

0 1

) ( )

(

3 1

t x

t x t

x t

(124)

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối

A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân

(125)

125

Ví dụ:

Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối sau:

R(s) C(s)

) (

10 

s s

2 

s

(126)

Giải:

Hàm truyền của hệ thống kín:

k

10

G s s s 1

G s

1 H s G s 1 10

1

s 2 s s 1

10 s 2

s s s 10

( ) .( )

( )

( ) ( )

.( ) .( )

.( ).( )



 

    

    

 

   

 

  

(127)

127

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: 10 6 5 20 10 10 ) 2 ).( 3 .( ) 2 .( 10 ) ( ) (            s s s s s s s s s R s C ) ( ). 20 10 ( ) ( ). 10 6 5

(s3  s2  s  C s  s  R s

 ) ( 20 ) ( 10 ) ( 10 ) ( 6 ) ( 5 )

(t c t c t c t r t r t

c     

     

(128)

Giải:

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

(

2

3

1

2

t r t

x t

x

t r t

x t

x

t c t

x

 

 



 

Đặt biến trạng thái sau:

(129)

129

Giải:

Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

) ( . ) ( ) ( ) ( 1 0 0 0 1 0 ) ( ) ( ) ( 3 1 3 t r t x t x t x a a a t x t x t x                                                    

(130)

Giải:

Trong đó:

    

  

  

 

 

 

 

 

30 0

6 10

5 20

10 0

5 10

0

1

3

0 1

2

0

b a b

a b

b a b

b

  

(131)

131

Giải:

Thay các thông số của hệ vào phương trình trạng thái, ta được: ) ( . 30 10 0 ) ( ) ( ) ( 5 6 10 1 0 0 0 1 0 ) ( ) ( ) ( 3 t r t x t x t x t x t x t x                                                  

(132)

Giải:

 

  

 

  

   



) (

) ( 0

0 1

) ( )

(

3 1

t x

t x t

x t

c

(133)

133

B- Phương pháp tọa độ pha

Xét hệ thống bậc n có hàm truyền là:

(2.66)

)

( ) (

1

n n

m m

a s

b s

R s C

 



 

(134)

Đặt biến phụ Y(s) cho:

(2.68) ) ( ). ( ) ( (2.67) ) ( ). ( ) ( 1 1 1 s Y a s a s a s s R s Y b s b s b s b s C n n n n m m m m              

Biến đổi Laplace ngược hai vế (2.67) và (2.68) ta được:

m m

0 m m m m

n n

1 n n

n n

d y t d y t dy t

c t b b b b y t

dt dt dt

d y t d y t dy t

r t a a a y t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (2.69)

( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) (2.70)

             

(135)

135

Xét phương trình (2.70), ta đặt các biến trạng thái nhứ sau:

                    1 1 ) ( ) ( ) ( (2.71) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n n n dt t y d t x t x t y t x t x t x t y t x t x t y t x       

(136)

Thay các biến trạng thái ở biểu thức (2.71) vào phương trình vi phân (2.69) ta được:

) ( )

(

) ( )

( )

(t b0x t b1x 1 t b 1x2 t b x1 t

c  n  n   m  m

Viết dưới dạng véc tơ:

(2.74)

) ( . )

(t C x t

c 

b b 1 b1 b0 (2.75)

C  m m 

Với:

(137)

137

Thay các biến trạng thái từ (2.70) vào (2.71) ta suy được hệ phương trịnh trạng thái:

(2.72) ) ( ) ( )

(t Ax t Br t

x  

Trong đó: ; 0 0 0 0 1                      

 a a

a a A n n n                           n n B      ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) (                   t x t x t x t x t x n n  (2.73)

(138)

Tóm lại, bằng các đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

  



 

) ( )

(

) ( )

( )

(

t Cx t

c

t Br t

Ax t

x

Với các ma trận trạng thái xác định bằng biểu thức (2.73) và (2.75)

(139)

139

Ví dụ ứng dụng:

Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối dưới bằng phương pháp tọa độ pha:

R(s) C(s)

) (

10 

s s

2 

s

(140)

Giải:

Hàm truyền của hệ thống là:

10 6

5

20 10

) (

2

 



 

s s

s

s s

R s C

) ( ). 10 6

5 (

) (

) ( ). 20 10

( ) (

2

3 s s Y s

s s

R

s Y s

s C

 

 

Đặt biến phụ Y(s) thỏa:

(141)

141

2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: Suy ra: ) ( 10 ) ( 6 ) ( 5 ) ( ) ( ) ( 20 ) ( 10 ) ( 0 ) ( t y t y t y t y t r t y t y t y t c             

Đặt các biến trạng thái:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t y t x t x t y t x t x t y t x         

(142)

Giải:

Áp dụng các công thức từ (2.72) đến (2.75), ta có hệ phương trình mô tả trạng thái hệ thống là:

  



 

) ( )

(

) ( )

( )

(

t Cx t

c

t Br t

Ax t

x

(143)

143

Giải:

Trong đó:

  

 

  

 

 

    

 

  

 

 

 

5 6

10

1 0

0

0 1

0 0

0 1

0

1

3 a a

a A

  

 

  

  

1 0 0

B

 2 1 0  20 10 0

 b b b

C

(144)

Nhận xét:

(145)

145

Nếu hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối ta có thể đặt biến trạng thái trực tiếp sơ đồ khối

R(s) C(s)

) )(

1 (

10 

 s

s s

C- Phương pháp đặt biến trạng thái trưc tiếp sơ đồ

(146)

Giải:

Vẽ lại sơ đồ khối của hệ thống với các biến trạng thái được đặt sau:

R(s) C(s)

s

1

) (

1 

s ( 3)

10 

s

(147)

147

Giải:

Với cách đặt biến trạng thái hình vẽ, ta có các quan hệ sau:

) ( 3

10 )

( 2

1 X s

s s

X

 

) ( 10

) ( 3

)

( 1 2

1 s X s X s

sX  



(2.76)

)

( 10 )

( 3 )

( 1 2

1 t x t x t

(148)

Giải:

) ( 1

1 )

( 3

2 X s

s s

X

 

) ( )

( )

( 2 3

2 s X s X s

sX  



(2.77)

)

( )

( 2 3

2 t x t x t

(149)

149

Giải:

 ( ) ( )

1 )

(

3 R s C s

s s

X  

) ( )

( )

( 1

3 s R s X s

sX  



(2.78)

)

( )

( 1

3 t x t r t

(150)

Giải:

(151)

151

Giải:

 

  

 

  

  



) (

) ( .

0 0

1 )

( )

(

3 1

t x

t x t

x t

(152)

Ví dụ 2: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối sau:

R(s) C(s)

4 

s

2  

s s

6 



s s

E(s) X2(s) X1(s)

(153)

153

Giải:

Với các biến trạng thái sơ đồ khối, ta có các quan hệ sau:

) ( 5

2 )

( 2

1 X s

s s s

X

  

(2.80)

) ( )

( 2

) ( 5

)

( 1 2 2

1 s X s X s sX s

sX   

(154)

Giải:

 ( ) ( )

4 3 )

( 4

3 )

( 2 3

2 R s X s

s s

E s

s

X 

  



(2.81)

) ( 3 )

( 3

) ( 4

)

( 2 3

2 s X s X s R s

sX   



) ( 6

1 )

( 1

3 X s

s s s

X

  

(2.82)

) ( )

( 6

) ( )

( 1 3 1

3 s X s X s sX s

sX   

(155)

155

Giải:

Thay sX2(s) ở biểu thức (2.81) vào biểu thức (2.80) ta được:

) ( 3 )

( 3

) ( 4

) ( 2

) ( 5

)

( 1 2 2 3

1 s X s X s X s X s R s

sX     

(2.83)

) ( 3 )

( 3

) ( 2

) ( 5

)

( 1 2 3

1 s X s X s X s R s

sX    

(156)

Giải:

Thay sX1(s) ở biểu thức (2.83) vào biểu thức (2.82) ta được:

) ( 3 )

( 3

) ( 2

) ( 5

) ( 6

) ( )

( 1 3 1 2 3

3 s X s X s X s X s X s R s

sX      

(2.84)

) ( 3 )

( 9

) ( 2

) ( 4

)

( 1 2 3

3 s X s X s X s R s

sX    

(157)

157

Giải:

Từ các biểu thức (2.81), (2.82) và (2.84) ta suy hệ phương trình trạng thái:

(158)

Giải:

Viết lại dưới dạng ma trận:

) ( )

( )

(t Ax t Br t

x  

Trong đó: ; 4                    A            3 B ; ) ( ) ( ) ( ) (            t x t x t x t x

Đáp ứng của hệ: ( ) ( ) ( )

1 t Cx t

x t

c  

(159)

159

2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc

Để thành lập hệ phương trình biến trạng thái dạng chính tắc, ta thực hiện theo các bước sau:

(2.85)

) ( )

(

) ( )

( )

(

  



 

t Cx t

c

t Br t

Ax t

x

1 Thành lập biến phương trình trạng thái ở dạng thường:

2 Thực hiện phép đổi biến trạng thái:

) ( )

(t My t

(160)

      ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t CMy t c t Br t AMy t y M

Thay vào phương trình (2.85)x(t) My(t)

         ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 1

(161)

161

AM M

A 1



Trong đó:

B M

B 1



CM C 

Hệ phương trình trạng thái (2.86) tương đương với hệ phương trình (2.85)

(162)

Theo lý thuyết đại số tuyến tính, ma trận chuyển đổi M được chọn sau:

     

 

     

 



 



 1

3

2

1

2

3

2

1

3

1

1 1

n n n

n n

M

 



 

  

Trong đó I, (i =  n) là các trị riêng của ma trận A, tất là

(163)

163

Ví dụ:

Cho hệ thống có hàm truyền:

2 3

1 3

) (

) ( )

( 2

 

 



s s

R s C s

G

(164)

Giải :

Áp dụng phương pháp tọa độ pha ta dễ dàng suy hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

Trong đó:

  



 

) ( )

(

) ( )

( )

(

t Cx t

c

t Br t

Ax t

x

   

 

 



3 2

1 0

A 

     

1 0

(165)

165

Giải :

Trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình:

0 )

det(I  A 

0 3

2

1 0

0 1

det  

  

  

   

 

 

    

 

 

0 3

2

1

det  

  

  

   

 

  

(166)

Giải : 0 2 3               2 1  

Thực hiện phép đổi biến: x(t) = My(t) với ma trận M là:

(167)

167

Giải :

Với cách biến đổi trên, ta được hệ phương trình biến trạng thái có dạng:

  



 

) ( )

(

) ( )

( )

(

t y C t

c

t r B t

y A t

(168)

Giải : Trong đó:                                     2 0 0 1 2 1 1 1 3 2 1 0 1 1 1 2 1AM M A                          1 1 1 0 1 1 1 2 1B M B

   1 2

1 1

1 2

3

1    

(169)

169

Giải :

Vậy hệ phương trình biến trạng thái chính tắc mô tả hệ thống là:

) ( . 1 1 ) ( ) ( 2 0 0 1 ) ( ) ( 2

1 r t

(170)

2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái

Cho hệ thống mô tả bởi hpt trạng thái:

  



 

) ( )

(

) ( )

( )

(

t Cx t

c

t Br t

Ax t

x

Biến đổi Laplace hai vế phương trình (giả sử điều kiện đầu bằng 0), ta được:

(2.89)

)

( )

(

(2.88)

) ( )

( )

(

s CX s

C

s BR s

AX s

sX



(171)

171

Từ (2.88) suy ra:

) ( )

( )

(sI  A X s BR s

) ( )

( )

(s sI A 1BR s

X 

 



) ( )

( )

(s C sI A 1BR s

CX 

 



Kết hợp với biểu thứ (2.88) ta được

) ( )

( )

(s C sI A 1BR s

C 

 



(2.90)

) (

) ( )

( C sI A 1B

s R

s C s

G 

 

(172)

Công thức (2.90) cho phép ta tính được hàm truyền biết hệ phương trình trạng thái:

Ví dụ: cho hệ thống có hệ phương trình biến trạng thái là:

) ( . 1 0 ) ( ) ( 3 2 1 0 ) ( ) ( 2

1 r t

t x t x t x t x                                        ) ( ) ( 3 1 ) ( t x t x t c

(173)

173

Giải:

Hàm truyền của hệ thống là: G(s) C(sI A)1B

(174)

Giải: Ta có:                             s s s s s s s B A sI 1 2 3 1 1 0 2 1 3 2 3 1 )

( 2 2

  2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 )

( 2 2

               s s s s s s B A sI C 2 3 1 3 ) ( 2     s s s s G

(175)

175

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái

Cho hệ thống có phương trình trạng thái sau:

(2.92)

)

( )

(

(2.91)

) ( )

( )

(

t Cx t

c

t Br t

Ax t

x



 



(176)

Biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.91) ta được:

(2.93) ) ( ) ( ) x(0 ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) (

1 sI A BR s

A sI s X s BR x s X A sI s BR s AX x s sX                 

Đặt: , thay vào phương trình (2.93) ta được:(s) (sI  A)-1

(2.94) ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )

(s s x s BR s

(177)

177

Biến đổi Laplace ngược hai vế biểu thức (2.94), ta được:

(2.95)

d ) ( )

( )

0 ( ) ( )

(

0

 



  



 

t

Br t

x t t

x

Trong đó:

(2.96)

] ) [(

)] ( [ )

( 1 1 1

 

 

 t L s L sI A

Ma trận (t) được gọi là ma trận quá độ của hệ thống Tính (t) theo (2.96) tương đối khó khăn, nhất là đối với các hệ

(178)

Dựa vào biểu thức (2.95) ta thấy r(t) = thì:

(2.97)

) 0 ( ) ( )

( 



 t x

t x

Mặt khác, r(t) = phương trình (2.91) trở thành:

(2.98)

) ( )

(t Ax t

x 

Nhiệm của (2.98) là:

(2.99)

) 0 ( )

( 

e x

t

(179)

179

So sánh (297) và (2.99) suy ra:

(2.100)

)

(t eAt



Theo định lý Haley – Hamilton, ta có:

(2.101)

] [

] [ ]

[ )

(t eAt C0I C1 A C2 A Cn 1 A n1



 

 



Thay A = ,  là các trị riêng của ma trận A (tất là nghiệm của

phương trình det(I –A) = 0) vào biểu thức (2.101), ta sẽ tính

(180)

Tóm lại:

• Để tính nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái ta thực hiện các bước sau đây:

1- Tính ma trận quá độ (t) theo công thức (2.96) hoặc (2.101).

2- Tính nghiệm của phương trình biến trạng thái theo công thức (2.95), nếu điều kiện đầu bằng thì:

 

) ( )d

( )

(

0

  

t

Br t

(181)

181

Tóm lại:

• Nếu ḿn tìm đáp ứng của hệ thống bằng phương pháp biến trạng thái, trước tiên tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái, sau đó tính:

) ( )

(t Cx t

(182)

Ví dụ:

Cho hệ thống có hàm truyền là:

2 3

)

( 2

 



s s

G

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống 2- Tìm ma trận quá độ

(183)

183

Giải :

2 3

) (

2

 



s s

R s C

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái Theo đề bài ta có:

) ( )

( ) 2 3

(s2  s  C s sR s



) ( )

( 2 )

( 3 )

(t c t c t r t

c     

Đặt biến trạng thái sau:

) ( )

( )

(

) ( )

(

1

t r t

x t

x

t c t

x



 

(184)

Giải :

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái Hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:

(185)

185

Giải :

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái 1 = b0 =

2 = b1 – a11 = – 3*1 =3

(186)

Giải :

Cách 1:

2- Tính ma trận quá độ

] ) [( )] ( [ )

( 1 1 1

 

 

 t L s L sI A

Ta có:                           s s s s s s s s A sI s 2 1 3 ) 2 )( 1 ( 1 2 1 3 2 3 1 ) ( )

( 2

(187)

187

Giải :

                                          ) 2 )( 1 ( ) 2 )( 1 ( 2 ) 2 )( 1 ( 1 ) 2 )( 1 ( 3 )] ( [ )

( 1

s s s s s s s s s s s

t L L

(188)

Giải :

                                                          ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 2 )] ( [ 1 1 s s s s s s s s s L L L L L                        ) 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 ( )

( 2 2

(189)

189

Giải :

Cách 2:

(2.102)

1 0I C A

C e

Φ(t)  At  

Các trị riêng của A là nghiệm của phương trình det(sI - A) =

0 3

2

1 0

0 1

det  

  

  

   

 

 

    

 

 

0 2

3

2

 



  

  

 

  

2 1

2

(190)

Giải :

Thay A = i vào công thức (2.102), ta được:

(191)

191

Giải :

Thay C0 và C1 vào công thức (2.102), ta được:

                       3 2 1 0 ) ( 1 0 0 1 ) 2 ( )

(t e t e 2t e t e 2t

                       ) 2 ( 2 2 ( ) ( ) 2 ( )

( 2 2

2 t t t t t t t t e e e e e e e e t

(192)

Giải :

3- Đáp ứng của hệ thống

Trước tiên ta tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái Với điều kiện đầu bằng 0, nghiệm của phương trình trạng thái là:

 

) ( )d

(193)

193

Giải :

(194)

2.4 TÓM TẮT

Chương này đã trình bày hai phương pháp mô tả toán học hệ thống tự động là phương pháp hàm truyền đạt và phương pháp không gian trạng thái

Tùy theo hệ thống và bài toán điều khiển cần giải quyết mà chúng ta chọn bài toán mô tả toán học phù hợp

(195)

195

Giải :

                      t t t t e e e e t x t x t x 2 2 2 1 ) ( ) ( ) (

  x t e t e t

t x

t x t

c 1

2

1 ( )

) ( ) ( 0 1 ) (            

(196)

2.4 TÓM TẮT

Nếu hệ thống khảo sát là hệ biến đổi theo thời gian hay hệ phi tuyến, hệ đa biến thì phương pháp không gian trạng thái nên được sử dụng