HƯỚNG DẪN ÔNTẬP GIẢI TÍCH 12 (CHUẨN) – CHƯƠNGI I. ĐƠN ĐIỆU: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a/ y = x 3 – 6x 2 + 9x (ĐB: ( ;1),(3; )−∞ +∞ ; NB: (1; 3)) b/ y = x 4 – 2x 2 (ĐB: (-1; 0), (1; )+∞ ; NB: ( ; 1),(0;1)−∞ − ) c/ y = 3 2x x 7 − + (NB: ( ; 7),( 7; )−∞ − − +∞ ) d/ y = 2 x 5x 3 x 2 − + − (ĐB: ( ;2),(2; )−∞ +∞ ) e/ y = x + 2cosx, x 5 ; 6 6 π π ∈ ÷ (NB: 5 ; 6 6 π π ÷ ) f/ y = 2 2x x− (ĐB: (0; 1); NB: (1; 2)) II. CỰC TRỊ: Tìm cực trị các hàm số sau: a/ y = x 3 – 3x 2 – 24 + 7 (y CĐ = y(-2) = 35; y CT = y(4) = -73) b/ y = x 4 – 5x 2 + 4 (y CĐ = y(0) = 4; y CT = y( 5 2 ± ) = 9 4 − ) c/ y = 2 x 3x 3 x 2 − + − (y CĐ = y(1) = -1; y CT = y(3) = 3) d/ y = sin2x (y CĐ = y( 4 π + k π ) = 1; y CT = y( 3 4 π + k π ) = -1, k Z ∈ vì hàm số có chu kì T = π ) e/ y = 2 x x 1− + (y CT = y( 1 2 ) = 3 2 ) III. GTLN VÀ GTNN: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: a/ y = x + 4 x (x > 0)( (0; ) min y +∞ = y(2) = 4) b/ y = 2 x 4 x+ ( ( ; ) max y y(0) 4 −∞ +∞ = = ) c/ y = 1 sin x trên ( 0; )π ( (0; ) min y π = y( 2 π ) = 1) d/ y = 2x 3 – 3x 2 – 12x + 10 trên [ 3;3]− ( [ 3;3] max y y( 1) 17 − = − = ; [ 3;3] min y − = y(-3) = -35) e/ y = x 4 – 3x 2 + 2 trên [2;5] ( [2;5] max y y(5) 552= = ; [2;5] min y = y(2) = 6) f/ y = 2 x 1 x − − trên [-3; -2]( [ 3; 2] 4 max y y( 2) 3 − − = − = ; [ 3; 2] min y − − = y(-3) = 5 4 ) g/ y = 2 25 x− trên [-4; 4] ( [ 4;4] max y y(0) 5 − = = ; [ 4;4] min y − = y( 4 ± ) = 3) h/ y = 2sin 2 x – cosx + 1 (Biến đổi về dạng: f(t) = -2t 2 – t + 3 trên [-1; 1]) ( [ 1;1] 1 25 max y y( ) 4 8 − = − = ; [ 1;1] min y − = y(1) = 0) i/ y = 2sinx – 4 3 sin 3 x trên [0; π ] (Biến đổi về dạng: f(t) = 2t – 4 3 t 3 trên [0; 1]) ( [0;1] 2 2 2 max y y( ) 2 3 = = ; [0;1] min y = y(0) = 0) IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có) của các hàm số sau: 1 a/ y = 2x 1 x 2 − + b/ y = 5 2 3x− c/ y = 2 2 x 12x 27 x 4x 5 − + − + d/ y = 2 2 x 3x x 4 + − e/ y = 2 2 x x 4x 3 − − + V. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a/ y = x 3 – 3x 2 b/ y = - x 3 + 3x – 1 c/ y = 3x – 4x 3 d/ y = x 3 – 3x 2 + 3x – 2 Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a/ y = x 4 – 2x 2 – 1 b/ y = 4 2 x 3 x 2 2 − + + c/ y = - x 4 + 2x 2 d/ y = x 4 + x 2 – 2 Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a/ y = 2x 4 x 1 − − b/ y = 1 2x x 2 − + c/ y = 6 x 3+ d/ y = 2x 8 x − Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x 3 + 3x + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x – 2 + m = 0 ĐS: * m > 4: 1 n 0 ; * m = 4: 2 n 0 ; * 0 < m < 4: 3 n 0 ; * m = 0: 2 n 0 ; * m < 0: 1 n 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + 2 d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) HD: PT đt đi qua 2 điểm A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) có dạng: A A B A B A x x y y x x y y − − = − − ĐS: y = 2x + 2 Bài 5: Cho hàm số (C): y = x 3 + 3x 2 + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x 3 + 3x 2 – k = 0 ĐS: * k > 4: 1 n 0 ; * k = 4: 2 n 0 ; * 0 < k < 4: 3 n 0 ; * k = 0: 2 n 0 ; * k < 0: 1 n 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 HD: Thế x = -1 vào (C) ⇒ y = 3: M(-1; 3) ĐS: y = -3x d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ĐS: y = -2x + 1 Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x 4 + 2x 2 + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x 4 + 2x 2 + 1 – m = 0 ĐS: * m > 2: vô n 0 ; * m = 2: 2 n 0 ; * 1 < m < 2: 4 n 0 ; * m = 1: 3 n 0 ; * m < 1: 2 n 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2 HD: Thế y = 2 vào (C) ⇒ x = ± 1: M(-1; 2), N(1; 2) ĐS: y = 2 Bài 7: Cho hàm số (C m ): y = 2x 3 + 3(m – 1)x 2 + 6(m – 2)x – 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2 b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C m ) đi qua điểm A(1; 4) ĐS: m = 2 c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1) 2 ĐS: y = -1; y = 9 x 1 8 − − Bài 8: Cho hàm số (C m ): y = x 4 – (m + 7)x 2 + 2m – 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1 b) Xác định m để đồ thị (C m ) đi qua điểm A(-1; 10) ĐS: m = 1 c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x 4 – 8x 2 – k = 0 có 4 nghiệm phân biệt ĐS: -14 < k < 0 Bài 9: Cho hàm số (C m ): y = mx 1 2x m − + a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C 2 ) b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó HD: Chứng minh tử thức của y ’ > 0 suy ra y ’ > 0(đpcm) c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; 2 ) ĐS: m = 2 d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C 2 ) tại điểm (1; 1 4 ) ĐS: y = 3 1 x 8 8 − Bài 10: Cho hàm số (C m ): y = (m 1)x 2m 1 x 1 + − + − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0 b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C m ) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: m = 0 c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( 3 ; -3) ĐS: m = -4 c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung HD: Giao điểm với trục tung ⇒ x = 0, thay x = 0 vào (C) ⇒ y = -1: E(0; -1) ĐS: y = -2x – 1 Bài 11: Cho hàm số (C m ): y = x 3 + (m + 3)x 2 + 1 – m a) Định m để hàm số có điểm cực đại tại x = -1 HD: * Tìm y ’ , tìm y ” và vận dụng công thức sau * Để hàm số đạt cực đại (hay tiểu) tại x = α ⇔ a 0 y ( ) 0 y ( ) 0 ≠ ′ α = ′′ α < a 0 hay y ( ) 0 y ( ) 0 ≠ ÷ ′ α = ÷ ÷ ′′ α > ĐS: m = 3 2 − b) Xác định m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành tại x = -2 HD: (C m ) cắt trục hoành tại x = -2 ⇒ y = 0, thay vào (C m ) ĐS: m = 5 3 − Bài 12: Cho hàm số (C m ): y = x 3 – 3mx 2 + 3(2m – 1)x + 1 a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định 3 HD: * Tìm y ’ và vận dụng công thức sau * Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định ⇔ y ’ ≥ 0 (hay y ’ ≤ 0) ⇔ a 0 0( 0) > ′ ∆ ≤ ∆ ≤ a 0 hay 0( 0) < ÷ ′ ∆ ≤ ∆ ≤ * m 2 – 2m + 1 0≤ ⇔ m = 1 (vì m 2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m = 1 b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu HD: * Tìm y ’ và vận dụng công thức sau * Để hàm số có cực trị (hay có một cực đại và một cực tiểu) ⇔ y ’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 0(hay 0) ′ ∆ > ∆ > * m 2 – 2m + 1 > 0 ⇔ m ≠ 1 (vì m 2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m ≠ 1 c) Xác định m để y ” (x) > 6x ĐS: m < 0 Bài 13: Cho hàm số (C m ): y = mx 3 x m 2 + + + a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó HD: * Tìm y ’ và vận dụng công thức sau * Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y ’ > 0 (hay y ’ < 0) ⇔ tử thức > 0 (hay tử thức < 0) ĐS: - 3 < m < 1 * Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu b) Tìm trên (C -1 ) những điểm có tọa độ nguyên HD: * Chia tử cho mẫu ta được 2 phần (phần nguyên + phần phân) * Để x, y nguyên ⇔ phần phân nguyên ⇔ tử thức M mẫu thức ĐS: (1; 3); (-1; -5); (2; 1); (-2; -3); (4; 0); (-4; -2) Bài 14: Xác định m để hàm số y = x 3 – 3mx 2 + (m + 2)x – m đồng biến trên R ĐS: 2 m 1 3 − ≤ ≤ Bài 15: Định m để hàm số y = x 3 – 6x 2 + 3(m + 2)x – m – 6 có cực trị ĐS: m < 2 Bài 16: Định m để hàm số y = x 3 + mx 2 – 2mx + m + 1 đạt cực tiểu tại x = 3 ĐS: m = 27 4 − Bài 17: Định m để hàm số y = x 3 + mx 2 – (m – 1)x + m – 5 đạt cực trị tại x = 1 HD: * Tìm y ’ và vận dụng công thức sau * Để hàm số đạt cực trị tại x = α ⇔ y ’ ( α ) = 0 (giải Pt suy ra giá trị m) ĐS: m = -4 Bài 18: Định m để hàm số y = 1 3 − x 3 + (m – 2)x 2 – mx + 3m giảm trên R ĐS: 1 m 4≤ ≤ 4 . HƯỚNG DẪN ÔN TẬP GI I TÍCH 12 (CHUẨN) – CHƯƠNG I I. ĐƠN I U: Xét tính đơn i u của các hàm số sau: a/ y = x 3 – 6x 2 +. 0: 1 n 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến t i i m I( 0; 2) ĐS: y = 3x + 2 d) Viết phương trình đường thẳng i qua i m cực đ i và i m cực tiểu của đồ thị