Đang tải... (xem toàn văn)
Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.. Gọi M, N là trung điểm của các cạnh AD, BC..[r]
(1)Bài VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I. Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa, tính chất phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng
Phép cộng, trừ vectơ:
Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: ABBC AC
Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: ABAD AC Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ', ta có: ABADAA'AC' Lưu ý:
Điều kiện để hai vectơ phương: Hai vectơ a b (b0) !k :ak b
Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), điểm O tùy ý Ta có: MAk MB
1 OA kOB OM
k
Trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý Ta có: IA IB 0 OA OB 2OI
Trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm ABC, điểm O tùy ý Ta có: GA GB GC 0 OA OB OC 3OG
Sự đồng phẳng ba vectơ:
Định nghĩa: Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c, , , a b khơng phương Khi đó: a b c, , đồng phẳng ! , m n :cm a n b
Cho ba vectơ a b c, , khơng đồng phẳng, x tùy ý Khi đó: ! , , m n p :xm a n b. . p c.
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Goị G trọng tâm BCD CMR:
(2)A
D
C
B M
N P
Q
a) AC BD AD BC AC AD BC BD DC DC (đúng) b) Ta có G trọng tâm tam giác ABC nên GB GC GD 0
3
3
3 (đd)
AB AC AD AG AG GB AG GC AG GD AG
AG GB GC GD AG
AG AG
c) Cách 1: gọi P, Q trung điểm AC, BD
Ta có
(MPNQ) / /( )
AB (MPNQ) AB PN
PN AB MPNQ
Tương tự : BC MPNQ( ) Vậy MN AB DC, , đồng phẳng
Cách 2:
Ta có: MN MA AB BN MN MD DC CN
Suy
2
1
2
MN MA MD AB DC BN CN MN AB DC
MN AB DC
Vậy MN AB DC, , đồng phẳng
Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB a , AD b , AE c Gọi I trung điểm BG Hãy biểu diễn AI qua a,b,c
c a
b
A
B C
D
E
F G
H I
Ta có: AI1AB1AG1AB1(AB AD AE) AB 1(AD AE)
2 2 2
Vậy : AI a 1b 1c
2
(3)III.Bài tập tự luận
Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh: a)ABB C' 'DD'AC'
b)BD D D B D ' ' 'BB' c)ACBA'DB C D ' 0
c) Phân tích MGtheo MB MC MD, ,
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, E trung điểm SD, SA, AB
a) Chứng minh AD, MO, NE song song với (SBC) Từ rút kết luận đồng phẳng ba vectơ AD MO NE, ,
b) Phân tích MOtheo SA DC, Từ rút kết luận đồng phẳng ba vectơ MO SA DC, , IV Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho hình lăng trụ ABC A B C , M trung điểm BB Đặt CAa, CBb,
AA c Khẳng định sau đúng?
A.
2
AM b c a B.
AM a c b C.
AM a c b D. AM b a c
Câu 2. Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng
Điều kiện cần đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành
A. OA OB OCOD0 B. OAOC OBOD
C. OA OB OC OD
2
1
D. OA OC OB OD
2
1
Câu 3. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SAa; SBb;
SCc; SDd Khẳng định sau đúng?
A. a c d b B. a b c d C. a d b c D. a b c d 0
Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M P trung điểm AB CD. Đặt b
AB , AC c, ADd Khẳng định sau đúng?
A. 1
2
MP c d b B. 1
2
MP d b c Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB,CD
a) Phân tích MNtheo AB AC AD, ,
(4)C. 1
2
MP c b d D. 1
2
MP c d b
Câu 5. Cho hình hộp ABCD A B C D có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD. Đặt AC u,CA'v, BD x, DB y Khẳng định sau đúng?
A. 1
2
OI u v x y B. 1
2
OI u v x y
C. 1
4
OI u v x y D. 1
4
OI u v x y
Câu 6. Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi I K tâm hình bình hành ABB A BCC B Khẳng định sau sai?
A. 1
2
IK AC A C B.Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng
C. BD2IK 2BC D.Ba vectơ BD; IK; B C không đồng phẳng
Câu 7. Cho tứ diện ABCD Người ta định nghĩa “G trọng tâm tứ diện ABCD
GA GB GCGD ” Khẳng định sau sai?
A. G trung điểm đoạn IJ (I , J trung điểm AB CD)
B. G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AC BD
C. G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AD BC
D. Chưa thể xác định
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt xAB; yAC ; zAD Khẳng định sau đúng?
A. 1
3
AG x y z B 1
3
AG x y z
C. 2
3
AG x y z D. 2
3
AG x y z
Câu 9. Cho hình hộp ABCD A B C D có tâm O Đặt ABa; BCb M điểm xác
định 1
OM ab Khẳng định sau đúng?
A. M tâm hình bình hành ABB A B. M tâm hình bình hành BCC B