Mệnh đề nào dưới đây là đúng?. A..[r]
(1)1
NGUYÊN HÀM Tính chất
f x xd / f x f x f x C
a f x x d a f x x ad , a f x g x xd f x xd g x xd Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp
Bảng nguyên hàm
d
k x kx C , k số
d
1 x
x x C
1
1
d
1 ax b
ax b x C
a 1d ln
x x C x
1 d 1ln
x ax b C ax b a
d
x x
e x e C eax bdx 1eax b C a
d ln
x
x a
a x C
a d ln
mx n mx n a
a x C
m a
cos dx x sinx C cos ax b xd 1sin ax b C a
sin dx x cosx C sin ax b xd 1cos ax b C a
2
1 d tan
cos x x x C
1 d 1tan
cos ax b x a ax b C
2
1
d cot
sin x x x C
1
d cot
sin ax b x a ax b C
Bài tập áp dụng:
Câu Tìm họ nguyên hàm hàm số ( ) 2sinf x x
A 2 sinxdx2 cosxC B
2 sinxdxsin xC
C 2sinxdxsin 2xC D 2 sinxdx 2 cosxC Câu Họ nguyên hàm hàm số f x x4x2
A 4x32x C B 1
5x 3x C C
4
x x C D x5x3C Câu Nguyên hàm hàm số f x x3 x
A x4 x2 C B
3x 1 C C x3 x C D 1 4x 2x C Câu Họ nguyên hàm hàm số f x 3x21
A
x C B
3
3
x
x C
C 6x C D
x x C Câu Họ nguyên hàm hàm số f x exx
A exx2C B e 2
x
x C C e
1 2
x
x C
x D e 1
x
C Câu Tìm họ nguyên hàm hàm số f x cos 3x
A cos 3xdx3sin 3xC B cos sin 3
x
xdx C
C cos sin 3
x
xdx C
(2)2 Câu 7: Tìm họ nguyên hàm hàm số
2 x
f x x A
4
ln
x
x
f x C
B
4
ln
x
x
f x C
C
4
2 ln
x
x
f x C
D 2
3
ln
x
f x x C
Câu Tìm họ nguyên hàm hàm số
5
f x x
A 1ln
5
dx
x C
x
B 1ln(5 2)
5 2
dx
x C
x
C 5ln
5
dx
x C
x
D ln
5
dx
x C
x
Câu Họ nguyên hàm hàm số f x( ) x2 x x
A 3 3ln 3 x
x x C
B
3 3ln 3 x x x C 3 3ln 3 x
x x C
D
3 3ln 3 x
x x C
Câu 10 Nếu d 3
x
x
f x x e C f x A
4
3
x
x
f x e B f x 3x2 ex
C
4
12
x x
f x e D f x x2 ex Câu 11 Nguyên hàm hàm số ( )
2
f x
x
A ln | | x C B 1ln | |
2 x C C 3ln | | x C D
ln | |
3 x C
Câu 12 Tìm 12 13 14 15 dx ?
x x x x x
A ln 12 13 14
2
x C
x x x x
B ln 12 13 14
2
x C
x x x x
C 1 12 13 14 2x 3x 4x 5x C
D 1 12 13 14
2 C
x x x x
Câu 13: Tìm sin 5xcos 2x dx ? A 1cos 1sin
5 x x C
B 1cos 1sin
5 x2 x C C 1cos 1sin
5 x x C
D 1cos 1sin
5 x2 x C
Câu 14 Biết F(x) nguyên hàm hàm số ( ) 1
f x x
F(0) = Giá trị F(1)
A F(1) = ln2 - B F(1) = ln2 + C F(1) =
2 D F(1) =
Câu 15 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( )f x ex 2x thỏa mãn (0)
F Tìm ( )F x A ( )
2
x
F x e x B ( ) 2
2
x
F x e x
C ( )
2
x
F x e x D ( )
2
x
F x e x
Câu 16 Tìm số thực m để hàm số F x mx3 3m x2 4x nguyên hàm hàm số
3 10
f x x x
A m B m C m D m
(3)3
C f x( )3x5cosx2 D f x( )3x5cosx15 Câu 18 Cho hàm số f x x e2 x Tìm a b c, ,
để F x ax2 bx c e x nguyên hàm f x A a b c; ; 1;2;0 B a b c; ; 1; 2;0
C a b c; ; 1;2;0 D a b c; ; 2;1;0
Câu 19 Một nguyên hàm F x hàm số f x 2x33x2 1 sin 2x F 0 1 là: A
4
1
2 cos
4 2
x x
F x x x B
4
1
2 cos
4 2
x x
F x x x
C
4
1
2 cos
4 2
x x
F x x x D
4
1
2 cos
4 2
x x
F x x x
Dạng TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I f x xd , ta phân tích f x g u x u x' ta đặt t u x ( )dt u x dx '( )
Khi đó: f x dx( ) = g t dt( ) , g t td G t C G u x C Chú ý: Sau tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay t u x Ví dụ: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau:
a/ I 2x3x26dx
Đặt 2
3
t
t x x dx dt
8
6
8
2 2
2
9 9 36 63
1
3
36 63
t t
I t t dt t t dt C t t C
I x x C
b/I 2x x21dx
Đặt t x2 1 t2 x2 1 tdtxdx
c/ x
x e dx
Đặt 3 2
dt t x dt x dxx dx
1
3 3
t
t x
e dt
f x dx e C e C
Bài tập áp dụng
Câu 20: Tính x1x210dx ?
A
11
22
x
C
B
11
22
x
C
C
22
11
x
C
C
11
11
x
C
Câu 21 Biết I x e dx2 x3 Đặt
u x , I viết thành A 3 u
I e du B u
I e du C
u
I e du D u
I ue du Câu 22 Tìm họ nguyên hàm
2
2
x dx x
bằng:
2
2
2
2
t x
(4)4 A.1 2
2 x C B
2
1
2
2 x C C
2
2x 3 C D 2 2x2 3 C Câu 23: Một nguyên hàm hàm số:
2
x y
x
là: A x 2x2 B 1 4 2
3
x x
C. 2
2
x x D. 1
4
3
x x
Câu 24 Tìm họ nguyên hàm
2
(x 1) 2 2
dx
x x
cách đặt t x22x2ta được: A.ln
1
t
C
t B
1
ln
2
t
C
t C
1 ln
1
t
C
t D
1 ln
1
t
C t
Câu 25: Tìm lnxdx ?
x
A 11 ln2
2 x C B
2
1 ln x C C 11 ln 2
2 x C D
2
ln 2 x C Câu 26: Biết
2
b
(2 3ln x)
dx (2 3lnx) C
x a
giá trị a.b
A 1
3 B.
2 C 1 D. Câu 27: Tính I sin6xcos3x xd cách đặt usinx ta
A I u61 2 udu B I u61u2du C I u61u2du D I u61u2du Câu 28: Tìm sin2x.cosxdx?
A 1sin3
3 x B
3
sin
3 x C
C 1 s3
3co x C D
3
sin
3 x C
Câu 29 Hàm số ( ) cos5 sin
x f x
x
có nguyên hàm F x( )
A 14 2019
4sin x
B 14 2019
4sin x C
4
2018
sin x D
4
2018
sin x
Câu 30: Tìm ecosx.sinxdx?
A esinx C B ecosxC C esinx C D ecosxC Câu 31: Một nguyên hàm hàm số: y =
2
x x
e
e là:
A.2 ln(ex2)+ C B ln(ex2)+ C C e ln(x ex2)+ C D e2x+ C Câu 32: Họ nguyên hàm hàm số tan2
cos
x f x
x
A 1tan2 tan
F x x x C B F x tan2 xtanx C C F x tan2xtanx C D
tan tan
F x x x C Câu 33: Tìm ?
s inx dx A ln tan
2
x
C B 2ln tan
x
(5)5 Câu 34 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) lnx
x
Tính ( )F e F(1) A Ie B I
e
C
2
I D I 1 Câu 35 F x nguyên hàm hàm số y ln x
x Nếu
2 4
F e lnxdx x A
2
ln
x
F x C B
2
ln 2
2
x
F x
C
2
ln 2
x
F x D
2
ln
x
F x x C
Câu 36 F x nguyên hàm hàm số y esinxcosx Nếu F esinxcos dx x A F x esinx 4 B F x esin x C
C F x ecosx 4 D F x ecosx C
Dạng: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số u v liên tục đoạn a b; có đạo hàm liên tục đoạn a b; Khi đó: u vd uv v ud *
Để tính nguyên hàm f x xd phần ta làm sau:
Dạng sin d cos
x
I P x x
x , P x đa thức Đặt
? sin
?
d d
cos u P x
du x
v
v x
x
Ví dụ: Tính họ nguyên hàm hàm số sau: I x.cos 2xdx
Giải
Đặt 1
cos sin2x
2
du dx
u x
dv xdx v
Vậy cos sin 1sin 2x sin 1cos 2x+C
2 2
I x xdx x x dx x x
Bài tập áp dụng:
Câu 37 Để tính x2cos dx x theo phương pháp tính nguyên hàm phần, ta đặt:
A
d cos d
u x
v x x x B
2
d cos d u x
v x x C
cos
d d
u x
v x x D
2cos
d d
u x x
v x Câu 38: Tìm x.sin 3xdx?
A cos 1sin
3x x x C
B sin 1sin
3x x x C
C cos 1sin
3x x x C
D cos 1sin
3x x9 x C
Câu 39: Tìm 2 ? cos
x dx
x
A xcotxln cosxC B xtanxln sinxC C xtanxln cosx C D 2tan
(6)6 Câu 40: Biết x sin dxx ax cosx b sinx C
3 3 3
, a b
A.2. B.12 C.9 D.6 Câu 41: Tìm nguyên hàm củaxcosxdx ?
A
sin
x
xC B xsinx c x C os C xsinxsinx C D
os
x
c xC
Dạng I P x eax bdx, trong P x đa thức Đặt ? ? d ax bd
u P x du
v
v e x
Ví dụ: Tính I (x2)e dx 2x
Giải
Đặt 22
2
x x
du dx
u x
e
dv e dx v
Vậy ( 2) ( 2) ( 1)
2 2 2
ex ex ex ex ex
I x dx x C x C
Bài tập áp dụng:
Câu 42 Kết I xe xxd
A I ex xex C B
2
x x
I e C C I xex ex C D
2
x x x
I e e C Câu 43 Biết (x 3)e 2xdx e 2x 2x n C
m
,giá trị 2
m n A.5 B.10 C 41 D. 65 Câu 44 Biết(1 x)e dx x e axx bC,giá trị a2b
A.9 B.7 C 11 D. Câu 45 Hàm số f x x 1ex
có nguyên hàm F x kết sau đây, biết nguyên hàm x 0?
A F x x ex
B F x x ex C F x x 1ex
D F x x ex
Câu 46 Cho F x( )(x1)ex nguyên hàm hàm số f x e( ) 2x Tìm nguyên hàm hàm số
( ) x
f x e
A f( )x e2xdx(42 )x ex C B ( ) d 2
x x x
f x e x e C
C
( ) xd (2 ) x
f x e x x e C
D
( ) xd ( 2) x
f x e x x e C
Dạng I P x ln mx n xd , P x đa thức Đặt ln ?
?
d d
u mx n du
v
v P x x
Ví dụ: Tính I xlnxdx
Giải Đặt u lnx du 1dx
x
(7)7
2
2
x
dv xdx v Suy I
2 2
ln d ln (ln 1) C
2 2
x xx xx x x C x x
Bài tập áp dụng:
Câu 47 Để tính xln x xd theo phương pháp tính nguyên hàm phần, ta đặt:
A
d ln d
u x
v x x B
ln
d d
u x
v x x C
ln
d d
u x x
v x D
ln
d d
u x
v x Câu 48 Họ nguyên hàm hàm số f x 4x1 ln x
A 2
2x lnx3x B 2 2x lnxx
C 2
2x lnx3x C D 2 2x lnxx C Câu 49 Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: I xln(1x dx2)
A
2
(1 x )
ln(1 x ) 2x C
B
2
2
(1 x ) x
ln(1 x ) C
2
C
2
2
(1 x ) x
ln(1 x ) C
2
D
2
2
x x
ln(1 x ) C
2
Câu 50 Tìm họ nguyên hàm hàm số f (x)x ln 2x
A
f (x)dx (x 3) ln 2x C
B
3
x ln 2x
f (x)dx C
3
C f (x)dx 1(x3 1) ln 2x C
D f (x)dx 1x ln 2x3 1x3 C
3
Câu 51 Cho ( ) 12
F x
x
nguyên hàm hàm số f x( )
x Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) lnx A ( ) ln ln3 15
5
x
f x xdx C
x x
B ( ) ln ln3 15
5
x
f x xdx C
x x
C ( ) ln ln3 13
x
f x xdx C
x x
D ( ) ln ln3 13
3
x
f x xdx C
x x
Câu 52 Tính nguyên hàm I ln lnx dx
x kết sau đây?
A I ln ln lnx x C B I ln ln lnx x lnx C
C I ln ln lnx x lnx C D I ln lnx lnx C
Dạng sin d cos
x
x
I e x
x Đặt
sin cos
d xd
x u
x v e x
?
? du
v Ví dụ: Tính I sin dx e xx
Giải Đặt sin cos x
d xd x
u x du dx
v e x v e
I exsinx - excosxdx exsinx - J
Đặt cos sin x
d xd x
u x du dx
v e x v e
(8)8 Vậy sinx - sinx ( cosx + ) 1(s inx osx)
2
x x x
I e J e e I I c +C
Bài tập áp dụng:
Câu 53 Tính nguyên hàm I cos dx e xx , ta được: A sin cos
2
x x
I e x e x C B sin cos
2
x x
I e x e x C C I exsinx C D I excosx C
Câu 54 BiếtI 2 cos 2x e2xdx e2x a bsin 2x ccos x C
m với m,a,b,c số nguyên Tính a+b+c-m